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齐次与非齐次方程方程是数学研究的基础，并且在各个领域中都起着重要作用。
在代数方程中，可以将其分为齐次方程和非齐次方程。
一、齐次方程齐次方程是指方程中所有项的次数均相同的方程，例如：ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0其中n为常数，a、b、c、…、p和q为系数。
解齐次方程的方法是假设方程有一个非零解，然后通过一系列的代数运算找到方程的通解。
例如，对于一次齐次方程ax + by = 0，可以假设x = 1并求解出y = -a/b，这就是方程的通解。
对于高次齐次方程，可以使用特征根法来解。
假设ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0有一个非零解y = x^m，其中m为常数。
将y 代入原方程中，得到：a(x^m)^n + b(x^m)^n-1 + c(x^m)^n-2 + … + px^m + q = 0化简后可得到：a + b/x + c/x^2 + … + p/x^(n-m-2) + q/x^(n-m) = 0由于x ≠ 0，所以方程可继续化简为：a + b/x + c/x^2 + … + p/x^(n-m-2) + q/x^(n-m) = 0这是一个关于x的齐次方程，可以通过求解它的特征根来得到方程的通解。
二、非齐次方程非齐次方程是指方程中至少有一个项的次数与其他项不同的方程，例如：ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = f(x)其中f(x)为非零函数。
求解非齐次方程的常用方法是通过特解和通解相加得到方程的完整解。
首先，找到一个特解y1，使得f(x) = q，然后将特解代入原方程得到齐次方程。
求解齐次方程得到通解y2，将特解和通解相加即可得到非齐次方程的解。
具体步骤如下：1. 求解齐次方程ax^n + bx^n-1 + cx^n-2 + … + px + q = 0的通解y2。
2. 找到一个特解y1，满足f(x) = q。
齐次线性方程组与非齐次线性方程组线性方程组是数学中经常遇到的一类问题，其中，常常会涉及到齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
本文将介绍齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、特点以及解的求解方法。
一、齐次线性方程组（Homogeneous Linear Equations）齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和为零的线性方程组。
一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = 0A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = 0...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = 0其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数。
齐次线性方程组的特点是零解的存在。
零解是指将所有未知数都取零时，方程组成立。
除了零解外，齐次线性方程组可能还存在非零解。
对于齐次线性方程组的求解可以采用矩阵的方法，即对系数矩阵进行行变换，将其化为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵，然后根据矩阵的特性来求解未知数。
具体的求解方法不再赘述。
二、非齐次线性方程组（Non-Homogeneous Linear Equations）非齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和不为零的线性方程组。
一般形式为：A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = b_1A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = b_2...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = b_m其中，A_ij为系数矩阵的元素，x_i为未知数，b_i为常数向量。
非齐次线性方程组的特点是除了零解外，可能还存在其他解。
当方程组存在解时，称其为有解方程组。
对于非齐次线性方程组的求解，可以将其转化为齐次线性方程组的形式来求解。
具体方法是将方程组转化为增广矩阵，然后对增广矩阵进行行变换，化简为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵。
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1),,,n r -12ξξξ线性无关;(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX =0的基础解系.称=X 齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系【定理】(1)(2)（注：当注：1()n r A -2AX O = （1） 当（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3)写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有(r 解法二：2341A =注：【例题2解：可得()r A 12x x x =⎧⎨=-⎩令31x =令30x =令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.二、非齐次线性方程组的解法 求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()0rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥A b 行其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知1(1)r d +≠1(2)r d +=1(3)r d +=其通解为,,n r k -为任意常数。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
一、齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项都为0的线性方程组称为齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）齐次线性方程组必有解x=0，称为零解。
（2）如果齐次线性方程组的系数行列式不为0，则方程组只有零解。
