现代控制理论(第三章)

L10
Chapter 3 Controllability and Observability of Linear Control Systems
引言

古典中：Y(s)既是输出又是被控量
(1)、 Y(s)肯定与R(s)有关系 ， (2)、 Y(s)肯定是可测量的。 因此，只要满足稳定，肯定能控能观
Modern Control Theory
现代控制理论 Modern Control Theory
沈阳建筑大学 信息与控制工程学院
第三章
线性控制系统的能控性和能观测性
Chapter 3 Controllability and Observability of Linear Control Systems
L10
Chapter 3 Controllability and Observability of Linear Control Systems
t0 t
若状态x(t 0 )为能控的，则有u (t )使x(t f ) 0 x(t f ) (t f , t 0 ) x(t 0 )
1

tf
t0
(t f , ) B( )u ( )d 0
因此x(t 0 ) (t f , t 0 ) x(t 0 )

tf
t0
(t f , ) B( )u ( )d

tf
t0
(t 0 , ) B( )u ( )d
Modern Control Theory
L10
Chapter 3 Controllability and Observability of Linear Control Systems
3.1.1 时变系统的能控性

f 0 (t f ) f (t ) n 1 1 f 有唯一解 A B f ( t ) n 1 f
(t f )]
X(0) B
AB
f 0 (t f ),
,f
n1
(t f )
2 rank [ B AB A B
A n1B] n
2 P2 A ( P A ) A P A P3 1 1 3 P3 A ( P2 A) A P A P4 1
n 1 Pn 1 A ( Pn 2 A) A P A Pn 1
P P 1 1 P P A P 2 1 , 其中P 1 ? n 1 P P A n 1 P 0 1B P AB 0 , 转置以后得 PB 1 n 1 P A B 1 1 1B P P 1 B P 1 AB AB
3.2控制系统的能观性
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一.能观性定义
定义： 对于线性定常系统 x Ax Bu, y Cx
在任意给定的输入 u(t) 下，能够根据输出量 y(t) 在
有限时间区间 [t0,tf] 内的测量值，唯一地确定系统
在 t0 时刻的初始状态 x(t0 )，就称系统状态x(t0 )是
X AX BU X PX Y CX
Y CX
X AX BU
A P 1 AP P非奇异 其中 B P 1B A与A为相似矩阵 C CP


det A det A, Rank ( A) Rank ( A)
a
i 1
n
ii
a ii ,
2.问题的提出 能控性问题？

x Ax Bu
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的， 它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解： 能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量 线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观 性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；

A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题