当前位置：文档之家 › 非齐次线性方程组

非齐次线性方程组

  • 格式：doc
  • 大小：94.00 KB
  • 文档页数：3

下载文档原格式

  / 3

合集下载

3.5 非齐次线性方程组

3.5 非齐次线性方程组

2.设1 (1,3,0,5)T , 2 (1,2,1,4)T , 3 (1,1,2,3)T ,
(1, a,3, b) .
T
（ ）a, b取何值时能用1，2，3线性表示？表示式为？ 1
（2）a, b取何值时不能用1，2，3线性表示？
设 x11 x22 x33 x1 (1 , 2 , 3 ) x2 AX x 3
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
复习
非齐次线性方程组Am×nX=b有解 增广矩阵(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵“无尾巴”
阶梯矩阵法
一、非齐次线性方程组有解的条件 定理 非齐次线t; 秩( A) 秩( A, 秩( A,b) b)=
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
A b, A O A( ) b
2. 非齐次线性方程组的结构式通解 定理 设A是一个 m n矩阵，b是一个m维列向量，
证明： Am×n X = b 有解
秩法
x 11 + x2 2+ … + xnn = b 有解
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1

第三节 非齐次线性方程组

第三节 非齐次线性方程组
2
1
43 R(A)=R(B)=3 <5
4 3
方程组有
2
无穷多个解
x1
1 2Biblioteka x41 4x5
1 4
有
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 4
x3
x4
1 2
x5
3 2
1
43
取x4=x5=0, 得方程组的一个特解:
*
4 3
对应齐次方程组
x1
1 2
x4
1 4
x5
的同解方程组为:
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 x1
x2
p
x3
15 x4
3,
x1 5 x2 10 x3 12 x4 t
当p, t取何值时,方程组无解?有唯一解?
有无穷多解?在方程组有无穷多解的情
况下,求出一般解.
32
返回
解
1 1 2 3 1
B
1 3
3 1
6 p
1 3 15 3
1 5 10 12 t
1 1 0 2
2
3 1
(2). 当 1时,
1 1 1 1
B 0 0 0 0 . 0 0 0 0
R( A) R(B) 1.
因此方程组有无穷多个解.
(n r 3 1 2. 有两个任意常数).
26
返回
(3). 当 2 时,
1 1 2 4 B [ A,b] 0 3 3 6.
0 0 0 3
1、非齐次方程组的求解步骤
(1) 写出B，并将B化为行阶梯形；从而求出 R( A)与 R(B)以判 断是否有解;

3-6.非齐次线性方程组

3-6.非齐次线性方程组

ïï í ï
x2 x3
= =
x2
2x4 + 1 2
ïîx4 =
x4
çæ x1 ÷ö çæ 1÷ö çæ 1÷ö çæ1 2÷ö
ç ç ççè
x2 x3 x4
÷ ÷ ÷÷ø
=
k1
ç ç
ççè
1÷ 00÷÷÷ø
+
k2
ç ç
ççè
0÷ 12÷÷÷ø
+
ççççè1002÷÷÷÷ø.
(k1, k2 Î R)
例2 求解非齐次线性方程组
ú ú
êë0 0 0 0 0 k -3úû
ìx1 = x3 + x4 + 5x5 - 2
得
ï ïï í
x2 x3
= =
-2 x3 x3
-
2x4
-
6 x5
+
3
ï ï
x4
=
x4
ïîx5 =
x5
通解 为
é 1 ù é 1 ù é 5 ù é- 2ù
êê- 2úú
êê- 2úú
êê- 6úú
ê ê
3
ú ú
x
x = k1x1 + L + kn-rxn-r + h * .
例1 求解非齐次方程组的通解
ì ï í
x1 x1
-
x2 x2
+
x3 x3
+ -
x4 = 0 3x4 = 1
注意书写格式
ïî x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = - 1 2
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；

第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念

第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念

11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.

