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现代控制理论第三章

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现代控制理论3

现代控制理论3

3
x3
b31
b32
b3 p
u3
xn
n xn bn1 bn2 bnp u p
➢其中的对角部分应用对角形可控判据 ，即要求输入矩阵B中 不出现全零行，则系统对角部分的状态可控。
➢约当部分，展开后可得
x&1 1x1 x2 b11u1 b12u2 L b1pup
x&2 1x2 b21u1 b22u2 L b2 pup
要求约当块最后一行对应的输入矩阵B中的行不出现全零行，则 系统约当部分的状态可控。
(b)
x&1 1 1
x&2
1
x1 b11 b12 L
x2
b21
b22
L
x&3
x&4
1 1
x3 x4
b31 b41
限 时 间 间 隔 0≤t≤nT 内 ， 针 对 任 意 初 态 x(0) 和 任 意 终 态
x(n)，当k＝n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)一定存在。
因此，k=n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)的解存在的条
件，即为系统可控时应满足的条件
令k=n ，
n1
x(n) Gn x(0) Gdetb
det Sc 0
Ab b1
b2
1b1 2b2
2b1b2 1b1b2
1 2
b1 0, b2 0
输入阵中无全零行
A
1
0
1
1
b
b1 b2
det Sc det b
Ab b1 b2
1b1 b2 1b2
1b1b2 (1b1 b2 )b2 b22
(2) 线性定常连续系统可控性判据

现代控制理论第三章课程电子教案

现代控制理论第三章课程电子教案
特点
现代控制理论强调数学建模、系统分析和优化，注重实际应用和工程实现，具有广泛的应用领域和重要的实际意 义。
现代控制理论的重要性
推动自动化技术发展
促进科技创新
现代控制理论是自动化技术的重要基 础，为工业自动化、智能制造等领域 提供了重要的理论支持和技术手段。
现代控制理论的发展和应用，推动了 科技创新和产业升级，为经济发展和 社会进步做出了重要贡献。
考试
期末闭卷考试，涵盖了课程的所有重点内容，包括系统建模、稳定性分析、状态反馈和 最优控制等。
学习效果评估
要点一
作业成绩
根据学生提交的作业，评估学生对控制理论知识的掌握程 度和应用能力。
要点二
考试成绩
根据期末考试成绩，评估学生对整个课程内容的掌握程度 。
教学改进建议
增加实践环节
为了提高学生的实际操作能力和 问题解决能力，建议增加实验或 实践环节，让学生亲自动手进行
课程目标
1
掌握现代控制理论的基本概念、原理和方法。
2
学会分析和设计控制系统，提高解决实际问题的 能力。
3
培养学生对控制理论的兴趣和热情，为后续学习 和工作打下基础。
02 现代控制理论概述
定义与特点
定义
现代控制理论是一门研究系统状态和行为变化规律的科学，通过数学模型和计算机仿真技术实现系统的分析和优 化。
状态转移矩阵的求解
02
通过系统的状态方程，求解状态转移矩阵，从而得到系统状态
的转移关系。
系统的稳定性分析
03
通过分析状态转移矩阵的性质，判断系统的稳定性，为后续控
制设计提供依据。
线性系统的状态反馈与极点配置
状态反馈控制器的设计
根据系统状态和期望的输出，设计状态反馈控制器，使得系统状态 能够跟踪期望的轨迹统的动态特性，实现系统性能的 优化。

