第三章 弹性体的振动
§3.1 弦的振动
3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程
在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。因而，它们的解法也不完全一样。除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。
弹性体按其构型可分为：
（1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。
（2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。 （3）三维构型，三向尺寸相当。它是各类实体结构。
最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。受常张力作用的弦是一种一维弹性体。从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于
x T dx ),(t x w e df dx x
w T df x
e 2
2??=
（3.1）
图3.1 弦的横向振动
设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是
m dx t w m
df y 2
2???= （3.2）
·1·
根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是
02
22
2=+?????f t w m
x w T x
（3.3）
其中是作用在弦上的横向分布载荷。 ),(t x f
3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程
弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能
i U dx x
w x w T U x L
i ????=
∫210
（3.4）
（2）弦的动能T
dx t
w t w m T L
????=
∫210
（3.5）
（3）弦的外力功
e W L
L
L
x
L
e w fwdx w x
w T fwdx W 00
00
||τ+=??+=
∫∫
（3.6）
其中τ=??x
w
T x
是张力的垂直分量。弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t
)(0
+?=
∫
由哈密尔登作用量原理给出
0}|]2121[{00
=++?????????=∫∫∫dt w dx fw x
w x w T t w t w m
Ldt L
x L
t t τδδ （3.7）
上式给出能量泛函的极值条件。经过变分运算可推出基本方程和自然边界条件。动能作用量的变分等于
dx w t
w
m
wdx t w m
dxdt x
w
t w m t t
L t L
}|{)(02
20
000
δδδ??+???=????∫∫∫∫ 和位能作用量的变分等于
dt w t
w T wdx x w T dxdt x
w
x w T L
x
x
L
t
x t L
}|{020
000δδ??+???
=????∫∫∫∫ 于是，代入哈密尔顿作用量变分原理得
||)(}{0000222200
=??+???++?????∫∫∫∫
dx w t
w m dt w x w T wdxdt f t w m x w T t L L
x t x t L
δδτδ
（3.8）
·2·
最后，推出弦振动方程是
02
22
2=+?????f t w m
x w T x
（3.9）
自然边界条件（0=x 和L x =）
0=???x
w
T x
τ （3.10）
自然时端条件（和）
0=t t t =0=??t
w
（3.11）
它给出了弦振动方程的完整结果。
弦振动的一个基本问题是的情况下的自由振动，将给出弦振动的基本特性。另一个基本问题是0=f 0≠f 的情况下的强迫振动，给出各类激励下的弦振动。下面来讨论它们的解法。
3.1.3 弦振动方程的基本解法之一：分离变量法
均匀弦自由振动（）的基本方程是一个双曲线性型的齐次偏微分方程
0=f 02
22
2=?????t w m
x w T x
（3.12）
它的最基本的解法是分离变量法，见1.6.3(1)。方程的解可以表示为
)()(),(t T x X t x w =
（3.13）
将式（3.13）代入基本方程（3.12），得
2
2
222)(1)(1k t T t T T m x X x X x ?
=??=?? 这里m 和T x 取常值，方程左、右两端分别各为x 和t 的函数。由于等式成立，它们只能等于常
数值，设为－k 2
。由此给出两个常微分方程
0)(22
2=+??x X k x X
（3.14）
0)(222=+??t T m
T k t T x
（3.15）
设
x
x
T m
k m
T k 2
22
2ωω==或
（3.16）
则得方程的解为：
·3·
（1）时间域内的解T （t ）。由方程（3.15）给出它的基本解为
t b t a t T ωωcos sin )(+=
（3.17）
说明弦的自由振动是以频率ω的简谐振动为其基本解，其中a 和b 是积分常数，由初始条件决定。
（2）空间域内的解X （x ）。由齐次方程（3.14）给出它的通解为
jkx jkx e C e C x X ?+=21)(
（3.18）
其中1?=j ，C 1和C 2是积分常数，由它的定解条件，即边界条件决定。以两端固定的弦为例，其齐次边界条件是
,0)0(=X 0)(=L X
（3.19）
这类问题构成为一个特征值问题。它只是在k 2
取某些值时，才存在有非零解，这时的k 2
值称为特征值，对应的解X (x )称为特征函数。将边界条件（3.19）式代入通解（3.18），得
)(0)0(2121=+==+=?jkL jkL e C e C L X C C X
非零解的存在条件是它的系数行列式为零，得特征方程
0sin 2==??kL e e jkL jkL
（3.20）
则解得特征值为
L
n k n π
=
（3.21）
和相应的特征函数为
)sin(
)(L
x
n x X n π= （3.22）
其中n 为正整数，n =1，2，…，表示振动各阶模态的阶数。
由此给出，弦振动特性是：
（1）弦的第n 阶模态的振动频率。它是
m
T L n x
n πω=
（3.23）
最低阶频率为（n =1）
m
T L x
π
ω=
1
（3.24）
它与弦长L 和弦长度密度m 的平方根成反比，与弦张力T x 的平方根成正比。
（2）弦的振型函数。它是
)sin(
)(L
x
n x X n π= （3.25）
·4·
呈正弦波形状，一阶振型为半个正弦波。它给出了弦的振动形态，但并不具体地确定振动幅值的大小，故称之为振动模态。
（3）弦的自由振动。它由（3.13）式给出的解是
)sin(
)cos sin ()()(L
x
n t b t a t T x X w n n n n n n n πωω+== 于是，它的通解为
)sin(
)cos sin (),(1
L
x
n t b t a t x w n n n n n πωω+=
∑
∞
= （3.26）
其中积分常数a n 、b n 由初始条件确定。设初始条件是
)()
0,(,
)()0,(x t
x w x x w ψ?=??= 一般情况下，弦的自由振动可由各阶模态的迭加给出。
（4）弦振动的能量E 是它的位能U i 和动能T 的和。第n 阶模态的能量为
L m b a dx t w t w m dx x
w x w T E n n n n n L
n n x L
n 2
220
)(4
12121ω+=????+????=
∫∫ （3.27） 能量E n 与其长度L 、密度m 和频率平方成正比，还与模态振幅的平方成正比。
2
n ω（5）综上所述，弦的振动频率和振动模态（振型函数）X n ωn 决定了弦振动的特性，称之为模态特性。有关振动模态理论的深入分析将在后面的章节里专门讨论。从波动观点来看，弦以某阶模态振动时显示为一种稳定的振动形态称之为驻波。它有固定不动的节点和始终保持为极大的波幅。从声学观点来看，弦振动的频率决定声调，振幅决定声强。一般弦的振动是各阶模态的综合。它的最低阶频率（基频）给出最低音，称为基音。同时有倍频给出的泛音，决定了音质。
3.1.4 弦振动方程的基本解法之二：波传播法
弦振动方程的另一基本解法是波传播法，见1.6.3(3)。将弦振动方程（3.12）改写为
02
220
2
2=???
??x w c t w
（3.28）
这是一维波动方程，其中c 0是波的传播速度
m
T c x
=
20 （3.29）
引入新变量
t c x t c x 00,
?=+=ηξ
（3.30）
则方程（3.28）变换为
·5·
02=???η
ξw
它的一般解为
)()()()(020121t c x f t c x f f f w ?++===ηξ
（3.31）
解（3.31）必须满足初始条件
)()
0,(,
)
()0,(x t
x w x x w ψ?=??= （3.32）
和边界条件
)(),(,)
(),0(21t t L w t t w μμ==
（3.33）
根据初始条件（3.32），得
da a c t c x t c x t x w t
c x t c x )(21
)]()([21),(00
00ψ??∫+?+
?++=
设
da a c a Ψ)(1)(0
ψ∫=
（3.34）
则
)]()([2
1
)]()([21),(0000t c x Ψt c x Ψt c x t c x t x w ??++?++=??
（3.35）
它还必须满足边界条件（3.33）。
弦的波动特性分析如下：
（1）对于无限长的弦。它不需考虑边界条件，可由一般解（3.35）给出，初始位移和
初始速度形成分别向正向和负向传播的波，它的波速等于c 0，构成为行波。
（2）对于半无限长的弦（x ≥0）。若一端固定w （0，t ）=0，可将初始条件奇延拓为无限长情况。若一端自由
0)
,0(=dt
t dw ，可将初始条件偶延拓为无限长情况。这种假想的延拓反映了边界上波的以射。对于固定端的反射则是当波向负向传播到固定端后变更符号以同样速度向正向传播。
（3）对于有限长的弦（0≤x ≤L ）。若是两端固定的弦w （0，t ）= w （L ，t ）=0，则将初始条件延拓为对x =0和x =L 都是奇函数，即
)
2()(,)()()
2()(,)()(x L x x x x L x x x ??=??=??=??=ψψψψ????
