2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试题(解析版)
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2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二上学期期末数学试题一、单选题1．以点()2,3-为圆心，3为半径的圆的标准方程为（ ） A ．22(2)(3)3x y -++= B ．22(2)(3)9x y -++= C ．22(2)(3)3x y ++-= D ．22(2)(3)9x y ++-=【答案】B【解析】由圆的标准方程定义，即得解. 【详解】由圆的标准方程可得答案为22(2)(3)9x y -++= 故选：B 【点睛】本题考查了圆的标准方程定义，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．已知x ，y R ∈，“0x >且0y >”是“0xy >”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】利用不等式的性质，由0x >且0y >，可证明0xy >，反之若0xy >，也可以推出0x <且0y <，即得解. 【详解】若0x >且0y >，显然0xy >，但是若0xy >，也可以推出0x <且0y <， 故选：A 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理的能力，属于基础题. 3．平行于直线12y x =-且过()2,1的直线方程为（ ）A ．230x y --=B ．250x y +-=C ．20x y -=D ．240x y +-=【答案】D【解析】两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，根据点斜式方程可得解. 【详解】两直线平行，若斜率存在，则斜率相同，故12k =-， 根据点斜式方程可得11(2)2y x -=--，化简得240x y +-= 故选：D 【点睛】本题考查了过定点与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.4．已知直线m ，n ，平面α，m α⊄，n ⊂α，则下列说法：①m m n α⊥⇒⊥；②m n m α⊥⇒⊥；③////m m n α⇒；④////m n m α⇒；其中正确的个数（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可判定①，根据线面垂直的判定定理可判断②，根据线面平行的性质可判断③，根据线面平行的判定可判断④. 【详解】对于①根据线面垂直的性质可知正确；对于②根据线面垂直的判定必须是平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直才能判定线面垂直故错；对于③根据线面平行的性质，线与面平行不能推出与任意一条直线平行故错； 对于④根据线面平行的判定，可知④正确. 故选：B 【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生概念理解，逻辑推理能力，属于中档题.5．若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值（ ）A ．8B ．4C ．2D ．0【答案】C【解析】画出可行域，转化3z x y =+为13y x z =-+，可知当直线与可行域相交，且截距最小时，3z x y =+取得最小值，联立求出C 点坐标即得解. 【详解】如图，画出可行域，转化3z x y =+为13y x z =-+ 可知当直线与可行域相交，且截距最小时，3z x y =+取得最小值.由图像可知，经过C 点时，取得最小值. 联立220(2,0)2x y C x y +-=⎧∴⎨-=⎩故min 2302z =+⨯= 故选：C 【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．双曲线2213y x -=，则焦点到其中一条渐近线的距离为（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【解析】由双曲线方程，得到焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式即得解. 【详解】双曲线方程：2213y x -=，可得双曲线焦点坐标为()0,2，渐近线方程为30y x ±=，由点到直线的距离公式可得2211(3)d ==+故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的基本性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（ ）A ．113B ．4C ．83D ．3【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为三棱柱111ABC A B C -中割掉一个三棱锥1A A DE -得到的几何体，用割补法1111ABC A B C A A DE V V V --=-可得解. 【详解】 如下图所示，该几何体为三棱柱111ABC A B C -中割掉一个三棱锥1A A DE -得到的几何体1111111112221122323ABC A B C A A DE V V V --⎛⎫⎛⎫=-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A 【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算能力，属于中档题.8．如图两正方形ABCD ，CDFE 所在的平面垂直，将EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，则直线EC 与AC 所成角的取值范围是（ ）A ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】可证得AF AC CF ==，故3ACF π∠=，4ECF π∠=，当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，CEA ECF FCA ∠≤∠+∠，且CEF ACF ECF ∠≥∠-∠，结合线线角的取值范围即得解. 