非齐次线性方程组例题

线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n ,若小 0 (A为用"矩阵)的一组解为匚爲，…,爲一，且满足：(1)看岛宀雋円线性无关；⑵AX= 0的)任一解都可由这组解线性表示.则称刍易，…，蔦-为的二0的基础解系.称X =镯刍+ k為+…+为AX= 0的通解。

其中人,虬…，A-,为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组衣二0有解，则(1)若齐次线性方程组AT二0 (A为〃7"矩阵)满足r(A) = n ,则只有零解；⑵ 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) <n.(注：当山=/?时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式\A\=0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX=O所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若加是系数矩阵的行数(也即方程的个数)，"是未知量的个数，则有：(1)当加<"时，r(A)<m<n,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(2)当/；/ = //时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式卜| = 0；(3)当m =八且HA)="时，若系数矩阵的行列式则齐次线性方程组只有零解；(4)当川>”时，若r(A) < n ,则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) > n ,则齐次线性方程组无解。

1、求AT= 0 (A为m x //矩阵)通解的三步骤(1)A^-^C (行最简形)；写出同解方程组6T=0.(2)求出6T=0的基础解系⑶ 写出通解*=人刍+心金+•・・ + /-总t其中 7 也为任意常数.所以，原方程组的通解为X=k^+k2^2+k^ (人，町,2R).二、非齐次线性方程组的解法求AX- b的解(A mxn r(A) = r )用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关(1) <+1工0时，原方程组无解.⑵= 0” = ”时,原方程组有唯一解.⑶〃冲=0” S时,原方程组有无穷多解.其通解为焉爲+••• + &・《“，也,…,咕为任意常数。

已知非齐次线性方程组
常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。

非齐次线性方程组的表达式为：ax=b非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a, b)（否则为无解）。

含n-r个参数的通解。

求解的存有性
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。

非齐次线性方程组存有无穷多求解的充要条件就是rank(a)\ucn。

（rank(a)则表示a
的秩）
解法
非齐次线性方程组ax=b的解步骤：
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。

若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。

（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。

（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余
n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于c1，c2，..-r，即可写出。

线性方程组解的结构(解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 ｒ(A ）＝ ｒ <n ，若AX ＝ 0（Ａ为m n ⨯矩阵)的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足:（1) ,,,n r -12ξξξ线性无关；(2) A Ｘ = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为A Ｘ = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为A Ｘ ＝ 0的通解 。

其中k １，ｋ2,…, k ｎ-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系． 【定理】 若齐次线性方程组A Ｘ ＝ 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0(Ａ为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解; (２) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <．（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注:1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(２）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； (3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时,若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组;若()r A n >,则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)通解的三步骤(１）−−→A C 行(行最简形); 写出同解方程组CX =0． (2) 求出ＣX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1，k 2,…， k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n =)（注意:方程组的个数不等于未知量的个数(即m n ≠),不可以用行列式的方法来判断),从而可计算系数矩阵A 的行列式:23153121327041361247A --==≠---,知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注:此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解:将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解,其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩(其中3x ，4x ,5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =,得121,2x x ==-; 令30x =，41x =，50x =,得121,2x x ==-; 令30x =，40x =，51x =,得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以,原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ,2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX ＝ ｂ 的解(,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解,不妨设前ｒ列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解．1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时，原方程组有无穷多解．其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。

齐次和非齐次线性方程组的解法定稿This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -.2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有： （1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

非齐次方程组的解1、列出方程组的增广矩阵：做初等行变换，得到最简矩阵。

2、利用系数矩阵和增广矩阵的秩：判断方程组解的情况，R(A)＝R(A，b)＝3<4。

所以，方程组有无穷解。

3、将第五列作为特解：第四列作为通解，得到方程组的通解，过程如下图：扩展资料：非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。

若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于，即可写出含n-r个参数的通解。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。

（rank(A)表示A的秩）微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：1、形如的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如都算是二次项，而算0次项，方程中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。

2、形如（其中p和q为关于x的函数）的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是一次）。

“齐次”是指方程中没有自由项（不包含y及其导数的项），方程就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为“非齐次线性方程”。

另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项。

求非齐次线性方程组的全部解非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a， b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。

当系数矩阵a的秩等于增广矩阵b的秩时非齐次线性方程组有解。

（矩阵的秩就是指矩阵通过初等行变换和初等列变换得到的非零行或非零列的个数。

）当方程存有唯一解时，r(a)=r(b)=n；当方程组有无限多个解时,r(a)=r(b)=r\ucn；当方程组难解时，r（a）＜r（b）。

1、非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组比如：x+y+z=1;2x+y+3z=2;4x-y+3z=3;2、齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组例如：x+y+z=0;2x+y+3z=0;4x-y+3z=0;齐次线性方程组求解步骤：1、对系数矩阵a展开初等行转换，将其化成行阶梯形矩阵；2、若r(a)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(a)=r\ucn（未知量的个数），则原方程组存有非零求解，展开以下步骤：3、继续将系数矩阵a化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；4、挑选出最合适的民主自由未知量，并挑适当的基本向量组，代入同解方程组，获得原方程组的基础卢播，进而写下吉龙德。

（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。

若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。

（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。

（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数，即可写出含n-r个参数的通解。

3.3 非齐次线性方程组3.3.1问λ 取何值时方程组1212122(4)70(2)2302560x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩有唯一解、无穷多个解、无解？并在有无穷多个解时求出其通解。

解：由于系数矩阵不是方阵，故只能使用初等行变换法。

22472562230112565686022A λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎢⎥⎣⎦① 当1λ=-时，2571115022000A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由()()2r A r A ==，知方程组有唯一解。

由 11011150111000A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 知唯一截为12111511x x ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦② 当1λ≠-时，256011(1)(12)002A λλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，则若1λ=，则由()()2r A r A ==知有唯一解1251x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；若12λ=，则由()()2r A r A ==知也有唯一解121;21x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若1λ≠且12λ≠，则由()23()r A r A =≠=知方程组无解。

3.3.2 选择题（1）设A ＝1100011000111001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1234a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Ax b =有解的充分必要条件为（ D ）。

（A ）1234a a a a === （B ）12341a a a a ==== （C ）12340a a a a +++= （D ）12340a a a a -+-=（2）非齐次线性方程组Ax b =，对应的导出组方程组0Ax =，则（ D ）正确。

（A ） 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解 （B ） 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多组解 （C ） 若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =仅有零解 （D ） 若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =有非零解3.3.2设123,,a a a 是互不相同的常数，证明下面的方程组无解。