振动力学第六章弹性体的一维振动

6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
微元段dx受力如图。根据牛顿 第二定律得到
A d
x
2u t 2

(N

N x
d
x)

N

q( x, t ) d
x
A
2u t 2

N x

q(x,t)
N (EA u ) x x x

A
2u t 2

x
(EA u ) q(x, t) x
0 dx
dU j dx
d x pi2
l
0 AU iU j d x
( pi2

p
2 j
)
l
0 AU iU
j
d
x

0
pi p j
i j
l
U
0
j
d dx
(EA dU i dx
)d x
0
l EA dU i dU j d x 0
0 dx dx
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
u
p
p
x
xl

D cos l( Acos pt B sin pt)
a
a
2u t 2
xl
p2 D sin p l( Acos pt B sin pt) a
EA u x
xl

M
2u t2
xl
U (x) Dsin p x a
得到杆的纵向自由振动微分方程为
2u t 2

a2
2u x2
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假 设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有点 都做简谐运动。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
2u t 2
i
分别沿杆长l对x积分，得
U i 乘以
d dx
(EA
dU j dx
)


p
j
2AU
j
l
0U j
d (EA dUi )dx dx dx
pi2
l
0 AUiU j d x
l
0Ui
d (EA dU j )dx dx dx
p
2 j
l
0 AU iU j d x
再利用分部积分，可将式中左边积分为
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。
同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。
由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在 物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度 是相似的。
因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的
质量密度、横截面积等都可以是x的函数。因此可写出杆的纵向
振动微分方程式为
A
2u t 2

x
(EA u ) x
代入
将杆的主振动的表达式 u(x,t) U (x)( Acos pt B sin pt)
d (EA dU ) p 2AU dx d x
以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx，其左端纵向 位移为u(x)，而右端即杆上x+dx处的纵向位移为 u u d x
x
dx段的变形为 u d x
x
应变为 u x
应力为 N E E u
A
x
N是x处轴的内力 N EA u
x
N (EA u ) x x x
l
0 AU iU j d x 0 i j
( pi2

p
2 j
)
l
0 AU iU
j
d
x

0
就是杆的主振型关于质量的正交性。
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
l
U
0
j
d (EAdUi )d x dx dx
pi2
l
0AUiU j d x
l EA dUi
无量纲因子
EA p cos p l Mp2 sin p l
aa
a
Al ,
M
pl
a
质量比
得频率方程
tan
相应的主振型为
Ui (x)

Di
sin
pi a
x

Di
sin i
l
x
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
对于 M Al的情况， 将很小，即杆的质量远小于集中质量时，
可以取
2
则得到 tan
p12 a2
l2

Al M
对于基频情况，有 p1
EA Ml
其中 EA 是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不
l
计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性。
解：此系统仍属于复杂边界条件问题。
当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力

M
2u t 2
xl
因此杆的边界条件为
U (0) 0,
EA u x
xl

M
2u t2
xl
U (x) C cos px D sin px
a
a
得到C = 0
U (x) Dsin p x a
U
j
(EA
dUi dx
)
l 0

l EA dU i 0 dx
dU j dx
d x pi2
l
0 AU iU j d x
Ui
(EA
dU j dx
)
l 0

l EA dU i 0 dx
dU j dx
d
x


p
2 j
l
0 AU iU j d x
等于零 杆端简单边界条件总可以写成
l EA dUi
a
a
1. 杆两端固定的情况
边界条件为
U (0) 0 ,
U(l) 0
C0 ,
sin p l 0 a
D sin p l 0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
ia π pi l
(i 1,2, )
相应的主振型为
Ui
(x)

Di
sin
iπ l
x
(i 1,2, )
pi
U
j
(EA
dUi dx
)
l 0

l EA dU i 0 dx
dU j dx
d
x
பைடு நூலகம்

pi2
l
0 AU iU j d x
Ui
(EA
dU j dx
)
l 0

l EA dU i 0 dx
dU j dx
d
x


p
2 j
l
0 AU iU j d x
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-1 一均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为 ，横 截面积为A，材料的弹性模量为E。其一端固定，另一端连接弹 簧常数为k的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型。
解：杆的端部连接弹簧或带有 集中质量时，称复杂边界条件。
杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用kU(l) 之力。 因此，边界条件为
U (0) 0,
EAdU dx
xl kU(l)
C 0, U (x) Dsin p x a
U (x) C cos px D sin px
a
a
EA p cos p l k sin p l
aa
a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
EA p cos p l k sin p l

ia π l
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
(i 1,2, )
Ui
(x)