【详解】 如下图所示，连接AF ，因为正方形ABCD 和CDFE ，则AD CD ⊥，FD CD ⊥，AD DC DF ==又因为面ABCD ⊥面CDFE ，面ABCD I 面CDFE CD =， 则AD ⊥面CDFE ， 因此AD DF ⊥.因此222AF AD DF =+，222AC AD DC =+，222CF CD DF =+， 则AF AC CF ==， 因此3ACF π∠= 因为4ECF π∠=，则当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠=12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=，当CEF ∠为锐角或直角时，直线EC 和AC 所成角的等于CEF ∠ 当CEF ∠为钝角时，直线EC 和AC 所成的角等于CEF ∠的补角 因此直线EC 和AC 所成的角的取值范围是,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故选：C . 【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.9．正方体1111ABCD A B C D -中，在111A B D ∆内部（不含边界）存在点P ，满足点P 到平面11ACC A 的距离等于点P 到棱1BB 的距离.分别记二面角P AD B --为α，P AC B --为β，P BC A --为γ，则下列说法正确的是（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．以上说法均不正确 【答案】C【解析】如图连接PE ，PF ，PG ，记PEQ α=∠，PGQ β=∠，PFQ γ=∠，因此tan PQ QE α=，tan PQ QG β=，tan PQQFγ=，比较长度关系即得解.【详解】 如图所示，作PQ ⊥面ABCD 于Q ，作QE AD ⊥于E ，QF BC ⊥于F ，QG AC ⊥于G ，连PE ，PF ，PG ，则PEQ α=∠，PGQ β=∠，PFQ γ=∠. 因此tan PQ QE α=，tan PQ QG β=，tan PQQFγ=，作111PE A D ⊥于1E ，111PF B C ⊥于1F ，111PG AC ⊥于1G ，1PG 即点P 到平面11ACC A 的距离，1PB 即点P 到棱1BB 的距离，因此11PB PG =，因为111QF PF PB PG QG =<==， 因此tan tan βγ<，因为11QG PG PE QE =<=， 因此tan tan αβ<综上有：tan tan tan αβγ<<，即αβγ<<， 故选:C 【点睛】本题考查了几何法研究二面角的大小，考查了学生空间想象，转化划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.10．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，过双曲线的左焦点(),0F c -的直线522x y c =-交双曲线的渐近线与A ，B 两点，若点()2,0M c 满足MA MB =，则双曲线的离心率e =（ ） A ．324B ．322C ．6D ．3【答案】A【解析】联立直线与两条渐近线，得到A ，B 点坐标，再利用点M 在线段AB 的中垂线上，可得2218b a =，即得解.【详解】联立直线x c =-与两渐近线方程b y x a =±.联立方程x c b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；联立方程x c b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故A ，B的坐标为⎛⎫，⎛⎫，从而AB的中点为2222222,252252a c c N b a b a ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭由于点M 在线段AB 的中垂线上，从而直线MN的斜率为，即22225222252b a a c cb a -=-- 故2218b a =，从而222::8:1:9a b c =4=故选：A 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题11．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的侧面积为 ． 【答案】4π【解析】试题分析：由已知圆柱的高为2，底面半径为1，所以圆柱的侧面积为224ππ⋅=．【考点】1．圆柱的侧面积；12．已知抛物线2:4C x y =，点()3,P m 在抛物线上，则该抛物线的焦点F 的坐标为_____________；点P 到准线的距离为________________.【答案】(0,1)134【解析】由抛物线2:4C x y =可得F 点坐标，代入P 坐标可解得94m =，运算即可得解点P 到准线的距离. 【详解】焦点F 的坐标为()0,1， 点()3,P m 在抛物线上，则94m =， 从而点P 到准线的距离为913144+= 故答案为：(0,1)，134【点睛】本题考查了抛物线的方程和基本性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.13．中国古代数学名著《九章算术·商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堵.其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一”.