现代控制理论第三章PPT

现代控制理论第三章PPT

( A
c1
,bc1 ) 的能控性，其中
1 0 0 0 A c1 0 0 2 5
解：
0 0 1 0 0 1 1 10
0 0 b c1 0 1
0 1 0 0 0 0 1 10 A3 c1b c1 0 1 10 101 1 10 101 1025
若取
u( t ) B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )
tf t0
x( t f ) Φ( t f ,t0 )[ x( t0 )
Φ( t0 ,t )B( t )B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )dt ]
( k 1,2, , n 1 )
假设 F( t ) Φ( t0 ,t )B( t ) 对上式关于时间t求一阶、二阶、直至n-1阶导数 ，可得
(t ) Φ (t , t )B(t ) Φ(t , t )B (t ) F 0 0
(t ) Φ(t0 , t )A(t )B(t ) Φ(t0 , t )B
实现最优控制和最优估值及其它系统综合
与校正的必要条件。
4.1 系统的能控性
[定义]设系统的状态方程为
(t ) A(t )x(t ) B(t )u(t ) x
对于任意非零初始状态 x(t0 ) ，如果存在容许控制u(t ) ，在有限时区
t [t0 , t f ] 将其转移到状态空间原点，即 x(t f ) 0 ，则称系统在
(t )] Φ(t0 , t )[A(t )B(t ) B
Φ(t0 , t )B1 (t )

现代控制理论ch3资料

现代控制理论ch3资料

x1能控，x2不能控 状态不完全能控
不能控系统
3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别
通过以上分析，可以得出以下几点结论： 1）系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵 A和控制矩阵b。 系统矩阵A是由系统的结构和内部参数决定的； 控制矩阵b是与控制作用的施加点有关的，因此系 统的能控性完全取决于系统的结构、参数，以及控 制作用的施加点。
3.1 能控性的定义
2. 线性连续时变系统的能控性
x A(t)x B(t)u
能控性的定义，与定常系统的定义相同，但是A(t)、 B(t)是时变矩阵不是而常系数矩阵，其状态矢量x(t) 的转移，与初始时刻t0的选取有关，所以在时变系 统能控性定义中，应强调在t0时刻系统是能控的 。
3.1 能控性的定义
(6)
x2
0
4
0
x2
4
u
x3 0 0 2 x3 0
状态不完全能控，不能控系统
3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别
(7)
x1 x2
1
0
1
1
0
x1
0
0 x2 b2 u
x3
0
0
2
x3
b3
状态完全能控，能控系统
3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别
1.单输入系统 x Ax bu
为简明起见，列举具有Jordan标准型的二阶系统， 对能控性加以分析。 例 (1)
x
1
0
0 0
2
x
b2
u
;
y c1 c2 x
3.2 线性定常系统的能控性判别
即 系统模拟结构图：
x1不能控，x2能控 状态不完全能控

现代控制理论第三章

现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2

现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性

现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性

1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。

现代控制理论--第三章 3 能观性

现代控制理论--第三章 3 能观性

J2
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ ⎥
X
+
BU
，Y
=
CX
J
n
⎥ ⎦
中，和每个约当块 Ji (i = 1,2, , k) 的首行相对应的C 阵中的那些相应列，其每列 元素不全为零。
若两个约当块有相同特征值，上述结论不成立；若想要上述结论成立，则需
要对应的C 阵中相应列是线性独立的。
综上可知，能观标准型实现一定能观；能观，则通过线性非奇异变换一定能 化成能观标准型实现。能控标准型实现一定能控；能控，则通过线性非奇异变换 一定能化成能控标准型实现。线性非奇异变换不改变系统的能控能观性。
n−1
∑ Y (t)凯－哈定理 b j (t)CA j X (0) j=0
（2）
〔1〕 SO 系统时： 即 C1×n 。
3
第三章 线性系统的结构特性
此时，下列的几个量都是标量： β0 = CX (0), β1 = CAX (0), β n−1 = CAn−1 X (0)
(3) → (2) ：
（3）
λI − A = λI − AT = λI − A = 0
○3 互为对偶的系统的传递矩阵互为转置：
G (s) = C (sI − )A −1 B
( ) ( ) G ( s) = C sI − A −1 B = BT sI − AT −1 CT
=
BT
⎡⎣( sI
) −
A
T
⎤ ⎦
−1
C
T
=
BT
⎡⎣( sI
−
)A
−1 ⎤T ⎦
CT
=
⎡⎣C (sI
−
)A −1
B
⎤T ⎦

