动态电路的时域分析
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《电路分析》——动态电路时域分析
iL(0+)= iL(0－) 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
注意:
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
《电路分析》——动态电路时域分 析
LC
L iL(0)
+
C uC(0)
-
LC
(a) 稳态时 的L和C
(b) 换路前有储能 的L和C
(c) 换路前无 储能的L和C
第5章 动态电路的时域分析
重点
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响应求解； 3. 稳态分量、暂态分量求解； 4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
《电路分析》——动态电路时域分 析
由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代 数方程来描述的，求解过程不涉及微分方程。
0
t
零输入响应
《电路分析》——动态电路时域分 析
5.3.2 一阶RC电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。
已知 uC (0－)=U0 ; uS =0
t
uc (t) U0e RC t 0
ic (t)
U0 R
e
t RC
t0
《电路分析》——动态电路时域分
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
e(t)
t0
(3)高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
an
d
n f (t) dt n
an1
d
n1 f (t) dt n1
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
注意:
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
《电路分析》——动态电路时域分 析
LC
L iL(0)
+
C uC(0)
-
LC
(a) 稳态时 的L和C
(b) 换路前有储能 的L和C
(c) 换路前无 储能的L和C
第5章 动态电路的时域分析
重点
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响应求解； 3. 稳态分量、暂态分量求解； 4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
《电路分析》——动态电路时域分 析
由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代 数方程来描述的，求解过程不涉及微分方程。
0
t
零输入响应
《电路分析》——动态电路时域分 析
5.3.2 一阶RC电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。
已知 uC (0－)=U0 ; uS =0
t
uc (t) U0e RC t 0
ic (t)
U0 R
e
t RC
t0
《电路分析》——动态电路时域分
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
e(t)
t0
(3)高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
an
d
n f (t) dt n
an1
d
n1 f (t) dt n1
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
第八章动态电路的时域分析(教案).docx
第8章动态电路的时域分析重点1.动态电路关于解变量的输入一输出方程的列写、换路定律及初始值的确定；2.一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、概念和求法；3.二阶电路的零输入响应及解的三种形式。
难点1.通过实验理解一阶电路的动态过程；2.通过典型例题和练习掌握冇关计算。
8. 1电路的暂态过程与换路定则含有动态元件（储能元件L、C）的电路叫做动态电路。
一、电路的暂态过程电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程。
称为电路的暂态过程，简称暂态。
暂态产生的原因是电感、电容等储能元件储存的能量发生了变化。
暂态产生的必要条件是动态电路发生了换路。
屯路中屯源的接人与切除、支路的接通和切断、元件参数的改变等统称为换路。
二、换路定则1、定理内容：电容电压（电荷）不能跃变，而只能连续地变化，否则，电流：将为无限大。
电感电流（磁链）也不能跃变，而只能连续地变化，否则，电压u将为无限大。
数学表达式为%c（0+）=况c（°J ] 江（0 亠）=ZL（O-））换路定则的实质是能量不能跃变。
需要指出：理想屯压源的屯压不受外部条件的影响，理想电流源的电流不受外部条件的影响，它们都不能因换路而跃变。
但是，理想电压源的电流、理想电流源的电压，却是可能跃变的。
三、初始值的确定电路中各元件的电压与电流在换路后的最初一憐间『 =（）+时的值，称为电路的初始值。
