如何求非齐次线性方程组A =b的通解

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1),,,n r -12ξξξ线性无关;(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称ξ称齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系(1)(2)（注：1于n -2程组 （1）（2（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3)写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵式：注：解：可得r 12x x =⎧⎨=⎩令3x 令3x 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.二、非齐次线性方程组的解法 求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()0rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥A b 行其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知(1)r d +(2)r d (3)r d +,,n r k -为任意常数。

如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组A x=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。

如何求非齐次线性方程组
A b的通解
The following text is amended on 12 November 2020.
如何求非齐次线性方程组Ax=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。

怎么求非齐次线性方程组的通解法则答：非齐次线性方程组Ax=b的求解方法：
1、对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵；
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系；
3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。

（为简捷，可令自由变量全为0）
4、按解的结构ξ（特解）+k1a1+k2a2+…+krar（基础解系）写出通解。

注意：当方程组中含有参数时，分析讨论要严谨不要丢情况，此时的特解往往比较繁。

扩展资料：
对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。

若R(A)<R(B)，则方程组无解。

若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

设
R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。

但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有，即不一定有解。

MATLAB 求解⾮齐次线性⽅程组根据线性代数中求解⽅程组的基本知识，⾸先应判断系数矩阵的秩是否和增⼴矩阵的秩相等，若不等，则⽆解；若有解，根据秩和未知量个数的关系，判断是唯⼀解还是⽆穷多解；若为⽆穷多解，其通解为齐次⽅程组的通解加⾮齐次⽅程组的特解。

求⾮齐次线性⽅程组Ax=b 的特解，可直接使⽤命令A\b ，求解齐次线性⽅程组的通解，可以使⽤函数null 或rref 来实现。

命令含义B = null(A,'r')求系数矩阵为A 的齐次线性⽅程组Ax=0的基础解系，结果为有理数，B 的列向量即基础解系的列向量Z = null(A)求出Ax=0的基础解系后，将基础解系的向量正交单位化，存储在Z 中C = rref(A)求出矩阵A 的⾏最简形矩阵（reduced row echelon form ）function [S_H, S_P] = solveLS(A,b)% 输⼊参数A ：系数矩阵% 输⼊参数b ：Ax=b 的常数项列向量b% S_H ：齐次线性⽅程组的基础解系% S_P ：⾮齐次线性⽅程组的特解if size(A,1) ~= length(b) %size(A,1)求矩阵的⾏数error('输⼊数据错误，请重新输⼊！');return;elseB = [A,b]; %增⼴矩阵rank_A = rank(A); %求系数矩阵的秩rank_B = rank(B); %求增⼴矩阵的秩if rank_A ~= rank_B %⽆解情况disp('线性⽅程组⽆解！');S_H = [];S_P = [];else if rank_B == size(A,2) %若增⼴矩阵的秩 = 未知量个数%size(A,2)求矩阵的列数，相当于length(A)disp('线性⽅程组有唯⼀解！');S_P = A\b; %求唯⼀解S_H = [];elsedisp('线性⽅程组有⽆穷解！');S_H = null(A,'r');%求出齐次⽅程组的基础解系S_P = A\b; %求⾮齐次⽅程组的特解endendend例 使⽤Matlab 求解⽅程组A=[1 2 -2 3; 2 4 -3 4; 5 10 -8 11];b=[2 5 12]';format rat;[S_H, S_P]=solveLS(A,b)运⾏结果线性⽅程组有⽆穷解！S_H =-2 11 00 20 1S_P =7/4-1/2该线性⽅程组有⽆穷多解，通解为⎧⎩⎨+2−2+3=2x 1x 2x 3x 42+4−3+4=5x 1x 2x 3x 45+10−8+11=12x 1x 2x 3x 4x =++,,∈R k 1⎛⎝⎜⎜⎜−2100⎞⎠⎟⎟⎟k 2⎛⎝⎜⎜⎜1021⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜07/40−1/2⎞⎠⎟⎟⎟k 1k 2。