现代控制理论3章

现代控制理论3章

3.2.2 状态能观性的判据 已知系统的动态方程
x’(t ) A(t ) x(t )
y C (t ) x(t )
x(0) x0
1、线性定常连续系统能观测性的格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统{A，C} 状态完全能观测的充要条件是：存在 时刻t1>t0，使如下定义的能观性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
16
例：给定线性定常系统的状态方程，判断能控性。
1 x1 1 x1 0 x1 x 2.5 1.5 x 1 u y 1 0 x 2 2 2
解：
1 1 1 0 AB 1 1 2.5 1.5 1 1 rank[ B AB] rank =1 2 系统不能控 1 1 s 1.5 1 1 1 0 s 1 Cadj ( sI A) B s 2.5 1 2.5 g ( s) s 1 sI A ( s 2.5)( s 1) ( s 1) 2.5 s 1.5

0 t1 0
t1
T x0 Wc (t0 , t1 ) x0 [ BT T (t0 , ) x0 ]T BT T (t0 , ) x0 d 0
T x0 Wc
(t0 , t1 ) x0 B (t0 , ) x0 d (t0 , ) x0 0
At k 0 n 1
y (t ) k (t )CAk x(0)
k 0
n 1
y (t ) 0 (t )Cx(0) 1 (t )CAx(0) n 1 (t )CAn 1 x(0) C CA x(0) y (t ) 0 (t ) 1 (t ) ... n 1 (t ) n 1 CA C CA =n rank n 1 CA

《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案

《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案
0 0 0 0 B0 1 1 2 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Co 0m 0m I m 0 0 0 0 0 1 第二步 : 判别该能观标准型实现的状态 是否完全能控。
T T T
0 1 0 Rc 0 0 1 （ 第 3 列 为 保 证 1 0 0 0 0 1 1 det Rc 0 ） Rc 1 0 0 0 1 0 0 1 4 ˆ R 1 AR 1 2 2 所以 A c c 0 0 2 ˆ R 1b 1 0 0T b
所以系统不能控不能观系统中a由系统模拟图可得状态空间表达式显然所以系统不可控系统显然所以系统不可观没有影响
第三章 作业
参考答案 3-1 （1） 法一：根据系统模拟结构图可以看出； 对应状态 x2 的方块是一个与输入 u 无联 系的孤立部分，于是不能控；状态 x4 对 输出 y 不产生任何影响， 于是不能观。 所以系统不能控不能观， 系统中 a, b, c, d 的取值对能控性与能观性没有影响。 法二： 由系统模拟图可得状态空间表 达式
Rank ( N ) 3 6 ， 所以该能控标准型实现
不是最小实现。为此必须按能观性进行
结构分解。 第三步，构造变换矩阵 Ro1 ，将系统按能 观性进行结构分解。取 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Ro ，求得 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Ro 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 于是

现代控制理论第三章答案可修改全文

现代控制理论第三章答案可修改全文

xc xc
0u 0
y cRc 1
1
1
xc xc
【习题3－12】试将下列系统按能观性进行结构分解。
1 2 1 0
(1) x 0 1
0
x
0u
1 4 3 1
y 1 1 1x
【解】判别能观性
c 1 1 1
N
cA
2
3
2
cA2 4 7 4
构造变换矩阵
Rank(N ) 2 n
将能控子空间按能观性分解
xc
0 1
8 1/ 3 6xc 1/ 6
1/ 3 1 1/ 3xc 0u
y1 1 2xc
c 1 2 Nc cA 2 4
Rank(Nc ) 1
Ro1
1 1
2
0
0 1 Ro 1/ 2 1/ 2
按能观性分解后：
0 0
即：
2 1 1
(2)
A
1 3
2
4
b
1 1
c 1
0
【解】M b
Ab
1 1
1 2
3
4
c 1 0
N cA 1
2
1 M
1
1 2 3 4
3 4 1 2
0
10
N
1
2 2 0
完全能控完全能观的条件：
3 2
4
0
1
2
0
(3)
M b
0 0 2 1
A 1
0
3
b
2
Ac 2
Tc21 ATc2
0 1
5 4
bc2
Tc21b
1 4
7 1
31 1 1
1 0

