上海中学高三数学综合练习(2)

上海中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．363．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=4．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2CD5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．256．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．87．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||PM 的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．10810．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12C ．32D ．32±12．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.15．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．三、解答题：共70分。

2023届上海静安区高三二模考试数学试卷2023.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1.若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=___________.2.已知{n a }是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、6a 成等差数列，则2q =___________.3.若复数21iz =+（i 为虚数单位），则i z -=___________.4.已知(1,2)A ，)1B -两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为___________.5.已知()0,απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则cos α=________．6.已知ABC 中，sin 3sin cos A C B =，且2AB =，则ABC 面积的最大值为___________.7.已知函数()(0)21xxa f x a =>+为偶函数，则函数()f x 的值域为___________.8.已知向量(a = ，且a ，b的夹角为π3，()()234a b a b +⋅-= ，则b 在a 方向上的投影向量等于___________.9.某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg ）的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下个体编号体重x （kg ）脂肪含量y （%）1892828827366244592359329673257822987725910030106723建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：___________.（结果中回归系数保留三位小数）10.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为正方形11BCC B 的中心，则直线EF 与侧面11BB C C 所成角的正切值是___________.11.今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g 的这种袋装奶糖的质量指标X 是服从正态分布()2500,2.5N 的随机变量.若质量指标介于495g（含）至505g （含）之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为_________%（结果保留一位小数）（已知()()()10.8413,20.9772,30.9987.Φ≈Φ≈Φ≈()x Φ表示标准正态分布的密度函数从-∞到x 的累计面积）12.若101010xy -=，其中R x y ∈，，则2x y -的最小值为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分.】13.若直线l 的方向向量为a，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是（）A.()()1,0,0,2,0,0a n ==-B.()()1,3,5,1,0,1a n ==C.()()1,1,3,0,3,1a n =-=D.()()0,2,1,1,0,1a n ==--14.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring ”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t 分钟后，游客距离地面的高度为h 米，π28cos 786t h ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.若在1t ，2t 时刻，游客距离地面的高度相等，则12t t +的最小值为（）A .6B.12C.18D.2415.设直线1:220l x y --=与2l 关于直线:240l x y --=对称，则直线2l 的方程是（）A.112220x y +-=B.11220x y ++=C.5110x y +-=D.10220x y +-=16.函数ln y x x =（）A.严格增函数B.在0,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是严格增函数，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格减函数C.严格减函数D.在0,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是严格减函数，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格增函数三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17.已知各项均为正数的数列{n a }满足111,23n n a a a -==+（正整数2)n ≥（1）求证：数列{}3n a +是等比数列；（2）求数列{n a }的前n 项和n S .18.如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD BC FE AB AD ⊥∥∥，，若2AD AF AB ===，1BC FE ==.（1）求五面体ABCDEF 的体积；（2）若M 为EC 的中点，求证：平面CDE ⊥平面AMD .19.已知双曲线Γ：22221x y a b-=（其中0,0a b >>）的左、右焦点分别为1F （-c ，0）、2F （c ，0）（其中0c >）.（1）若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为2y x =；直线l 的倾斜角为4π，在y轴上的截距为2-.直线l 与该双曲线Γ交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点，求△12MF F 的面积；（2）以坐标原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P .过P 作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线Γ的离心率.20.