这就是说，将初始条件以原点为奇函数作2L 为周期的周期延拓到无限长弦上。于是，形成波的来回反射，弦产生周期运动。弦的振动周期是
2c L
T =
（3.36）
·6·
和弦的振动频率是
L
c 0
πω=
（3.37）
弦的振动形态是由波往复反射迭加趋于稳态而形成的。
（4）对于零初始条件，受到边界扰动w (0,t )=μ(t )的弦。若是半无限长的弦，它的解为
)(),(0
c x t t x w ?
=μ 这里当t <0时，μ(t )=0。它使端点的扰动以波的形式传播出去。
（5）弦传播的波是在正、负向传播过程中保持着自己的形状不变，不失真地进行传播，不发生波的弥散现象。
3.1.5 弦振动方程的基本解法之三：拉氏变换法
弹性体振动是在时空域内发生，在时间域作拉氏变换可转换为空间域问题。这又一种基本解法，见1.6.3（2）节。弦振动方程（3.3）经拉氏变换后，其基本方程为
0)0,(1)0,(20
2020
2
2
2=??+++
?t x w c c x w s T f c w
s dx
w d x （3.38）
和边界条件为
)(),(,
)
(),0(21s s L w s s w μμ==
（3.39）
其中s 为拉氏变量，用斜体表示拉氏变换。
对无横向激励（f =0）和零初始条件的情况，方程（3.38）的齐次解为
)exp()exp(
),(00
c sx B c sx
A s x w ?+=
（3.40）
现讨论两种情况的解：
（1）两端固定的情况。其边界条件为
0),(),0(==s L w s w
（3.41）
则得
0exp()exp(
0=?+=+c sL B c sL A B A
则非零解的存在条件为
0exp()exp(
0=??c sL
c sL （3.42）
·7·
方程有非零解时拉氏变量取下列特定值
L
c jn
s n 0
π= （3.43）
这就是固定弦振动的特征值，其中n 为其阶数。
（2）一端受扰动w (0,t )= μ(t )激励，另一端固定w (L ,t )=0的情况。其边界条件为
0),(,)
(),0(==s L w s s w μ （3.44）
则在拉氏域的解为
)
2exp(1)exp()2exp()exp()
(),(0
00c sL
c sx c sL c sx s s x w ???+?
=μ
]
)1(2[(exp()()2(exp()({0
00
c x L n s s c x nL s s n ++??+?
=
∑
∞
=μμ 经拉氏逆变换，得时间域的解为
)1(2()2({),(0
00
c x L n t c x nL t t x w n ++?++?
=
∑
∞
=μμ （3.45）
这个解反映了一端扰动的传播波和另一端的反射波往复迭加的过程。
拉氏变换法是一种常用的解法。它能适用于各种动力学情况，困难在于拉氏逆变换的
运算。
3.1.6 弹性杆的轴向振动
弹性杆是一种简单的弹性体（图3.2）。它是承受轴向载荷的拉压构件，只产生轴向位移u (x , t )，它的轴向线应变是
t
u
??=
1ε （3.46）
根据杆弹性性质所满足的虎克定律，它的轴向拉压正应力为
11εσE =
（3.47）
其中E 为杆的弹性模量。假设杆横截面上的位移相等，应力相等，则横截面上的拉压力等于
x
u
EA
N ??= （3.48）
·8·
图3.2 弹性杆轴向振动
其中A 为杆的横截面面积。取微分长度dx 的杆元，根据动力学基本定律给出杆轴向振动基本方程为
f x
u
EA x t
u A
=?????
??)(2
2ρ （3.49）
其中ρ为杆的质量密度，f 为杆所承受的分布轴向外载荷。
弹性杆的应变能力
dx x
u x u EA dV U L
L
i ????==
∫∫212
1
110
εσ （3.50）
弹性杆的动能为
dx t
u
t u A T L
????=
∫ρ210
（3.51）
和弹性杆的外力功
L L
e u N fudx W 00
|+=
∫
（3.52）
其中),0t N 和),(t L N 是弹性杆两端的轴向力。
弹性杆的拉格朗日函数是
L
L u N dx fu x
u x u EA t u t u A L 00|}2121{++?????????=∫
σ
根据哈密尔顿作用量原理，经变分运算可推出相同的基本方程（3.49），以及在x =0和
x =L 边界上的自然边界条件
0=???N x
u
EA
（3.53）
·9·
综合以上的结果，弹性杆轴向振动问题是个初边值问题，它的基本方程及其定解条件与弦振动完全一样，可以采用上述的各种解法求解。弹性杆的振动与弦振动有完全相似的结果。
3.1.7 弹性轴的扭转振动
弹性圆轴是又一种简单弹性体（图3.3）。它是承受扭矩作用的扭转构件，只产生有扭转角),(t x ?，由此产生的角应变为
x
??=
?
γ （3.54）
图3.3 弹性轴扭转振动
弹性圆轴的剪应力为
λτGr = （3.55）
其中G 为轴的剪切模量，r 是到轴心的距离。假设轴的横截面是刚性的，横截面上的扭矩等于
x
GJ M A
z ??=?
（3.56）
其中J A 为轴横截面的极惯性矩。取微分长度dx 的轴元，圆轴扭转振动基本方程是
F A M
M x
GJ x x
J =?????
??)(2
2??ρ （3.57）
其中ρ为轴的质量密度，J M 为轴横截面的转动惯量，M F 为轴所承受的分布外扭矩。它给出了
与弹性杆轴向振动完全相似的结果。
§3.2 弹性梁的振动
3.2.1 伯努里—欧拉（Bernoulli—Euler）梁振动的基本方程
·10·
伯努里—欧拉梁（3.4）是建立在纯弯曲变形假设基础之上，它的基本假设是： （1）梁各剖面的形心、质心、刚心与轴线相重合，构成的梁中性线是一条直线。梁的弯曲变形发生在它的主平面Oxz 内，梁作平面弯曲。中性线在平面弯曲时形成中性层。 （2）梁发生弯曲变形时，垂直于中性线的横剖面在变形后仍垂直于挠曲的中性线，这就是平剖面假设。
（3）梁内平行于中性线的截面所产生的正应力z σ很小，可忽略不计。 （4）梁的惯性主要地由平动质量提供，其转动惯量甚小，可忽略不计。
图3.4 伯努里—欧拉梁
梁在主平面内的平面弯曲位移是挠度w (x ,t )。根据平剖面假设，横剖面将发生偏转，其转角为
x
???