1、确定原则：1）电容兀件的初始电丿卡• ”c（0 ）及电感兀件的初始电流匚（0 ）为独立初始值，按换路定则确定。
2）换路时可能跃变的初始量，则需根据电容电压々（o’）及电感电流匚（0+）应用KCL、KVL和VCR來确定。
3）在较复杂的情况T, 40替代定理。
将电容元件用电压为々（0」收超獰电压源等效替代（若匚矽）,则代之以短路）;将电感元件用电流为的理想电流源等效替代（若=0 ,则代之以开路）。
例：如图所示的电路中，电压源的电压U S=12V,电阻&二40，& =80，开关S接通前电路已达稳定状态，且电容C未充电。
电路分析基础第4章 动态电路的时域分析
图4.2-4 例4.2-2用图(一)
第4章 动态电路的时域分析 解 (1) 先计算电容电压uC(0－)和电感电流iL(0－)。开关
开启前电路已处于直流稳定状态，这时电容相当于开路，电 感相当于短路，t=0－时的等效电路如图4.2-5(a)所示。由图(a) 可得
图4.2-5 例4.2-2用图(二)
第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析
(2) 根据换路定律，有
iL(0+)=iL(0－)=1 A (3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路，计算其他支路 电压、电流的初始值。根据置换定理，用一个电流值等于
iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件，画出t=0+时的等效电 路如图(b)所示。对图(b)中右边一个回路应用KVL，得
第4章 动态电路的时域分析 图4.2-1 动态电路过渡过程说明用图
第4章 动态电路的时域分析
4.2.2 换路定律 如果电容电流iC和电感电压uL在无穷小区间［t0－，t0+］
为有限值，则上面两式中等号右边第二项积分为零，于是有
uC (t0 iL (t0
) uC (t0 ) iL (t0 )
4.2.1 动态电路的过渡过程 当动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将从一
个稳定状态变化到另一个稳定状态，这种变化一般需要经历 一个过程，这个过程称为过渡过程。通常把电路中电源的接 入或断开，以及元件参数或电路结构的突然改变，统称为 “换路”。下面以图4.2-1(a)所示的动态电路为例来说明过 渡过程的概念。
第4章 动态电路的时域分析
4.1 电容元件和电感元件
4.1.1 电容元件 1. 电容元件的定义 电容元件是从实际电容器中抽象出来的理想化模型。实
第4章 动态电路的时域分析 解 (1) 先计算电容电压uC(0－)和电感电流iL(0－)。开关
开启前电路已处于直流稳定状态，这时电容相当于开路，电 感相当于短路，t=0－时的等效电路如图4.2-5(a)所示。由图(a) 可得
图4.2-5 例4.2-2用图(二)
第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析
(2) 根据换路定律，有
iL(0+)=iL(0－)=1 A (3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路，计算其他支路 电压、电流的初始值。根据置换定理，用一个电流值等于
iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件，画出t=0+时的等效电 路如图(b)所示。对图(b)中右边一个回路应用KVL，得
第4章 动态电路的时域分析 图4.2-1 动态电路过渡过程说明用图
第4章 动态电路的时域分析
4.2.2 换路定律 如果电容电流iC和电感电压uL在无穷小区间［t0－，t0+］
为有限值，则上面两式中等号右边第二项积分为零，于是有
uC (t0 iL (t0
) uC (t0 ) iL (t0 )
4.2.1 动态电路的过渡过程 当动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将从一
个稳定状态变化到另一个稳定状态，这种变化一般需要经历 一个过程，这个过程称为过渡过程。通常把电路中电源的接 入或断开，以及元件参数或电路结构的突然改变，统称为 “换路”。下面以图4.2-1(a)所示的动态电路为例来说明过 渡过程的概念。
第4章 动态电路的时域分析
4.1 电容元件和电感元件
4.1.1 电容元件 1. 电容元件的定义 电容元件是从实际电容器中抽象出来的理想化模型。实
动态电路的时域分析
R
L
t
（t0）
- u=
RI0e-
R
L
t
（t0）
iL(0-)=I0
iL +
I0
iL
Lu
R
-
0
t
（t0） iL(0)=I0
u
L
diL dt
+RiL=0
（t0）
-RI0
iL(0)=I0
10-1-1 一阶电路的零输入响应 2、RL电路 例4 图示电路中，iL(0-)=6A，求u。
iL + 1H u
-
8 0.5iL
L1
1
L2
R( L1 L2 ) t
[1 e L1L2 ]1(t)
1 L1
R( L1 L2 ) t
e L1L2 1(t)
例4 求图示电路中的uc(0+)、iL(0+)，设uc(0-)=0，iL(0-)=0。
1F
- + + uC -(t)
iL
1 5
- 1
6
H
(t+)
iL
iC (t=0)
1 5
+
uC(0-)=0
问题
RC
duC dt
+
uC
=1(t)
uC(0-)=0
（1）冲激响应与对应阶跃响应的关系
RC
dh dt
+ h =(t)
h(0-)=0
RC
ds dt
