第06章 线性动态电路的时域分析

二、 教学方法
1．教法指导 举例说明一阶、二阶电路输入-输出方程的建立，并概括出标准形式。 在讲授初始值确定方法时，要注重初始值求解的分析过程：由初始值引出初始状态的概念， 进而引出起始状态的概念；给出用 0− 时刻电路求起始状态的方法等，并总结求初始值的步 骤（包括一阶导数的初始值）。 以直流激励的一阶、二阶动态电路为例介绍动态电路的经典分析法，并进而引出稳态分量 和暂态分量的概念。 在分析直流一阶电路的基础上总结得出三要素法。 强调几个重要的概念：稳态响应和暂态响应；零输入响应及零输入线性特点；零状态响应 及零状态线性特点；单位阶跃响应和冲激响应以及二者之间的关系。
三、 重点、难点和疑点及解决方法
1. 重点 一、二阶动态电路输入-输出方程的建立和动态电路状态方程的建立 直流一阶电路的三要素法 零输入响应和零状态响应的概念 单位阶跃响应和冲激响应
2. 难点和疑点 动态电路方程的建立 含受控源的一阶电路和二阶电路的分析 冲激响应的求解
3. 易混淆点、易错点、易忽略点 零输入响应、零状态响应、稳态响应、暂态响应之间的区别。 换路定则只能用来确定无跃变电路的电感电流、电容电压的初始值。其他变量的初始值只能 由 t = 0+ 时的等效电路确定。 三要素公式只适用于一阶电路。
x(t) =
ay1
+ by2
+
cf
s
(
t
)
⎧ ⎪ ⎨
y1 y1
= uC = uC1
, y2 = iL , y2 = uC2
⎪⎩ y1 = iL1 , y2 = iL2
式中， a 、 b 、 c 为常数，它们仅与电路结构和元件参数有关，与输入无关。 fs (t ) = is 或 us 或为输
入的线性组合。
（t
≥
t0
）
零输入响应和零状态响应的定义 单位阶跃响应和冲激响应的定义 状态方程和输出方程的标准形式 学习方法与建议 复习高等数学中微分方程的解法，特别是微分程的解分为通解＋特解，以及通过特征方程确 定通解的求解方法。对于经典分析法而言，一旦建立了电路的微分方程和确定了初始值，就 转化成了数学问题。因此，学习经典分析法时，要重点掌握微分方程的建立方法和初始值的 确定：起始状态 → 初始状态 → 初始值。 对于直流一阶电路的三要素法，重点掌握正确画出求解三个要素所需的电阻电路。 重点掌握零状态响应、零输入响应的概念；单位阶跃响应和冲激响应的定义及二者间的关系。 重点掌握状态方程和输出方程的直观列写方法。
激响应求解步骤如下：
① 由 t = 0 的电路确定 iC (0) 和 uL (0) ；
②利用公式
∫ ∫ uC
(0+
)
=
1 C
0+ 0−
iC
( 0) dτ
， iL
(0+
)
=
1 L
( ) u 0+
0− L
0
dτ
确定 uC (0+ ) 和 iL (0+ ) 。
③ 由 0+ 时刻的电路求初始值。
④ 将电路中冲激电源置零，求电路的零输入响应即为所求的冲激响应。 注：
由新的稳态电路（ t = ∞ 的电路）求新的稳态值 x (∞) 。
说明：
其它周期电源激励下的一阶电路响应的三要素公式为
x(t)
=
xp
(t)
+
⎡⎣x (0+
)
−
xp
(0+
)⎤⎦
e
−t τ
当
电源为同频率的正弦电源时， xp (t ) 为正弦稳态响应，可用相量法求解（见第 7 章）。当电
源为非正弦周期电源时， xp (t ) 为非正弦周期稳态响应，可用谐波法确定（见第 11 章）。
（3） 由 t = 0+ 时刻电路确定初始值 x (0+ ) 。
（2）确定 x′(0+ ) 。
x = iL 或 uC 时，
⎧ ⎪iL′
(
0+
)
=
⎪
⎨
diL dt
t =0+
=
⎪⎪uC′ ⎩
(0+ ) =
duC dt
t =0+
u =
L (0+ )
L
iC (0+
C
)
x ≠ iL 或 uC 时，根据换路后的电路将输出 x (t ) 用 uC (t ) 和 iL (t ) 及输入表示，即
零输入线性特性：零输入响应是起始状态的线性函数
零状态线性特性：零状态响应是输入的线性函数
（2） （3）
微分特性
输入为 df 时的零状态响应是输入为 f (t ) 时的零状态响应的导数。
dt 时不变特性
对于线性时不变电路，若在输入 f (t ) 作用下产生的零状态响为 xzs (t ) ，则在时间上延迟了 t0 的
无阻尼和欠阻尼属于振荡过程；过阻尼和临界阻尼属于无振荡过程；
识记知识
无跃变电路的换路定则
直流稳态下，电容相当于开路，电感相当于短路