=ω
θ （3.58）
在任一层上的轴向位移是
x
w
z
z u ???==θ （3.59）
相应的轴向线应变是
2
2x
z
x ???=ωε （3.60）
其中z 是该层离中性层的距离。
弹性梁满足虎克定律，横剖面在该层上产生的正应力为
2
2x
Ez
x ???=ωσ （3.61）
由于形心位于中性层，其横剖面上正应力的合力为零，合力矩形成为一个弯矩，它为
·11·
2
2x EJ M y
???=ω （3.62）
其中E 为梁的弹性模量，J y 为梁横截面对中性轴的惯性矩。
图3.5 梁元的作用力
现取长为dx 的微元（图3.5），由于忽略了转动惯量，其力矩方程给出剪力公式
)(22x
EJ x Q y ?????=ω
（3.63）
于得，伯努里—欧拉梁振动的基本方程为
q x
EJ x
t
A
y
=????+
??)(2
22
22
2ωωρ （3.64）
其中ρ是质量密度，A 是梁横截面面积，q 是梁所承受的横向分布载荷。这是时空域内的偏
微分方程，归结为初边值问题。它的定解条件是：
（1）在x =0和x =L 处的边界条件
)()()
(),(2t Q x
w
EJ x t w t x w y =?????=或
（3.65）
和
))()
,(2
2t M x
w EJ t x
t x w y
=???=??或
θ （3.66）
其中)(),(),(),(t Q t M t t w θ是给定的边界函数。
（2）在t =0时的初始条件
)()
()0,(00x v t
w
x w x w =??=和
（3.67）
·12·
其中w 0(x ), v 0(x )是给定的初始函数。
伯努里—欧拉梁的应变能是
dx x w x w EJ dV U y L
V
i 2
22
20
1121
2
1
????==
∫∫εσ （3.68）
它的动能是
dx t
w
t w A T L
????=
∫ρ210
（3.69）
和外力功是
L
L
e w Q x
w M
dx qw W 00
|)(+??+=
∫ （3.70）
根据能量变分原理可推出基本方程（3.64）和自然边界条件（3.65）和（3.66）的右边等式。
3.2.2 伯努里—欧拉梁振动的解法之一——分离变量法
伯努里—欧拉等剖面梁无外激励（q =0）情况的基本方程是
04
42
2=??+??x
EJ t
A
y
ωωρ （3.71）
应用分离变量法，设其解为
)()(),(t T x W t x w =
（3.72）
代入方程（3.71），得
2222211ωρ=?=??dt
T
d T x W W A EJ y （3.73）
由于等式左、右端分别为x 、t 的函数，故它只能为常值，设为。于是，得确定W （x ）,T
(t )的两个常微分方程。
2ω（1）确定T (t )的常微分方程
022
2=+T dt T d ω
（3.74）
则方程的解为
t c t c t T ωωcos sin )(21+=
（3.75）
梁作简谐振动，ω为其振动频率，积分常数和由初始条件决定。
（2）确定W (t )的常微分方程
044
4=???W k x
W
（3.76）
·13·
其中
y
EJ A
k ρω2
4= （3.77）
方程的解为
kx
d kx c kx b kx a D
e Ce Be Ae x W jkx
jkx kx kx cosh sinh cos sin )(+++=+++=??
（3.78）
其中A ，B ，C ，D 或a ，b ，c ，d 是积分常数，由边界条件决定。
齐次方程（3.76）的求解首先归结为一个特征值问题。它只是在k 4
取某特定值时，方程才有非零解，称之为特征值。相应的解W （x ）称为特征函数。
对于两端铰支的梁，在x =0和x =L 处的边界条件为：
0,
02
2=???==x W EJ M W y
则得特征行列式是
0cosh sinh cos sin 1
1
cosh sinh cos sin 1010=???kL
kL kL kL kL
kL kL kL
由此给出特征方程是
0sin =kL
解得特征值
4
442
AL
EJ n L
n k y
n
n ρπωπ==
或
和特征函数
L
x
n x W n πsin
)(=
3.2.3 伯努里—欧拉梁振动的解法之二——波传播法
当伯努里—欧拉梁受到初始扰动，它与弹性弦的情况不同，梁内产生简谐波列的传播将是有条件的。现将简谐波列表示为
])(cos[)](exp[~ψωω
ω+?=?=ct x k ct x jk A
A
（3.79） 其中A ω~是波列的复幅，)()(ct x k k ?=?为相位角。A
ω是其幅值，ψ是其初相位。k 是单位长度内的波数，k
π
λ2=
是波长。c 是波的传播速度，又称为相速（相位角的速度）。 ·14·
将简谐波列（3.79）代入方程（3.71），得
A
EJ A
EJ k
c y
y
ρλπ
ρ2=
= （3.80）
这说明简谐波列存在的条件是波速c 必须满足上列条件（3.80）。它不仅取决于梁的性能参数E ，J y ，ρ，A ，而且与波长λ有关，不同的波长有不同的波速。由于波速取决于波长，这意味着不同的简谐波列将以不同波速行进，从而导致原始波形失真，称之为波的弥散。它不同于弦的振动，弦的波速与波长无关，不弥散。这样波速的概念就变得模糊了。
若梁内传播的是两个单位波幅的不同简谐波列
)(cos )(cos 2211t c x k t c x k w ?+?=
（3.81）
当这两个简谐波列的波长只有很小的差异时，略去高阶小量后，它们的合成波形为
)(cos ]})([2cos{
211t c x k k
t kc x k w ?ΔΔ?Δ= （3.82）
其中。这就是熟知的“拍”。它是由一个波长为112212)(,c k c k kc k k k ?=Δ?=Δk
Δπ
4的慢变的波幅函数包络（或调制）波长为
1
2k π
的快变分量。拍是以速度为k kc ΔΔ传播，取极限得
λ
λd dc
c dk kc
d c g ?==
)(
（3.83）
称之为群速。对于伯努里—欧拉梁来说，将（3.80）式代入，得c g =2c 。这时波是以群速传
播的。
按傅里叶理论，任意一个函数可展开为傅里叶积分。梁的振动可以表示为简谐波列的积分
dk ct x jk k A t x w )](exp[)(21),(?=
∫∞
∞?π
（3.84）
现设扰动发生在一个窄带内，即 εε+≤≤?00k k k
（3.85）
A (k )在这个窄带以外的值可忽略不计。将相位角按泰勒级数展开
"+????+?=?=t k c dk
d
k k t k c x k k t k c x k ct x k k g g )}]({[)(21]
)()[(])([)()(0200000?
（3.86）
设c (k 0)=c 0，并将它们代入付里叶展开式（3.84），略去高阶小量后得
)](exp(),(),(00t c x jk t x a t x w ?=
（3.87）
它是由一个慢变的波幅函数a （x ,t ）包络（或调制）波长为
2k π
的快变简谐波列。它的波
·15·
幅函数为
dk t k c x k k j k A t x a g k k }])(){(exp[)(21
),(0000
??=
∫+?ε
επ
（3.88）
它是以群速c g (k 0)的速度传播。
简谐波列单位长度所传播的平均能量是
2422220
21
])(21)(21[20A y y k B w k EJ dx x w A x
w EJ k E =??+??=
∫
ρπ
π
（3.89）
梁内传播的平均能量与位置x 和时间t 无关，从平均意义上讲一个剖面输入能量等于另一
个剖面输出的能量。
梁内能量传输（能量流）是由剖面上的弯矩和剪力所作的功率给出。一个周期内平均能量流为
B g A g y y T
B E c w c k EJ dt t
w x w t x w x w EJ T
S ==????+?????=
∫24332220
21)(1
（3.90）
能量流是正比于群速，等于群速乘以能量。
3.2.4 铁木辛柯（Timoshenko）梁振动的基本方程
伯努里—欧拉梁忽略了梁的剪切变形，对一般细长梁才能适用这种假设。铁木辛柯梁
（图3.6）计入剪切效应，它将伯努里—欧拉梁的第二个基本假设改变为：梁发生弯曲变形时，垂直于中性线的横剖面在变形后保持为一个平面，但不垂直于中性轴。这时转角θ不仅与挠曲线斜率
dx
dw
有关，同时与剪切变形γ有关。放弃第四个假设，考虑转动惯量的作用。 铁木辛柯梁的位移有二个独立分量：挠度w （x ,t ）和转角θ（x ,t ）。相应的应变分量有：轴向线应变
x
z
x ???=θ
ε （3.91）
和平均剪应变
θγ???=
x
w
（3.92）
其中z 是离中性层的距离。
·16·
图3.6 铁木辛柯梁
根据虎克定律，它的轴向正应力是
x
Ez
x ???=θ
σ （3.93）
梁剖面上的内力有：弯矩
x
EJ M y
??=θ
（3.94）
和剪力
)(
θγ???==x
w
GA GA Q s s （3.95）
其中E 和G 分别为梁的弹性模量和剪切模量，J y 和A s 分别为横剖面对中性轴的面积惯性矩和剪切面积。
于是，铁木辛柯梁振动的基本方程是
q x
w GA x t w A s =????????)]([2
2θρ （3.96a） m x
w GA x EJ x t
J
s y =?????????
??)()(2
2θθθ
ρ
（3.96b）
其中ρ是梁的质量密度，
ρJ 是单位长度梁对惯性主轴的转动惯量，若质量与面积分布相同，则J =J y ，m =m (x ,t )是作用于梁上的分布外力矩。
对于等剖面的梁，消去转角θ，得挠度w 的四阶偏微分方程
x
m EJ x q GA t q GA EJ J EJ q t w
EJ J t w EJ J GA A t x w EJ J
GA A
x
w y s s y y y y s y s
???