+ s =1(t)
s(0-)=0
10-1 一阶电路
10-1-2 一阶电路的零状态响应
3、冲激响应
（1）冲激响应与对应阶跃响应的关系
04 第4章 动态电路时域分析 学习指导及习题解答
第4章动态电路的时域分析学习指导与题解一、基本要求1．明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。
2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。
3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。
4．明确时间常数、零输入与零状态、暂态与稳态、自由分量与强制分量的概念，电路过渡过程中的暂态响应与稳态响应。
5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法。
能分析含受控源一阶电路的过渡过程。
6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用，完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式。
掌握阶跃函数和RC，RL电路阶跃响应的计算。
7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程，掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。
会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。
明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。
会计算RLC 串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。
二、学习指导电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。
教学内容可分如下四部分：1．过渡过程的概念；2．换路定律；3．典型电路中的过渡过程，包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析；4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。
着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念，计算一阶电路过渡过程的三要素法，完全响应是的零输入响应和零状态响应，阶跃响应，以及RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一） 关于过渡过程的概念与换路定律1． 关于过渡过程的概念电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。
电路过渡过程中的电压和电流，是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值。
(电路理论)第八章-线性动态电路的时域分析
在时域分析中，运算放大器可用于实现信号的放大、加减、积分、微分等运算，从而简化复杂电路的分析过程。
运算放大器使用注意事项
在使用运算放大器时，应注意其输入、输出范围以及共模抑制比等参数，避免信号失真或误差过大。
复杂电路时域响应求解技巧
初始值计算 列写微分方程 求解微分方程 分析响应特性 根据电路初始状态，计算各元件的初始值，如电容电压、电感电流等。 根据电路元件的伏安关系，列写电路的时域微分方程。 利用数学方法求解微分方程，得到电路的时域响应表达式。 根据时域响应表达式，分析电路的响应特性，如稳态值、时间常数等。
实验结果与仿真结果对比分析
观察实验测得的波形与仿真软件得到的波形是否一致，分析可能存在的误差原因。
对比实验波形与仿真波形
将实验测量得到的数据与仿真软件计算得到的数据进行对比，分析数据的准确性和可靠性。
对比实验数据与仿真数据
根据实验结果与仿真结果的对比情况，评估所建立的仿真模型的准确性，为后续的优化和改进提供依据。
初始条件与动态元件
第一章
初始条件概念及确定方法
在电路发生换路或动态过程开始的瞬间，电路中各独立电源及储能元件已存在的状态。 初始条件定义 通过电路换路前的稳态或上一状态的电路分析，利用基尔霍夫定律和元件的电压、电流关系来确定。 确定方法
动态元件特性与分类
在电路中，其电压或电流会随时间发生变化的元件，如电容、电感等。 电容元件的电压不能突变，其电流取决于电压的变化率。 电感元件的电流不能突变，其电压取决于电流的变化率。 根据动态元件在电路中的作用和特性，可将其分为储能元件和换能元件。 动态元件定义 电容元件特性 电感元件特性 分类
观察电路响应曲线随时间的变化趋势，若响应逐渐趋于稳定值，则系统稳定；若响应持续发散或振荡，则系统不稳定。
运算放大器使用注意事项
在使用运算放大器时，应注意其输入、输出范围以及共模抑制比等参数，避免信号失真或误差过大。
复杂电路时域响应求解技巧
初始值计算 列写微分方程 求解微分方程 分析响应特性 根据电路初始状态，计算各元件的初始值，如电容电压、电感电流等。 根据电路元件的伏安关系，列写电路的时域微分方程。 利用数学方法求解微分方程，得到电路的时域响应表达式。 根据时域响应表达式，分析电路的响应特性，如稳态值、时间常数等。
实验结果与仿真结果对比分析
观察实验测得的波形与仿真软件得到的波形是否一致，分析可能存在的误差原因。