概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处.设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望.（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.根据上述信息写出下面这张22⨯列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验.（显著性水平0.05)α=习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计脑瘤部位在左侧的病人a b 42脑瘤部位在右侧的病人c d 46总计a +cb +d88参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中，()2 3.8410.05n a b c d P χ=+++≥≈，21.已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++.（其中a 为常数）（1）若2a =-，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）当a<0时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由.参考答案：一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）.1.{0，1，2}2．134.（）5..6.37.（0，8.9.y=0.186x+11.57110..11.95.4或95.5都对．12.1+2lg2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）13.C14．B15.A16.D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分）解：（1）证明：已知递推公式，两边同时加上3，得，，，故，（直接将已知递推公式代入等比数列定义计算也可：）又，所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列．（2）数列通项公式为，.18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）解：证明（1）因为AD =2，，取AD 中点N ，连接EN ，因为，所以EN AF=1,CN//=AB=1又平面ABCD ，，所以EN ⊥平面ABCD ，ABF-NCE 为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，三棱锥E-CDN 是高等于1底面是等腰直角三角形．五面体ABCDEF 的体积=棱柱ABF-NCE 的体积+棱锥E-CDN 的体积．即：V==.（2）以A 为坐标原点，以为x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系．点C （1，1，0），D （0，2，0），E （0，1，1），M（，1，），所以得到：，．所以CE ⊥AD ，CE ⊥MD 所以CE ⊥平面AMD 又CE ⊂平面CDE ，平面CDE ⊥平面AMD .证法2：因为AC=AE=，所以△ACE 为等腰三角形，M 为EC 的中点，所以AM ⊥CE ；同理在△NCE 中，MN ⊥CE ,(N 为AD 中点)xyz又AM、MN⊂平面AMD，所以CE⊥平面AMD又CE⊂平面CDE，平面CDE⊥平面AMD.(说明：推导CE⊥平面AMD的路径不唯一)19．（本题满分16分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分）解：（1）双曲线渐近线方程为，已知一条渐近线方程为，所以，双曲线经过点（2，1），所以1，解得，．所以，双曲线，直线l的倾斜角为，则斜率为1，方程为：，代入双曲线方程得：（），，，设两点A、B坐标分别为（）、则,,.，△的面积=.(2)圆方程：，方法1：设过P作圆的切线与x轴交于点Q，由PQ斜率为，可知直角三角形POQ 中，OP=，∠PQO=，PQ=，OQ=，从而点P的纵坐标等于,因为点P在圆上，所以代入计算得点P 的横坐标等于,点P 又在双曲线上，将（，）代入得，离心率，，所以，整理得，解得，所以双曲线的离心率为．方法2：将圆方程与椭圆方程联立，求得P （，），过点P 的切线方程为，若该切线的斜率为，则，即代入整理得：，，解得，所以双曲线的离心率为．20．（本题满分16分，本题共有2个问题，问题(1)满分8分，问题(2)满分8分）（1）解：第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可判断出ξ服从超几何分布，ξ可取的值为0,1,2.()2326105C P C ξ===()113326315C C P C ξ⋅===()2326125C P C ξ===ξ∴的分布为：1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（2）,,.提出原假设：患脑瘤在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关.计算的值，0.595.统计决断：由，而0.595<3.841，小概率事件没有发生，故不能否定原假设.因此，脑瘤病患在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关，或者说，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系.21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）解：（1）当时，,()(1)'()x a x f x x--=，，切线方程为：，即.所以曲线()y f x =在点处的切线方程为：.（2）y =()f x 的定义域为(0,)+∞.令()(1)'()0x a x f x x--==，解得12,1x a x ==当0a <时，()f x 与'()f x 在区间(0,+)∞上的情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞'()f x -+()f x极小值此时()=f x 极小值1(1)2f a =--，且当时，，当时，，所以当时，求函数y =()f x 的最小值是1(1)2f a =--．高中11（3）当0a =时，21()2f x x x =-，由()0f x =得122,0x x ==（舍），所以y=()f x 在(0,)+∞上有一个零点.当01a <<时，()f x 与'()f x 在区间(0,+)∞上的情况如下：x (0,)a a (,1)a 1(1,)+∞'()f x +0-0+()f x 极大值 极小值 ()f x 在(0,)a 上严格增，在(,1)a 上严格减.此时()=f x 极大值21()ln 02f a a a a a =--+<，y =()f x 在上没有零点；，()f x 在(1,)+∞上严格增,且当时，()f x ，例如(22)ln(22)ln 20f a a a a +=+>>（等等），所以y =()f x 在(0,)+∞上只有一个零点．综上讨论，当01a ≤<时，()f x 在(0,)+∞上有一个零点．。

