第十二章 二阶电路的时域分析

一阶电路和二阶电路的时域分析一、一阶电路的时域分析：一阶电路指的是由一个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。

对于串联的一阶电路，其特征方程为：L di(t)/dt + Ri(t) = V(t) ---------- (1)其中，L是电感的感值，R是电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。

通过对上述方程进行求解可以得到电路中电流与时间的关系。

对于并联的一阶电路，其特征方程为：1/R C dq(t)/dt + q(t) = V(t) ---------- (2)其中，C是电容的电容值，q(t)是电路中电荷的变化，V(t)是电路中的输入电压。

同样，通过对上述方程进行求解可以得到电路中电荷与时间的关系。

一阶电路的响应可以分为自由响应和强迫响应两部分。

自由响应指的是由于电路中初始条件的存在，电流或电荷在没有外部输入电压的情况下的变化。

强迫响应指的是由于外部输入电压作用而产生的电流或电荷的变化。

对于一个初始处于稳定状态的电路，在有外部输入电压作用时，电路中电流或电荷会从初始值开始发生变化，最终趋于一个新的稳定状态。

这一过程可以由电流或电荷的指数递减或递增的形式表示。

在分析一阶电路的时域特性时，可以利用巴塞尔函数法或拉普拉斯变换法。

巴塞尔函数法主要是通过巴塞尔函数的表达式计算电压或电流的变化情况；拉普拉斯变换法则通过将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，然后求解代数方程，最后再对求得的结果进行逆变换获得电流或电压的表达式。

二、二阶电路的时域分析：二阶电路是指由两个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。

对于串联的二阶电路，其特征方程为：L₁L₂ d²i(t)/dt² + (L₁R₁+L₂R₂+L₁R₂+L₂R₁) di(t)/dt + R₁R₂i(t) = V(t) ---------- (3)其中，L₁和L₂分别是两个电感的感值，R₁和R₂分别是两个电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。

二阶系统的时域分析二阶系统是指系统的传递函数为二次多项式的系统。

在控制工程中，常常会遇到这样一类系统，例如惯性系统、机械系统等。

对于这些二阶系统，我们不仅可以通过频域分析来研究其特性，还可以通过时域分析来了解其动态特性。

在进行二阶系统的时域分析时，可分为稳态分析和暂态分析两个方面。

稳态分析主要关注系统的稳定性、稳定偏差以及稳态响应等问题。

稳定性是指系统在输入信号恒定时是否能够收敛到一些有限的值。

对于二阶系统来说，稳定性分为两种情况：一是欠阻尼情况下的稳定性，二是过阻尼情况下的稳定性。

在欠阻尼情况下，系统的特征根是共轭复根，且位于单位圆内。

此时，系统的稳定性与初始条件无关，即系统总是能够收敛到稳态。

而且系统的稳态响应的振幅会发生一定的振荡，并随着时间逐渐减小。

该振荡的周期与系统的倍率有关，即与特征根的幅值有关。

在过阻尼情况下，系统的特征根是两个实根，分别对应着减震时间常数的倒数，且位于负实轴上。

此时，系统的稳态响应不会有振荡的情况发生，而是指数衰减的趋势。

稳态响应的衰减速率与特征根的位置有关，即与特征根的实部大小有关。

对于稳态偏差问题，我们可以通过查表法或直接计算法来求解。

稳态偏差是指系统在输入信号恒定时的输出值与预期值之间的差距。

通过分析系统的传递函数，我们可以得到系统的静态增益，从而计算出稳态偏差。

在暂态分析中，我们主要关注系统的动态响应，即系统在输入信号改变时的响应情况。

对于二阶系统来说，主要有两种典型的暂态响应情况：一是阻尼振荡响应，二是临界阻尼响应。

阻尼振荡响应是指系统在欠阻尼情况下的响应。

在这种情况下，系统会产生一定幅值的振荡，振荡的周期与系统的阻尼比有关，即与特征根的实部大小有关。

临界阻尼响应是指系统在特征根位于负实轴上时的响应。

此时，系统的响应既没有振荡也没有超调现象，而是以较快的速度趋近于稳态响应。

在实际工程中，我们可以通过使用MATLAB等软件工具来进行二阶系统的时域分析。

通过绘制系统的单位阶跃响应曲线、脉冲响应曲线以及动态响应曲线，并结合特征根分析法，可以对系统的动态特性进行深入研究。

二阶系统的时域分析二阶系统是指具有两个自由度的线性时不变系统，可以用二阶常微分方程来描述。

在时域分析中，我们可以通过研究系统的时间响应来了解系统的动态性能。

$$\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}}+2\zeta\omega_n\frac{{dy(t)}}{{dt}}+\omega_n^2y(t) = f(t)$$其中，$y(t)$是系统的输出，$f(t)$是系统的输入，$\zeta$是系统的阻尼比，$\omega_n$是系统的自然频率。

