专题 二次函数图象与系数的关系
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试卷第1页，共10页类型一二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与字母a，b，c的关系【技巧】
一、利用二次函数的图象判断符号
例题1
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则应满足的条件是（）
A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＜0，c＜0D．a＞0，b＞0，c＜0
变式1
2．若二次函数y=ax
2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是二次函数图象与系数的关系试卷第2页，共10
页A．a＞0B．c＞0C．ac＞0D．bc＜0
变式2
3．若0a
，则二次函数221yaxx
的图象可能是（）
A
．B
．C
．D
．
二、函数图象共存问题
例题2
4．一次函数yaxb
的图象如图所示，则二次函数2
yaxbx的图象可能是（）
A
．B
．C
．
D
．
变式3
5．在同一平面直角坐标系中，二次函数2yax
与一次函数ybxc
的图象如图所示，则二次函数2yaxbxc
的图象可能是（）试卷第3页，共10
页A
．B
．C
．
D
．
变式4
6．二次函数2yaxbxc
的图象如图所示，则一次函数yaxc与反比例函数b
y
x
在同一平面直角坐标系中
的图象可能是（）
A
．B
．试卷第4页，共10页C
．D
．
变式5
7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（）
A．2,k
yykxx
x
B．2,k
yykxx
x
C．2,k
yykxx
x
D．2,k
yykxx
x
变式6
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2
＋b与y＝bx2
＋ax的图象可能是()
A
．B
．C
．D
．
类型二二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与b2
－4ac的关系
【技巧】
遇到b²－4ac时，运用函数与x轴交点个数判断：当有两个交点时：b²－4ac＞0，当有一个交点时：b²－4ac＝0，
当没有交点时：b²－4ac＜0
例题3
9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）试卷第5页，共10
页A．abc＜0，b2
﹣4ac＞0B．abc＞0，b2
﹣4ac＞0
C．abc＜0，b2
﹣4ac＜0D．abc＞0，b2
﹣4ac＜0
变式7
10．若二次函数y＝kx
2
﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣1B．k≤1且k≠0C．k＜﹣1D．k≥﹣1且k≠0
变式8
11．若抛物线y＝（a－1）x
2
－2x＋3与x轴有交点，则整数a的最大值是______．
变式9
12．已知关于x的二次函数y=x
2
﹣（2m+3）x+m2+2
（1）若二次函数y的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x
1，0），B（x
2，0），且满足x
12+x
2
2=31+|x
1x
2|，求实数m的值．
变式10
13．已知二次函数y＝x
2
－（m＋2）x＋2m－1
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3）．
①求函数图象与x轴的交点坐标；
②当0＜x＜5时，求y的取值范围．试卷第6页，共10页类型三二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与某些特殊点的关系
【技巧】
①遇到a＋b＋c、4a＋2b＋c、9a＋3b＋c...等时，代入特殊值x＝±1、±2、±3....即可
②（1）a、b：根据对称轴方程：b
x
a
，带入化简变形即可．
（2）a、c：联立对称轴方程：b
x
a
和一个特殊值带入2yaxbxc
，替换掉b然后化简变形即可．
（3）b、c：联立对称轴方程：b
x
a
和一个特殊值带入2yaxbxc
，替换掉a然后化简变形即可．
一、利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象判定2a±b以及a±b＋c的符号
例题4
14．已知二次函数y＝ax
2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．abc＜0B．b
2
﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．2a+b＝0
变式11
15．二次函数y＝ax
2+bx+c的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b
2
＜0；②4a+c＜2b；③2a﹣b＝0；④abc
＞0，其中正确结论的个数是（）试卷第7页，共10页A．4个B．3个C．2个D．1个
变式12
16．二次函数2yaxbxc
的图象如图所示，下列结论中正确的是()
①<0abc
②240bac
③2ab
④22()acb
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、利用二次函数图象判定ma＋nc或mb＋nc（m、n为非零整数）的符号
例题5
17．二次函数y＝ax
2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b
2
﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣
2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
变式13
18．二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b²＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c
＜0；④abc＞0，其中正确结论的个数有（）
A．4个B．1个C．2个D．3个
三、利用二次函数图象考查am2±bm＋c（a≠0，a、b、c为常数）与a±b＋c的关系试卷第8页，共10页例题6
19．如图，抛物线yax2
bxc
的对称轴是x1
．下列结论：①abc0
；②
b2
4ac0；③8ac0；
④5ab2c0，正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式14
20．如图，已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b－a＞c；③4a
＋2b＋c＞0；④a＋b＞m（am＋b）（m≠1）．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式15
21．二次函数2yaxbxc
的图象如图所示，有如下结论：①0abc
；②20ab
；③320bc
；
④2ambmab（m为实数）．其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式16试卷第9页，共10页22．如图，抛物线2yaxbxc
过点(1,0)
，且对称轴为直线1x
，有下列结论：
①<0abc
；②1030abc；③抛物线经过点
1(4,)y
与点
2(3,)y
，则
12yy
；④无论,,abc
取何值，抛物线都经过同一个点(,0)c
a
；⑤20ambma，其中所有正确的结论是_________．
巩固练习
23．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像中，观察得出了下面五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤3
ab
2
．你认为其中正确信息的个数有
A．2个B．3个C．4个D．5个
24．已知二次函数的解析式为2yaxbxc
（a
、b
、c
为常数，0a），且20aabac，下列说法：①
240bac；
②0abac
；③方程20axbxc有两个不同根
1x
、
2x
，且
12110xx
；④二次函数的图象与坐标轴有
三个不同交点，其中正确的个数是（）．
A．1B．2C．3D．4
25．二次函数2yaxbxc
图象如图，下列正确的个数为(
)
①0bc
；②230ac；③20ab
；④20axbxc有两个解
1x
，
2x
，当
12xx
时，
1>0x，
20x
；⑤0abc；试卷第10页，共10页⑥当1x
时，y
随x增大而减小．
A．2B．3C．4D．5
26．二次函数y=ax
2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a+b+c=0；④当x＞1时，函
数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，-1＜x＜3．其中，正确的说法有___________（请写出所有正确说法的序
号）．
27．对于二次函数y=x2
﹣2mx﹣3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为﹣3．
其中正确的说法是_____．（把你认为正确说法的序号都填上）