上海市上海中学高三综合练习（二）（数学）班级___________ 学号________ 姓名_______________ 成绩__________一、选择题：1. 复平面上有圆C ：|z|=2，已知1z 1z 11+-（z 1≠-1）是纯虚数，则复数z 1的对应点P （ ） A ．必在圆C 上 B ．必在圆C 内部 C ．必在圆C 外部 D ．不能确定2. 一给定函数y=f(x)的图象在下列图中，并且对任意a 1(0,1)，由关系式a n+1=f(a n )得到的数列{a n }满足a n+1>a n ,nN *，则该函数的图象是（ ）(A ） （B ） （C ） （D ）3.已知p ：方程x 2+ax+b=0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的 ( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件 C.充要条件 D 、既不充分又不必要条件4.有一个各条棱长均为α的正四棱锥,现用一张正方形的包装纸将其完全包住,不能裁剪,可以折叠,那么包装纸的最小边长为( ) A.(1+3)a B. 231+a C. 226+a D. (2+6)a二、填空题： 5、方程112x 22=++-a y a 表示椭圆,则a ∈__________ 6.已知( a x －x 2 )n 的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中x 3的系数为9，常数a 的值为__________。

7． 下列函数中周期是2的函数是_________________①．1cos 22-=x y π ②．x x y ππcos sin += ③．)32tan(ππ+=x y ④ ．sin cos y x x ππ=8.函数)01(31<≤-=+x y x 的反函数是______________9. 已知集合A = {}x |－2<x <5 ，B = {}x |p + 1<x <2p －1 ，A ∪B = A ，则实数p 的取值范围是____________。

一、单选题二、多选题1. 已知为正项等差数列的前n 项和，若，则（ ）A ．22B ．20C ．16D ．112.已知函数若函数存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．3.设，则“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 下列命题错误的是（ ）A ．若“”为真命题，则与均为真命题B ．命题“为真”是“为真”的必要不充分条件C ．若，，则，D ．“”是“”的充分不必要条件5.已知集合，，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是A ．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值C ．有最大值，无最小值D．无最大值，最小值7. 一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．368. 已知是正项等比数列，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，且，，则下列结论正确的是（ ）A．B．C ．在上单调递减D ．最小值为10. 1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（）A．B．上海市徐汇区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题C ．新几何体有7个面D ．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上11.已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）A．B．为等比数列C．D．12. 已知复数则（ ）A ．复数在复平面内对应的点在第三象限B ．复数的实部为C．D ．复数的虚部为13. 已知，若，则__________．14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.15.已知数列的前项和为，，，则______16. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．(1)求A ；(2)设，D 为边BC上一点，且，求AD ．参考数据：，．17. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．(1)求a 的值；(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．18. 已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，(1)求数列和的通项公式；(2)记，求；(3)证明：．19. 如图所示，在中，，，点在上，且.（1）若，求；（2）若，求的长.20. 如图，椭圆、双曲线中心为坐标原点，焦点在轴上，且有相同的顶点，，的焦点为，，的焦点为，，点，，，，恰为线段的六等分点，我们把和合成为曲线，已知的长轴长为4.(1)求曲线的方程；(2)若为上一动点，为定点，求的最小值；(3)若直线过点，与交于，两点，与交于，两点，点、位于同一象限，且直线，求直线的方程.21. 随着《年中国诗词大会》在央视持续热播，人们掀起了学习古诗词的热潮，这也使得古诗词书很畅销.某书店统计了连续天中第天来购买古诗词书的人数的相关数据，如下表所示：123452530404555(1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并预测第天来购买古诗词书的人数；(2)在《年中国诗词大会》.上集结了“少儿团”、“青年团”、“百行团”、“亲友团”的诗词爱好者.某平台为了解喜欢古诗词与性别的关系，随机调查了位男性，位女性，其中不喜欢古诗词的男性有人，女性有人，能否有的把握认为喜欢古诗词与性别有关参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；，.0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879。

2024—2025学年上海市吴淞中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题(★) 1. 设全集，则 ____________ .(★) 2. 过点倾斜角为的直线方程是 __________ .(★★) 3. 已知等差数列的公差为1，为其前n项和，若，则＝ ___ ．(★) 4. 已知角在第二象限，且，则= _____________ .(★★) 5. 的展开式中x的系数为 ______ .(★★) 6. 已知，则在上的数量投影为 __________ ．(★★★) 7. 已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是__________ .(★★★) 8. 若直线与曲线相切，则实数的值为 ______ .(★★)9. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是 ______________(★★) 10. 已知函数，且，则__ .(★★★) 11. 已知函数若对任意实数，总存在实数，使得则实数的取值范围是 ______ .(★★★) 12. 在中，，P为内部一动点(含边界)，在空间中，若到点的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 ______ .二、单选题(★★) 13. 若是关于x的实系数方程的一个虚数根，则（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 14. 已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 15. 设（其中），若点为函数图像的对称中心，B，C是图像上相邻的最高点与最低点，且，则下列结论正确的是（）A．函数的图象对称轴方程为；B．函数的图像关于坐标原点对称；C．函数在区间上是严格增函数；D．