（3）如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则方程组有非零解。
（4）对于齐次线性方程组的非零解，若x1是其中一个解，则对于k≠0，kx1也是方程组的解。
例如，对于齐次线性方程组
a1x1+a2x2+...+anxn=0
b1x1+b2x2+...+bnxn=0
……
c1x1+c2x2+...+cnxn=0
如果a1a2...an≠0，则只有零解x1=0。
如果a1a2...an=0，且b1b2...bn≠0，则有非零解
x=(b1,b2,...,bn)T和x=k(b1,b2,...,bn)T。
3.推论：对于齐次线性方程组，n个未知量的向量{x1,x2,...,xn}张成的向量空间叫做齐次线性方程组的解空间，其维数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。
二、非齐次线性方程组
1.定义：所有方程的常数项不都为0的线性方程组称为非齐次线性方程组。
2.求解方法：
（1）若常数项b≠0，则非齐次线性方程组必定有解。
（2）设x1和x2为非齐次线性方程组的两个解，则x1-x2为其对应齐次线性方程组的解。
（3）设x0为非齐次线性方程组的一个解，则一般解为
x=x0+kx1，其中x1为对应齐次线性方程组的解，k为任意实数。
3.推论：非齐次线性方程组的解集为齐次线性方程组的解集加上非齐次线性方程组的特解。
践性方程组解的结构(解法)一、齐sail方程纽的解法【定义】r<n,若从=0 (A为加x川矩阵)的一组解为询,$，…,爲―，且満足：(1) …境"线性无关;(2) 如GO的)任一解部可由这组解找性表示.H称盒，益，…，仏t为从=0的基硏解系.祢X = +心疋2 +…+心心为从=0的逋解。
其中危危…,怎冷任«»»).齐®att方程组的关键冋题就是来通解，而求通解的关键阿题是求基•解系.【定理】若齐次线性方程组从=0有解，!!(1) 若齐次裁性方程组以=O(A为〃以〃拒阵)葫足HA) = ", K只有零解；(2) 齐次拔性方程组有非零解的充嬰条件是r(A)<n.(注：当〃匸”时，齐ftStt方程组有非零解的充要条件是它的系数行列3|A|=0.)注：1、基础解系不唯一，但是它0所含解向最的个数相同，且基碣解系所含解旬量曲个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐ftSft方程组AX=O^对应的同解方程组。
由上述定理可知，若加是系数矩阵的打数(也即方程的个效)，”是未知量的个数，II有：(1) 当加<"时，r(A)<m<n t ft时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数旅一定有非零解；(2) 当〃匸"时，齐次拔性方程组有非零解的充要条件是它的系数行则衣国=0；(3) 当m = n且r(A) = “时，若泵数拒阵的行列刻A|H O, H齐次线U方程组只有零解；(4) 当m > H时，若r(A)<//r IS存在齐次城性方程组的同解方程组；若心)>”,则齐次拔性方程组无解。
1、来从=O(A为〃7X"矩阵)通解的三步U(1) A^-^C (行最简形)；写出同解方程组CX=Q.(2) 来岀的基硏解系询爲，•••，&・『；(3) 耳出i解X = + «$ +…+ Vr^-r其中东，忽・・・，紿为任显热有r （A ） = 4 = //,则方程组仅有零解.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m “）（注ih 方程组的个数不等于未知量的个数（即m 知i ）,不可以用行列衣的方法来判Bi h 从而可廿算系数矩l?A 的行列式:23-15:: ：=327工0,知方程组仅有零解，即x 1=x 2=x 3=x 4=0.41—3 o1 -2 4 -7注：ft 法仅对n 较小时方便令 x 3 = 1 , x 4 = 0 , x 5=0 9 II x, =l,x 2 =-2； 令 x 3 = 0 , x 4= \ f x 5 = 0 F 得 X] = h 忑=一2 ; 令七=0 , 兀=0, X 5= \ 9 x } =5,X 2 =-6 , 于是得到原方程组的一个基碣解系为+3X 2 ~X 3 +5X 4 =0, +x 2 +2® ~X4=0, +x 2 _3兀 +6X 4 =0,—2X 2 +4X 3 一 7q =0.2xl 3x [«R1】解线性方程组「+Xy +£ +X5=0, 3x }+2x ? +九 +q—3*5 =0,X 2+2X 3 +2X 4 +6X 5 =0,5zV)+4x ) +3X 3 +3X 4 "X 5=0.[flH2]解找性方程组解法一: 将系数矩阵A 化为阶梯形矩薛2 3 4 13 11 -2-1 2 -3 45 -16 -7-274 -10 43 'T-7 14 16即 x\ =x 2=x 3=x 4=0.ri 1 1 1r"1 1 1 1■ 132 1 1 a 斤x(-5)+、 0 -1 -2 - 2 -6 1 1 一/|X (-3)+G0 1 2 2 61 2 2 6.5 4 3 3 一 L_0 _1 -2 -2 -610-1-1 0 12 2 0 0 0 0 00 0一5 6 0 0可得 r(A) = 2<n 9 解：将系数矩阵A 化为筒化阶U 站矩阵A = ；2^(-1)+?4舅方程组有无穷多解・其同解方程组为x } = x 3 +x 4 x 2 = -2X 3 -2X 4（其中X- x 4f x 5为自由未知量）所以，原方程组的通解为X=k^+k^2+k^ (k lt k2f k3eR).二、非齐次线性方程组的解狀AX=b { A mxn r(A) = r )用初等行变换*解，不ffiSSir列践性无关(1) 〃冲工0时，原方程组无解.(2) <+1=0,r = n时,泉方程纽有唯一解.(3) 為=O,r<HW,g方程组有无穷多解.其通解为X =班 +出f +••• + «—$_ , k、、％、•••,匕”为任其中：盲疋2,…疋…为从=力导出组AX=0的基碣解系，久为AX=b^特解,【定理1】如果〃是非齐次拔性方程组AX=b的解，◎是其导出组AX=0ffl-个解，»a +〃是非齐次缆性方程组AX=b的解。
非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程晃伟罩组的通解＝齐次线性方程组的通解＋非齐次线性方程组的一个特解（η＝ζ＋η＊）槐艳。
非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。
非齐次线性方程组解法：
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……，Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。
非齐次线性方程组的解线性方程组是数学中一个非常重要的概念，可以用来描述多个未知数之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到非齐次线性方程组，即右端项不为0的线性方程组。