为了进行时域分析，我们通常关注以下几个方面的内容：零状态响应、零输入响应、阶跃响应和冲激响应。

首先，零状态响应是指当系统在其中一初始状态下，没有外部输入时的响应。

在二阶系统中，零状态响应可以表示为：$$\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}}+2\zeta\omega_n\frac{{dy(t)}}{{dt}}+\omega_n^2y(t) = 0$$通过求解这个方程可以得到系统的零状态响应。

其次，零输入响应是指当系统没有外部输入时的响应，也就是当$f(t)=0$时的响应。

在二阶系统中，可以通过设定初始条件（对应于零状态）来求解零输入响应。

接下来，阶跃响应是指当系统输入为单位阶跃信号时的响应。

单位阶跃信号可以用$\delta(t)$来表示，其傅里叶变换为$U(j\omega)=\frac{1}{{j\omega}}+\pi\delta(\omega)$。

阶跃响应可以通过将单位阶跃信号的傅里叶变换代入系统的传递函数来求解。

最后，冲激响应是指当系统输入为单位冲激信号时的响应。

单位冲激信号可以用$\delta(t)$表示，其傅里叶变换为$U(j\omega)=1$。

冲激响应可以通过将单位冲激信号的傅里叶变换代入系统的传递函数来求解。

在进行二阶系统的时域分析时，我们还可以研究系统的阻尼比对系统响应的影响。

当阻尼比$\zeta=1$时，系统处于临界阻尼状态，此时系统响应最快且无振荡；当阻尼比$\zeta<1$时，系统过阻尼，响应较慢且无振荡；当阻尼比$\zeta>1$时，系统欠阻尼，响应较快且有振荡。

实验二 MATLAB 数值计算：二阶电路的时域分析一、实验目的在物理学和工程技术上，很多问题都可以用一个或一组常微分方程来描述，因此要解决相应的实际问题往往需要首先求解对应的微分方程(组)。

在大多数情况下这些微分方程(组)通常是非线性的或者是超越方程(比如范德堡方程，波导本征值方程等)，很难解析地求解（精确解），因此往往需要使用计算机数值求解（近似解）。

MATLAB 作为一种强大的科学计算语言，其在数值计算和数据的可视化方面具有无以伦比的优势。

在解决常微分方程(组)问题上，MATLAB 就提供了多种可适用于不同场合(如刚性和非刚性问题)下的求解器(Solver)，例如ode45，ode15s ，ode23，ode23s 等等。

本次实验将以二阶线性电路-RLC 电路和二阶非线性电路-范德堡电路的时域计算为例，了解和学习使用MATLAB 作为计算工具来解算复杂的微分方程，以期达到如下几个目的：1. 熟练使用dsolve 函数解析求解常微分方程；2. 熟练运用ode45求解器数值求解常微分方程；3. 了解状态方程的概念，能使用MATLAB 对二阶电路进行计算和分析；二、实验预备知识1．微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。

如果未知函数是一元函数，称为常微分方程（Ordinary differential equations ，简称odes ）。

n 阶常微分方程的一般形式（隐式）为：0),,",',,()(=n y y y y t F （1）其中t 为自变量。

若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，否则就是非线性微分方程，例如方程2''(1)'0 y y y y μ--+=就是非线性的。

2．常微分方程的解及MATLAB 指令一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已知一个n 阶常微分方程（显式）：),,",',()1()(-=n n y y y t f y （2）若令(1)123,','',....,n n y y y y y y y y -====，可将上式化为n 个一阶常微分方程组：'1112'2212'12(,,,...)(,,,...) (,,,...)n n n n n y f t y y y y f t y y y y f t y y y ⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩（3）式称为状态方程，y 1, y 2, …,y n （即y , y ', y '', …, y (n-1) ）称为状态变量，其中y 1（即y ）就是常微分方程(2)式的解。

Chapter 7 一阶电路和二阶电路的时域分析主要内容1.动态电路的方程及其初始条件；2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。

§7-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。

2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。

根据KCL 、KVL 和支路方程式（VAR ）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。

一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC 电路、RL 电路）。

3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。

换路：电路或参数的改变引起的电路变化。

0=t ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 +0；-=0t ：换路前的最终时刻； +=0t ：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL ，KVL 和VAR 建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。

用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。

电路独立初始条件：)0(+C u 和 L i )0(+。

二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎰⎰ξξξξd tt i C t u t u d t t i t q t q C C C C C C 0000)(1)()()()()( 取 +-==0 ,00t t , 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰+-+--+-+ξξξξd i c u u d i q q C C C C C C 0000)(1)0()0()()0()0(若 有限）( M i C ≤， 则 0)(00=⎰+-ξξd i C ，且⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(C C C C u u q q 电容上电荷和电压不发生跃变！ ① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+, 0)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有 0)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。

实验二 典型二阶系统的时域响应与性能分析一、实验目的1、研究二阶系统的特征参量（ζ, ωn ）对过渡过程的影响。

2、研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。

二、实验设备PC 机一台，TD-ACS 教学实验系统一套。

三、实验原理典型二阶系统开环传递函数为：)1()1()(101101+=+=s T s T K s T s T K s G ；其中，开环放大系数01T K K = 。