若函数在区间内有个零点，则它在此区间内有且有个极小值点．(★★★★) 16. 已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（）A． 1B． 2C． 3D．无数个三、解答题(★★) 17. 深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路． 2020年第七次全国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据），我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图．(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间内的省级行政区有几个？(2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内？(★★★) 18. 设的内角A，B，C的对边分别为，且B为钝角.(1)若, ，求的面积；(2)求的取值范围.(★★★) 19. 如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．(1)求证：平面平面；(2)当的长为何值时，二面角的大小为？(★★★★) 20. 设，椭圆与双曲线的离心率分别为(1)若，求的值；(2)当时，过双曲线的右顶点作两条斜率分别为的直线分别交双曲线于点（不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出该定值；(3)当时，设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围.(★★★★) 21. 定义在R上的函数，若对任意的成立，则称函数是函数的“从属函数”．(1)若函数是函数的“从属函数”且是偶函数，求证：是偶函数；(2)若，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；(3)设定义在R上的函数与，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数是函数的“从属函数”．设：“函数在R上是严格增函数或严格减函数”；：“函数在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断是的什么条件？请说明理由．。

上海中学高三综合数学试卷032020.04一.填空题1.已知集合A={-2,-1,0,2,3}，2{|1,},B y y x x A ==-∈则A∩B=___ 2.复数5(1(2),1i z i+-=+则|z|=__ 3.在10(2)x -展开式中，二项式系数的最大值为a,含7x 项的系数为b ，则b a=____ 4.已知向量(1,),(3,1),(1,a b c λ===r r r 2)，若2a b -r r 与c r 共线，则a r 在c r 方向上的投影为_____5.某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有____种不同的值班方案6.矩阵1211222232332123i n i n i n n ni nn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L LL L L L L L 中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为,i S 则2lim 2n n n S n →∞=⋅____ 7.已知函数f(x)=cosωx(ω>0)，对于任意的12[0,],3x π∈存在22[0,],3x π∈使得12()()0,f x f x +=则ω的取值范围是____8.集合221{(,)|()()0},{(,)|(1)(1)1},A x y y x y B x y x y x =--≥=-+-≤，则A∩B 表示的平面区域的面积是_____9.点A 、B 、C 、D在同一个球面上，AB BC ==AC=2,若球的表面积为25,4π则四面体ABCD 体积最大值为____10.若函数为311()1(0)f x x x x =++>，则不等式1()2f x ->的解集为____11.已知()sin ,1x f x x x π=+-记[x]表示不超过x 的最大整数,如[π]=3,[-e]=-3,则y=[f(x)]+[f(2-x)]的值域为____ 12.已知椭圆22:14x C y +=及定点P(t,0)(t>0)，斜率为12的直线l 过点P 且交曲线C 于不同的两点A 、B,对椭圆上任一点M ，均存在θ∈[0,2π)使得cos sin OM OA OB θθ=⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r 成立，则t=____二、选择题13.已知p:a>2,q:对任意x ∈R ，210x ax ++≥)是假命题，则p 是q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 14.定义在[t ,+∞)上的函数f(x)、g(x)单调递增,且f(t)=g(t)=M ，若对任意k>M ，存在12,x x <使得12()()f x g x k ==成立,则称g(x)是f(x)在[t,+∞)上的“追逐函数”，已知2(),f x x =给出下列四个函数:①g(x)1()lg 1,()21x x x g x e g x -==+=-③②；21()2g x x =-④其中f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 15.已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足,(0,)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则点P 的轨迹一定通过△ABC 的(A.内心B.外心C.重心D.垂心16.已知△ABC 有以下性质:①AB+AC>BC;②内切圆半径2S r l=(其中S 、l 分别为△ABC 的面积和周长);③三条中线交于点G,点G 分中线为2:1的两段;类比到三棱锥P-ABC 中,有:PAB PBC PAC ABC S S S S ++>V V V V ①②内切球半径3V R S=(其中V 、S 分别为三棱锥P-ABC 的体积和表面积);③每个顶点与所对的三角形的重心的连线交于一点Q ，点Q 分每条“顶点与重心连线”为3:1的两部分;则以上类比正确的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③三.解答题17.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c,5()cos cos 3c a B b A -= (1)求cosB 的值;(2)若a=2,cos C =求△ABC 的外接圆的半径.18.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=|x-a|.(1)解不等式f(x)<-1;(2)已知1,3a >函数h(x)=f(g(x))在区间[0,3a-1]上有最小值0,最大值lg(a+1),求实数a 的取值范围.19.如图,在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别是边CD 、CB 的中点，AC∩EF=O,沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连结PA 、PB 、PD,得到如图的五棱锥P-ABFED,且10.PB =(1)求证:BD ⊥平面POA;(2)求二面角B-AP-O 的正切值.20.