对比实验波形与仿真波形
将实验测量得到的数据与仿真软件计算得到的数据进行对比，分析数据的准确性和可靠性。
对比实验数据与仿真数据
根据实验结果与仿真结果的对比情况，评估所建立的仿真模型的准确性，为后续的优化和改进提供依据。
初始条件与动态元件
第一章
初始条件概念及确定方法
在电路发生换路或动态过程开始的瞬间，电路中各独立电源及储能元件已存在的状态。 初始条件定义 通过电路换路前的稳态或上一状态的电路分析，利用基尔霍夫定律和元件的电压、电流关系来确定。 确定方法
动态元件特性与分类
在电路中，其电压或电流会随时间发生变化的元件，如电容、电感等。 电容元件的电压不能突变，其电流取决于电压的变化率。 电感元件的电流不能突变，其电压取决于电流的变化率。 根据动态元件在电路中的作用和特性，可将其分为储能元件和换能元件。 动态元件定义 电容元件特性 电感元件特性 分类
观察电路响应曲线随时间的变化趋势，若响应逐渐趋于稳定值，则系统稳定；若响应持续发散或振荡，则系统不稳定。
电路基础与实践 第4版 第3章 动态电路的时域分析
3.1.2 电容元件
第3章动态电路的时域分析
1.线性电容
i
线性电容极板上储存的电荷量和其端电压成正比：
q C
+
C
u
u－
C为电容量，单位：法拉（F）；常用单位：μF、pF
2.电容元件的电压电流关系（关联参考方向）
i dq C du dt dt
（电容元件的VCR）
u 1
t
i dt u(0)
开关闭合后：I=0,Uc=10V,新的 稳定状态
是否S闭合，UC就立即由0V升至10V呢
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0
闭合后：
WC
1 CU 2 1 1102 50(J )
2
2
？
电路基础与实践
第3章动态电路的时域分析
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0(J )
闭合后：
WC
1 CU 2 2
1 1102 2
1
t
i dt
C0
C0
u(0) — t = 0 时电压u的值，若u(0) = 0
电路基础与实践
3.电容元件储存的能量
第3章动态电路的时域分析
（关联参考方向）
电容 C 在任一瞬间吸收的功率：
p u i u C du P > 0 吸收能量 dt P < 0 释放能量
电容 C 在 dt 时间内吸收的能量：
3)熟练掌握三要素法求解一
析。 4)能够按照要求搭建动态电路，
阶电路。
会对电路进行测量、对测量数据
4)了解阶跃函数和阶跃响应。 进行分析处理，并形成报告。
2024年8月31日11时50分
5)会对动态电路进行仿真。
第3章动态电路的时域分析
1.线性电容
i
线性电容极板上储存的电荷量和其端电压成正比：
q C
+
C
u
u－
C为电容量，单位：法拉（F）；常用单位：μF、pF
2.电容元件的电压电流关系（关联参考方向）
i dq C du dt dt
（电容元件的VCR）
u 1
t
i dt u(0)
开关闭合后：I=0,Uc=10V,新的 稳定状态
是否S闭合，UC就立即由0V升至10V呢
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0
闭合后：
WC
1 CU 2 1 1102 50(J )
2
2
？
电路基础与实践
第3章动态电路的时域分析
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0(J )
闭合后：
WC
1 CU 2 2
1 1102 2
1
t
i dt
C0
C0
u(0) — t = 0 时电压u的值，若u(0) = 0
电路基础与实践
3.电容元件储存的能量
第3章动态电路的时域分析
（关联参考方向）
电容 C 在任一瞬间吸收的功率：
p u i u C du P > 0 吸收能量 dt P < 0 释放能量
电容 C 在 dt 时间内吸收的能量：
3)熟练掌握三要素法求解一
析。 4)能够按照要求搭建动态电路，
阶电路。
会对电路进行测量、对测量数据
4)了解阶跃函数和阶跃响应。 进行分析处理，并形成报告。
2024年8月31日11时50分
5)会对动态电路进行仿真。
电路分析(第六版)动态电路的时域分析
路后的iL(t)。
动态电路的时域分析
图7.14 题7.2 3图
动态电路的时域分析
图7.15 题7.2 4图
动态电路的时域分析
7.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应是指当电路初始状态为零时,由外加激励产 生的响应。外加激励可为直流 电源(电压或电流),也可为交 流电源。
动态电路的时域分析
7.3.1 RC 电路的零状态响应 如图7.16所示RC 串联电路,开关S闭合前uC(0- )=0,t=0
动态电路的时域分析
图7.18 RL 电路的零状态响应
动态电路的时域分析 根据图7.18中S闭合后的电路,依 KVL,有
式(7－17)也是一常系数一阶线性非齐次微分方程,它的解同 样由其特解icp和相应的齐次 方程的通解ich组成,即
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
图7.19 RL 电路零状态响应曲线
动态电路的时域分析 例 7.1 图7.2(a)所 示 电 路 中,已 知 US =18 V,R1 =1Ω,R2
=2Ω,R3 =3Ω, L=0.5H,C=4.7μF,t=0时,S闭合,设S闭合前电路已 处稳态。求i1(0+ )、i2(0+ )、 i3(0+ )、uL(0+ )、uC(0+ )。