直流一阶线性电路的三要素公式
x(t)
=
x(∞)
+
⎡⎣x (0+
)
−
x ( ∞ )⎤⎦
−t
eτ
（
t
≥
0
）或
x(t)
=
x(∞)
+
⎡⎣x (t0+
)
−
( ) −t−t0
x ∞ ⎤⎦ e τ
+
us (t)
−
2Ω
+
2Ω
us (t)
−
2Ω
2Ω
（a）
（b）
图1
【解】所用电量的参考方向如图（b）所示。由 KVL 和元件的 VAR 得
2 diL dt
+ uC
+ 2iL
= us
（1）
由元件 VAR 和 KCL 得
iL
= 0.5 duC dt
+
uC 2
（2）
将式（2）代入式（1），整理得以 uC 为输出的输入－输出方程为
根据两类约束，列出换路后电路的输入-输出方程（微分方程）；
求相应的初始值；
求输出的强制分量（电路微分方程的特解）；
求输出的自由分量（电路齐次微分方程的通解）；
将上述两个分量相加（微分方程的解＝齐次微分方程的通解＋微分方程的特解），并用初始
值确定待定系数，可得所求输出。
知识点 4 直流一阶电路的三要素法
响应的分解 单位阶跃响应、冲激响应、二阶电路零输入响应的特点
动态电路状态方程和输出方程的建立
学时
2 2 1 2 1
六、 随堂例题与练习
动态电路输入输出方程的建立
【例 1】列写图 1（a）所示电路中以电容电压为输出的输入－输出方程。
+uC (t ) −
0.5F
2H
0.5F
iL 2H
+ uC (t ) −
⎧⎪按过程分解 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪按因果分解 ⎪ ⎪ ⎪⎩
⎧暂态响应 ⎨⎩稳态响应 ⎧ ⎪ ⎪⎪零状态响应 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩零输入响应
⎧单位阶跃响应 ⎪⎪冲激响应 ⎨⎪基本性质 ⎪⎩卷积积分
⎪ ⎪⎪⎩状态方程
⎧状态方程 ⎨⎩输出方程
五、 学时安排：
内容 动态电路输入输出方程的建立和初始值的确定 动态电路的经典分析法、直流一阶电路的三要素法
由单位阶跃响应 s (t ) 求冲激响应 h(t ) 。由微分特性可知 h(t ) = ds 。
dt 冲激响应可以用复频域分析法求解（见第 13 章）。 知识点 7 电路的状态方程和输出方程 （1） 状态方程和输出方程的标准形式 状态方程的标准形式
x (t ) = Ax (t ) + Bf (t )
输入 f (t − t0 ) 作用下产生的零状态响为 xzs (t − t0 ) 。
知识点 6 单位阶跃响应和冲激响应 （1） 单位阶跃函数和冲激函数的定义以及二者之间的关系。 （2） 单位阶跃响应和冲激响应 电路对单位阶跃输入的零状态响应称为（单位）阶跃响应。阶跃响应的求解方法与直流激励下
零状态响应的求法相同。 电路对单位冲激输入的零状态响应称为冲激响应。冲激响应与零输入响应具有相同的性质。冲
输出方程的标准形式
y (t ) = Cx (t ) + Df (t )
（2） 状态方程和输出方程的直观列写法
状态方程的直观列写步骤：
选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为状态变量；
对每个独立的电容，选用一个节点或割集，并依据 KCL 和电容的 VAR 列写节点或割集方程；
对每个独立的电感，选用一个回路，并依据 KVL 和电感的 VAR 列写回路方程；
⎪ ⎪ ⎪ ⎪经典分析法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎪⎨初始值的确定 ⎪
⎧起始状态的确定 ⎪ ⎪⎨初始状态的确定 ⎪
⎧无跃变电路的换路定则 ⎨⎩跃变电路的电荷、磁链守恒
⎪ ⎪
⎪⎩初始值的确定
⎪ ⎪微分方程的解法 ⎪⎩
⎧经典解法 ⎨⎩直流一阶电路的三要素法
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪响应的分解 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理
成标准型。
输出方程的直观列写步骤：
若输出为状态变量，令自身相等；若输出为非状态变量，则需将其用状态变量和输入表示。
知识点 8 二阶电路零输入响应的特点
α = 0 ：无阻尼 α > ω0 ：过阻尼 α = ω0 ：临界阻尼 α < ω0 ：欠阻尼
2．学法指导 预备知识
数学方面：高等数学中求解微分方程的方法