?????+=
??+??+???+
???11)(22
22
2
2442244
4ρρρρρρ
（3.97）
它的定解条件是：
·17·
（1）在x =0和x =L 处的边界条件是
))(
)
(t Q x
w
GA t w w s =???=θ或
（3.98）
和
)()(t M x
EJ t y
=??=θ
θθ或
（3.99）
（2）在t =0时的初始条件是
)()
(00x v t
w
t w w =??=或
（3.100）
其中)(),(),(),(t M t Q t t w θ和w 0(t ), v 0(t )都是给定的函数。
铁木辛柯梁的应变能为
dx x w GA x EJ U s y L
i ])()([21220
θθ
???+??=
∫ （3.101）
其动能为
dx t
J t w A T L
])()([21220
??+??=
∫θ
ρρ （3.102）
和外力功为
L
L
e w Q M dx x
m
qw W 00
|)(][++??+=
∫θθ （3.103）
它们同样地可应用能量变分原理来分析推导基本方程（3.96）和相应的自然边界条件。
3.2.5 铁木辛柯梁振动的解法
（1）拉氏变换法。
铁木辛柯梁振动基本方程（3.97）在无激励和零初始条件情况下，经拉氏变换后，得
0()11
(
222422222
4
4=+++?w EJ A s c c s dx w d c c s dx
w d y
S M S M
ρ （3.104）
其中c M 是弯曲波波速，c S 是剪切波波速，它们是
A
GA c J
EJ c s
S
y
M
ρρ==2
2,
（3.105）
设方程（3.104）的解为
rx m e W W =
代入方程（3.104），给出它的特征方程
·18·
0()1
1
(
2224
222
24=+++?y S M S M
EJ A
s c c s c c s r r ρ （3.106）
解得
y S
M S M EJ A s c c s c c s r ρ222242222
)11
(4)11(2??±
+= （3.107）
由它给出四个根：，则方程（3.104）的通解为
)(),(),(),(4321s r s r s r s r )exp()exp()exp()exp(4321x r D x r C x r B x r A W +++=
（3.108）
其中A ，B ，C ，D 是积分常数，由边界条件决定。然后，用拉氏逆变换可给出时间域内铁木
辛柯梁的自由振动解。
（2）波传播法。
对于无限长的梁，设其振动波形为简谐波列
)exp(sin )](exp[~jkct kx w ct x jk w w A
A ?=?= （3.109） )exp(cos 2
)(exp[~jkct kx ct x jk A A ?=+?=θπ
θθ
（3.110）
将它们代入方程（3.96）的齐次方程，即有f =0,m =0,得
0)(2222=??A S A S kc w c c k θ
（3.111） 0])
([2
2222=+?+?A S M A S c A
J c c k w kc θ
（3.112）
非零解存在的条件是其系数行列式等于零，得
0])[(2
22
2222
4=++
+?M S S M
S c c J
k A
c c c c
c
（3.113）
则解出
2
2222
2222222
)(41)(21M S S M S S M S c c J k A c c c J k A c c c c ?++±++=
（3.114）
或
222222222221
)11(41)11(21M
S M M S M M S M S c c J c k A c c J
c k A c c c c c ?+++++=
（3.115） 上述结果讨论如下：
（a）当剪切刚度GA s 很大时，有
01
2
=S
c ；并略去转动惯量，J =0；则可认为
01
2=M
c ，和
A
EJ A J c y
M ρ=
2，则由（3.115）式得伯努昊—欧拉梁的波速 ·19·
∞==
2221
c A
EJ c y
和
ρ
（3.116）
梁内的简谐波列以伯努里—欧拉梁的波速进行传播。
（b）当剪切刚度GA s 很小时，有，由（3.114）式得弯曲波波速
02
=S c 02
22
21==
=c J
EJ c c y
M 和
ρ
（3.117）
梁内的简谐波列以弯曲波波速进行传播。若J y =J ，则ρ
E
c M
=2
，弯曲波波速等于杆的纵波波
速。
（c）当弯曲刚度EJ y 远比剪切刚度GA s 小得多时，可设，则由（3.114）式给
出
2
2M S c c >>0)1(2
22
2
21=+
=c J
k A c c S 和
（3.118）
若
0→J
A
，梁内的简谐波列则以剪切波波速进行传播。 （d）在一般情况下，存在有两种不同的波形，以不同的波速进行传播。两个波速都与
波长k
π
λ2=有关，在传播中波形会失真，出现波的弥散现象。当波长很短，0→λ时，它
们分别为弯曲波和剪切波
2
22221S M
c c c c ==和
（3.119）
梁内的简谐波列以弯曲波和剪切波进行传播。
对于伯努里—欧拉梁的（3.116）式中波速c 2将趋于无穷，这不符合事实。也就是说，
在短波情况下必须考虑剪切作用。
§3.3 弹性薄膜的振动
3.3.1 弹性薄膜振动的基本方程
弹性薄膜振动是最简单的二维问题。弹性薄膜（图3.7）定义在一个平面内，它的边界是曲线或折线（不连续的曲线）。所谓薄膜是指它的厚度h 很薄，弯曲刚度很小，可以忽略不计。
·20·
结构化学试卷 班级姓名分数 一、选择题( 共11题15分) 1. 2 分(3251) 3251 下列哪一种说法是正确的？------------------------------------------------ ( ) (A) 略去离心变形，任何分子的转动谱项均可表示为BJ(J+1) (B) 根据非极性双原子分子的转动跃迁选律， J=0说明该分子的转动能级不能改 变 (C) 一双原子分子给定电子组态的振动能级是不等间隔的 2. 2 分(3239) 3239 运用刚性转子模型处理异核双原子分子纯转动光谱，一般需知几条谱线的ν~(J)，就可计算其核间距？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. 2 分(3182) 3182 红外光谱中的指纹区源于：---------------------------- ( ) (A) 分子中特征基团的振动 (B) 分子骨架振动 (C) 分子的所有简正振动 (D) 分子的转动 4. 2 分(3125) 3125 下列分子的UPS 与N2的UPS 十分相似的是：------------ ( ) (A) O2(B) (C) H2(D) CO 5. 1 分(3169) 3169 对于C-Cl 键振动光谱特征频率最大的是：---------------------------- ( ) 6. 1 分(3170) 3170 由下述实验方法可验证分子轨道能级顺序的是：---------------------------- ( ) (A) 红外光谱(B) 核磁共振(C) 质谱(D) 光电子能谱 7. 1 分(3167) 3167 下列分子转动光谱中出现谱线波长最长的是：---------------------------- ( )
第三章 机械振动与机械波自我测试题 一、选择题 1、谐振动是一种什么样的运动？ A 匀加速运动； B 匀减速运动； C 匀速运动； D 变加速运动。 2、下列振动中，哪个不是谐振动？ A 弹簧振子的振动； B 当摆角不大(<50)时的单摆的振动； C 位移方程满足x=sin(ωt+φ)的振动； D 拍皮球时皮球的振动。 3、一质点作上下方向的谐振动，设向上为正方向。当质点在平衡位置开始向上振动，则 初位相为： A 0； B 2π； C 2π-； D 3 π 4、当一物体系在一弹簧上作振动，振幅为A ，无阻尼，则： A 当位移是±A ，它的动能最大； B 在运动过程中它的总机械能有改变； C 在任一时刻其势能不变； D 当位移为零时它的势能为最小。 5、有一质量为4kg 的物体，连在一弹簧上，在垂直方向作简谐振动，振幅是1米。当物体上升到最高点时为自然长度。那么物体在最高点时的弹性势能、动能、重力势能之和为：(设弹簧伸到最长时重力势能为零，并取g= l0m/s 2) A 60J ； B 40J ； C 20J ； D 80J 。 6、某质点参与x 1=l0cos(πt -π/2)cm 及x 2=20cos(πt+π/2)cm 两个同方向的谐振动，则合成振动的振幅为： A 20cm ； B l0cm ； C 30cm ； D lcm 。 7、设某列波的波动方程为y=l0sin(10πt -x/100)cm ，在波线上x 等于一个波长处的点的位移方程为： A y= 10sin(10πt - 2π)； B y= l0sin10πt ；
