2020-2021学年重庆市某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)

试卷第1页，总15页 2020-2021学年重庆市某校高一（上）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列关系正确的是（ ）

A.{0}∈{0, 1, 2} B.{0, 1}≠{1, 0} C.{0, 1}⊆{(0, 1)} D.⌀⊆{0, 1}

2. 已知集合𝐴＝{1, 3𝑎}，𝐵＝{𝑎, 𝑏}，若𝐴∩𝐵={13}，则𝑎2−𝑏2＝（ ）

A.0 B.43 C.89 D.2√23

3. 设𝑥>0，𝑦>0，𝑀=𝑥+𝑦1+𝑥+𝑦，𝑁=𝑥1+𝑥+𝑦1+𝑦，则𝑀，𝑁的大小关系是（ ）

A.𝑀＝𝑁 B.𝑀<𝑁 C.𝑀>𝑁 D.不能确定

4. 若实数𝑎，𝑏满足𝑎≥0，𝑏≥0，且𝑎𝑏＝0，则称𝑎与𝑏互补，记𝜑(𝑎, 𝑏)=√𝑎2+𝑏2−𝑎−𝑏，那么𝜑(𝑎, 𝑏)＝0是𝑎与𝑏互补的（ ）

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 已知不等式𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1≥0的解集是{𝑥|−12≤𝑥≤−13}，则不等式𝑥2−𝑏𝑥−𝑎<0的解集是（ ）

A.{𝑥|2<𝑥<3} B.{𝑥|𝑥<2或𝑥>3} C.{𝑥|13<𝑥<12} D.{𝑥|𝑥<13𝑥>12}

6. 若𝑎>0，𝑏>0且𝑎+𝑏＝7，则4𝑎+1𝑏+2的最小值为（ ）

A.89 B.1 C.98 D.10277

7. 关于𝑥的不等式𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎<0的解集中恰有两个整数，则实数𝑎的取值范围是（ ）

A.−2<𝑎≤−1或3≤𝑎<4 B.−2≤𝑎≤−1或3≤𝑎≤4

C.−2≤𝑎<−1或3<𝑎≤4 D.−2<𝑎<−1或3<𝑎<4

试卷第2页，总15页

8. 下列说法正确的是（ ）

A.若命题𝑝，￢𝑞都是真命题，则命题“(￢𝑝)∨𝑞”为真命题

B.命题“若𝑥+𝑦≠5，则𝑥≠2或𝑦≠3”与命题“若𝑥＝2且𝑦＝3，则𝑥+𝑦＝5”真假相同

C.“𝑥＝−1”是“𝑥2−5𝑥−6＝0”的必要不充分条件

D.命题“∀𝑥>1，2𝑥>0”的否定是“∃𝑥0≤1，2𝑥0≤0”

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

下列各不等式，其中不正确的是（ ）

A.𝑎2+1>2𝑎(𝑎∈𝑅) B.|𝑥+1𝑥|≥2(𝑥∈𝑅,𝑥≠0)

C.𝑎+𝑏√𝑎𝑏≥2(𝑎𝑏≠0) D.𝑥2+1𝑥2+1>1(𝑥∈𝑅)

下列不等式中可以作为𝑥2<1的一个充分不必要条件的有（ ）

A.𝑥<1 B.0<𝑥<1 C.−1<𝑥<0 D.−1<𝑥<1

下列命题正确的是（ ）

A.∃𝑎，𝑏∈𝑅，|𝑎−2|+(𝑏+1)2≤0 B.∀𝑎∈𝑅，∃𝑥∈𝑅，使得𝑎𝑥>2

C.𝑎𝑏≠0是𝑎2+𝑏2≠0的充要条件 D.若𝑎≥𝑏>0，则𝑎1+𝑎≥𝑏1+𝑏

给定数集𝑀，若对于任意𝑎，𝑏∈𝑀，有𝑎+𝑏∈𝑀，且𝑎−𝑏∈𝑀，则称集合𝑀为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）

