弹性体的一维振动_图文

由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在 物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度 是相似的。
Mechanical and Structural Vibration
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
频率方程 相应于固有频率pi的主振型为
x=l处杆的抗压刚度
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
讨论两个极端的情况
当i = j 时，式总能成立，令
为第j阶主质量
第j阶主刚度 关系 Kpj与Mpj的大小取决于第j阶主振动中常数的选择
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6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
与多自由度系统相似，可将主振型函数Uj进行标准化。如 果主振型中的常数按下列归一化条件确定
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6.1 杆的纵向振动
2. 杆的左端固定，右端自由的情况 边界条件为
6.1.2固有频率和主振型
即为一端固定，一端自由杆的频率方程。 解出固有频率为 相应的主振型为
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杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
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就是杆的主振型关于质量的正交性。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
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上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
振型函数
代入
振动规律
杆有无穷多个自由度系统，振型 不再是折线而变成一条连续曲线。
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下 ，求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问 题。p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固 有频率。
杆的初始条件为
杆的固有频率及主振型为
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
杆的固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得
得到正则振型为
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性。
因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的
质量密度、横截面积等都可以是x的函数。因此可写出杆的纵向
振动微分方程式为
将杆的主振动的表达式
代入
取特征值问题的两个解 代入
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可表示为 由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.2 杆对任意激励的响应
写出第i个以正则坐标表示的响应为。 将形如上式的各个正则坐标表示的响应代入,便得到杆的初始 条件下对任意激励的响应为
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为 ，横截 面积为A，材料的弹性模量为E,如图所示。
设杆在纵向分布力q(x,t)的作用下作纵向振动时，其横截 面保持为平面，并且不计横向变形。
以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx
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得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应 得到杆对初始条件的总响应
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
例6-3 一端固定，一端自由的等直杆，长为l。自由端受到轴向 常拉力P的。设在t=0时突然去掉此力，求杆的纵向自由振动。 解：根据题意，t=0时杆内的应变为
例6-1 一均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为 ，横 截面积为A，材料的弹性模量为E。其一端固定，另一端连接弹 簧常数为k的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型。
解：杆的端部连接弹簧或带有 集中质量时，称复杂边界条件。
杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用kU(l) 之力。 因此，边界条件为
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
与有限多自由度系统一样，在对杆进行的纵向自由振动分析的 基础上，可以用振型叠加法求解杆对纵向任意激励的响应。 杆的自由振动微分方程
假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正 则振型。
6.2.1 杆对初始条件的响应
得到正则坐标表示的初始条件为
得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应 于是杆的自由振动为
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令x=l，其中
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
，得杆的自由端的自由振动
若将t=0代入上式，可得初始时自由端的位移。
6.1 杆的纵向振动
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
6.1.2固有频率和主振型
即为两端自由杆的频率方程。 解出固有频率为 相应的主振型为 当p = 0时，对应了杆的刚体振型。
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
6.1.1等直杆的纵向振动
EA是常数，可写成
这是杆作纵向受迫振动方程， 常称为波动方程。
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表示弹性波 沿杆的纵向 传播的速度
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
得到杆的纵向自由振动微分方程为
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假 设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有点 都做简谐运动。
当
时，相当于固定端，有
,即
则频率方程为
相应的主振型为
若 ，相当于自由端，即
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-2 与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
设杆的初始条件为
正则坐标变换
乘以 沿x杆长对积分，得
将正交性和归一化条件代入
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx，其左端纵向 位移为u(x)，而右端即杆上x+dx处的纵向位移为
dx段的变形为
应变为
应力为 N是x处轴的内力
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6.1 杆的纵向振动
微元段dx受力如图。根据牛顿 第二定律得到
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
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第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
则得到的主振型 称为正则振型， 这时相应的第j阶主刚度
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第6章 弹性体的一维振动
6.2 杆的纵向受迫振动
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6.2 杆的纵向受迫振动 6.2.1 杆对初始条件的响应 6.2.2 杆对任意激励的响应
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
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第6章 弹性体的一维振动
目录
6.1 杆的纵向振动 6.2 杆的纵向受迫振动 6.3 梁的横向自由振动 6.4 梁的横向受迫振动
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第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
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乘以 乘以
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
分别沿杆长l对x积分，得
再利用分部积分，可将式中左边积分为
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6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
等于零 杆端简单边界条件总可以写成 1. 固定端 2. 自由端
相减，得
1. 杆两端固定的情况 边界条件为
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
相应的主振型为
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
分别令i =1,2,3，可得系统的前三阶 固有频率和相应的主振型为
杆的前三阶主振型表示如图所示。
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
三角函数的正交性
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6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.2 杆对任意激励的响应
受迫振动微分方程
通乘以 并沿杆长l积分
利用正交性及归一化的条件
这就是在激励q(x,t)作用下按正则坐标表示的杆的受迫振动的 运动微分方程。
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动 6.1.2固有频率和主振型 6.1.3主振型的正交性
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6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。
同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。
得频率方程
对于 ，可以取
则得到
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
的情况， 将很小，即杆的质量远小于集中质量时
对于基频情况，有
其中 是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不 计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。
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解：此系统仍属于复杂边界条件问题。
当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力
因此杆的边界条件为
得到C = 0
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6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
无量纲因子 相应的主振型为
质量比
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