C y= 20sin5πt ； D y= l0cos(l0πt - 2π). 8、已知波动方程为y=0.05sin(l 0πt-πx )cm ，时间单位为秒，当t=T/4时，波源振动速度V 应为： A V= 0.5π； B V=-0.5π2； C V= 0.5πcos10πt ； D V= 0。 9、已知一个lkg 的物体作周期为0.5s 的谐振动，它的能量为2π2J ，则其振幅为： A 2m ； B 0.5m ； C 0.25m ； D 0.2m 。 10、实际的平面简谐波在波线上某点的振动位移是由什么决定的？ A 时间和该点到波源的距离； B 时间及媒质的吸收系数； C 振源振幅、时间及该点到波源的距离； D 振源振幅、时间、媒质吸收系数及该点到波源的距离。 11、两相干波源的位相差为2π时，则在波相遇的某点的振幅： A 一定为两波源振幅之和； B 一定为两波源振幅之差； C 条件不够，不能确定； D 无衰减传播时则为两波源振幅之和。 12、两个初相相等的波源，分别由A 、B 两点向C 点无衰减的传播。波长为λ，AC= 2 5，BC=10λ，则C 点处的振动一定： A 加强； B 减弱； C 振幅为0； D 无法确定。 13、同一媒质中，两声波的声强级相差20dB ，则它们的声强之比为： A 20:1； B 100:1； C 2:1； D 40:1。 14、声压为80N/m 2，声阻抗为443.76kg/m.S 2的声强为： A 7.2J/m 2.s ； B 7.2J ； C 0.09J/m 2s ； D 0.18J/m 2S 。 15、低语时声强为10 -8 W/m 2，飞机发动机的噪声声强为10-1w/m 2，当其频率为1000Hz 时，则它们的声强级之差为： A 10-4d B ； B 150dB ； C ll0dB ； D 70dB 。 16、一个人说话的声强级为30dB ，那么10个人同时声强级说话时的声强级为： A 300d B ； B 3ldB ； C 40dB ； D 50dB 。
第三章红外光谱分析、原子吸收光谱、气相色谱练习题 一、选择题 1.在光学分析法中, 采用钨灯作光源的是（） A原子光谱 B分子光谱 C可见分子光谱 D红外光谱 2.双光束分光光度计与单光束分光光度计相比，其突出优点是 ( ) A 可以扩大波长的应用范围 B 可以采用快速响应的检测系统 C 可以抵消吸收池所带来的误差 D 可以抵消因光源的变化而产生的误差 3. 一种能作为色散型红外光谱仪色散元件的材料为 ( ) A 玻璃 B 石英 C 卤化物晶体 D 有机玻璃 4. 不是所有的分子振动形式其相应的红外谱带都能被观察到，这是因为 ( ) A 分子既有振动运动，又有转动运动，太复杂 B 分子中有些振动能量是简并的 C 因为分子中有 C、H、O 以外的原子存在 D 分子某些振动能量相互抵消了 5.水分子有几个红外谱带，波数最高的谱带对应于何种振动 ( ) A 2 个，不对称伸缩 B 4 个，弯曲 C 3 个，不对称伸缩 D 2 个，对称伸缩 6.能与气相色谱仪联用的红外光谱仪为 ( ) A 色散型红外分光光度计
B 双光束红外分光光度计 C 傅里叶变换红外分光光度计 D 快扫描红外分光光度计 7. 红外光谱法, 试样状态可以是 ( ) A 气体状态 B 固体状态 C 固体, 液体状态 D气体, 液体, 固体状态都可以 8.原子发射光谱的产生是由（） A.原子的次外层电子在不同能态问跃迁 B.原子的外层电子在不同能态间跃迁 C.原子外层电子的振动和转动 D.原子核的振动 9.原子吸收光谱法是一种成分分析方法, 可对六十多种金属和某些非金属元素进行定量测定, 它广泛用于( ) 的定量测定。 A.低含量元素 B.元素定性 C.高含量元素 D.极微量元素 10.原子吸收光谱分析中，乙炔是（） A. 燃气－助燃气 B. 载气 C. 燃气 D.助燃气 11.原子吸收光谱光源发出的是（） A. 单色光 B. 复合光 C. 白光 D. 可见光 12.在气相色谱分析中, 用于定性分析的参数是 ( ) A 保留值 B 峰面积 C 分离度 D 半峰宽 13.在一维气相色谱分析中, 用于定量分析的参数是 ( ) A 保留时间 B 保留体积 C 半峰宽 D 峰面积
如图所示扭转系统。设12122;t t I I k k == 1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵； 2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。 解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程： 111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ?++-=?? +-=??，即：1112122222122()0 t t t t t I k k k I k k θθθθθθ?++-=??-+=?? 所以：[][]12 21 2220,0t t t t t k k k I M K k k I +-?? ??==????-???? 系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ?????? +=????????? ? ………… (a) 或者采用能量法：系统的动能和势能分别为 θθ= +22112211 22T E I I θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111 ()()2222t t t t t t U k k k k k k
求偏导也可以得到[][],M K 由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -???? ==????-???? 2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ???? =????????，代入（a ）可得： [][]12 2()0u K M u ω?? -=???? ………… (b) 得到频率方程：22 12 1 2 1 12 22()0t t t t k I k k k I ωωω--= =-- 即：224 222 121() 240t t I k I k ωωω=-+= 解得：2 1 1,22 2 (22t k I ω±= = 所以：1ω= 2ω =………… (c) 将（c ）代入（b ）可得： 1 121 2 121112 2(22)22 20(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ?? ±--?? ????=????????--?? ??
2.4 晶格振动与声子 绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系 状态n ，原子实系统 感受到的 有效势场 ()()() N LL n V V E =+R R R ， 原子实间的库伦相互作用() LL V R + 依赖于核构型的电子能() n E R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为： ()()()()() 2 2 12I n LL S I I X E V X E X M ??-?++=??∑R R R R R （2.4-1） 2.4.1 简谐近似和正则振动模 上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。我们感兴趣的是：有效势有极小值（即具有稳定平衡构形），原子偏离平衡位置不太远的情形。 设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，采用周期性边界条件。 第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+， n R 和R α分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。 原子相对平衡位置的瞬时位移的直角坐标分量为()n i s t α （1,2,3i =）。 将有效势场() N V R 在平衡核构形{}0n R α=R 处作泰勒展开： ()() 201......2N N N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα''''''''' ?=++??∑R R （2.4-2） 取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的 简谐近似。可以证明，由这样的简谐势联系在一起的N υ个粒子构成