已知椭圆Γ：22221x y a b+=(a>b>0)的左、右焦点分别为12F F 、，且12F F 、与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形,点23P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D,且M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点.(1)求椭圆Γ的标准方程;(2)求证:直线MN 过定点;(3)求△2MNF 面积的最大值.21.已知数列{},n n a S 为其前n 项和,满足(1).2n n n S +=(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列1{}na 的前n 项和为,n T 数列{}n T 的前n 项和为,n R 求证:当*2,n n N ≥∈时,1(1)n n R n T -=-； (3)已知当*,n ∈N 且n≥6时有1(1)()32n m m n -<+，其中m=1,2,...,n,求满足34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+L 的所有n 的值.。

2024上海高考高三数学模拟试卷（本试卷共10页，满分150分，90分钟完成．答案一律写在答题纸上）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）1．已知集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则A B =．2．已知圆柱底面圆的周长为2π，母线长为4，则该圆柱的体积为．3．101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 项的系数为．4．等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为．5．已知平面向量()()1,2,,4a b m == ，若a 与b的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为．6．已知复数z 满足22z z -==，则3z =．7．已知空间向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则b 在a方向上的投影为．8．已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f 的值是9．已知A B 、是抛物线24y x =上的两个不同的点，且10AB =，若点M 为线段10AB =的中点，则M 到y 轴的距离的最小值为．10．一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为．11．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．12．已实数m n 、满足221m n +≤，则2263m n m n +-+--的取值范围是．二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）13．以下能够成为某个随机变量分布的是（）A ．0111⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101111236-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123111248⎛⎫ ⎪ ⎝⎭D ．11.222.40.50.50.30.7⎛⎫⎪-⎝⎭14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n 为A ．75B ．85C ．90D ．10015．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为x ，第二、三次听到回音的时间间隔为y ，则椭圆的离心率为（）A ．2xx y+B ．2x x y+C ．2y x y +D ．2y x y+三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）17．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12,90,AA ABC D =∠=︒为1CC中点．(1)求四面体1A ABD -的体积：(2)求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦值．18．（1）在用“五点法”作出函数[]1sin ,0,2πy x x =-∈的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0sin x -01sin x-1（2）设实数0a >且1a ≠，求证：()ln x x a a a '=；（可以使用公式：()e e x x '=）（3）证明：等式()()()32123x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x a x x x x x x bx x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩19．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y （单位：克每立方米）与样本对原点的距离x （单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中9111,9i i i i u u u x ===∑）．xyu921()ii x x =-∑921()i i u u =-∑921()i i y y =-∑91(())i ii x y x y =--∑91()()i ii u u y y =--∑697.900.212400.1414.1226.13 1.40-(1)利用相关系数的知识，判断y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立y 关于x 的回归方程，并估计样本对原点的距离20x =米时，平均金属含量是多少？20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()(),00M a a ≠与x 轴不垂直的直线l 与C 交于()()1122,,A x y B x y 、两点．(1)求证：OA OB ⋅是定值（O 是坐标原点）；(2)AB 的垂直平分线与x 轴交于(),0N n ，求n 的取值范围；(3)设A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出定点的坐标．21．已知2()ln(1)2x f x a x x =++-，函数()y f x =的导函数为()y f x '=．(1)当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程；(2)求函数()y f x =的极值点；(3)函数()y f x =的图象上是否存在一个定点(,)(.(0,))m n m n ∈+∞，使得对于定义域内的任意实数00()x x m ≠，都有000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．1．{3,4}【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可.【详解】集合{}()1,2,3,4,5,2,5A B ==，则{3,4}A B = .故答案为：{3,4}2．4π【分析】根据条件，直接求出1r =，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为r ，所以2π2πr =，得到1r =，又圆柱的母线长为4l =，所以圆柱的体积为2π4πV r l ==，故答案为：4π.3．