图 7.2 例 7.1 图
L 相当于短路,此时电感电流 为iL(0- )=US/RS=Io。开关动作后
的初始时刻t=0+ 时,根据换路定律,有iL(0+ )=Io。
这时电感中的初始储能
将逐渐被电阻消耗直至殆
尽,电流为零,电感的消磁过程 便结束。下面通过数学分析,找
出电感电流和电压的变化规律。
动态电路的时域分析
图7.14 题7.2 3图
动态电路的时域分析
图7.15 题7.2 4图
动态电路的时域分析
7.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应是指当电路初始状态为零时,由外加激励产 生的响应。外加激励可为直流 电源(电压或电流),也可为交 流电源。
动态电路的时域分析
7.3.1 RC 电路的零状态响应 如图7.16所示RC 串联电路,开关S闭合前uC(0- )=0,t=0
动态电路的时域分析
图7.18 RL 电路的零状态响应
动态电路的时域分析 根据图7.18中S闭合后的电路,依 KVL,有
式(7－17)也是一常系数一阶线性非齐次微分方程,它的解同 样由其特解icp和相应的齐次 方程的通解ich组成,即
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
图7.19 RL 电路零状态响应曲线
动态电路的时域分析 例 7.1 图7.2(a)所 示 电 路 中,已 知 US =18 V,R1 =1Ω,R2
=2Ω,R3 =3Ω, L=0.5H,C=4.7μF,t=0时,S闭合,设S闭合前电路已 处稳态。求i1(0+ )、i2(0+ )、 i3(0+ )、uL(0+ )、uC(0+ )。
图 7.2 例 7.1 图
L 相当于短路,此时电感电流 为iL(0- )=US/RS=Io。开关动作后
的初始时刻t=0+ 时,根据换路定律,有iL(0+ )=Io。
这时电感中的初始储能
将逐渐被电阻消耗直至殆
尽,电流为零,电感的消磁过程 便结束。下面通过数学分析,找
出电感电流和电压的变化规律。
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析 第一节 换路及其初始条件一、电路的两种工作状态（稳态、动态） 1、稳态电路： （1）定义当电路在直流电源的作用下，各条支路的响应也是直流；当电路在正弦交流电源的作用下，各条支路的响应也是正弦交流，这种类型的电路称为稳态电路。
（2）特征：稳态电路中不存在换路现象，描述稳态电路的方程是代数方程。
2、动态电路： （1）定义当电路中含有储能元件或称动态元件（如电容或电感），电路中的开关在打开或闭合的过程中参数发生变化时，可使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态。
电路从一种稳态到达另一种稳态的中间过程称为动态过程或过渡过程。
过渡过程中的电路称为动态电路。
（2）待征：动态电路中存在动态元件且有换路现象，描述动态电路的方程是微分方程。
一阶电路：能够用一阶微分方程描述的电路； 二阶电路：能够用二阶微分方程描述的电路； n 阶电路：能够用n 阶微分方程描述的电路。
（3）存在原因：1）含有动态元件电感或电容 ::di L u L dtdu C i Cdt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2）存在换路：电路结构或参数发生变化 二、换路 1、定义：电路中含有储能元件，且电路中开关的突然接通或断开、元件参数的变化、激励形式的改变等引起的电路变化统称为“换路”。
（1）换路是在0t =时刻进行的（2）换路前一瞬间定义为：0t -=；换路后一瞬间定义为：0t +=； （3）换路后达到新的稳态表示为：t =∞。
2、换路定律：在换路时电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。
即：(0)(0),(0)(0)c c L L u u i i +-+-==。
注意：00()()C C i t i t +-≠，00()()L L u t u t +-≠，00()()R R i t i t +-≠，00()()R R t u t +-≠ 三、独立初始条件 1、定义：一个动态电路的电容电压(0)C u +和电感电流(0)L i +称为独立初始条件，其余的称为非独立初始条件，非独立初始条件需通过已知的独立初始条件来求得。
动态电路时域分析-精品文档
12 R2 0.6H L
U 220 （2）确定i () i ( ) 18 . 3 A R 12 2 L 0 . 6 （3）确定时间常数 0 . 05 S R 12 2
第8章 动态电路的时域分析
[例] 图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路 后经过多少时间电流才达到15A？ R1 i
u ( 0 ) 2 V C u ( ) 4 V C 2 m s 500 t u 4 2 e V C
4
2 t (S) 0
第8章 动态电路的时域分析
[例] 图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路 后经过多少时间电流才达到15A？ R1 i
[解] 先应用三要素法求 8 + 电流i t =0 U （1）确定i (0+) – 220V U 220 i ( 0 ) 11 A R R 12 1 2 8
将电路中的独立源置零（电压源短路、电流 源开路),通过化简，最终可化为一个RC回路（或 者RL回路）的电路，是一阶电路，否则不是一阶 电路。