第三章 共价键和双原子分子的结构化学 1试计算当Na +和Cl -相距280pm 时，两离子间的静电引力和万有引力；并说明讨论化学键作用力时，万有引力可以忽略不计。 (已知万有引力 2 21r m m G F =，G=6.7*10-11N.m 2.kg -2; 静电引力2 21r q q K F =，K=9.0*109N.m 2.C -2) 解：已知Na 摩尔质量为 22.98977 g/mol Cl 摩尔质量为 35.453 g/mol )(10 *946.2) 10 *280() 10*602.1(10 *0.99 2 12 2 19 9 2 21N r q q K F ---=== )(10*9207.1) 10*022.6(*)10 *280(10 *453.35*10*98977.2210 *7.642 2 23 2 12 3 3 11 221N r m m G F -----=== 万有引力要比静电引力小得多，在讨论化学键作用时万有引力可以忽略不计 2、写出O 2.,O 2+,O 2-,O 22-的键级、键长长短次序及磁性 解： O 2的分子轨道及电子排布如下 4、试比较下列同核双原子：B 2,C 2,N 2,O 2,F 2的键级、键能和键长的大小关系，在相邻两个分子间填入“<”或“>”符号表示 解 键级：B 2(1)
第三章 晶格振动 参考答案 2011 3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21ββ>。 试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频 支，其格波频率为? ? ??????????????+-±+=212 21221212 )2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明： 第2n 个原子所受的力 1 21122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ 第2n+1个原子所受的力 n n n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++ 这两个原子的运动方程：
n n n n n n n n u u u u m u u u u m 221211221121 211222212)()(ββββββββ+++-=+++-=+++-+&&&& 方程的解 ? ???? ? +-+? ???? ? -==q a n t i n q a n t i n Be u Ae u 2)12(122)2(2ωω 代入到运动方程，可以得到 B A e e B m A B e e A m q a i q a i q a i q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-??? ? ??+=-+-??? ? ??+=--- 经整理，有 0)(0)(22122212221221=-+-??? ? ?? +=??? ? ??+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q a i q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足 ,.,2 212 22 12 22 1221=-+++-+--ω ββββββωββm e e e e m q a i q a i q a i q a i 根据上式，有 ? ? ??????????????+-±+=212 2122 1212)2(sin 411M ）（ββββββωqa
第一章 绪 论 ⒈ 解释下列名词 ⑴仪器分析与化学分析； ⑵标准曲线与线性范围； ⑶灵敏度﹑精密度﹑准确度和检出限。 解：⑴化学分析是以物质的化学反应为基础的分析方法。 仪器分析是以物质的物理性质和物理化学性质（光﹑电﹑热﹑磁等）为 基础的分析方法，这类方法一般需要使用比较复杂的仪器。 ⑵标准曲线是被测物质的浓度或含量与仪器响应信号的关系曲线。 标准曲线的直线部分所对应的被测物质浓度（或含量）的范围称该方法的线性范围。 ⑶物质单位浓度或单位质量的变化引起响应信号值变化的程度，称该方法的灵敏度。 精密度是指使用同一方法，对同一试样进行多次测定所得结果的抑制程度。 试液含量的测定值与试液含量的真实值（或标准值）相符合的程度称为准确度。 某一方法在给定的置信水平可以检出被测物质的最小浓度或最小质量，称为这种方法对该物质的检出限。 ⒉ 对试样中某一成分进行5次测定，所得的测量结果（单位μg ﹒mL -1）分别为0.36，0.38，0.35，0.37，0.39. ⑴ 计算测定结果的相对标准偏差； ⑵ 如果试样中该成分的真实值含量是0.38μg ﹒L -1，试计算测定结果的相对误差 解：⑴ x =n 1(x 1+x 2+…+x n )=0.37； S=1 )(12--∑=n x x n i i =0.0158； r s =x s ×100℅=4.27℅。 ⑵ E r =μμ -x ×100℅=-2.63℅。 ⒊ 用次甲基蓝–二氯乙烷光度法测定试样中硼时，为制作标准曲线，配制一系列质量浓度ρB （单位mg ﹒L -1）分别为0.5，1.0，2.0，3.0，4.0，5.0的标准溶液，测得吸光度A 分别为0.140，0.160，0.280，0.380，0.410和0.540。试写出该标准曲线的一元线性回归方程，并求出相关系数。
第二章振动光谱作业 1．红外光区的划分？ 红外光按波长不同划分为三个区域：近红外区域（1-2.5微米）/中红外区域（2.5-25微米）/远红外区域（25-1000微米） 2．振动光谱有哪两种类型？多原子分子的价键或基团的振动有哪些类型？同一种基团哪种振动的频率较高？哪种振动的频率较低? 振动光谱有红外吸收光谱和激光拉曼光谱两种类型。 价键或基团的振动有伸缩振动和弯曲振动。其中伸缩振动分为对称伸缩振动和非对称伸缩振动；弯曲振动则分为面内弯曲振动（剪式振动、面内摇摆振动）和面外弯曲振动（扭曲振动、面外摇摆振动）。 伸缩振动频率较高，弯曲振动频率较低。（键长的改变比键角的改变需要更大的能量）非对称伸缩振动的频率高于对称伸缩振动。 3. 说明红外光谱产生的机理与条件？ 产生机理： 当用红外光波长范围的光源照射物质时，物质因受光的作用，引起分子或原子基团的振动，若振动频率恰与红外光波段的某一频率相等时就引起共振吸收，使光的透射强度减弱，使通过试样的红外光在一些波长范围内变弱，在另一些范围内则较强，用光波波长（或波数）对光的透过率作图，便可得到红外光谱 产生条件： 1）辐射应具有能满足物质产生振动-转动跃迁所需的能量，即振动的频率与红外光谱谱段的某频率相等。 2）辐射与物质间有相互偶合作用，即振动中要有偶极矩变化 4．红外光谱图的表示法？ 红外光谱图的表示法：横坐标：波数cm-1或者波长μm 纵坐标：透过率%或者吸光度A 5. 红外光谱图的四大特征(定性参数)是什么？ 如何进行基团的定性分析？如何进行物相的定性分析？ 四大特征：谱带（或者说是吸收峰）的数目、位置、形状和强度。 进行基团的定性分析时，首先，观察特征频率区，根据基团的伸缩振动来判断官能团。 进行物相的定性分析： 进行物相的定性分析： 对于已知物： a、，观察特征频率区，判断官能团，以确定所属化合物的类型 b、观察指纹频率区，进一步确定基团的结合方式 c、对照标准谱图进行比对，若被测物质的与已知物的谱图峰位置和相对强度完全一致，则可确认为一种物质。 对于未知物：A、做好准备工作。了解试样的来源，纯度、熔点、沸点点各种信息，如果是混合物，尽量用各种化学、物理的方法分离 B、按照鉴定已知化合物的方法进行 6. 何谓拉曼效应？说明拉曼光谱产生的机理与条件？ 光子与试样分子发生非弹性碰撞，也就是说在光子与分子相互作用中有能量的交换，产生了频率的变化，且方向改变叫拉曼效应。 产生的机理： 斯托克斯线产生机理：处于振动基态的分子在光子作用下，激发到较高的不稳定的能态（虚
第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
第三章原子吸收光谱法作业答案 一、选择题(每题只有1个正确答案)（2分?10=20分） 1. 由温度引起的原子吸收线变宽称为（）。[ B ] A. 自然宽度 B. 多普勒变宽 C. 压力变宽 D. 场致变宽 2. 最早对原子吸收现象给予科学解释的是（）。[ B ] A. 英国化学物理学家渥拉斯通(W.H.Wollaston) B. 德国光谱物理学家基尔霍夫(G.Kirchhoff) C. 澳大利亚物理学家沃尔什(A.Walsh) D. 瑞典物理学家西格(K.M.Siegbahn) 3. 空心阴极灯外壳一般根据其工作波长范围选用不同材料制作，若工作波长在350nm以上，应选用的材 料为（）。[ A ] A. 玻璃 B. 石英 C. NaCl晶体 D. KBr晶体 4. 当吸收线半宽度一定时，积分吸收系数Kν与峰值吸收系数K0 ( )。[ A ] A. 成正比 B. 成反比 C. 无关 D. 无法判断 5 . Mg、Mo、W是易生成氧化物、氧化物又难解离、易电离元素，用AAS法测其含量时，最佳火焰为（）。 [ B ] A. 中性火焰 B. 富燃火焰 C. 贫燃火焰 D. 高温贫燃火焰 6. 下图为实验测得的原子吸收光谱的灰化曲线①和原子化曲线②，根据此图，请选择最佳的原子化温度范 围（）。[ D ] A.1600～2000℃ B.2000～2300℃ C. 2300～2500℃ D. 2500～2800℃ 7. 用AAS测量铝锭中Zn含量时，其吸收线波长为213.96nm，应选择（）溶解试样。[ B ] A. 硫酸(H2SO4) B. 盐酸(HCl) C. 磷酸(H3PO4) D. 氟化氢(HF) 8. 使用一台具有预混合缝形燃烧器的原子吸收分光光度计，采用普通的燃气和助燃气，发生下列情况，你 建议采取的补救办法是（），分析灵敏度低，怀疑在火焰中形成氧化物粒子。[ B ] A. 采用贫燃火焰 B. 采用富燃火焰 C. 采用中性火焰 D. 没有办法 9．正常燃烧的火焰结构由预热区、第一反应区、中间薄层区和第二反应区组成，原子吸收光谱分析时，试样原子化主要在( )进行。[ C ] A. 预热区 B. 第一反应区 C. 中间薄层区 D. 第二反应区 10. 在测定Ba时，做了两个实验：在纯水中测量Ba的吸光度，绘制A?c曲线（如图中的1），曲线是弯 曲的，但加入0.2% KCl后，再测量Ba的吸光度，绘制A?c曲线，直线性很好，（如图中的2）加入KCl主要消除了( )。[ D ]