现代控制理论(第三章)

现代控制理论(第三章)
[ 解 ]：
3 2 5 4 2 1 1 1 2 2 2 4 4 M B AB A B 1 1 2 2 4 4


rankM rankMMT 2 dim A 3
系统不可控！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
多输出：
C CA dim A n rankN rank n 1 C A
条件满足即可， 不必写出所有的行！
nm n
阶可观测性矩阵
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
3.4* 离散时间系统的能控性与能观性
3.4.1 能控性矩阵 M 离散时间系统的状态方程如下： (1) 当系统为单输入系统时，式中 列矢量；G为系统矩阵 3.4.2 能观性矩阵N 离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。 (2) 式中, 为 维列矢量；C 为 输出矩阵，其余同式(6)。 ； 为标量控制作用．控制阵 为状态矢量 。 为 维
，在有限时间
。在这种情况下，称为状态的能达性。 驱动到 ，而不计较
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非
唯一的，因为我们关心的只是它能否将 的轨迹如何。 2．线性连续时变系统的能控性定义 线性连续时变系统： 3．离散时间系统
这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
4
1 x

x1
u
2 x


5
x2
6
y
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
3.1 能控性的定义

现 代 控 制 理 论第3章

现 代 控 制 理 论第3章

u

y c1 c2 X
系统方块图如图所示。
现代控制理论基础
解：用定理一：
AB

1

0
0 0 0
2

b2


b22

M B
AB
0
b2
0
b22

rank M=1, 系统不完全能控。
用定理二
Aˆ矩阵为对角线规范形，相应的
AB

0 b2
rank M=2,系统完全能控。
b2
b2
1

用定理三
矩阵 Aˆ 已为若当标准形,其最后一行对应的
素不全等于0，故系统完全能控。
阵中的行，元
事实上,系统状态x1 ,x2为串联型结构,无孤立部分,故系统完 全能控。
现代控制理论基础
例3－3：
X

1

0
1
1
X
若系统是能控的，则应j在0 k=N时
从上式解得u(0),u(1),…,u(N-1) ，使X(k)在第N个采样时刻 为0，即X(N)=0。从而有：
N 1
G N j 1Hu(j ) G N X(0)
j 0
G N 1Hu(0) G N 2Hu(1) GHu(N 2) Hu(N 1) G N X(0)
X AX(t ) Bu(t ) f(t )
（3）若状态方程为：
f(t)为不依赖于控制u(t)的扰动,则其解为：
X(t )
(t
t0 )X(t0 )
t (t
t0
)[Bu( ) f( )]d
现代控制理论基础 3-2 线性定常系统能控性判据

现代控制理论第三章答案

现代控制理论第三章答案
0
T1
T2
}
T1
}
根据定义， α x1 + β x2 是能控的。
3.5
若系统（3.1.1）是能控的，则对任意的状态 x0 和 xT ，试求一个控制律，使得系统状 （这说明了只要系统是能控的，则总可以找到适当的 态从 x (0) = x0 转移 x (T ) = xT 。 控制律，使得系统从初始状态转移到任意给定的状态。 ）
(
T
) ，故能
该系统能控性的实际意义是通过调节作用在小车 1 和小车 2 上的外力 u1 和 u2 ，可以使
容易看到上述矩阵不满秩，所以系统是不能控的。 3.3 考虑系统
2λ1
λ12 λ12 λ12
3λ12 ⎤ ⎥ λ13 ⎥ λ13 ⎥ ⎥ λ13 ⎦ ⎥
⎡ λ1 ⎢ x=⎢ ⎢ ⎢ ⎣0
λ2
0⎤ ⎥ ⎥ x + Bu ⎥ % ⎥ λn ⎦
若 λi 都是各不相同的， 则该系统是能控的充分必要条件是矩阵 B 不包含元素全为零的 行。 （注：这一方法的优点在于将不能控的那部分状态确定出来，并且这一方法可以应 用到具有 n 个互不相同特征值状态矩阵的状态空间模型） 证明：假设
T
故若取
u(t ) = − BT e − A tWc−1 (0, T ) x0 + BT e − A tWc−1 (0, T )e − AT xT
容易验证该控制律将实现所期望的状态转移。 3.6 若系统是能控的，则对任意的时间 T > 0 ，由式（3.1.7）给出的矩阵 Wc (0, T ) 都是非 奇异的。 证明： 若系统是能控的， 则由定理 3.1.1 知 rank(Γ c [ A, B]) = n 。 若反设存在一个常数 T > 0 ， 给出的矩阵 WC (0, T ) = 使得由式 （3.1.7） 使得