系统方块图与模拟电路如图2-1与图2-2所示。

图2-1典型二阶系统方块图图2-2模拟电路图先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电电阻R 的理论值，再将理论值应用于模拟电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性。

设R T K K s T T s T 200,2.0,10110=====，系统闭环传递函数为：2222221)()(n n n s s TK s T s T KK s Ts K s R s C ωζωω++=++=++= 其中，自然振荡频率：RT K n 1010==ω 阻尼比：4102521RTKTn===ωζ 典型二阶系统的瞬态性能指标：超调量：21%ζζπδ--=e峰值时间：21ζωπ-=n p t峰值时间的输出值：211)(ζζπ-=+=e t C p调节时间：1）欠阻尼10<<ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈5324，，t n n s ζωζω2）临界阻尼1=ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈575.4284.5，，t nns ωω3）过阻尼1>ζ，⎩⎨⎧=∆=∆≈532411，p ，p t s ，1p -与2p -为二阶系统两个互异的负实根122,1-±-=-ζωζωnn p ，21p p ->>-，过阻尼系统可由距离虚轴较近的极点1p -的一阶系统来近似表示。

四、实验内容与要求1、实验前预先计算出典型二阶系统性能指标的理论值并填入实验对照表2-1中。

2、按模拟电路图接线，将信号源单元的“ST”端插针与“S”端插针用“短路块”短接，使每个运放单元均设置锁零场效应管，此时运放具有锁零功能。

基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程结构设计【摘要】本文主要探讨了基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程结构设计。

首先介绍了研究背景和研究意义，然后分析了Multisim在电路分析中的应用和二阶电路时域分析原理。

接着详细设计了基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程，包括实验步骤和实验效果评估。

结论部分探讨了教学过程结构的优势，并展望了未来的发展方向。

通过本文的研究，可以更好地理解二阶电路的时域特性，提高学生的实验操作能力和电路分析技能。

整合Multisim软件在教学中的应用，有助于提升教学效果，引导学生更好地理解和掌握电路分析知识。

【关键词】Multisim, 电路分析, 二阶电路, 时域分析, 教学过程设计, 实验步骤, 效果评估, 教学过程结构, 优势, 未来展望, 研究背景, 研究意义.1. 引言1.1 研究背景电路分析是电子信息类专业中非常重要的一门课程，而电路实验是电子信息类专业学生必修的实验课程之一。

在二阶电路时域分析实验中，学生需要掌握二阶电路的基本原理和分析方法，并且具备将理论知识应用到实际电路分析中的能力。

传统的二阶电路实验教学多采用基于实物电路板的方式进行，存在成本高、操作复杂等问题，同时实验结果的记录和分析也相对困难。

1.2 研究意义电路技术是电子工程学习的基础，二阶电路时域分析是电路理论中的重要内容之一。

基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程设计可以通过软件模拟实验，帮助学生更好地理解电路原理，提高他们的实验能力和电路设计能力。

这样的教学模式可以激发学生的学习兴趣，提高他们对电路技术的认识和理解，为培养高素质电子工程人才奠定坚实基础。

2. 正文2.1 Multisim在电路分析中的应用Multisim是一款功能强大的电子电路仿真软件，被广泛应用于电路设计和分析领域。

它可以模拟各种电子元件的特性，并且可以进行实时的电路仿真，让用户能够直观地了解电路的工作原理和性能。

基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程结构设计【摘要】本文主要围绕基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程结构设计展开讨论。

首先介绍了Multisim在电路仿真中的应用，然后探讨了二阶电路的时域分析原理。

接着通过一个具体的案例分析，阐述了基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程结构设计的具体步骤和方法。

随后对教学效果进行评估，并总结了教学过程中的启示。

最后展望未来研究方向，并对本文内容进行总结。

通过本文的研究，可以为相关教学工作提供借鉴和指导，丰富教学手段，提高教学效果，促进学生对电路技术的理解和应用能力的提升。

【关键词】Multisim, 二阶电路, 时域分析, 教学过程结构设计, 仿真, 教学效果评估, 启示, 研究展望, 总结1. 引言1.1 研究背景二阶电路是电子工程中常见的电路类型之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。

在时域分析中，对二阶电路的分析可以帮助学生深入理解电路的动态特性和响应规律。

基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程设计具有重要的教学意义和应用价值。

通过对Multisim在电路仿真中的应用、二阶电路的时域分析原理等相关知识进行研究和探讨，可以更好地指导教师设计教学过程、促进学生的学习和能力提升。

深入探讨基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程结构设计，对于提高教学质量和促进学生的综合能力发展具有重要意义。

1.2 研究目的本研究的目的是通过基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程结构设计，提高学生对电路理论的理解和实践能力。

具体包括以下几点目标：探索如何利用Multisim软件进行电路仿真，使学生能够在虚拟实验中模拟和分析电路的性能。

通过二阶电路的时域分析原理，帮助学生理解电路中的信号传输和滤波原理，培养其对电路运行特性的认识和分析能力。

设计基于Multisim的二阶电路时域分析教学过程结构，结合理论与实践，提高学生的实验操作技能和问题解决能力。