第8章 动态电路的时域分析
二、一阶பைடு நூலகம்路的解法通论（三要素法）
一阶电路的微分方程：例：P199 （a）（b）（c）（d 结论： 任何一个一阶线性电路，其数学模型是可以 整理成一个如下方程：
第8章 动态电路的时域分析
[例] 在下图中，已知U1=3V， U2=6V，R1=1k R2=2k，C= 3F ，t<0时电路已处于稳态。用三要 素法求t ≥ 0 时的 uC(t),并画出变化曲线。 1 S [解] 先确定uC(0+) 2 R1 uC()和时间常数 t = 0 + + + uC C t<0时电路已处于 U1– R2 U2 – – 稳态，意味着电容相 当于开路。 R U 2 1 u ( 0 ) u ( 0 ) 2 V C C R R 1 2 R U 2 2 u ( ) 4 V C R R 1 2
动态电路的时域分析
7.2.1 直流激励下的零状态响应
一、RC 电路的常量输入的零状态响应
+ +
S(t 0) R
+
Us
uc C
-
-
R
+
Us
uc C
-
-
t=0－：uC(0－)=0
RC
duC dt
uC
US
t0
uC (0 ) uC (0 ) 0
微分方程及响应：
RC duC dt
uC
US
(t 0)
uC (0 ) uC (0-) 0
0
-Us
uCH
t
暂态分量(自由)
稳态分量(强制)
暂态响应 (transient response) ：齐次方程的通解不受输入的制约，称 为自由分量（固有响应）(natural response)。该响应随时间的增长而 衰减到零，又称为暂态分量。
稳态响应 (forced response) ：特解受电路输入的制约而与电路的初始 状态无关，称为强制分量；电路达到稳态后，电容元件的稳态电压等于 ucp，所以ucp又称为强制分量。
1t
uC (t) Ke RC (t 0)
RCp 1 0
p 1 RC
uC (0 ) U0
uC (0 ) Ke0 U0
1t
uC (t) U 0e RC V (t 0)
波形：
1t
uC (t) U 0e RC V (t 0)
uC
U0
0.368U0
0.135U0
t
0 2
i uC
U0
• 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
• 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
动态电路分析的基本方法是建立电路的微分方程，利用电路中的基尔
霍夫定律和伏安定律，推导出描述电路元件电压和电流变化关系的微分方程。
然后，通过求解微分方程，得到电路的时间响应，即电压和电流随时
间的变化规律。
动态电路的分析过程中需要考虑电路元件的动态特性，包括电容元件
和电感元件的存储能量和存储效应。
对于电容元件，其电压和电流之间的
关系可以用电容的充放电方程来描述。
而对于电感元件，其电压和电流之
间的关系可以用电感的变化率来描述。
在时域分析中，最常用的方法是Laplace变换法。
通过将电路中的微
分方程转化为复频域中的代数方程，可以大大简化电路的分析过程。
利用Laplace变换后的电路方程，可以通过进行代数运算和逆变换，得到电路
的时间响应。
动态电路的时域分析还需要考虑电路的初始条件。
对于包含存储元件
的电路，初始条件是指电容电压和电感电流在初始时刻的取值。
有时候，
电路的初始条件会影响电路的稳定性和响应速度，因此在进行时域分析时，需要充分考虑初始条件的影响。
此外，动态电路的时域分析还可以通过脉冲响应法进行。
该方法利用
电路的单位阶跃响应和冲击响应的线性叠加原理，可以将任意输入信号分
解为一系列单位阶跃函数和冲击函数，并通过对各个分量的处理来得到电
路的时间响应。
总之，动态电路的时域分析是电路理论中的重要内容。
通过对电路中各个元件的电压和电流随时间的变化进行分析，可以揭示电路的动态行为和响应过程，为电路设计和故障诊断提供重要的理论依据。
秋电路理论动态电路的时域分析
记忆特性：上式表明，线性非时变电容元件在t时刻的电 压值取决于从 –∞ 到t时刻的电流值。即电容
电压u与电容元件的电流i历史有关;电容元件具 有“记忆”电流的性质，是一种记忆元件 (memory element)。
u C uC uC (t0 ) U 0
uC
uC
uS UU00((tt0 )t0 )
1
(0.25s t 0.5s) (0.5s t 0.75s)
8t 8 (0.75s t 1s)
第10页/共160页
则电容电流为：
4
i
C
du dt
0 4
8
i(A) 4
(0 t 0.25s) (0.25s t 0.5s) (0.5s t 0.75s) (0.75s t 1s)
受控电压源表示去耦的等效电路模型：
i1
i2
L1 u1 M d i2
dt
L2
u M di1
2
dt
第28页/共160页
2. 线性耦合电感元件的串联和并联
（1）线性耦合电感元件的串联
i
u1
L1
u
M L2 u2
顺接
i
u1
u
L1 M
L2
u2
反接
i
u
Leq
u
u1
u2
(L1
di dt
M
di ) (M dt
di dt
在时间间隔[t0，t]内，电容元件吸收的能量为
t
t
q(t )
wC (t0,t)
t0 pCdt
uidt
t0
f (q)dq
q(t0 )
u
若q(t0)=0,则
wC
电压u与电容元件的电流i历史有关;电容元件具 有“记忆”电流的性质，是一种记忆元件 (memory element)。
u C uC uC (t0 ) U 0
uC