非齐次线性方程组ax=b无解例子
非齐次线性方程组ax=b是数学中一种常见的方程组，它的解决方法是求解矩
阵A的逆矩阵，然后乘以b，得到x的值。

但是，有时候，这种方程组是无解的，
这就是非齐次线性方程组ax=b无解的情况。

非齐次线性方程组ax=b无解的原因有很多，其中最常见的原因是矩阵A不可逆。

当矩阵A不可逆时，就无法求解非齐次线性方程组ax=b，因此就会出现无解
的情况。

另外，非齐次线性方程组ax=b无解的另一个原因是矩阵A的行列式为0。

当
矩阵A的行列式为0时，就无法求解非齐次线性方程组ax=b，因此也会出现无解
的情况。

此外，非齐次线性方程组ax=b无解的另一个原因是矩阵A的秩不够。

当矩阵
A的秩不够时，就无法求解非齐次线性方程组ax=b，因此也会出现无解的情况。

总之，非齐次线性方程组ax=b无解的原因有很多，其中最常见的原因是矩阵
A不可逆、矩阵A的行列式为0以及矩阵A的秩不够。

因此，在解决非齐次线性方
程组ax=b时，我们需要先检查矩阵A的可逆性、行列式和秩，以确保方程组有解。

非齐次线性微分方程求通解非齐次线性微分方程求通解：1. 什么是非齐次线性微分方程2. 非齐次线性微分方程的解的一般形式3. 非齐次线性微分方程的通解4. 利用Laplace变换求解非齐次线性微分方程通解1. 什么是非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(HEE)是指拥有常数系数、一阶以上及其高阶微分项的一个线性微分方程组。

它与一般线性齐次微分方程相比，被称为非齐次线性方程，其中常数系数不为零。

与此不同的是，线性齐次微分组在被实施时，会要求满足特定的条件，更精确地说，常数系数必须为零。

2. 非齐次线性微分方程的解的一般形式非齐次线性微分方程的解的一般形式可表示为：u(t) = ΣCi*exp(-αi*t), (i = 1,2,…,n)其中，Ci是常数，αi是系数。

3. 非齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的通解可由有关齐次方程的特解与非齐次方程的特解相加而求得，即通解u（t）的形式可表示为：u(t) = u特(t) + u齐(t)其中u特（t）表示非齐次方程的特解，u齐(t)表示相关齐次方程的特解。

4. 利用Laplace变换求解非齐次线性微分方程通解Laplace变换是一种利用线性变换将微分方程变换为一种线性代数系统的方法。

此种变换能够有效地把不可积分的微分方程变换为可积分的线性代数系统，从而求出原来微分系统的解。

考虑微分方程，：u'' + u' + ku = f(t), k是常数，f（t）是自变量t的函数将其作Laplace变换，则可得U*(s) = F*(s)(s2 + s + k)-U(0)-U'(0)s其中s是Laplace变换的参数，U*(s)和F*(s)是u（t）和f（t）的Laplace变换，U(0)和U'(0)是未知的初值。

所以，U*(s)的形式可表示为：U*(s) = U(0)*F*(s)/(s2 + s + k) + U'(0)*F*(s)/((s2 + s + k)2)对U*(s)进行拉回变换，即可得到u（t）的通解，即：u(t) = C1*exp(-t)+C2*exp(-2t)+f(t)其中C1=U(0)，C2=U'(0)为非齐次线性微分方程组得通解所需的常数。

求下面非齐次线性方程组的基础解系和通解
1． 4x1 - 3x2 + x3 = 2． 2x1 - 2x2 + 2x3 = 2
说起非齐次线性方程组，它是一类常见的数学问题，非齐次线性方程组指的是系数矩阵A与自变量x之间的关系式类似Ax=b，但是等号右边的向量b为零。

它可以用来求解复杂的方程。

例如我们考虑下面的非齐次线性方程组：
4x1 - 3x2 + x3 = 2
2x1 - 2x2 + 2x3 = 2
此时系数矩阵A为：
A =
[4 -3 1]
[2 -2 2]
把这两个方程组化简成矩阵相乘的形式：
[4 -3 1][x1] = [2]
[2 -2 2][x2] [2]
解之前，我们可以把矩阵变成上三角形，只需进行几次基本的运算操作，不会改变方程的解。

[4 -3 1][x1] - 3[2 -2 2][x2] [0]
[2 -2 2][x2] [2]
然后特解性解为：
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 3
此时基础解系与通解之间的关系如下：
x = x + c1(1,1,1)
1 Specific
即在基础解系的基础上加上一个任意常数c1(1,1,1)，就得到了方程组的通解。

总结一下，解决非齐次线性方程组是一个比较头疼的任务，它需要我们通过化简系数矩阵，把矩阵变成上三角形来获得基础解系，然后根据基础解系求得通解。

什么是齐次方程和非齐次方程
齐次和非齐次的区别如下：
1、常数项不同：
齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。

2、表达式不同：
齐次线性方程组表达式：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零： Ax=b。

齐次和非齐次线性方程的含义：
1、在代数方程，如y =2 x +7，仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。

这种方程的函数图像为一条直线，所以称为线性方程。

2、常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。

非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b。

齐次和非齐次线性方程的求解步骤：
1、非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。

若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1、C2……，即可写出含n-r个参数的通解。

2、齐次线性方程组求解步骤：
（1）对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
（2）若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
（3）继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
（4）选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。