现代控制理论-稳定性_图文

现代控制理论-稳定性_图文

设 为动力学系统
的一
个孤立平衡状态。如果对球域S( )
或任意正实数 ＞0，都可找到另一
个正实数
或球域 S( )，当
初始状态 满足
时，
对由此出发的X 的运动轨迹有
，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳
定。如果 与初始时刻 无关，则 称平衡状态 为一致稳定。
2．渐近稳定和一致渐近稳定
设 为动力学系统
的一个孤立平衡状
然而,由于
对于任意
和任意
在 时不恒等于零
，所以典型点就不可能保持在切点处
(在切点上
），而必须运动
到原点.
例3.2 设系统方程为
确定系统平衡状态的稳定性。
解: 显然，原点(0，0)为给定系统的唯一 平衡状态。选取标准型二次函数为李氏函数， 即
（V(X)为正定）
当
时，
因此
是负半定的。
下面我们进一步分析 的定号性，即当
因此在构造 函数时，或者先试构造出 是正定 的，然后考察 的符号；或者先给出 是负定的， 然后确定 是否为正定；或者使 为正定，从系统 稳定性要求出发，推导出对于系统的限制。由上一 节例题可见，对于某些简单系统，特别是线性系统 或近似线性系统，通常可取 为X 的二次型。
一、线性定常系统的稳定性分析 设线性定常系统为 (3.2)
(1)正定性 当且仅当 X=0 时，才有V(X)=0； 对任意非零X，恒有V(X)＞0，则V(X)为正定。
(2)负定性 当且仅当X＝0时．才有V(X)＝0； 对任意非零X，恒有V(X)＜0，则V(X)为负定。
(3)正半定性与负半定性 如果对任意X≠0，恒有V(X)≥0，则V(X)为正半定。 如果对任意X≠0，恒有V(X)≤0，则V(X)为负半定。

现代控制理论3

现代控制理论3

λ1 λ3
x1 b11 x b 2 21 x3 + b31 ⋱ ⋮ ⋯ λ n x n bn1
⋯ b1 p u1 b22 ⋯ b2 p u 2 b32 ⋯ b3 p u 3 ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ bn 2 ⋯ bnp u p b12
0 0 A = P −1 AP = ⋮ 0 −a0 1 0 ⋮ 0 −a1 0 1 ⋮ 0 −a2 0 0 ⋱ ⋮ ⋯ 1 ⋯ − an −1 ⋯ ⋯
0 0 −1 b = P b = ⋮ 0 1
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
ɺ x = Ax + Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc = B AB ⋯ A B
满秩，即 示例
n−1
rankSc = n
(3) 可控标准形 状态方程具有可控标准形的系统一定可控。 结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
要求约当块最后一行对应的输入矩阵 中的行不出现全零行 要求约当块最后一行对应的输入矩阵B中的行不出现全零行，则 约当块最后一行对应的输入矩阵 中的行不出现全零行， 系统约当部分的状态可控。 系统约当部分的状态可控。
(b)
ɺ x1 λ1 1 x1 b11 x x b ɺ2 λ1 2 21 ɺ λ1 x3 = x3 + b31 ɺ b λ1 x4 x4 41 x5 λ2 x5 b51 ɺ b12 ⋯ b1 p u1 b22 ⋯ b2 p u2 b32 ⋯ b3 p u3 b42 ⋯ b4 p ⋮ b52 ⋯ b5 p u p