若称为“阳马”的某四棱锥如图所示，ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，3PD AD ==，4AB =，则PA 与BC 所成的角=____________；PB 与平面PDC 所成角的正弦值=____________.【答案】4533434【解析】PA 与BC 所成的角等于PA 与AD 所成的角，根据题设条件即得解，因为BC ⊥平面PDC ，则PB 与平面PDC 所成角为BPC ∠，根据长度关系即得解.【详解】PA 与BC 所成的角等于PA 与AD 所成的角，即45PAD ∠=；因为BC⊥平面PDC，则PB与平面PDC所成角为BPC∠，所以sin34BCBPCPB∠===.故答案为：45.【点睛】本题考查了空间中的线线角，线面角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.14．过原点O有一条直线l，它夹在两条直线1:220--=l x y与2:30l x y++=之间的线段恰好被点O平分，则直线l的方程为______________.【答案】45y x=【解析】设两交点分别为(,22)A a a-，(,3)B b b--，利用中点为原点求解a,b，得到A点坐标，即得解.【详解】设两交点分别为(,22)A a a-，(,3)B b b--，则50325053aa ba bb⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线l的方程为45y x=.故答案为：45y x=【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.15．已知直线:(31)(1)440l k x k y k++---=，圆C的方程为：22680x y x y+--=，则直线l恒过定点______________；若直线与圆相较于A，B两点，则弦AB长度的最小值=______________；【答案】()2,2【解析】转化直线为(34)40x y k x y--++-=，恒过定点，因此340x y--=且40x y +-=联立即得定点坐标，当直线与CM 垂直时，弦AB 最短，利用勾股定理即得解. 【详解】(31)(1)440k x k y k ++---=Q ， (34)40x y k x y ∴--++-=，则3402402x y x x y y ⎧--==⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩所以直线l 恒过定点()2,2M.2222680(3)(4)25(3,4),5x y x y x y C r +--=∴-+-=∴=Q当直线与CM 垂直时，弦AB 最短，AB 最小值222225545r CM -=-= 故答案为：()2,2，45. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均等于2，M 为线段1BB 上的动点，则平面ABC 与平面1AMC 所成的锐二面角余弦值的最大值为______________.【答案】22【解析】如图建立空间坐标系，求解平面ABC 与平面1AMC 的法向量，利用二面角的向量公式即得解. 【详解】如图建立空间坐标系，则3,0,0)A ，(0,1,)M t ，1(0,1,2)C -，()13,1,2AC =--u u u u r ，1(0,2,2)C M t =-u u u u r，设平面1AMC 的法向量为1(,,)n x y z =r，1111032002(2)0AC n x y z C M n y t z ⎧⎧⋅=--+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+-=⎪⎪⎩⎩u u u u v r u u u u v r取1,23n t ⎫=-⎪⎭u r ， 平面ABC 的法向量为2(0,0,1)n =r，则22232cos 2(2)(1)6(2)43t t t θ==≤+-++-+.故答案为：22. 【点睛】本题考查了向量法求解二面角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.17．已知曲线22:1x C y m+=(0)m >，()0,1A ，()0,1B -，P 是曲线C 上的动点.当P与A ，B 重合时，PA ，PB 的斜率之积为=____________；若||2PB ≤恒成立，则m 的取值范围是___________. 【答案】1m-02m <≤ 【解析】设(,)P x y ，用点坐标表示PA PB k k ⋅，利用椭圆方程化简即得解；转化||2PB ≤2≤，用椭圆方程替换x ，可得211m y ≤=++，结合(1,1)y ∈-即得解. 【详解】 设(,)P x y 则22221111PA PBx y y y m k k x x x x m--+-⋅=⋅===-；||2PB ==≤在[]1,1y ∈-上恒成立，所以()221(1)4m y y -++≤在[]1,1y ∈-上恒成立，显然当1y =±时成立， 所以()221(1)4m yy -++≤在(1,1)y ∈-上恒成立，224(1)321111y y m y y y -++≤==+-++在(1,1)y ∈-上恒成立， 所以min2121m y ⎛⎫≤+= ⎪+⎝⎭，故02m <≤ 故答案为：1m-，02m <≤ 【点睛】本题考查了椭圆中的定值和取值范围问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.三、解答题18．已知原命题是“若260x x --≤则2280x x --≤”.（1）试写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断所写命题的真假； （2）若“()(2)0x a x -+≤”是“260x x --≤”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）逆命题：“若2280x x --≤则260x x --≤”，假命题；否命题：“若260x x -->则2280x x -->”，假命题；逆否命题：“若2280x x -->则260x x -->”，真命题；（2）3a > 【解析】（1）根据逆命题，否命题，逆否命题的定义，可得逆命题，否命题，逆否命题，求解对应不等式的范围，以及原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得解；（2）若“()(2)0x a x -+≤”是“260x x --≤”的必要不充分条件，则不等260x x --≤的解23x -≤≤构成的集合为()(2)0x a x -+≤的解集的真子集.