3 非齐次线性方程组

3 非齐次线性方程组
12
( k1 , k2 R ).
返回
x1 1 1 1 2 x 0 1 2 k1 k2 即 x3 2 0 x 1 0 4
例2. 求解方程组
1 / 2 0 . 1 / 2 0 ( k1 , k2 R).
0 1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 1 r3 r1 0 0 1 2 1 / 2
1 1 r 3 r2 2 0
1 1 0 0
11
0
2 0
0 4 1 . 0 0 1
返回
R( A) 2,
§3 非齐次线性方程组
一、非齐次线性方程组有解的充要条件 二、非齐次线性方程组的通解结构 三、非齐次线性方程组的解法
1
返回
一、非齐次线性方程组有解的充要条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
6
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容. ④ 可写成: 相应的齐次方程组: AX = b AX = 0 ⑥ ⑦
性质3. 若1 ,2是⑥的解, 则1 2是⑦的解. 性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解, 则 是⑥的解. 定理: 若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解 X总可写成: X . 是⑦的解.
2
返回
则方程组④可写成:
x1 1 x2 2 xn n b
④的系数阵:
⑤
a11 A am 1
a12 am 2
a1n amn

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组
10
例 判别方程组是否有解？
2x y 2z 3w 1 3x 2y z 2w 4 3x 3y 3z 3w 5
解 方程组的增广矩阵为
2 A 3
3
1 2 3
2 1 3
3 2 3
1 4 5
2
0
0
1 1 3
2 4 12
3 5 15
1 2
5
0
7 0
1 1 0
2 4 0
3 5 0
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M
am1 am2
a1n
a2n
amn
x1
X
x
2
M
x
n
m个方程 ，
n个未知数
b1
b
b2
M
bm 3
非齐次线性方程组
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
a21x1a22 x 2 L a2n xn b2 ........................................
r3 r1
0
0
1 4 4
3 6 6
1 7 7
1
1
1
1 1 3
r3 r2
r2 ( 14 )
0
1
3
2
1 7
4
1
1
4
1
0
3 2
r1r2
0
1
3 2
3 4 7 4
5
4
1 4
0 0 0 0 0
R( A) R( A) 2
0 0 0 0 0 12
1
0
32
3 4
5 4

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组

1 9

3 7


6 3 6
( k1, k2 任意常数)
解
A~


1 a
a 1
1 1
a 1
a1
1 0
0 1
1 a 1
a a2
a
1 1 a a2
0
0
a2
1

2a

a
2

1 0 0 a1,a2 0 1 0
1 a a2 1

a2


4 x4 5x4

15 22
x1 x2
5x4 9
解
1 0 1 2 1
A


0 0
1 0
1 0
3 8 0 0


0 0 0 0 0
齐次方程组 的基础解系
2

1

1 1
,
2

3 0

0
0
1
1 2a a2

a2
当 a 1,a 2 时，方程组存在唯一解

x1


1 a a2

x2


x3

1
a2 1 2a
a2
a2
当 a 1时
A~


1 0
1 0
1 0
1 0
0 0 0 0
方程组有无穷多组解
X k11 k22
1 1 1 k1 1 k2 0 0 0 1 0 ( k1, k2 任意常数)

5-2非齐次线性方程组

5-2非齐次线性方程组

思考题
设A是m 3矩阵,且RA 1.如果非齐次线性
方程组Ax
b的三个解向量1 ,2
,
满
3
足
1
0
1
1 2 2, 2 3 1, 3 1 0
3
1
1
求Ax b的通解.
思考题解答
解 A是m 3矩阵, R( A) 1, Ax 0的基础解系中含有3 1 2个线性
故得基础解系
1 2 1 2
1
1
,
0
0
0 1
2
0
,
1
0
2 3
3
0
.
0
1
求特解
令
x3
x4
x5
0, 得x1
9, 2
x2
23 . 2
所以方程组的通解为
1 2 1 2
0 1
2 9 2 3 23 2
x
k1
1
k2
0
k3
0
0
.
0 0 0 0
xr1 1 0
0
令
xr 2
0
,
1
,
,
0
.
xn 0 0
1
得
x1
b11
,
b12
,
,
b1 ,n r
,
xr br1 br2
br
,nr
b11
b12
b1 ,n r
故
br
1
1 1 ,
2
br
2
0 ,
x1 2 x2
x2 x3
x3 2x4
x4 x5 6x5
7 23