现代控制理论第3章能观测性及其判据讲义资料

现代控制理论第3章能观测性及其判据讲义资料

A
对A的每一个特征值λi之秩为n。（PBH判别法）
非奇异变换不改变系统的能观测性
定理三：线性定常连续系统，若A 的特征值互异，经非奇异变换后为
1
x
2
x Bu
n
y Cx
系统能观测的充分必要条件是 C 阵中不包含全为零的列
定理四：线性定常连续系统，若A阵具有重特征值，且对应每一个重特征 值只存在一个独立的特征向量，经非奇异变换后为：
设系统能观测,但 W (t0 , t1 ) 是奇异的,即存在非零初态,使
W(t0,t1)x0 0
x0TW(t0,t1)x00
xTt1 0 t0
T (t,t0 )C T (t)C (t)(t,t0 )d tx 0 0
t1 yT(t)y(t)dt 0 t0
y(t) 0
2：线性定常系统 定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是
观测的，简称不能观测。
定x 由(t义)于 ：( 设t nt0 维)x 系(t0 ) 统 的tt0 动(t态 方)B 程(为) u d u (xty) C A((tt))xx11s x1(B D 0)((ttx)1)uu
x2 (0) 1
x2
y(t)
s
2
若可对见状系态统空的间状中态的x(t任)的一能状观态测x(t0)，存在一有限时间t1-t0，使得由控制输入 u性(t与0,tx1)(和t0)输的出能y观(t测0,t1性)的是信等息价足的以确定x(该t0)系，统则是称不系能统观在测t0时的刻是完全能观测的。
1 0 0 4 1 10
ranckQ 3
系统是能控的
1 2
令x(1)=0 x(0)G1Hu(0)0 2
1 2 1 2 x1(0)
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B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
N为系统状态向量x的维数。
证明： 设初始状态t0=0，系统状态方程的解为：
x(t ) e x(0) e A(t ) Bu( )d
At 0 t
由可控性定义，若系统能控，则对任意的初始状 态矢量x(t0)应能找到u(t)，使之在[t0，t1]有限时间 区间内转移到0，即x(t1)=0，
能观性判据：当不考虑输入信号时，系统为
x ' Ax y Cx
状态完全能观的充分必要条件是
C CA n rank n 1 CA
证明：
系统状态的动态特性为：
x(t ) e A(t t0 ) x(t0 )
假设t0=0，
x(t ) e At x(0)
T G2 (s) G1 (s)
（3）对偶系统的特征方程
sI A sI AT
（4）对偶系统的能控性和能观性
S1
rank B AB An 1 B n
S2
T rank C
AT C T
( AT )n 1 C T n
C CA n rank n 1 CA BT T T B A rank n T T n 1 B ( A )
2 1 1 x' x u 0 1 0
1 2 1 1 0 x 0 1 u x' 0 1 0 1 0 3 0 0
输出能控性
x ' Ax Bu y Cx Du
yu (t ) e A(t ) Bu( )d
0 t
(3) 从输出方程可以看出，如果输出量y(t)的维数m 等于状态变量的维数n，并且C是非奇异的，则求解 状态将是十分简单的，即
x(t ) C 1 y(t )
但一般情况下，m<n，为了能够唯一的求出状态变 量，应在不同的时刻多测量几组输出数据，使之能 构成n个方程。
P 1 PA P 1 n 1 P 1A
又因为：
Pb 0 1 P Ab Pb 1 0 n 1 b 1 P 1A
P 1 b Ab An 1b 0 0 1
2 、能观标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ao x bou y Co x
0 1 Ao 0
an b1 b 0 an 1 ,b 2 o 1 a1 bn 0
Co 0 0
1
称为能观标准型，且该系统是完全能观的。
证明： 假设下式成立：