非齐次线性方程组的解是指使得方程组中所有方程都成立的未知数的取值。
在本文中，将详细讨论非齐次线性方程组的解及其求解方法。
首先，我们先回顾一下齐次线性方程组的解。
对于齐次线性方程组Ax=0，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，0为零向量，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，那么x就是齐次线性方程组的解。
齐次线性方程组总有非零解，因为零向量满足Ax=0。
但齐次线性方程组的解不唯一，它有无穷多个解。
可以通过求解方程组的增广矩阵，经过高斯消元法得到阶梯形矩阵，再得到最简形矩阵，从而得到基础解系。
然而，非齐次线性方程组Ax=b是指右端项不为0的线性方程组，我们需要找到一组解使得Ax=b成立。
如果存在一个向量x使得Ax=b，那么x就是非齐次线性方程组的解。
但是，非齐次线性方程组的解不再有无穷多个，而是只有一个特解x0加上齐次线性方程组的解。
也就是说，非齐次线性方程组的解是特解加上齐次线性方程组的解。
具体来说，对于非齐次线性方程组Ax=b，我们可以通过增广矩阵的高斯消元法来求解。
我们将增广矩阵进行行变换，使得增广矩阵的左半部分变为一个最简形矩阵，然后根据最简形矩阵的形式来确定特解。
最后，我们可以通过求解齐次线性方程组Ax=0来得到齐次线性方程组的解。
举个例子来说明非齐次线性方程组的解的求解过程：假设我们有一个非齐次线性方程组：2x+y+z=23x+2y+z=4首先，我们可以写出增广矩阵：[211，2][321，4]接下来，我们对增广矩阵进行高斯消元法。
通过行变换，将增广矩阵的左半部分变为最简形矩阵：[10-1，0][011，2]从最简形矩阵中可以看出，特解x0=0，y=2，z=-2、然后，我们需要求解齐次线性方程组Ax=0。
根据最简形矩阵的形式，我们可以得到齐次线性方程组的解：x=t,y=-t,z=t，其中t为任意实数。
齐次方程组和非齐次方程组的解齐次方程组和非齐次方程组是线性代数中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要作用。
本文将分别介绍齐次方程组和非齐次方程组的定义、特点以及求解方法。
一、齐次方程组的解齐次方程组是指方程组的右边等于零的线性方程组。
具体来说，对于一个n元线性方程组，可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = 0其中a11, a12, ..., ann为常数，x1, x2, ..., xn为未知数。
齐次方程组的特点是它必定有解，因为至少有一个平凡解，即所有未知数取零的解。
除了平凡解外，齐次方程组还可能有非平凡解，即至少存在一组未知数不全为零的解。
求解齐次方程组的一种方法是利用矩阵的性质，将其转化为矩阵方程。
具体步骤是将系数矩阵A和未知数向量X写成矩阵的形式：AX = 0其中A是一个n×n的矩阵，X是一个n×1的列向量。
根据线性代数的知识可知，当且仅当矩阵A的行列式不为零时，方程组有唯一解即平凡解。
当矩阵A的行列式为零时，方程组有无穷多解即非平凡解。
这是因为非零行向量可以线性组合得到零向量，从而得到非平凡解。
另一种求解齐次方程组的方法是使用高斯消元法。
通过对系数矩阵进行行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
二、非齐次方程组的解非齐次方程组是指方程组的右边不等于零的线性方程组。
具体来说，对于一个n元线性方程组，可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann为常数，b1, b2, ..., bn为已知常数，x1, x2, ..., xn为未知数。
非齐次线性方程组的解法可以采用下面几种方法：
1. 高斯消元法：该方法是利用矩阵的初等变换来求解方程组的，它的基本思想是将方程组化为上三角形式，然后从上往下逐步求解。
2. 列主元消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取列主元来求解方程组。
3. 牛顿迭代法：该方法是利用函数的迭代求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用函数的迭代求解。
4. 雅可比迭代法：该方法是利用雅可比矩阵来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用雅可比矩阵的迭代求解。
5. 全选主元高斯消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取全选主元来求解方程组。
6. 高斯-赛德尔迭代法：该方法是利用高斯-赛德尔迭代公式来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用高斯-赛德尔迭代公式的迭代求解。
齐次和非齐次线性方程组的解法定稿This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -.2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有： （1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法常微分方程是高等数学中的重要内容，也是考研数学中必考的知识点之一。
在常微分方程中，齐次方程和非齐次方程的解法是备战考研的重点。
本文将为大家详细介绍常微分方程的齐次与非齐次解法，助力大家高效备考。
一、齐次方程的解法齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y)的方程，其中f(x,y)满足齐次性质f(tx,ty) = f(x,y)。
齐次方程的解法相对简单，可以通过变量分离法和换元法来求解。
1. 变量分离法变量分离法是求解齐次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）将方程变形为dy = g(x)dx，其中g(x)为x的函数。
（2）对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫g(x)dx。
（3）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到y = ∫g(x)dx + C。
（4）得到的方程即为齐次方程的通解。
2. 换元法换元法是另一种常用的齐次方程求解方法。
具体步骤如下：（1）设u = y/x，即y = ux。
（2）将dy/dx = f(x,y)转化为关于u和x的方程，求出du/dx，并将y用u和x表示。
（3）对上式进行变量分离，得到du/u = g(x)dx。
（4）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到ln|u| = ∫g(x)dx + C。