210【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为2，求出r ，代入通项公式中可求得结果.【详解】101x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为10102110101C C rr r rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1022r -=，得4r =，所以2x 项的系数为410C 210=，故答案为：2104．(0,2)(2,4)【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，121a q=-，10q -<<或01q <<，则12(1)a q =-，102a <<或124a <<，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4) .故答案为：(0,2)(2,4) 5．(8,2)(2,)-+∞ 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】向量()()1,2,,4a b m == 的夹角为锐角，则0a b ⋅> 且a 与b不共线，因此8024m m +>⎧⎨≠⎩，解得8m >-且2m ≠，所以实数m 的取值范围为(8,2)(2,)-+∞ .故答案为：(8,2)(2,)-+∞ 6．8-【分析】设i z a b =+，根据22z z -==得到方程组，求出1,a b ==答案，从而求出3z .【详解】设i z a b =+，则22i z a b -=-+，所以()2222424a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,a b ==当1,a b =1=z ，故()222113i 22z =+=++=-+，()()322126i 8z =-++=-+=-；当1,a b ==1z =-，故()222113i 22z =-=-=--，()()322126i 8z =--=-+=-故答案为：-87．11(,,0)22【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量()()1,1,0,0,1,1a b == ，则1,||a b a ⋅==，所以b 在a 方向上的投影为2111(,,0)222||a b a a a ⋅==，故答案为：11(,,0)228．3【分析】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，然后判断()g x 的奇偶性，再利用函数的奇偶性求值即可【详解】令()ln(g x ax c x =+，则()()4f x g x =+，函数的定义域为R ，因为()ln(g x ax c x -=---ln ax c ⎛⎫=--(1ln ax c x -=--+(ln ax c x =--+(ln ()ax c x g x ⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 为奇函数，因为3(lg log 10)5f =，所以3(lg log 10)45g +=，所以(lg lg 3)1g -=，所以(lg lg 3)1g =-，所以(lg lg3)(lg lg3)4143f g =+=-+=，故答案为：39．4【分析】求出过抛物线焦点的弦长范围，再利用抛物线定义列式求解即得.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程=1x -，令过点F 与抛物线交于两点的直线方程为1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=，设两个交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，于是212||11444PQ x x t =+++=+≥，当且仅当0=t 时取等号，令点,,A B M 的横坐标分别为0,,A B x x x ，而||104AB =≥，则0111[(1)(1)]1(||||)1||142222A B A B x x x x x FA FB AB +==+++-=+-≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时取等号，所以M 到y 轴的距离的最小值为4.故答案为：410．323【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A 为“运动员开第一枪命中飞碟”，B 为“运动员开第二枪命中飞碟”，C 为“飞碟被击中”，则()0.20.60.12P B =⨯=，()()()()0.80.120.92P C P A B P A P B ==+=+= ，所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为()()0.123(|)()()0.9223P BC P B P B C P C P C ====.故答案为：32311．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan3A =>=，又函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，则π3A >，此时3πA B C A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B CB C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：612．[3,13]【分析】确定动点(,)P m n 的几何意义，利用直线现圆的位置关系分段讨论，结合几何意义求解即得.【详解】显然点(,)P m n 在圆22:1O x y +=及内部，直线1:630l x y --=，直线2:220l x y +-=，1=>，得直线1l与圆O相离，且|63|63m n m n--=--，由222201x yx y+-=⎧⎨+=⎩，解得3545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1xy=⎧⎨=⎩，即直线2l与圆O交于点34(,),(1,0)55A B，①当220m n+-≥时，即点P在直线2l与圆O所围成的小弓形及内部，|22||63|226324m n m n m n m n m n+-+--=+-+--=-+，目标函数124z x y=-+，即142z x y-=-表示斜率为12，纵截距为142z-的平行直线系，画出直线0:20p x y-=，平移直线p分别到直线12,p p，当1p过点A时，142z-取得最大值，1z最小，当2p过点B时，142z-取得最小值，1z最大，因此1min34()24355z=-⨯+=，1max()12045z=-⨯+=，从而3245m n≤-+≤；②当220m n+-<时，即点P在直线2l与圆O所围成的大弓形及内部（不含直线2l上的点），|22||63|(22)63348m n m n m n m n m n+-+--=-+-+--=--+，目标函数2348z x y=--+，即2834z x y-=+表示斜率为34-，纵截距为282z-的平行直线系，画出直线0:340q x y+=，显直线q OA⊥，平移直线q分别到直线12,q q，直线12,q q与圆O分别相切于点34,(,)55A--，当1q过点A时，282z-取得最大值，2z最小，因此2min34()834355z=-⨯-⨯=，当2q过点34(,)55--时，282z-取得最小值，2z最大，因此2max34()8341355z=+⨯+⨯=，从而383413m n<--≤，所以2263m n m n+-+--的取值范围是[3,13].