第三章双原子分子的结构与性质 1.(南开99) 下列AB型分子N2, O2, CN, NeF中分子的得电子变为AB-后比原来中性分子键能大, 失电子后变为AB+后比原分子中性分子键能大。 2.(南开94) 写出B2分子的分子轨道标识及磁性。 3(南开92) 按简单分子轨道理论, 形成有效分子轨道的三个基本原则是（）。写出下列分子中电子的排布情况：O2，N2，CO 4.(北师大) 对于分子的三重态,下列解释正确的是( ) A.分子中有一个未成对电子 B.分子中有两个自旋配对电子 C.波函数必是三阶行列式 D.分子中有三个未成对电子 E.分子的总自旋量子数为1 5.(军事科学院93) 按分子轨道理论，氢分子的成键轨道是( )，反键轨道是( )。按价键理论，其基态的键函数是( ) 6.(北师大94) 写出下列分子基态的价层电子组态和键级。 A．N2+ B．CN- C．O2+ 7.(北大93) C2分子的键长（124pm）比C原子的共价双键半径之和（67pm*2）短的原因是什么？ 8.(北大92) 判断下列轨道间沿z轴方向能否成键。如能成键，请在相应位置上填上分子轨道名称。
9.(北大91) 在NO 2+，NO +，NO ，NO -中, 哪一个有最短的键长, 指明其价电子组态键级。 10.(北大93) 在HI(H=1,I=127)振动光谱图中, 观察到2230cm -1强吸收峰,若将HI 的简正振动看作谐振子,则 (1)说明此简正振动是否有红外活性 (2)计算HI 简正振动频率 (3)计算零点能 (4)计算HI 简正振动力常数 11.(北大92)实验测得HI 分子基本光谱带和第一泛音谱带分别是2230cm -1和4381cm -1, 求HI 的力常数 (原子量H=1,I=126.9) 12.(北师大94) 测定双原子分子HF 力常数最常用的方法是（ ） A.电子能谱 B.电子光谱 C.红外光谱 D.微波波谱 E.核磁共振谱 13.(南开98) 1 H 35Cl 气体振动光谱的主谱带中心波数0ν =2885.9cm -1,用分辨率很高 的红外光谱仪记录谱图,可以清楚地观察到主谱带的谱带结构(带的0ν 两侧分布着许多谱线)，请粗略的划出1H 35Cl 分子主谱带的红外光谱图(参见课本p 103) 14.(南开96) 已知1H 35Cl 分子的基本振动谱带波数为2885.67cm -1, 求2D 35Cl 的基本振动谱带波数（振动按谐振子模型处理） 解:1H 35Cl 和2D 35Cl 的键的力常数相同 P x P z d xy d xz P x π -- -- π P y -- -- -- -- d xy -- -- δ -- d xz π -- -- -- 0ν= 0ν=
第三章.石油化工旋转机械振动标准 （SHS01003-2004） 1总则 1.1主题内容与适用范围 1.1.1本标准规定了石油化工旋转机械振动评定的现场测量方法（包括测量参数、测量仪器、测点布置、测试技术要求、机器分类等）及评定准则。石油化工旋转机械振动分析的现场测量方法应满足本标准的规定但不仅限于此。 1.1.2本标准适用的设备包括电动机、发电机、蒸汽轮机、烟气轮机、燃气轮机、离心压缩机、离心泵和风机等类旋转机械。 按照本标准规定的方法进行测试得到的振动数据，可作为设备状态评定和设备验收的依据。经买卖双方协商认可，亦可采用制造厂标准或其他标准。 1.1.3本标准不适用于主要工作部件为往复运动的原动机及其传动装置。 本标准也不适用于振动环境中的旋转机械的振动测量。振动环境是指环境传输的振动值大于运行振动值1/3的情况。 1.1.4未能纳入本标准范围的其他旋转机械，暂按设备出厂标准进行检验和运行。 1.2编写修订依据 GB/T 6075.1-1999 在非旋转部件上测量和评价机器的机械振动第1部分：总则 GB/T 6075.3-2001 在非旋转部件上测量和评价机器的机械振动第3部分：额定功率大于15kw、额定转速在120~15000r/min之间的现场测量的工业机器 GB 11348.1-1999 旋转机械转轴径向振动的测量和评定第一部分：总则 1.3本标准提供两种振动评定方法，即机壳表面振动及轴振动 的评定方法。 在机壳表面，例如轴承部位测得的振动是机器内部应力或运动状态的一种反映。现场应用的多数机泵设备（电动机、各种油泵、水泵等），由
机壳表面测得的振动速度，可为实际遇到的大多数情况提供与实践经验相一致的可信评定。 汽轮机、离心压缩机等大型旋转机械（如炼油催化三机、化肥五大机组、乙烯三大机组和空分装置的空压机等）通常含有挠性转子轴系，在固定构件上（如轴承座）测得的振动响应不足以表征机器的运转状态，对这类设备必须测量轴振动，根据实际需要，结合固定构件上的振动情况评定设备的振动状态。 2机壳表面振动 2.1本标准适用于转速为10~200r/s(600~12000r/min)旋转机 械振动烈度的现场测量与评定。 2.2测量参数 本标准规定在机壳表面（例如轴承盖处）测得的、频率在10~1000Hz 范围内的振动速度的均方根(Vrms)作为表征机械振动状态的测量参数，在规定点和规定的测量方向上测得的最大值作为机器的振动烈度。 2.3测量点的布置 测点一般布置在每一主轴承或主轴承座上，并在径向和轴向两个方向上进行测量，如图1所示。对于立式或倾斜安装的机器，测量点应布置在能得出最大振动读数的位置或规定的位置上，并将测点位置和测量值一同记录。测点位置应固定，一般应作明显标记。机器护罩、盖板等零件不适宜作测点。 2.4测量仪器 2.4.1一般采用由传感器、滤波放大器、指示器和电源装置等组成的测量仪表。允许采用能取得同样结果的其他仪器。 2.4.2测量登记表滤波放大器的带通频率为10~1000Hz。 2.4.3测量仪表系统误差不超过±10%。 2.4.4传感器振动速度线性响应的最大值至少为感受方向上满量程振动速度的3倍，传感器横向灵敏度应小于10%。 2.4.5直读仪器应能指示或记录振动速度的均方根值。 2.4.6测量登记表尽可能采用电池为电源装置。 2.4.7测量仪表需定期校准，保证它具有可靠的测量结果。 2.5测量技术要求
第六章振动光谱作业 1．红外光区的划分？ 2．振动光谱有哪两种类型？多原子分子的价键或基团的振动有哪些类型？同一种基团哪种振动的频率较高？哪种振动的频率较低? 3. 说明红外光谱产生的机理与条件？ 4．红外光谱图的表示法？ 5. 红外光谱图的四大特征(定性参数)是什么？ 如何进行基团的定性分析？如何进行物质的定性分析？ 6. 何谓拉曼效应？说明拉曼光谱产生的机理与条件？ 7. 拉曼位移是什么？拉曼谱图的表示法？ 8．比较拉曼光谱与红外光谱。 9．某一化合物的分子式是C 4H 8 0,其红外光谱图如下，请推断其结构。 1381 29632824 2722 1728 1467 1160 10. .下图为线型聚乙烯（······—CH 2—CH 2 —CH 2 —CH 2 ······）的 红外光谱图（a）和激光拉曼光谱图（b），根据聚乙烯分子的结构特征，说明两张图谱有何不同，并解释出现明显差异的原因。(解释2张图谱中4个箭头处的异同，并说明原因。)
综合分析题 若要进行下列测试分析项目，从你所学过的现代测试方法中挑选出一种最佳方法，并简述理由。 1.多晶转变温度的检测； 2.尺寸小于5μ的颗粒的显微形貌观察； 3.物质晶体结构的研究； 4．断口上粒状夹杂物的形貌及化学成分分析； 5．被缴获毒品的种类鉴定； 6．酸腐蚀后金属表面的结构分析； 7．材料晶界条纹或晶体缺陷（如位错、层错等）的观察分析； 8. 陶瓷釉料的成分分析； 9．玻璃中包裹体的分析； 10. 高分子材料玻璃化转变温度的测量。 各分析方法的英文缩写： X射线衍射：；X射线荧光光谱： X射线光电子能谱：；等离子发射光谱： 原子吸收光谱：；透射电镜：