分2a =-，2a <-，2a >-三种情况讨论即得解.【详解】（1）根据逆命题，否命题，逆否命题的定义， 逆命题：“若2280x x --≤则260x x --≤”； 否命题：“若260x x -->则2280x x -->”； 逆否命题：“若2280x x -->则260x x -->”.260x x --≤即：23x -≤≤；2280x x --≤即：24x -≤≤可得：原命题“若260x x --≤则2280x x --≤”是真命题， 逆命题“若2280x x --≤则260x x --≤”是假命题，根据原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得：逆否命题为真，否命题为假.（2）若“()(2)0x a x -+≤”是“260x x --≤”的必要不充分条件，则不等式260x x --≤的解23x -≤≤构成的集合为()(2)0x a x -+≤的解集的真子集.()(2)0x a x -+≤对应方程的根为12,2x a x ==-若2a =-，不等式的解为2x =-,不成立； 若2a <-，不等式的解为2a x ≤≤-，不成立；若2a >-，不等式的解为2x a -≤≤，若23x -≤≤构成的集合是2x a -≤≤构成的集合的真子集，则3a >. 综上：实数a 的取值范围是3a >. 【点睛】本题考查了命题的四种形式以及充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理，转化划归，分类讨论的能力，属于中档题.19．如图，空间几何体ABCDEF 中，四边形ABCD ，CDEF 是全等的矩形，平面CDEF ⊥平面ABCD ，且2BC =，1AB =，M ，N 分别为线段AE ，AD 的中点.（1）求证：//MN 平面BCF ； （2）求证：FM BN ⊥【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）可证得//MN ED ，又//ED FC ，由传递性得到//MN FC 即得证； （2）由平面CDEF ⊥平面ABCD ，可证得FC ⊥面ABCD ，//MN FC ，所以MN ⊥面ABCD ，可得MN BN ⊥，勾股定理可证明BN CN ⊥，故BN ⊥平面MNCF ，即得证. 【详解】（1）由M ，N 分别为线段AE ，AD 的中点，//MN ED ，又//ED FC ，所以//MN FC ，FC ⊂平面BCF ，且MN ⊄面BCF ， //MN ∴平面BCF（2）证明：Q 平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF I 平面ABCD CD =，FC CD ⊥，FC ⊂面CDEF ， FC ∴⊥面ABCD ， //MN FC ，所以MN ⊥面ABCD ，BN ⊂面ABCDMN BN ∴⊥在BCN ∆中，2BN CN ==2BC =，所以BN CN ⊥，MN CN N ⋂=从而BN ⊥平面MNCF ，FM ⊂平面MNCFFM BN ∴⊥.【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归的能力，属于中档题.20．已知抛物线24y x =，与圆22:(1)1F x y -+=，直线:4MN x my =+与抛物线相交于M ，N 两点. （1）求证：OM ON ⊥.（2）若直线MN 与圆F 相切，求OMN ∆的面积S .【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）直线与抛物线联立，可得1216y y =-，2212121644y y x x =⋅=，可证得12120OM ON x x y y ⋅=+=u u u u r u u u r，故得证；（2）由直线MN 与圆F 相切，可求得m ,利用弦长公式，点到直线距离公式，可求得,O MN MN d -，即得解.【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y 联立22441604x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩， 1216y y ∴=-2212121644y y x x =⋅=Q ，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=u u u u r u u u r，即OM ON ⊥.（2）Q 直线MN 与圆相切，218d m ==∴=，∴原点到直线MN 的距离43==，12MN y y =-==，114223O MN S MN d -=⋅=⋅⋅=【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为边长为2的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点O ，G 在线段AO 上，2AG GO =，H 为1OC 与1B C 的交点，若1BB 与平面ABC 所成角为4π.（1）求二面角111B OC A --的余弦值； （2）求直线GH 与平面ABC 所成角的正弦值. 【答案】（1）24；（2）34【解析】（1）以OC ，OA ，1OA 为x ，y ，z 轴建立空间坐标系，分别求解平面11B OC ，平面11AOC 的法向量，利用二面角的向量公式即得解. （2）求解平面ABC 的法向量，利用线面角的向量公式即得解. 【详解】（1）由于点1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点O ，ABC ∆为边长为2的正三角形，故OC ，OA ，1OA 两两垂直。