A.集合𝑀＝{−4, −2, 0, 2, 4}为闭集合

B.正整数集是闭集合

C.集合𝑀＝{𝑛|𝑛＝3𝑘, 𝑘∈𝑍}为闭集合

D.若集合𝐴1，𝐴2为闭集合，则𝐴1∪𝐴2为闭集合

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

已知集合𝐴＝{𝑥∈𝑍|𝑥2−4𝑥+3<0}，𝐵＝{0, 1, 2}，则𝐴∩𝐵＝________．

若“𝑥>3”是“𝑥>𝑎“的充分不必要条件，则实数𝑎的取值范围是________．

试卷第3页，总15页 若不等式𝑎𝑥2+2𝑎𝑥−4<0的解集为𝐑，则实数𝑎的取值范围是________．

已知𝑥>0，𝑦>0，且𝑥+3𝑦＝𝑥𝑦，若𝑡2+𝑡<𝑥+3𝑦恒成立，则实数𝑡的取值范围是________

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

解不等式：

（1）2𝑥−13−4𝑥>1；

（2）{𝑥2−2𝑥−3<0−𝑥2+3𝑥−2≤0 ．

已知全集𝑈＝𝑅，集合𝐴＝{𝑥|𝑥2−4𝑥−5≤0}，𝐵＝{𝑥|2≤𝑥≤4}．

（1）求𝐴∩(∁𝑈𝐵)；

（2）若集合𝐶＝{𝑥|𝑎≤𝑥≤4𝑎, 𝑎>0}，满足𝐶∪𝐴＝𝐴，𝐶∩𝐵＝𝐵，求实数𝑎的取值范围．

已知𝑝：对于∀𝑥∈𝑅，𝑥2+𝑘𝑥+𝑘>0成立，𝑞：关于𝑘的不等式(𝑘−𝑚)(𝑘−2)≤0(𝑚<2)成立．

（1）若𝑝为真命题，求𝑘的取值范围；

（2）若𝑝是𝑞的必要不充分条件，求𝑚的取值范围．

已如函数𝑓(𝑥)=𝑥2−(𝑚+1𝑚)𝑥+1．

（1）若不等式𝑓(𝑥)<0解集为{𝑥|13<𝑥<3}时，求实数𝑚的值；

（2）当𝑚>0时，解关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≥0．

重庆某湿地公园打算建造一个休闲花园，它的平面结构图如图所示，两个相同的矩形𝐴𝐵𝐶𝐷和𝐸𝐹𝐺𝐻构成面积为200平方米的十字形区域，且计划在正方形𝑀𝑁𝑃𝐾上建一座花坛，其造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/平方米，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/平方米．

试卷第4页，总15页

（1）设𝐴𝐷的长为𝑥米，试写出总造价𝑄（单位：元）关于𝑥的函数解析式；

（2）问：当𝑥取何值时，总造价最少？求出这个最小值．

设𝑛为正整数，集合𝐴＝{𝛼|𝛼＝(𝑡1, 𝑡2,…, 𝑡𝑛), 𝑡𝑘∈{0, 1}, 𝑘＝1, 2, ..., 𝑛}．对于集合𝐴中的任意元素𝛼＝(𝑥1, 𝑥2,…,𝑥𝑛)和𝛽＝(𝑦1, 𝑦2,…,𝑦𝑛)，记𝑀(𝛼, 𝛽)=12[(𝑥1+𝑦1+|𝑥1−𝑦1|)+(𝑥2+𝑦2+|𝑥2−𝑦2|)+...+(𝑥𝑛+𝑦𝑛+|𝑥𝑛−𝑦𝑛|)]．

（1）当𝑛＝3时，若𝛼＝(0, 1, 1)，𝛽＝(0, 0, 1)，求𝑀(𝛼, 𝛼)和𝑀(𝛼, 𝛽)的值；

（2）当𝑛＝4时，对于𝐴中的任意两个不同的元素𝛼，𝛽证明：𝑀(𝛼, 𝛽)≤𝑀(𝛼, 𝛼)+𝑀(𝛽, 𝛽)．并举一个使得等号成立的𝛼，𝛽的例子．

试卷第5页，总15页 参考答案与试题解析

2020-2021学年重庆市某校高一（上）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.

