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久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标，是衡量债券价格对利率的敏感程度.久期具有双面性，在利率上升周期，要选择久期小的债券;在利率下降周期，要选择久期大的债券.凸性具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小,选择凸性较大的债券，对持有者越有利。
久期描述了价格—收益率（利率)曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大,而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。
凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。
在利率变化很小的时候,传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比）可以近似衡量债券价格和利率之间关系,但是更为精确的衡量则是修正久期。
久期(也称持续期，duration)是1938年由F。
R。
Macaulay提出的,以衡量债券利率风险最常用的指标，反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。
直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。
久期的计算比较麻烦，一般投资者没有必要自己去计算它。
久期取决于债券的三大因素：到期期限，本金和利息支出的现金流，到期收益率.债券的久期越大,利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。
在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;在升息时,久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券;在预期未来升息时，可选择久期小的债券.案例:某只债券基金的久期是5年,如果利率下降1个百分点，则该基金的资产净值约增加5个百分点；反之，如果利率上涨1个百分点，则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失.又如,有两只债券基金，久期分别为4年和2年，前者资产净值的波动幅度大约为后者的两倍。
久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。
（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。
比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。
（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。
1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。
1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。
债券市场的利率变动风险管理模型在金融市场中，债券市场是一个庞大且复杂的市场体系。
债券市场的利率变动风险是投资者最为关注和担忧的问题之一。
不同利率环境下的债券价格波动可能导致投资者面临的损失或者利润，因此，如何有效地管理债券市场的利率变动风险对投资者和金融机构而言非常重要。
为了管理利率变动风险，市场上出现了各种各样的模型和方法。
本文将介绍一种常用的利率变动风险管理模型——久期和凸度模型。
久期和凸度模型是一种衡量债券价格对利率变动的敏感度的方法。
久期是一个衡量债券价格对利率变动的平均敏感度的指标，凸度是一个衡量债券价格对于利率变动的非线性敏感度的指标。
通过计算债券的久期和凸度，投资者可以了解债券的价格变动程度，从而更好地管理利率风险。
在应用久期和凸度模型时，需要注意以下几点：首先，久期和凸度是基于债券的固有性质计算得出的，因此只适用于固定利率债券。
对于浮息债券或者其他复杂类型的债券，需要考虑其他因素。
其次，计算久期和凸度需要债券的基本信息，如债券面值、票息支付周期、到期日等。
这些信息可以从债券的招标文件或者市场数据中获得。
第三，久期和凸度可以通过数学方法计算得出，也可以通过现有的金融软件进行计算。
在计算时，需要注意所使用的计算方法和公式，以及数据的准确性。
第四，久期和凸度是一种近似的度量方法，不能完全准确地预测债券价格的变动。
它们只是一种辅助工具，帮助投资者在利率变动情况下作出更好的决策。
久期和凸度模型的应用可以帮助投资者更好地管理利率变动风险。
通过计算债券的久期和凸度，投资者可以了解债券价格对利率变动的敏感度，并根据自身的风险承受能力和投资策略来选择适合的债券组合。
此外，久期和凸度模型还可以用于构建债券组合以实现风险管理。
通过构建具有不同久期和凸度特征的债券组合，投资者可以通过平衡利率敏感度和收益之间的关系来降低风险。
另外，利用久期和凸度模型，投资者还可以进行风险敞口的分析和管理。
通过研究债券组合的久期和凸度，投资者可以评估其在不同利率环境下的表现，并制定相应的风险管理策略。
债券利率风险度量方法及其风险防范债券利率风险是投资者在持有债券时面临的利率波动所带来的风险。
随着市场利率的变动，债券的市场价值会波动，从而对投资者的回报产生影响。
为了衡量债券利率风险，投资者通常会使用不同的度量方法，并采取相应的风险防范策略。
1. 久期（Duration）与凸性（Convexity）方法：久期是衡量债券利率敏感性的一个主要指标。
它通过测量债券现值与市场利率之间的关系来度量债券的利率风险。
久期越长，意味着债券价格对利率的变动更为敏感。