Di
sin
iπ l
x
(i 1,2, )
分别令i =1,2,3，可得系统的前三阶 固有频率和相应的主振型为
p1

aπ, l
p2

2a π , l
p3

3a π , l
U1 ( x)

D1
sin
π l
x;
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为 ，横截 面积为A，材料的弹性模量为E,如图所示。
设杆在纵向分布力q(x,t)的作用下作纵向振动时，其横截 面保持为平面，并且不计横向变形。
以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
d2 U (x) d x2

p2 a2
U (x)

0
取特征值问题的两个解 pi2,Ui; p2j ,U j 代入
d dx
(
E
A
dU j dx
)


p
j
2AU
j
d dx
(EA
dUi dx
)


pi
2AU
i
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
U j乘以
d dx
(EA
dUi dx
)


pi
2AU
a
则频率方程为
iπ pi l a
i 1,2,
相应的主振型为
iπ
Ui (x) Di sin l a
i 1,2,
若 k 0，相当于自由端，即
cos p l 0 a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-2 与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。
d2 U (x) d x2

p2 a2
U (x)

0
杆有无穷多个自由度系统，振型 不再是折线而变成一条连续曲线。
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下， 求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。 p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频 率。
6.1 杆的纵向振动
a
a
dU
dU
d x x0 0, d x xl 0
D 0， p C sin p l 0
a
a

即为两端自由杆的频率方程。
解出固有频率为
pi

iπa l
相应的主振型为
U
i
(
x)

Ci
cos
iπ l
x
sin p l 0 a
i 0,1,2,
i 0,1,2,
当p = 0时，对应了杆的刚体振型。
0 dx
dU j dx
d x pi2
l
0 AU iU j d x
1. 固定端 U (x) 0, x 0或x l
2. 自由端 EA dU (x) 0, x 0或x l
l EA dU i 0 dx
dU j dx
d
x

p
2 j
l
0 AU iU j d x
dx
相减，得
pi p j
aa
a
pl
a
tan
EA
l
k
频率方程
EA x=l处杆的抗压刚度 l
相应于固有频率pi的主振型为
Ui (x)

Di
sin
pi a
x
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
讨论两个极端的情况
当 k 时，相当于固定端，有 0 ,即 sin p l 0
6.1.2固有频率和主振型
d2 U (x) p2
U (x) 0
d x2
a2
解可表示为 U (x) C cos px D sin px
a
a
由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
U (x) C cos px D sin px
机械与结构振动
第6章 弹性体的一维振动
第6章 弹性体的一维振动
目录
6.1 杆的纵向振动 6.2 杆的纵向受迫振动 6.3 梁的横向自由振动 6.4 梁的横向受迫振动
第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
6.1 杆的纵向振动
6.1.1 6.1.2 6.1.3
等直杆的纵向振动 固有频率和主振型 主振型的正交性
a
a
cos p l 0 a
即为一端固定，一端自由杆的频率方程。
解出固有频率为
pi

2i 1π
2l
a
i 1,2,
相应的主振型为
U
i
(x)

Di
sin
2i
1 π
2l
x
i 1,2,
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
U (x) C cos px D sin px

a2
2u x2
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
u(x,t) U (x)( Acos pt B sin pt)
即为杆的主振动的一般形式。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
2u a2 2u 代入
振型函数
振动规律
t 2
x2
u(x,t) U (x)( Acos pt B sin pt)
U
2
(x)

D2
sin
2π l
x;
U3 (x)

D3
sin
3π l
x.
杆的前三阶主振型表示如图所示。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
2. 杆的左端固定，右端自由的情况 边界条件为
U (0) 0,
dU dx
xl 0
U (x) C cos px D sin px
a
a
C 0, p D cos p x 0
EA是常数，可写成
2u t 2

(E)
2u x2

1 q(x,t) A
这是杆作纵向受迫振动方程，
a2 E

常称为波动方程。
表示弹性波 沿杆的纵向 传播的速度
6.1 杆的纵向振动
2u t 2

(E)
2u x2

1 A
q(x,t)
q(x,t) 0
6.1.2固有频率和主振型