0 PAP 1 Ac an 1 1 a1
an 1
那么
0 PA an 1 P 1 a1
an 1
令
P 1 P P 2 Pn
判断下面系统的状态能控性和输出能控性
4 1 1 x' x u 2 3 2 y 1 0 x
判断下面系统的能观测性
0 1 1 2 x' x u 3 4 3 4 1 1 y x 2 2
P 1 0
0 1 b
Ab
A b
n 1
1
若状态空间方程为：
0 2 2 2 x 1 u x' 1 1 2 2 2 1 1 y 1 1 1 x
问系统是否能控？若能控，将其转化为能控标准 型
N为系统状态向量x的维数。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
m为系统输出向量的维数。
能观性判据：当不考虑输入信号时，系统为
x ' Ax y Cx
状态完全能观的充分必要条件是
则
P 0 1A P A 2 Pn A an 1 P 1 P 2 1 a1 Pn
an 1
进一步得：
P 1A P 2
2 P2 A P A P3 1
n 1 Pn 1 A P Pn 1A
判断下面系统的能观测性
0 1 1 2 x' x u 3 4 3 4 1 1 y x 2 2
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
定理 设线性定常系统的状态空间表达式为：
x ' Ax bu y Cx
an 1 ( ) An 1
x(0)
t1 n 1 i 0
0
a ( ) A Bu( )d
i i i t1 0
A B * ai ( )u ( )d
i 0
n 1
令 那么
n 1 i 0
i ai ( )u( )d
0
t1
x(0) Ai Bi B0 AB1 A2 B 2 An 1B n 1
一、线性连续系统的能控性 设线性定常系统的状态空间方程为：
x ' Ax Bu
能控性是指系统的输入能否控制状态的变化。 能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的时间 区间[t0，tf]内，将系统的任意初始状态转移到状态x(tf)， 那么该系统为完全能控的。若系统的n个状态变量中， 至少有一个状态变量不能控时，则称该系统是状态不 完全能控的。
第三章
线性控制系统的能控性和能观性
一、能控性 二、能观性 三、对偶原理 四、能控标准型和能观标准型 五、结构分解
六、传递函数与能控性和能观性之间的关系
能控性和能观性是现代控制理论中两个重要的基 本概念，它是由Kalman在1960年首先提出的。 现代控制理论中采用的状态方程描述了输入u(t) 引起状态x(t)的变化过程；输出方程描述了状态x(t) 变化引起输出y(t)的变化。能控性和能观性正是分别 分析u(t)对x(t)的控制能力以及y(t)对x(t)的反映能力。 这两个概念是与状态空间表达式对系统分段内部 描述相对应的，是状态空间描述系统所带来的新概念。
x(t1 ) 0 e x(0) e A(t1 ) Bu( )d
At1 0 t1
x(0) e A Bu( )d
0
t1
f () I A n a1 n1 a2 n2
f ( A) An a1 An1 a2 An2 An a1 An1 a2 An2
y(t ) Ce At x(0)
由凯莱-哈密尔顿定理
e i (t ) Ai
At i 0 n 1
y (t ) C i
0 (t ) I 1 (t ) I
C CA x(0) n 1 (t ) I n 1 CA
an1 an 0
an1 A an I 0 an1 A an I
那么
e
A
A2 2 A3 3 I A 2! 3! a0 ( ) I a1 ( ) A a2 ( ) A2 ai ( ) Ai
i 0 n 1
0 bc 0 1
Cc c1 c2
cn
称为能控标准型，且该系统是完全能控的。
定理 设线性定常系统的状态空间表达式为：
x ' Ax bu y Cx
若系统能控,那么就一定存在一个非奇异变换
x Px
将上述系统变换为能控标准型
x ' Ac x bcu y Cc x
Ac PAP1, bc Pb, Cc CP1
其特征多项式为
sI A sn a1sn1 an
变换矩阵P由下式确定：