凸性则衡量债券价格相对于久期的变动曲线的陡峭程度，可以进一步提供关于债券价格变动的信息。
在进行债券投资时，投资者可以通过计算久期和凸性来评估债券的利率风险，并根据其所承受的风险来选择合适的投资策略。
2. 收益率曲线分析方法：收益率曲线是显示不同到期期限的债券的收益率之间关系的图表。
通过对收益率曲线进行分析，投资者可以了解市场对未来利率走势的预期。
当短期债券的收益率高于长期债券的收益率时，表明市场预期利率将下降，投资者可能会选择购买长期债券以锁定较高的利率。
反之，当短期债券的收益率低于长期债券的收益率时，投资者可能更倾向于购买短期债券以追求更高的回报。
3. 历史数据分析方法：投资者可以通过分析历史债券收益率数据来了解债券利率风险。
这种方法基于过去的利率变动模式，通过检查债券价格在不同利率环境下的表现，来预测未来利率变动对债券价格的影响。
投资者可以参考历史数据来判断债券价格在不同利率水平下的回报和波动情况，从而制定相应的投资策略。
在应对债券利率风险时，投资者可以采取一些风险防范策略，以降低或规避风险：1. 多样化投资组合：投资者应该通过将资金分散投资于多个不同类型和到期期限的债券来降低风险。
不同债券的利率敏感性可能有所不同，多样化投资组合可以减轻由特定债券利率波动引起的风险。
2. 使用利率期货合约：利率期货合约可以提供对利率变动的保护。
当投资者认为市场利率将上升时，可以购买利率期货合约，在债券价格下跌时获得收益，以抵消其债券投资的损失。
利率风险度量方法
利率风险是金融市场中一个重要的风险类型，它涉及到资产负债表中的流动性管理和利差收入等诸多因素。
因此，对于金融机构来说，如何正确度量利率风险是非常重要的。
下面，我们将介绍几种常见的利率风险度量方法：
1. 久期度量法
久期是衡量债券价格对利率变动的敏感度的指标。
一般来说，债券的久期越长，其价格对利率变化的敏感度就越高。
因此，金融机构可以使用久期来度量其债券组合的利率风险。
对于一个债券组合，它的久期可以通过各种资产的久期加权平均得到。
2. 凸度度量法
凸度是衡量债券价格曲线斜率变化的指标。
一般来说，当利率变化较小时，债券价格曲线的斜率变化不大，而当利率变化较大时，价格曲线的斜率变化则较为显著。
因此，金融机构可以使用凸度来度量其债券组合在面临大幅利率变动时的敏感度。
3. 应变模型
应变模型是一种利率风险度量方法，它基于一个假设，即市场上所有投资者都遵循着相同的预期利率曲线。
通过应变模型，金融机构可以估计其债券组合在不同利率下的预期总收益，并计算出其利率风险。
总体来说，以上三种方法都可以用来度量金融机构的利率风险，但是
它们各自的优缺点需要根据实际情况来评估。
在实际操作中，金融机构也可以结合多种方法，以达到更为准确的利率风险度量。
•久期•凸度•久期和凸度公式推导•久期和凸度的经济意义Bond Coupon Maturity InitialYTMA 12% 5 years 10%B 12%30 years 10%C 3%30 years 10%D 3%30 years 6%AB C DChange in yield to maturity (%)P e r c e n t a g e c h a n g e i n b o n d p r i c e–ex.A B C–票面利息($)909090–面值1,000 1,000 1,000–Moody's Rating Aa Aa Aa–期限 5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.–YTM9%10%11%–价格1,000939856–Let yields decrease by 10% (8.1%, 9%, and 9.9% respectively).––新价格:1,0361,000931–%Price change: 3.6% 6.6%8.8%•债券期限越长，利率风险越大$0$50$100$150$200$2500%2%4%6%8%10%12%14%16%RateP r i c e 10 Year 20 Year 5 Year债券期限票面利率面值A58%100 B1010%100 C1513%100A？B?C?•李同学向张同学借了1000元钱，没有说明什么时候还。
张同学除了担心李能否还钱（本金安全）外，还担心什么？•李同学承诺三个月内还钱。
有三种方式让张同学选：A、三个月后一次性还1000元；B、第一个月末还200，第二个月末还300，第三个月末还剩下的500；C、每个月末平均还1000/3元。
从资金安全的角度看，张同学会选哪种？•久期(duration) ：将所有影响债券利率风险的因素全考虑进去，形成一个经过修正的投资标准期限，用以衡量债券价格的利率风险程度。
该标准期限越短，债券对利率的敏感度越低，风险越低；该标准期限越高，债券对利率的敏感度越高，风险亦越大。
•由麦考利(F.R.Macaulay, 1938) 提出，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
•计算公式：其中，D 是麦考利久期，是债券当前的市场价格，c t 是债券未来第t 次支付的现金流(利息或本金)，T 是债券在存续期内支付现金流的次数，t 是第t 次现金流支付的时间，y 是债券的到期收益率，PV(c t ) 代表债券第t 期现金流用债券到期收益率贴现的现值。
•决定久期的大小三个因素：各期现金流、到期收益率及其到期时间()()()1111/1[][] (6)PTtttTTt t t t t c ty c y PV c D t t P P ===×++==×=×∑∑∑•计算公式：其中，D p 表示债券组合的麦考利久期，W i 表示债券i 的市场价值占该债券组合市场价值的比重，D i 表示债券i 的麦考利久期，k 表示债券组合中债券的个数。