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组

x5为任意实数 .
返回
n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性
方程组无解 R( A) R( A, b) 方程组有解 R( A) R( A, b)
方程组有唯一解 R( A) R( A, b) n 方程组有无穷多组解 R( A) R( A, b) n
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容.
④ 可写成:
AX = b
⑥
相应的齐次方程组: AX = 0
⑦
性质3. 若1,2是⑥的解,则1 2是⑦的解.
性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解,
则 是⑥的解.
定理:若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解
返回
下面四种提法可互为充要条件:
(1). 方程组④有解.
(2). b 可由1, , n 线性表示.
(3). 向量组1, , n与 向量组1, , n ,b等价.
(4). R(A) = R(B) .
显然
显然
证明: (1) (2) (3).
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
R(A)=R(B).
返回
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
设秩同为 r,
1, , r 是1, , n 的一个最大无关组. 1, , r ,b 线性相关, 否则与秩为 r 矛盾! 1, , r也是 1, , n,b的一个最大无关组.
1, ,n与1, ,n,b等价. 证毕.
定理二. (非齐次线性方程组④有解的判别定理)
(iii) 令这 n–r 个自由未知量分别为基本单位向量1,L ,nr ,
可得相应的 n–r 个基础解系 1 , ,nr ; (iv) 写出通解 k11 k22 L knr nr ,其中k1, k2,L , knr为任意实数

4.3非齐次线性方程组

4.3非齐次线性方程组

(k1,k2∈R)
x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x4 = 1 例2 求解方程组 3 x1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = 2 2 x + x + 2 x − 2 x = 3 2 3 4 1
1 3 解: B = 2 1 − 2 ~ 0 5 − 0 0
方程组(1)的系数阵 方程组 的系数阵: 的系数阵
a11 ⋯ A= a m 1
a11 ⋯ B= a m 1
a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ a m 2 ⋯ a mn
a12 ⋯ ⋯ a1n ⋯ ⋯ b1 ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ bn
方程组(1)的增广阵 方程组 的增广阵: 的增广阵
a m 2 ⋯ a mn
方程组(1)有解 ⋅⋅⋅,x 方程组 有解x1,x2,⋅⋅⋅ n 有解 ⋅⋅⋅ 存在一组数x ⋅⋅⋅,x ⋅⋅⋅+x ⇔存在一组数 1,x2,⋅⋅⋅ n,使x1β1+⋅⋅⋅ nβn=b ⋅⋅⋅ 使 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ⇔b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 可由 ⋅⋅⋅ 下面四种提法可互为充要条件: 下面四种提法可互为充要条件 1° 方程组 有解 有解. ° 方程组(1)有解 2° b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 ⋅⋅⋅, ° 可由 ⋅⋅⋅ 3° 向量组β1,⋅⋅⋅ βn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b等价 ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅, ° ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 等价 4° R(A)=R(B) ° 定理二 非齐次线性方程组(1)有解 有解⇔ 非齐次线性方程组 有解⇔R(A)=R(B)
1 λ 1 ~ 0 λ − 1 1 − λ − 0 1 − λ 1 − λ2

《非齐次线性方程组》课件

《非齐次线性方程组》课件
《非齐次线性方程组 》ppt课件
目录
CONTENTS
• 非齐次线性方程组的基本概念 • 非齐次线性方程组的解法 • 非齐次线性方程组的特解和通解 • 非齐次线性方程组的解的结构 • 非齐次线性方程组的应用
01 非齐次线性方程组的基本 概念
非齐次线性方程组的定义
总结词
非齐次线性方程组是由至少一个 常数项不为0的线性方程组成的方 程组。
考虑方程组$begin{cases}x + y = 1 x - y = 3end{cases}$，解为$x = 2, y = -1$和$x = -1, y = 2$，线性组合如$0.5x_1 + 0.5x_2 = 0.5(2,-1) + 0.5(-1,2) = (0.5,0.5)$也是该 方程组的解。
特解的求解方法
特解的求解方法通常包括代入法、消元法等。代入法是将方程组的某个方程代入其他方程，消元后得到一个或多 个方程，再求解得到特解。消元法则是通过消元过程将原方程组化为一个等价的单一方程，再求解得到特解。
通解的概念和求解方法
通解的概念
通解是非齐次线性方程组中满足方程组的所有解的集合。它通常表示为某个常数向量的线性组合。
在研究热传导问题时，非齐次线性方 程组可以用来描述温度随时间和空间 的变化规律。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、电磁波 等，非齐次线性方程组可以用来描述 波的传播和变化规律。
在经济问题中的应用
供需平衡
非齐次线性方程组可以用来描述 市场经济中的供需关系，如商品
的价格和销售量之间的关系。
投资组合优化
02 非齐次线性方程组的解法
消元法
总结词
消元法的核心是通过消元过程将非齐次线性方程组转化为 齐次线性方程组，从而求解。

