重庆市复旦中学2020-2021学年高一上学期第一次月考 数学试题(含答案)

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1 重庆市复旦中学2020-2021学年高一上学期第一次月考

数学试题

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)

1．已知A＝{x|3－3x>0}，则有( )

A．3∈A B．1∈A

C．－1∉A D． 0∈A

答案 D解析 因为A＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.

2．若集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则有( )

A．a＝1，b＝－2 B． a＝－1，b＝－2

C．a＝2，b＝2 D．a＝－1，b＝2

答案 B解析 由A＝B知－1与2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴－1＋2＝－a，（－1）×2＝b，∴a＝－1，b＝－2.

3．设集合A＝{x|x2－x－6>0}，B＝{x|(x－k)(x－k－1)<0}，若A∩B≠∅，则k的取值范围是( )

A．{k|k<－3或k>1} B．{k|－2

C．{k|k<－2或k>2} D．{k|－3≤k≤1}

答案 C解析 A＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|k3或k<－2.∴k>2或k<－2.

4．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )

A．存在x0∈R，使得x02<0 B．对任意x∈R，都有x2<0

C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．不存在x∈R，使得x2<0

答案 A

5．设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A解析 由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2.故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件．故选A.

6．若a>1，则a＋1a－1取最小值时，实数a的取值是( )

A．2 B．a

C.2aa－1 D．3 ____________________________________________________________________________________________

2 答案 A解析 ∵a>1，∴a－1>0，∴a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥3，当且仅当a－1＝1a－1，即a＝2时取等号．

7．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )

A.23 B.223

C.33 D.233

答案 B

8. 已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为( )

A．{1} B．{－1，1}

C． {1，－1，0} D．{1，0}

答案 C解析 由已知得M＝{－1，1}，当a＝0时，N＝∅，满足N⊆M；当a≠0时，由1a＝－1得a＝－1，满足条件；由1a＝1得a＝1，满足条件．所以实数a的取值集合为{－1，0，1}．故选C.

9．不等式：1

A. (－2，0) B.（3，4)

C. (－2，0）∪（0，4） D. （－2，0）∪（3，4）

解析D 由x2－3x＋1>1，得x2－3x>0，∴x<0或x>3.由x2－3x＋1<9－x，得x2－2x－8<0，∴－23}∩{x|－2

10.已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.求1x＋1y的最小值为（

）．

A. 38＋333 B. 7＋21020

C.33

D.20

答案 B 1x＋1y＝1x＋1y·120(2x＋5y)＝1202＋5＋5yx＋2xy＝1207＋5yx＋2xy≥7＋21020，当且仅当2x＝5y时，等号成立．∴1x＋1y的最小值为7＋21020.

11．【多选题】若a>b>0，则下列不等式恒成立的是( )

A.bab＋1b

C．a＋1b>b＋1a D.2a＋ba＋2b>ab

答案 AC

12.【多选题】下列图象中能作为函数图象的是( ) ____________________________________________________________________________________________

3

答案 ACD

解析 B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B.

二、填空题（每题5分，共20分）

13. 若f(x+1)的定义域为[1，4]，则f(2x+3)的定义域为_______．[-12，1]

14．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝________．

解析 由题意知A∪B＝{1，2，3}，又因为B＝{1，2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁UB＝{3，4}，故A∩(∁UB)＝{3}．

15．已知不等式x2＋bx－b－34>0的解集为R，则b的取值范围是________．

答案 (－3，－1)

解析 由题知b2－4－b－34<0，即b2＋4b＋3<0，所以－3

16．已知函数p＝f(m)的图象如下图所示，则

(1)函数p＝f(m)的定义域为________．(2)p∈________时，只有唯一的m值与之对应．

答案 (1)[－3，0]∪[1，4]

(2)(0，2]

三、解答题（共70分）

17、（本小题满分10分）已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝2时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．

解析 (1)当m＝2时，B＝{x|2≤x≤5}，∴A∪B＝{x|1≤x≤5}．

(2)∵A⊆B，∴m≤1，m＋3≥2，解得－1≤m≤1，∴实数m的取值范围为－1≤m≤1.

18、（本小题满分12分）已知命题p：－2≤x≤10，命题q：1－m≤x≤1＋m，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解析 ∵q是p的必要不充分条件．∴p⇒q，qp，∴1－m<－2，1＋m≥10或1－m≤－2，1＋m>10，∴m≥9.∴实数m的取值范围为{m|m≥9}．

19、（本小题满分12分）已知x，y为正实数，且x＋2y＝3，求2xy＋12的最大值． ____________________________________________________________________________________________

4 解析 因为x，y为正实数，且x＋2y＝3，

所以2xy＋12＝（3－2y）·（2y＋1）≤3－2y＋2y＋12＝2，当且仅当3－2y＝2y＋1，即x＝2，y＝12时取等号，

所以2xy＋12的最大值为2.

20、（本小题满分12分）已知不等式ax2>3x－2的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b；

(2)解不等式acx2－(ac＋b)x＋b<0.

解析 (1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，

所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1，a>0.

由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a，解得a＝1，b＝2.

(2)由(1)知不等式acx2－(ac＋b)x＋b<0为cx2－(c＋2)x＋2<0，即(cx－2)(x－1)<0.

①当c＝0时，不等式为x－1>0，解集为{x|x>1}．

②当c>0时，不等式为x－2c(x－1)<0.

当c＝2时，解集为∅；当c>2时，2c<1，此时解集为x|2c

当01，此时解集为x|1

③当c<0时，不等式为x－2c(x－1)>0，此时不等式解集为x|x>1或x<2c.

综上所述，当c<0时，原不等式的解集为x|x>1或x<2c；当c＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当02时，原不等式的解集为x|2c

21、（本小题满分12分）设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

解析 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0，满足题意；

若m≠0，则m<0，Δ＝m2＋4m<0⇒－4

(2)方法一：要使f(x)<－m＋5在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立．

就要使mx－122＋34m－6<0在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立．

令g(x)＝mx－122＋34m－6，1≤x≤3. ____________________________________________________________________________________________

5 当m>0时，g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴0

当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.

综上所述，m的取值范围是x|x<67.

方法二：当x∈{x|1≤x≤3}时，f(x)<－m＋5恒成立，

即当x∈{x|1≤x≤3}时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．

∵x2－x＋1＝x－122＋34>0，又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<6x2－x＋1.

∵函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在1≤x≤3上的最小值为67，∴只需m<67即可．

综上所述，m的取值范围是x|x<67.

22、（本小题满分12分）已知函数y1＝x2＋2x＋a，y2＝y1x.(1)若不等式y1<0的解集是{x|a0恒成立，求实数a的取值范围．

解析 (1)根据题意，方程x2＋2x＋a＝0的两根分别为a和1，将x＝1代入得a＝－3.

(2)若a＝4，则y2＝y1x＝x2＋2x＋4x＝x＋4x＋2，因为x<0，所以－x＋4－x≥2－x·4－x＝4，

当且仅当－x＝－4x，即x＝－2(舍去正值)时等号成立，所以x＋4x≤－4，所以y2≤－4＋2＝－2，于是y2的最大值为－2.

(3)依题意当x≥1时，x2＋2x＋a>0恒成立，所以a>－(x2＋2x)恒成立．令t＝－(x2＋2x)，x≥1，则t＝－(x2＋2x)＝1－(x＋1)2，所以当x＝1时，t取得最大值，即tmax＝1－(1＋1)2＝－3，所以a>－3.