k1p i ii D W D ==∑•假设现在是0时刻，假设连续复利，债券持有者在t i 时刻收到的支付为c i (1≤i ≤n)，则债券价格P 和连续复利到期收益率的关系为：y ′∑=′−=n i t y i iec P 1−=′∂∂ni y P ∑∑=′−=′−==ni t y i i ni t y i i P ec t Pec t D ii11][PD y P−=′∂∂PP=∂yD D +=1*1P D y P y∂∂=−+Q•只有零息债券的麦考利久期等于它们的到期时间。
•附息债券的麦考利久期小于或等于它们的到期时间。
只有仅剩最后一期就要期满的附息债券的麦考利久期等于它们的到期时间，并等于1 。
•永续债券的麦考利久期等于，其中y 是计算现值采用的贴现率。
•在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。
•在息票率不变的条件下，到期时间越长，久期一般也越长。
•在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。
[]11y+•假设价格收益率曲线是线性的•假设利率期限结构是平坦的•假设未来现金流不随利率变化而变化•假设收益率曲线平行移动PricePricing Errorfrom convexity Duration•定义：凸度(Convexity) 是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度。
•如果说马考勒久期等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格，我们可以把债券的凸度(C) 类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。
即：221P C P y∂=∂用久期近似计算的收益率变动与价格变动率的关系不同凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的真实关系当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。
这说明：•(1) 当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整；•(2) 在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。
{{误差项+∂×∂∂×+∂×∂∂=22221i i P i i P dP Pi p i P i p i P p dP 误差项+∂××∂∂×+∂××∂∂=2221211434213210,022〉∂∂〈∂∂iPi P 凸性定义-1*价格久期价格凸性函数-1*修正久期凸性系数•考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：•当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为：()2*d 1d d 2P D y C y P =−+()2*21y C y D P P ∆+∆−=∆•若其他条件相同，通常到期期限越长，久期越长，凸度越大。
•给定收益率和到期期限，息票率越低，债券的凸度越大。
如相同期限•和收益率的零息票债券的凸度大于附息票的凸度。
•给定到期收益率和修正久期，息票率越大，凸度越大。
•久期增加时，债券的凸度以增速度增长。
•与久期一样，凸性也具有可加性。
即一个资产组合的凸度等于组合中单个资产的凸度的加权平均和。
•Fisher和Wei(1971)提出•核心思想是用未来收益的估计值进行现金流折现•有效避免了收益率曲线平坦的假定，但仍然假设收益率曲线平行移动•1993年，Frank Fabozzi提出了有效久期的思想。
•所谓有效久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券价格变动的百分比。
它直接运用不同收益率变化为基础的债券价格进行计算，这些价格反映了隐含期权价值的变动。
•有效久期：利率下降x个基点时债券价格；利率上升x个基点时债券价格；初始收益率加上x个基点；初始收益率减去x个基点；债券初始价格；•构建理论上的零息国库券即期收益率曲线•选定表示利率期限结构的数学模型•运用蒙特卡罗模拟法模拟m条利率路径•选定提前偿付模型并计算每一条利率路径上的现金流•计算期权调整利差•将OAS代入下面两式，将利率分别上移和下移一个固定的基本点，计算债券新价格。
其公式为:•代入公式可得有效久期：其中：详见：Vasicek(1997)、Cox,Ingersoll and Ross(1985)、Heath,Jarrow and Mortorn(1992)等•从20世纪80年代开始，一些研究人员提出了基于方向向量的多元久期理论，如Priman and Shores (1988)提出的多项式参数久期模型，Reitano(1990，199la，1991b，1992)提出的方向久期模型(Directional Duration)和偏久期模型(Partial Duration)，Ho(1992)提出的关键利率久期(Key-rate Duration)，Nawalkha and chambers(1997)提出的M一veoctr模型等。
•核心思想：将收益率曲线分为若干片段，在有限数量的水平上描述利率变动。
其中：模型创建者时间优点不足适用Maca ulay Macaulay1938反映债券价格对利率变动的敏感性无法度量利率大幅波动、收益率非平坦和非平行及隐含期权下的利率风险利率小幅波动且收益率平行移动且平坦及无隐含期权F-W Fisher、Wei 1971允许利率期限结构为任意形状隐含收益曲线平行移动非平坦和无隐含期权随机久期VasicekVasicek1977可度量收益曲线非平行移动下的利率风险建模复杂、计算、存在随机过程风险无隐含期权多元久期方向久期Reitano1990-1992度量非平坦和非平行的利率风险计算复杂、无法度量到期日资产无隐含期权有效久期FrankFabozzi1993可度量隐含期权的利率风险计算复杂、需借助模拟技术隐含期权。