4.4 非齐次线性方程组

4.4 非齐次线性方程组
线 性
1 1 −1 2 1 0 a +1 0 b 0 0 a + 1 0 1 1 1
代 数
(1)当a ≠ −1, r ( A) = r ( A) = 4(未知量个数), 有唯一解, 为求解, 将 A进一步化为简化行阶梯型 :
= =
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 − 1 2 1 0 1 − 1 0 1 A→ b → b 0 0 1 0 0 0 1 0 a + 1 a + 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2b b 1 1 0 0 1 − a + 1 1 0 0 0 − a + 1 b b 0 1 0 0 1 + 0 1 0 0 1 + → → a + 1 a + 1 b b 0 0 1 0 0 0 1 0 a +1 a +1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⇒ 唯一解为 − 2b a + b +1 b x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 0 a +1 a +1 a +1 (2)当a = −1, 且b ≠ 0时, r ( A) = 2, r ( A) = 3, 方程组无解
证
A的行向量组是 的行向量组的部分组， 的行向量组是B 的行向量组的部分组，
线
的行向量组可由B 的行向量组线性表出, 所以 A 的行向量组可由 的行向量组线性表出 A 的行向量组的秩 ≤ B 的行向量组的秩 性 又
性 代 数
x1 b1 矩阵形式 : Ax = b, 其中A = (aij ) m×n , x = ⋮ , b = ⋮ xn bm 向量形式 : x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b (4.9) 其中, α j = (a1 j , a2 j ,⋯ , amj )T , j = 1, 2,⋯ , n 即 A = [α1 α 2 ⋯ α n ]

线性代数 非齐次方程组

线性代数 非齐次方程组

⎪⎩4x1 + 5x2 − 5x3 = −1
不再是含参数 的方程组了。
a
=
−
4 5
时，方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧4−2xx1451+x−1545−x2xx−22
=
⎜ ⎜
a22
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ am2 ⎟⎟⎠
⎜⎛ a1n ⎟⎞
αn
=
⎜ a2n ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ amn ⎟⎟⎠
⎜⎛ b1 ⎟⎞
β
=
⎜ b2 ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ bm ⎟⎟⎠
x1α1 + x2α2 + + xnαn = β
方程组的向量方程
即 (α 1 ,α 2 ,
⎛ x1 ⎞
,α
n
)
⎜ ⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟ ⎟
其中 η* 是n 元非齐次线性方程组（1）的一个特解，ξ1, ξ2 , , ξn−r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，k1,k2, ,kn−r为任意常数.
(3) 当 r(A) ≠ r(A) 时，方程组(1)无解.
例 设A为m×n矩阵，AX＝0为AX＝b的导出组，则
1) 当 AX＝0 仅有零解时，AX＝b 有唯一解 2) 当 AX＝b 有唯一解时，AX＝0 仅有零解 3) 当 AX＝0 有非零解时，AX＝b 有无穷多解 4) 当 AX＝b 无解时，AX＝0 仅有零解
通解。
注意什么？
补充
含参数的方程组
在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。
而参数值的确定，要依据有解的条件即：r( A) = r( A)
一般而言，有两种方法确定参数值。一种是行列式法，另一种是
初等变换法。
例3 解