uC
uS UU00((tt0 )t0 )
1
(0.25s t 0.5s) (0.5s t 0.75s)
8t 8 (0.75s t 1s)
第10页/共160页
则电容电流为：
4
i
C
du dt
0 4
8
i(A) 4
(0 t 0.25s) (0.25s t 0.5s) (0.5s t 0.75s) (0.75s t 1s)
受控电压源表示去耦的等效电路模型：
i1
i2
L1 u1 M d i2
dt
L2
u M di1
2
dt
第28页/共160页
2. 线性耦合电感元件的串联和并联
（1）线性耦合电感元件的串联
i
u1
L1
u
M L2 u2
顺接
i
u1
u
L1 M
L2
u2
反接
i
u
Leq
u
u1
u2
(L1
di dt
M
di ) (M dt
di dt
在时间间隔[t0，t]内，电容元件吸收的能量为
t
t
q(t )
wC (t0,t)
t0 pCdt
uidt
t0
f (q)dq
q(t0 )
u
若q(t0)=0,则
wC
电路基本分析 第八章 动态电路的时域分析
duC C：iC = C dt
1.时域分析法：据电路定律列微分方程，求解。 2.复频域分析法（运算法）：由LT将微分方程转换为 代数方程求解，再求 LT-1 ，求得时域解。
3.状态变量法：建立状态变量的一阶微分方程组，计
算机求解。
Chapter 8 8-2 求解一阶电路的三要素法
一.一阶电路： 由电路定律列出的电路方程是一阶微分方程的电路。 判别方法：将电路中的全部独立源置0后，能简化为 只含一个储能元件的电路为一阶电路。
] 零状态响应
4． f (t ) = f ()[1 - e ] f (0 )e
-
t
-
t
t
= f () [ f (0 ) - f ()]e
-
t 0
即全响应可分解为零输入响应与零状态响应。
Chapter 8
小结： 1.一般来说，在含有储能元件的电路中，当开关动作或 参数突变时，电路从旧稳态到新稳态要经历一个过渡过程， 称为动态过程。 2.求解一阶电路动态响应的解是三要素公式。该公式是 通过一阶电路所列的一阶微分方程求解得到的。 3.电路的动态过程响应可分为零输入响应、零状态响应 和完全响应。对于一个电路的完全响应可视为零输入响应和 零状态响应的叠加。
Chapter 8
从以上证明可知，当iC 与uL 为有界函数时换路定则才 成立。 例如：
S (t = 0)
US
R
S (t = 0)
R
iC uC
C
iL
US
uL
L
图中 iC 与uL 在换路时都为有限值。
Chapter 8
3.说明一种情况： 例一: t <0 ：S闭合以前 uC(0－) =0， 换路时，由KVL可知：
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特征根为 所以
RCp 1 0
p 1 RC
1
uC Ae RC
将初始条件uC(0+)=Uo代入上式,可得A=Uo,则
1
uC (t) Uoe RC
(t 0)
（4—3）
式（4-3）就是零输入响应,即电容放电过程中 电容电压uC随时间变化规律的表达式。
i(t) C duC
Uo
1
e RC
dt R
换路后的初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。
＋
9V －
R
1 S(t＝ 0)
1
3
iL
i1
i2
＋
2
R2
1L
u L
6 H
－
R1
＋
U S
－
iL ( 0－)
i1(0＋) R1 R
2
i2( 0＋) 3A
＋
u( L
0＋)
－
(a)
(b)
(c)
图4.3 例4.2图
解 (1）作t=0—等效电路如图4.3（b）所示。则有
第二步,根据 t=0—等效电路,计算换路前的电
感 电流和电容电压:
iL (0 )
US R1 R2
18 1 2
6
uC (0 ) R2iL (0 ) 2 6 12V
根据换路定律,可得
iL (0 ) iL (0 ) 6 uC (0 ) uC (0 ) 12V
第三步,作t=0+等效电路如图4.2（c）所示,这时电 感L相当于一个12A的电流源,电容C相当于一个12V的 电压源。
4-8）、（4-9）和式（4-10）中可以 看出,iL(t)、uR(t)和uL(t)都是按同一时间常数的指数规律 衰减,它们随时间变化的曲线如图4.10所示。
u、 i Io
RIo uR iL
0 t
uL － RIo
图4.10 RL电路的零输入响应曲线
i1(0＋)
iL(0＋)
i2(0＋)
S(t＝ 0)
R2
R3
＋
＋
uL －
L uC－
C
＋
US －
R2
R3
＋ uC(0－)
－
＋
US －
＋ uL(0＋) －
R2 6A
R3
＋ 12 V
－
(a)
(b)
(c)
图4.2 例4.1图
解: 第一步,作t=0—等效电路如图4.2（b）所示,这 时电感相当于短路,电容相当于开路。
将
uR Ri,
i C duC（式中 dt
负号是因为电容电压和电流参考方
向不一致）其代入上式可得
C
RC
duC dt
uC
0
(t 0)
(4—2)
＋ － uC
S(t＝ 0) i
＋
R uR －
图4.5 RC电路的零输入响应
式（4-2）是一个常系数一阶线性齐次微分方程。 由高等数学知识可知其通解形式为uC=Aept。其中,常数 p是特征方程的根,A为待定的积分常数。式（4-2）的特 征方程可将uC=Aept代入而得
例4.1 图4.2（a）所示电路中,已知US=18V, R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, L=0.5H, C=4.7μF, －开关S在t=0 时合上,