拉曼光谱是研究分子振动的一种光谱方法 ,它的原理和机制都与红外光谱不同 ,但它提供的结构信息却是类似的 ,都是关于分子内部各种简正振动频率及有关振动能级的情况 ,从而可以用来鉴定分子中存在的官能团。分子偶极矩变化是红外光谱产生的原因 ,而拉曼光谱是分子极化率变化诱导的 ,它的谱线强度取决于相应的简正振动过程中极化率的变化的大小。在分子结构分析中 ,拉曼光谱与红外光谱是相互补充的。例如:电荷分布中心对称的键 ,如 C-C、N=N、S-S 等 ,红外吸收很弱 ,而拉曼散射却很强 ,因此 ,一些在红外光谱仪无法检测的信息在拉曼光谱能很好地表现出来。喇曼效应起源于分子振动(和点阵振动)与转动，因此从喇曼光谱中可以得到分子振动能级(点阵振动能级)与转动能级结构的知识。用虚的上能级概念可以说明了喇曼效应： 设散射物分子原来处于基电子态，振动能级如图所示。当受到入射光照射时，激发光与此分子的作用引起的极化可以看作为虚的吸收，表述为电子跃迁到虚态（Virtual state），虚能级上的电子立即跃迁到下能级而发光，即为散射光。设仍回到初始的电子态，则有如图所示的三种情况。因而散射光中既有与入射光频率相同的谱线，也有与入射光频率不同的谱线，前者称为瑞利线，后者称为喇曼线。在喇曼线中，又把频率小于入射光频率的谱线称为斯托克斯线，而把频率大于入射光频率的谱线称为反斯托克斯线。
附加频率值与振动能级有关的称作大拉曼位移，与同一振动能级内的转动能级有关的称作小拉曼位移： 大拉曼位移：v=v 0+v＇，v= v -v＇ (v＇为振动能级带频率) 小拉曼位移：v~= v ~±(6+4J)B,J=0,1,2… (其中B为转动常数)简单推导小拉曼位移：利用转动常数 B=h/4πIc 转动能级E j =J(J+1)h2/2I=J(J+1)hcB 能级的选择定则为：△J=±2 所以有E-E 0=±(6+4J)hcB即v~=v ~±(6+4J)B,J=0,1,2… 谱线特征 拉曼散射光谱具有以下明显的特征： b.在以波数为变量的拉曼光谱图上，斯托克斯线和反斯托克斯线对称地分布在瑞利散射线两侧,这是由于在上述两种情况下分别相应于得到或失去了一个振动量子的能量。 c.一般情况下，斯托克斯线比反斯托克斯线的强度大。这是由于Boltzmann 分布，处于振动基态上的粒子数远大于处于振动激发态上的粒子数。
红外光谱习题 一． 选择题 1．红外光谱是（ACE ） A ：分子光谱 B ：原子光谱 C ：吸光光谱 D ：电子光谱 E ：振动光谱 2．当用红外光激发分子振动能级跃迁时，化学键越强，则（ACE ） A ：吸收光子的能量越大 B ：吸收光子的波长越长 % C ：吸收光子的频率越大 D ：吸收光子的数目越多 E ：吸收光子的波数越大 3．在下面各种振动模式中，不产生红外吸收的是（AC ） A ：乙炔分子中对称伸缩振动 B ：乙醚分子中不对称伸缩振动 C ：CO 2分子中对称伸缩振动 D ：H 2O 分子中对称伸缩振动 E ：HCl 分子中H －Cl 键伸缩振动 《 4．下面五种气体，不吸收红外光的是（D ） Ａ：O H 2 Ｂ：2CO Ｃ：HCl Ｄ：2N 5 分子不具有红外活性的,必须是（D ） Ａ：分子的偶极矩为零 Ｂ：分子没有振动 Ｃ：非极性分子 Ｄ：分子振动时没有偶极矩变化 Ｅ：双原子分子 ^ 6．预测以下各个键的振动频率所落的区域，正确的是（AD ） Ａ：Ｏ－Ｈ伸缩振动数在4000～25001 -cm B:C-O 伸缩振动波数在2500～15001 -cm C:N-H 弯曲振动波数在4000～25001 -cm D:C-N 伸缩振动波数在1500～10001 -cm E:C ≡N 伸缩振动在1500～10001 -cm
7.下面给出五个化学键的力常数,如按简单双原子分子计算,则在红外光谱中波数最大者是（B ） A:乙烷中C-H 键,=k 510?达因1 -?cm 、 B: 乙炔中C-H 键, =k 510?达因1 -?cm C: 乙烷中C-C 键, =k 510?达因1 -?cm D: CH 3C ≡N 中C ≡N 键, =k 5 10?达因1-?cm E:蚁醛中C=O 键, =k 510?达因1 -?cm 8．基化合物中,当C=O 的一端接上电负性大的基团则（ACE ） A:羰基的双键性增强 B:羰基的双键性减小 C:羰基的共价键成分增加 D:羰基的极性键成分减小 ; E:使羰基的振动频率增大 9．以下五个化合物,羰基伸缩振动的红外吸收波数最大者是（E ） A: B: C: D: E: 10．共轭效应使双键性质按下面哪一种形式改变（ABCD ） Ａ：使双键电子密度下降 Ｂ：双键略有伸长 Ｃ：使双键的力常数变小 $ Ｄ．使振动频率减小 Ｅ：使吸收光电子的波数增加 11．下五个化合物羰基伸缩振动的红外吸收波数最小的是（E ） A: B: C: D: E:
3.13 红外吸收光谱 3.13.1.1 分子的振动形式 分子振动形式分为伸缩振动和变形振动。 伸缩振动分为对称伸缩振动和反对称伸缩振动。 变形（弯曲）振动分为面内弯曲振动和面外弯曲振动。 面内弯曲振动又分为剪式弯曲振动和面内摇摆振动。 面外弯曲振动分为面外摇摆振动和扭曲振动。 变形振动，又称弯曲振动或变角振动，是一种分子运动形式，指的是基团键角发生周期变化而键长不变的振动。 变形振动-分类: 变形（弯曲）振动分为面内弯曲振动和面外弯曲振动。 面内弯曲振动又分为剪式弯曲振动和面内摇摆振动。 面外弯曲振动分为面外摇摆振动和扭曲振动。 所以你说的面内变形振动应该属于面内弯曲振动，为Rocking (平面摇摆振动)形式，是说法不同而已 而面内摇摆振动（rocking vibration），指基团作为一个整体在平面内摇摆.。分子中原子的振动可分为两大类：伸缩振动和弯曲振动（亦称变形振动），通常用希腊字母v表示伸缩振动，8表示弯曲
振动。伸缩振动是指原子沿着化学键方向往运动，在振动过程中化学键的键长发生变化。根据振动时原子间相对位置的变化，伸缩振动还可以分为反对称伸缩振动和对称伸缩振动。弯曲振动是指原子垂直于化学键方向的振动，可分面内弯曲振动和面外弯曲振动。面内弯曲振动是指振动在所涉及原子构成的平面内进行，这种振动方式还可以细分为剪式振动和面内摇摆振动。面外弯曲振动是指弯曲振动垂直于原子所在的平面，根据原子的运动方向，又可分为面外摇摆振动和扭曲振动。图3－26以亚甲基为例描述了上述各种振动形式，每一种振动形式都有稳定的振动频率。当外界提供的红外光频率正好等于基团振动频率。当外界提供的红外光频率正好等于基团振动的某种频率时，分子就可能吸收该频率的红外光产生吸收峰。 多原子组成的分子有许多种振动方式，因此它们的红外光谱很复杂且各有特殊之处。 3.13.1.2 决定振动频率的因素 分子振动的频率决定分子所能吸收的红外光频率，即红外吸收峰的位置。 分子中的原子在平衡位置附近幅作周性的振动，这种情况与经典力学中弹簧振子所作的简谐振动十分相似。因此可以借用经典力学的Hooke定律（公式3－11）导出振动频率：式中K为双原子形成的化学键力常数；u为两个原子的折合
3.1 如图所示扭转系统。设12122;t t I I k k == 1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵； 2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。 解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程： 111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ?++-=??+-=?? ，即：1112122 222122()00t t t t t I k k k I k k θθθθθθ?++-=??-+=?? 所以：[][]12 21 2220,0t t t t t k k k I M K k k I +-?? ??==??? ?-???? 系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ?????? +=?????????? ………… (a) 或者采用能量法：系统的动能和势能分别为 θθ=+ 22 11221122T E I I θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111 ()()2222t t t t t t U k k k k k k 求偏导也可以得到[][],M K
由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -???? ==???? -???? 2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ???? =???????? ，代入（a ）可得： [][]122()0u K M u ω?? -=???? ………… (b) 得到频率方程：22 12 121 12 22()0t t t t k I k k k I ωωω--= =-- 即：224 222121()240t t I k I k ωωω=-+= 解得：2 1,2 22 ω== 所以：1ω= 2ω= ………… (c) 将（c ）代入（b ）可得： 1 12121211122(22220(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ??±--?? ????=?????? ?? --???? 解得： 11212u u =- ；12222 u u =