第4章4.3 非齐次线性方程组

第4章4.3 非齐次线性方程组
1 A ~ 0 0
R( A) 2 R( A) 4
1 2 0.5 0.5 1 1 1 2 ~ 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0.5 1 0
02
0
原方程组有无穷多个解， 它同解于
x 1 0 .5 x 2 0 .5 x 3 0 .5 x4 0 x 1 0 .5 0 .5 x 2 0 .5 x 3
二元一次方程组的解情况
1 1 1 1 1 1 1 0 1 ~ ~ 1、 只有一个解 A 0 1 2 0 1 2 1 2 3 x y 1 x y 1 x 1 R( A) 2 R( A) y 2 x 2y 3 y 2 1 1 1 1 1 1 ~ 2、有无穷多个解 A 0 0 0 2 2 2 R( A) 1 R( A) 2 x y 1 x y 1 x 1 K K 为任何实数 2x 2y 2 x 1 y y K 1 1 1 1 1 1 A 3、无解 ~ 2 2 3 0 0 1 x y 1 x y 1 R( A) 1 R( A) 3 2x 2y 3 01
交于一点， 则矩阵
a 1 b1 a 1 b1 c 1 A a 2 b2 与 B a 2 b2 c 2 a 3 b3 a 3 b 3 c 3 的秩满足 a 1 b 1 c 1 2 A a 2 b2 c a 3 b3 c 3
128页7
λ取何值时， 方程组有解？
解
2 x 1 x 2 x 3 2 x1 2 x 2 x 3 x x 2 x 2 3 1 2

线性代数-非齐次线性方程组

线性代数-非齐次线性方程组

2 2 1 3
1 1 2 ~ 0 1 1 2 2 2 3 0 0 2 1 1 1 0 1 0 0

1
1 2
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
Ax b
A 系数矩阵
b=0,齐次线性方程组 b≠0,非齐次线性方程组
A ( A | b)
增广矩阵
一、非齐次线性方程组有解的判定条件
如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 A 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
与 Ax 0一定有解不同，非齐次 线性方程 组
Ax b (b 0) 不一定有解，而是有
c 为任意实数.
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
(1) r ( A) r ( A ) 方程组无解 .
(2) r ( A) r ( A ) n 方程组有唯一解；
(3) r ( A) r ( A ) < n 方程组有无穷多解；
而且通解中有n-r(A)个任意常数. 结论：两方程组同解，则系数矩阵的秩相同
对应同解方程组
所以方程组的通解为
x1 1 1 1 2 x2 1 0 0 x c1 0 c2 2 1 2 . (其中c1 , c2 R) 3 0 1 0 x 4

非齐次线性方程组解法

非齐次线性方程组解法

非齐次线性方程组解法
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性
方程组的一个特解（η=ζ+η*）。

非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。

1、非齐次线性方程组解法
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。

若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……，Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。

2、非齐次线性方程组解的判别
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组有解。

在有解的情况下，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，非齐次线性方程组有唯一解。

如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，非齐次线性方程组有无穷多解，如果有无穷多解，先求所对应齐次线性方程组的基础解系，再求出非齐次线性方程组的一个特解。

由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其对应的齐次线性方程组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解（通解）可表示为：对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组

3.3 非齐次线性方程组3.3.1问λ 取何值时方程组1212122(4)70(2)2302560x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩有唯一解、无穷多个解、无解？并在有无穷多个解时求出其通解。

解：由于系数矩阵不是方阵，故只能使用初等行变换法。

22472562230112565686022A λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎢⎥⎣⎦① 当1λ=-时，2571115022000A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由()()2r A r A ==，知方程组有唯一解。

由 11011150111000A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 知唯一截为12111511x x ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦② 当1λ≠-时，256011(1)(12)002A λλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，则若1λ=，则由()()2r A r A ==知有唯一解1251x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；若12λ=，则由()()2r A r A ==知也有唯一解121;21x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若1λ≠且12λ≠，则由()23()r A r A =≠=知方程组无解。

3.3.2 选择题（1）设A ＝1100011000111001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1234a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Ax b =有解的充分必要条件为（ D ）。

（A ）1234a a a a === （B ）12341a a a a ==== （C ）12340a a a a +++= （D ）12340a a a a -+-=（2）非齐次线性方程组Ax b =，对应的导出组方程组0Ax =，则（ D ）正确。