（5）解出u，即得到u = e^(∫g(x)dx + C)。
（6）将u = y/x代入上式，得到y = xe^(∫g(x)dx + C)。
（7）得到的方程即为齐次方程的通解。
二、非齐次方程的解法非齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y) + g(x)的方程，其中g(x)为非零的函数。
求解非齐次方程的方法主要有常数变易法和特解叠加法。
1. 常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）先求齐次方程dy/dx = f(x,y)的通解y0。
（2）设非齐次方程的通解为y = y0 + u(x)，其中u(x)为待定函数。
（3）将y = y0 + u(x)代入非齐次方程，得到dy/dx = f(x,y0+u) + g(x)。
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。
其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系，0η为AX = b 的特解，【定理1】 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解，α是其导出组AX=0的一个解，则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解。
【定理2】如果0η是非齐次线性方程组的一个特解，α是其导出组的全部解，则αη+0是非齐次线性方程组的全部解。
由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解，r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系。
【例题3】判断下列命题是否正确, A 为m ⨯n 矩阵.(1)若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因r (A )=n , r (A )= n = r (A |b )? (2)若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因r (A )<n , r (A )= r (A |b ) ? (3)若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, r (A )= r (A |b ) =n. (4)若AX =0有非零解,则A TX=0也有非零解.答:错,A 为m ⨯n , r (A )=m <n , r (A T)=m , 这时A TX=0只有零解. 例如A 为3⨯4, R (A )=3 <4, r (A T)=3=m . (5)若r (A )=r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,r (A )=r =m= r (A |b ) .(6)若r (A )=r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m ⨯n ,当m >n 时, 可以r (A |b ) =n +1. ⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解【例题4】 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩ 解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦))332311(224(3r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解，所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现100r d +=≠，则原方程组无解）【例题5】解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解.⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 2321221(1)101520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ （其中3x ,4x 为自由未知量）令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩（其中3x ,4x 为自由未知量）令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得125,7x x ==-，于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
所以，原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++（1k ，2k R ∈）.【例题7】 求线性方程组：12341234123421,22,2 3.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 的全部解. 解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23r r ↔−−−→ 121120112103333-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 23212(3)(2)(1)r r r r r ⨯-+⨯-+⨯-−−−−→ 103340112100636⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦33331()3123()212r r r r ⨯-⨯⨯-⨯−−−−→310012301002100112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()34r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（其中4x 为自由未知量） 令40x =，可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（其中4x 为自由未知量）令42x =-（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得1233,3,1x x x ==-=，于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以，原方程组的通解为 X k ηξ=+ （k R ∈）.【例题8】求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解。
