第六章弹性体的一维振动

其中：m为单位长度钢丝的质量．c S m,为横向波的速度．
§3.2 斜拉索大桥索力测试分析系统框图与原理
一． 斜拉大桥索力测试分析系统框图 测试分析系统一般由传感器、二次仪表、接口箱、A/D 板、微机、打印机和 DASJ
动态信号分析软件包组成，其连接框图如图 3-2。
通过传感器拾取振动的加速度，由二次仪表（电荷放大器）放大，进行低通 抗混滤波，再作 A/D 变换后运用 DASJ 信号分析系统分析，最后由打印机输出结 果。 一． 索力测试的理论依据7
设
2 ,U
''
(x)
2
a2
U
(x)
0
T(t) 2T (t) 0
两式解得 :U (x)
B1
sin
a
x
B2
cos
a
x
T (t) b sin( t )
得到主振动 :
u(x,
t)
(B1 sin
a
x
B2
cos
a
x)b sin( t
)
U (x)为主振型,为固有频率
0即 0时 : U (x) c
T (t) at b
主振动为 :
u(x,t) U (x)T (t) c(at b)
杆的一般形式为: u(x ,t) U (x)b sin( t )
确定简单边界条件下杆的固有频率和主振型
(a) 两端固定
Байду номын сангаас
将边界条件代入,得到 :
B2
0,
B1
sin
a
l
0
即: sin l 0,
a
为频率方程
第六章 弹性体的一维振动
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
一维波动方程 杆的纵向固有振动 杆的纵向强迫振动 端点带有集中质量或弹簧的杆 梁的横向固有振动 梁的横向强迫振动 固有频率的变分式
第六章 弹性体的一维振动
6.8 复杂边界的梁的固有振动 6.9 轴向力,转动惯量及剪切变形的影响 6.10 梁横向振动的近似解法
x
i 1,2
(c) 两端自由
将边界条件代入, 得到 :
B1
0,
a
B2
sin
a
l
0
即: sin l 0,
aa
为频率方程
解得 :
索的边界条件为两端固定时，上述微分方程的解为
4WL 2 n2g
•
fn2
由上式可知，只要测知f1 或 f 2 ，便可计算出索力。 在本文中，索力的计算采用公式
K 4WL2 f n 2 n2g
把重量W mg 代入上式，得
式中
K 4mL2 n2
fn2
T----索的拉力
m---线密度（索单位长度的质量）
为单位体积杆的质量，A是杆的横截面积，
E是材料的弹性模量，N是截面的内力。
微段的应变为
u
u x
dx
u
u
dx
x
横截面上的内力为N EA EA u
x
由达朗原理得
2u Adx
EA u
px,t
t 2 x x
对等直杆, 有 2u a2 2u 1 px, t
t 2
x2 A
其中a E ,是杆的纵向传播速度.
为单位体积杆的质量, A是杆的横截面积, E是材料的弹性模量, N是截面的内力.
微段的应变为: u u x dx u u
dx
x
横截面上的内力为: N EA EA u x
由达朗原理得 :
Adx
2u t 2
x
EA u x
px, t
对等直杆,有 :
2u t 2
a2
2u x2
1 A
斜拉索就如同一根拉紧的弦，它的自振频率与拉索索力间有着确定的函数关 系，可用动力平衡微分方程表示。当忽略弯曲刚度时，可表示为
W • 2y 2y 0 g t 2 x2 式中 y----垂直于索长度方向的横向坐标； x----纵向坐标； W----索单位长度的重量； g----重力加速度； T----索的拉力； t----时间。
px, t
其中: a E ,是杆的纵向传播速度.
6.2 杆的纵向固有振动
1.固有频率和主振型
杆的纵向自由振动方程 :
2u t 2
a2
2u x 2
设:
ux,t U xT t
T t 是运动规律的时间函数,U x是杆上距原点x出截面的纵向振动幅值.
记T
d 2T dt 2
,得:
Tt T t
a2
第六章 弹性体的一维振动
实际的振动系统都是弹性体，他们具有 连续分布的质量和弹性，叫连续系统或分布 参数系统。实际的复杂弹性体需要通过离散 花边为有限多自自由度系统以求得振动的近 似解较为通用的离散化方法是有限元素法。
1.1一维波动方程
1.弦的横向振动方程
dx
2 y t 2
T0
x
dx
T0
pdx
令 a T0 y ,得 :
x
2 y t 2
a2
2 y x2
1
px, t ,
为弦的横向强迫振动方
程.
a表示弹性横波的纵向传 播速度.
张拉着的钢丝的横向振动 如图：
此振动平衡条件为:
S
y x
2 y x2
dx
S
y x
mdx
2 y t 2
0
运动微分方程为： 2 y x2
1 c2
2 y t 2
解得 :
i
ia
l
i 1,2,
主振型为 :
Ui (x)
Bi sin
i
l
x
i 1,2
(b) 一端固定一端自由
将边界条件代入,得到 :
B2
0, a
B1
cos
a
l
0
即: cos l 0, a
为频率方程
解得 :
i
( 2i
1)a 2l
i 1,2,
主振型为 :
Ui (x)
Bi
sin
(2i 1) 2l
L----缆索的长度
n----频率阶数；
f n ---第 n 阶自振频率
单位：N； 单位：Kg/m； 单位：m；
单位：Hz；
K----修正系数。
.C1’索索力分析 C1’索的加速度波形及频谱图见图 4-2-3
7.153Hz，代入公式 K 4mL2 n2
f n 2 ，计算得 T=1731.6KN。
U '' x U x
得:
U
'' x
a2
U
x
0
Tt T t 0
右端固定,有 : ux, t U lT t 0 xl
右端自由,有 : EA u EAU 'lT t 0
x xl
两端固定 :U 0 0,U (l) 0
等直杆的简单边界条件 : 一段固定 :U (0) 0,U ' (0) 0 两端自由:U ' (0) 0,U ' (l) 0
2．C5 索索力从图中可以看出，相邻谐次频率差为 2.383Hz，第 3 谐频率为
7.148Hz，其细化精确频率为
C5 索的加速度波形及其幅频谱图如图 4-2-4
第
7
谐细化精确频率为
9.711Hz ， 代 入 公 式 K 4mL2 n2
fn2 ，解得索力
T=2038.4KN。
2.圆截面等直杆的扭转振动方程