辽宁省东北育才学校高三数学上学期第一次模拟考试试题文
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1 辽宁省东北育才学校高三数学上学期第一次模拟考试试题文
数学科（文）试卷
答题时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合2,0AxxxBxxx，则AB
A．[0,1] B．(,0) C．(1,) D．(,1)
答案：C
2．若1:1,:1pxqx，则p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
3．在复平面内复数3+41izi的对应点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：B
4．已知x、取值如下表：
0 1 4 5 6 8
1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3
从所得的散点图分析可知：与线性相关，且， 2 则
A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80
答案: B
5．设是等差数列，公差为，是其前项的和，且，，则下列结论错误．．的是
A． B． C．
D．和均为的最大值
答案：C
6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是
A． B．
C． D．
答案：B
7．设，将这五个数据依次输入下边程序框进行计算，则输出的值及其统计意义分别是
A．，即个数据的方差为
B．，即个数据的标准差为
C．，即个数据的方差为
D．，即个数据的标准差为
2
4 2 2 主视图 左视图
俯视图
开始
结束 输出是 否 输入(第6题图) 3
答案：A
8．已知区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为
A． B． C．
D．
答案：C
9.如果函数的图象关于点（1，2）对称，那么（ ）
A.－2，4 B.2，－4
C.－2，－4 D.2，4
【知识点】函数图象的对称中心.
【答案解析】A 解析 ：解： 4 ∵函数=，其对称中心为
，再由函数的图象关于点A（1，2）对称，可得=1，=2，
∴P=-2，n=4，故选A．
10．已知函数（其中），若将函数的图像向左平移个单位后所得图像关于轴对称，若将函数的图像向右平移个单位后所得图像关于原点对称，则的取值不可能．．．是 5 A． B． C．
D.
答案：B
11．下列四个图中，函数y=的图象可能是
【知识点】函数的图象变换及函数性质；排除法、特殊值法；定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊点的函数值.
【答案解析】C解析：解：∵是奇函数，向左平移一个单位得∴ 图象关于（-1，0）中心对称，故排除A、D，
当x＜-2时，y＜0恒成立，排除B．
故选：C 6 12.已知函数在上可导，其导函数为，若满足，，则下列判断一定正确的是
A. B.
C. D.
B
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题纸的相应位置.
13.已知，若，则 ．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值.
【答案解析】或解析 ：解：x≤0时，f（x）=x2-x=2，x=2（舍去）或x=， 7 x＞0时，f（x）=1+2lgx=2，lgx= ，故x=
综上所述：x的值为或
故答案为：或
14. 已知向量、满足，且，则 ．
答案：
15．在ΔABC中，，，则_______。
答案：
2sin²(A/2)=1-cosA=√3sinA √3sinA+cosA=1 2(√3/2sinA+½cosA)=1 √3/2sinA+½cosA=½
sinA·cos(π/6)+sin(π/6)·cosA=½ sin(A+π/6)=½ ∴A+π/6=5π/6 A=2π/3
sinBcosC=3cosBsinC 正弦定理和余弦定理得a^2=b^2+c^2+bc,a^2=2(b^2-c^2) 所以b^2-3c^2-bc=0, b/c==(1+√13)/2
8 16.已知总体中的个个体的数值由小到大依次为，，，，，，，，，，且总体的中位数为，平均数是，若要使该总体的方差最小，则
.200
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求的取值范围. 9 17.解:（Ⅰ），化简得，……3分
所以，又 所以 ……6分
(Ⅱ) ……9分
因为，，所以. ……11分
故的取值范围是 ……12分
18．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和Sn满足
（Ⅰ）求数列的前三项a1，a2，a3；
（Ⅱ）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式。 10 解析：（Ⅰ）在中分别令 得：
解得： ……3分
（Ⅱ）由得：
两式相减得： ……6分
……9分
故数列是以为首项，公比为2的等比数列．所以
……12分
19.（本小题满分12分）
某校高二年级在一次数学必修模块考试后随机抽取40名学生的成绩，按成绩共分为五组： 11 第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在90分以上（含90分）的记为级，成绩小于90分的记为级.
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从成绩为级和级的学生中共选出10人，求成绩为级和级的学生各选出几人?
（Ⅱ）已知是在（Ⅰ）中选出的成绩为级的学生中的一个，若从选出的成绩为级学 12 生中选出2人参加某问卷调查，求被选中的概率.
. 解：（Ⅰ）依题意，成绩为级的学生人数是人，
成绩为级的学生人数是人 ………2分
因为分层抽样的抽取比例为,故成绩为级的学生抽取出人
成绩为级的学生抽取出人 ……5分 13 （Ⅱ）将（Ⅰ）中选取的成绩为级的学生记作：，，，，，，.
则从这7人中选取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个
………8分 14 其中含的基本事件有：，，，，，，共6个.……10分
记事件“学生被选中”，则其概率 ………12分
20(本小题满分12分）
已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线.
(Ⅰ) 当时, 求的最大值;
(Ⅱ) 设直线与曲线的交点的横坐标分别为, 15 且, 求证: .
解：(Ⅰ)
单调递增， 单调递减，
(Ⅱ)不妨设，要证
只需证
16
，即
令
只需证
令 ，，在单调递增。
，，在单调递增。 17 ，
所以
21.（本小题满分12分）
已知函数().
（Ⅰ）是否存在实数，使得在区间上为增函数，上为减函数?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若当时，都有恒成立，求的取值范围.
21.解: （Ⅰ），∴， 18 若，使在（0，）上递增，在（，）上递减，
则，∴，这时，
当时，，递增。
当时，递减。
∴ ......4分
（Ⅱ）(方法1)
首先令得 19
即，则对恒成立，
这时在上递减，∴ ......6分
若，则当时，，，
不可能恒小于等于0
若，则不合题意 ......8分
若，则，，
∴，使，并且时，，这 20 时递增，，不合题意 ......11分
综上 ......12分
(方法2)
令△＝
若△，即，则对恒成立，
这时在上递减，∴ ......6分
以下同(方法1)
或者: 21 若，则，，
∴，使，
并且时，，这时递增，，
不合题意 ......11分
综上 ......12分
选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知是以为直径的圆上一点，于点，直线与过点的切线相 22 交于点，为中点，连接并延长交于点，直线交直线于点.
（Ⅰ）求证：是的切线；
（Ⅱ）若，求的半径．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极点与坐标原点重合，极轴与轴非负半轴重合，两个坐标系单位长度相同，己知倾斜角为的直线的参数方程AO BCHEFDG 23 为:(为参数)，曲线的极坐标方程为:.
（Ⅰ）若直线的斜率为，求直线与曲线交点的极坐标；
（Ⅱ）设曲线与直线相交于、两点，且，求.
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数（）.