【答案】

D

【考点】

元素与集合关系的判断

集合的包含关系判断及应用

【解析】

根据集合元素与集合属于关系的定义，可判断𝐴，根据集合元素的无序性及集合相等的定义可判断𝐵，根据集合与集合的关系可判断𝐶，根据空集的定义，可判断𝐷．

【解答】

𝐴，“∈”用于表示集合与元素的关系，故：{0}∈{0, 1, 2}错误；

𝐵，根据集合元素的无序性，可得{0, 1}＝{1, 0}，故𝐵错误；

𝐶，集合{(0, 1)}中只有一个元素(0, 1)，集合{0, 1}中有两个元素0，1，故𝐶错误；

𝐷，空集是任一集合的子集，故⌀⊆{0, 1}正确．

2.

【答案】

C

【考点】

交集及其运算

【解析】

由𝐴，𝐵，以及𝐴与𝐵的交集，即可求出𝑎，𝑏的值．

【解答】

∵ 集合𝐴＝{1, 3𝑎}，𝐵＝{𝑎, 𝑏}，且𝐴∩𝐵={13}，

∴ 13=3𝑎⇒𝑎＝−1；

∴ 𝑏=13，

∴ 𝑎2−𝑏2＝(−1)2−(13)2=1−19=89．

3.

【答案】

B

【考点】

利用不等式比较两数大小

【解析】

利用“作差法”和不等式的性质即可得出．

【解答】

∵ 𝑥>0，𝑦>0，∴ 𝑁−𝑀=𝑥1+𝑥+𝑦1+𝑦−𝑥+𝑦1+𝑥+𝑦>𝑥1+𝑥+𝑦+𝑦1+𝑥+𝑦−𝑥+𝑦1+𝑥+𝑦=0，

试卷第6页，总15页 ∴ 𝑁>𝑀．

4.

【答案】

C

【考点】

充分条件、必要条件、充要条件

【解析】

我们先判断𝜑(𝑎, 𝑏)＝0⇒𝑎与𝑏互补是否成立，再判断𝑎与𝑏互补⇒𝜑(𝑎, 𝑏)＝0是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论．

【解答】

若𝜑(𝑎, 𝑏)=√𝑎2+𝑏2−𝑎−𝑏＝0，

则√𝑎2+𝑏2=(𝑎+𝑏)，

两边平方解得𝑎𝑏＝0，故𝑎，𝑏至少有一为0，

不妨令𝑎＝0则可得|𝑏|−𝑏＝0，故𝑏≥0，即𝑎与𝑏互补；

若𝑎与𝑏互补时，易得𝑎𝑏＝0，故𝑎，𝑏至少有一为0，

若𝑎＝0，𝑏≥0，此时√𝑎2+𝑏2−𝑎−𝑏=√𝑏2−𝑏＝0，

同理若𝑏＝0，𝑎≥0，此时√𝑎2+𝑏2−𝑎−𝑏=√𝑎2−𝑎＝0，

即𝜑(𝑎, 𝑏)＝0，

故𝜑(𝑎, 𝑏)＝0是𝑎与𝑏互补的充要条件．

5.

【答案】

A

【考点】

一元二次不等式的应用

【解析】

根据不等式𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1≥0的解集，利用不等式与对应方程的关系求出𝑎、𝑏的值，再代入不等式𝑥2−𝑏𝑥−𝑎<0中，化简后求出解不等式的解集即可．

【解答】

不等式𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1≥0的解集是{𝑥|−12≤𝑥≤−13}，

所以−12和−13是对应方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1＝0的两根，

由根与系数的关系知，{−12−13=𝑏𝑎−12×(−13)=−1𝑎 ，

解得𝑎＝−6，𝑏＝5；

所以不等式𝑥2−𝑏𝑥−𝑎<0可化为𝑥2−5𝑥+6<0，

即(𝑥−2)(𝑥−3)<0，

解得2<𝑥<3，

所以所求不等式的解集是{𝑥|−2<𝑥<3}．

6.

【答案】

B

【考点】

基本不等式及其应用

【解析】