设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、 uL(0+)、 uC(0+)。
＋
US －
R1
i1
iL
i2
R1 iL(0－)
£-
(c)
£«
C
uC R
£-
(d)
图4.8 例4.4图
有
解（1）作t=0–等效电路如图4.8（b）所示。则
uC (0 ) uC (0 ) 2 3 6V
（2）作t≥0电路如图4.8（c）所示,其等效电路如图4.8（d）
所示。则等效电阻 故电路的时间常数
R
2
RC 2 0.5 1s
1
uR (t) uC (t) Uoe RC
(t 0) （4—4） (t 0) （4—5）
2. RC电路的零输入响应曲线
从式（4-3）、（4-4）和式（4-5）中可以看出,电
压uC(t)、uR(t)和电流i(t)都是按同样的指数规律衰减的, 它们随时间变化的曲线如图4.6（a）、（b）所示。
4.1 换路定律及初始值的计算
4.1.1 过渡过程的概念
当开关S闭合时,电阻支路的灯泡立即发亮,而且亮
度始终不变,说明电阻支路在开关闭合后没有经历过渡过
程,立即进入稳定状态。电感支路的灯泡在开关闭合瞬间
不亮,图4.1实验电路然后逐渐变亮,最后亮度稳定不再变
化。
S(t＝ 0)
＋
R
C
L
US
－
图4.1 实验电路
例4.4 如图4.8（a）所示电路,在t=0时刻开关S闭合,S 闭合前电路已稳定。试求t≥0时的i1(t)、i2(t)和iC(t)。
i1 R1
i2
6
iC
2A
S(t£½0 )
C
R2
0.5 F 3
(a)
R1 6
£« R2 2 A uC(0£-) 3
£-
(b)
i1 R1
i2
6
iC
£« C
R2
uC 0.5 F 3
含有储能元件L、C（或称动态元件）的电路在换 路时通常都要产生过渡过程。
4.1.2 换路定律及初始值的计算 1. 换路及换路定律
设换路的瞬间 t 0 , 用 t 0来表示换路前的
终了瞬间。用 t 0 来表示换路后的初始瞬间。这样
确定电路的初始状态，也就是确定换路后的初始
时 t 0 ，电路中某条支路的电流值或电路中某两
点间的电压值。
在换路瞬间， 电容元件的电流有限时， 其电压uC不能跃变； 电感元件的电压有限时， 其电流iL不能跃变， 这一结论叫做换路定律。 则换路定律可表示为
uC (0 ) uC (0 ) iL(0 ) iL (0 )
(4——1)
响应在换路后的最初一瞬间（即t=0＋时）的值称为初 始值。 电容电压的初始值uC(0+)和电感电流的初始值iL(0+) 可按换路定律(4-1)式求出。 t=0-时的值由换路前的电路求 出， 换路前电路已处于稳态， 此时电容相当于开路， 电感
4.1.3 研究过渡过程产生的实际意义
研究电路的过渡过程有着重要的实 际意义: 一方面是为了便于利用它， 例如 电子技术中多谐振荡器、 单稳态触发器 及晶闸管触发电路都应用了RC充放电电 路；
另一方面， 在有些电路中， 由于电 容的充放电过程可能出现过电压、 过电 流， 进行过渡过程分析可获得预见， 以 便采取措施防止出现过电压、 过电流。
作业：P134页 4.1 4.2
4.2 一阶电路的零输入响应
4.2.1 RC电路的零输入响应
可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。除电压 源（或电流源）及电阻元件外，只含一个储能元件（电容 或电感）的电路都是一阶电路。
含有储能元件的电路与电阻电路不同，电阻电
路中如果没有独立源就没有响应；含有储能元件时，
iL (0
)
iL (0
)
US R1
9 3
3
（2）作t=0+等效电路如图7.3（c）所示。由此可得
i1(0 )
R2 R1 R2
iL (0 )
6 3
6
3
2
i2 (0 ) i1(0 ) iL (0 ) 2 3 1
uL (0 ) R2i2 (0 ) 6 (1) 6V
例4.3 如图4.4（a）所示电路,t=0时刻开关S闭合, 换路前电路无储能。试求开关闭合后各电压、电流的 初始值。
根据式（4—3）可得 uC 6eV
(t 0)
在图4.8（c）所示电路中,可求得
i1(t)
uC (t) R1
e
i2 (t)
uC (t) R2
2e
iC
(t)
C
duC (t) dt
3e
(t 0) (t 0)
(t 0)
作业：P134页 4.2 4.3 4.4 4.5
4.2.2 RL电路的零输入响应
uC、uR
Uo
0.368Uo
i
Uo R 0.36 Uo 8R
0
t
0
t
(a)
(b)
图4.6 RC电路零输入响应曲线
3. 时间系数τ 及其对暂态过程的影响
RC
欧
法
欧
库 伏
欧
安秒 伏
秒
与时间单位相同，与电路的初始情况无关，所
以将=RC称为RC电路的时间常数。
RC
(7——6)
引入时间常数τ后,式（4-3）、（4-4）和式（4-5）可表
示为
1
uC (t) Uoe
(t 0)
i(t)
Uo
1
e
R
1
uR (t) Uoe
(t 0) (t 0)
现以电容电压uC(t)为例来说明时间常数τ的意义。 图4.7画出了t=τ、2τ、3τ、…等不同时间的响应uC值
uC Uo
0.368Uo
1＜2＜3
0 1 2 3
t
图4.7 时间常数τ对暂态过程的影响
第四步,根据t=0+等效电路,计算其它的相关初始值:
i3(0 )
US
uc (0 ) R3
18 12 3
2
i1(0 ) iL (0 ) i2 (0 ) 6 2 8
uL (0 ) US R2iL (0 ) 18 2 6 6V