（A ） 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解 （B ） 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多组解 （C ） 若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =仅有零解 （D ） 若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =有非零解3.3.2设123,,a a a 是互不相同的常数，证明下面的方程组无解。

§2.4非齐次线性方程组

§2.4非齐次线性方程组
也线性相关。 证明 因为 β 1 , β 2 , 出，所以 r{ β 1 , β 2 , 已知 α 1 ,α 2 ,
, β n 可由 α1 , α 2 ,
, α n 线性表
, β n } ≤r { α1 ,α 2 ,
,α n }
,α n 线性相关，故有
r{ α 1 ,α 2 ,
,α n } < n
于是， r{ β 1 , β 2 , 由此可得 β 1 , β 2 ,
⇔
⎛ AT ⎞ ⎛O⎞ ⎟ X = ⎜ ⎟ 无解， ⎜ ⎜ bT ⎟ ⎝1⎠ ⎠ ⎝
证明 （1）设 AY = b有解，则存在一个Y0 ，使
T AY0 = b 。于是，Y0 AT = bT。
任取 AT X = 0 的一个解 X 0 ，则 AT X 0 = 0 。 因
b X0 =
T
T T (Y0 A ) X 0
⎛ AT ⎞ ⎛O⎞ 设 “⇐” 方程组 ⎜ T ⎟ X = ⎜ 1 ⎟ 无解 ，则 ⎜b ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
⎛ AT 秩⎜ T ⎜b ⎝
又
⎛ AT ⎞ ⎛ AT 0⎞ ⎟ ≠ 秩⎜ ⎟ 且 秩⎜ ⎟ ⎜ bT ⎟ ⎜ bT 1⎠ ⎝ ⎝ ⎠
⎛ AT ⎞ 0⎞ ⎟ +1 ⎟ = 秩⎜ ⎟ ⎜ bT ⎟ 1⎠ ⎝ ⎠
(∗)
令
⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 ⎟, α = ⎜ a22 ⎟, α1 = ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ m1 ⎠ ⎝ m2 ⎠
⎛ a1n ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a2 n ⎟, β = ⎜ b2 ⎟ , αn = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎟ ⎝ mn ⎠ ⎝ m⎠
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

非齐次线性方程组Ax=b
一、基本理论
线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩.
非齐次线性方程组的解集结构：
若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ).
解非齐次线性方程组的方法：
通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解.
二、Matlab 实现
调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.
若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b .
三、例子
例1. 求解线性方程组
123452451234512351
2
3
4
5
343226333
434222026231
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪---=-⎪⎪-++-=⎨⎪++-=⎪-+-++=
⎪⎩
A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]
A1 =
3 -
4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1
rref(A1)
ans =
1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
化为方程组
324
1551
0x x x x x x ++=-⎧⎪=⎨⎪=
-⎩
所以解为
15233354555311000001100011010x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
++
例2. 设函数2
y ax
bx c =++经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a , b , c .
解
1422930a b c a b c a b c ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
输入系数矩阵A 和右端项b
A=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);
增广矩阵1A A1=[A b]
A1 =
[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]
利用rref 求解 R=rref(A1)
R =
[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]
即解为
311
,,322
a b c =-==-
解二
判断方程组是否有解, 即系数矩阵A 的秩是否等于增广矩阵1A 的秩. rank(A)==rank(A1)
ans = 1 有解.
判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A 是否等于A 的列数n .
[m,n]=size(A); rank(A)==n
ans = 1
A 的秩等于列数n , 有唯一解.
直接用A 左除 b 求解 x=A\b
x = -3/2 11/2 -3
例 3. 设三种食物中每100g 中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.
三种食物用量各为多少才能保证所需营养？
解. 设脱脂牛奶用量为1x , 大豆面粉用量为2x , 乳清用量为3x .
1231231
2
3
36 51 133352 34 74450 7 1.13
x x x x x x x x x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩
A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]
A =
36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)
R =
1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332
所以脱脂牛奶的用量为27.72g ，大豆面粉的用量为39.19g ，乳清的用量为23.32g 。