故答案为：[3,13]【点睛】方法点睛：求解线性规划问题的一般方法：①准确作出不等式组表示的平面区域，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域；②根据目标函数的类型及几何意义结合图形判断目标函数在何处取得最值．13．B【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，显然AC 选项不满足概率之和为1，D 选项不满足各项概率大于0，B 选项满足要求.故选：B 14．C【详解】分析：由题意结合分层抽样的性质得到关于n 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意结合分层抽样的定义可得：251000140012001000n =++，解得：90n =.本题选择C 选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．15．D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设111,2a q =-=，则2311,24a a =-=-，满足123a a a <<，但{}n S 是严格减数列，充分性不成立，当111,2a q ==时，{}n S 是严格增数列，但123a a a >>，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D 16．B【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得.【详解】依题意，令声音传播速度为v ，1t 时刻，刚刚呐喊声音传播为0，2t 时刻听到第一次回声，声音的路程为2()-a c ，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点，3t 时刻，声音的路程为2()a c +，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点，4t 时刻，声音的路程为4a ，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点，因此32,2()2()x t t a c a c vx =-+--=，43,42()y t t a a c vy =--+=，即4,22c vx a c vy =-=，则2a c y c x -=，即2a c y c x -=，整理得2a y xc x+=，所以椭圆的离心率为2c xa x y=+.故选：B【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键.17．(1)136【分析】（1）利用等体积法11A ABD D A AB V V --=，再根据条件，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD 与1ACB 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以1AA BC ⊥，又AB BC ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂面11ABB A ，所以CB ⊥面11ABB A ，因为1//CC 面11ABB A ，所以D 到面11ABB A 的距离即BC ,又111112122AA B S AB AA =⋅=⨯⨯= ，1BC =，所以1111133A ABD D A AB A AB V V S CB --=== .（2）如图，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，12AA =，则1(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,2),(1,0,1)B AC BD ，所以1(0,1,0),(1,0,1),(0,1,2),(1,1,0)BA BD AB AC ===-=-设平面ABD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由1100BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00y x z =⎧⎨+=⎩，取1x =，得到0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =- ，设平面1ACB 的一个法向量为(,,)m a b c =，则由10AC m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到020a b b c -=⎧⎨-+=⎩，取2a =，则2,1b c ==，所以(2,2,1)m = ，设平面ABD 与1ACB 所成锐二面角为θ，则cos cos ,n mn m n m θ⋅====18．（1）表格见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.（2）根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.（3）根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.【详解】（1）“五点法”作函数[]sin ,0,2πy x x =∈的图象的5个关键点的横坐标为π3π0,,π,,2π22，所以表格如下：xπ2π3π22πsin x -01-0101sin x-1121（2）实数0a >且1a ≠，则ln ln e e xx a x a a ==，因此ln ln ()(e )e (ln )ln x x a x a x a x a a a '''==⋅=，所以()ln x x a a a '=.（3）212212133)())[()])(((x x x x x x x x x x x x x x =-----++32332121212312()()x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+-++32123122331123()()x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，依题意，3212312233112332()()x x x x x x x x x x x x ax bx x x x x c -+++-+++=++对任意实数x 恒成立，因此123123122331122331123123()a x x x x x x ab x x x x x x x x x x x x bc x x x x x x c=-++++=-⎧⎧⎪⎪=++⇔++=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩，所以等式32123()()()x ax bx c x x x x x x +++=---对任意实数x 恒成立的充要条件是123122331123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩.19．(1)dy c x=+更适宜作为回归方程类型；(2)10ˆ100yx=-，399.5g /m .【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合10.449r ≈和20.996r ≈-，结合12r r <，即可得到结论.（2）（i ）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii ）当20x =时，结合回归方程，即可求得预报值.【详解】（1）因为y a bx =+的线性相关系数91)9()(0.44iix y r x y --==≈∑，dy c x=+的线性相关系数92(0.996iiu u y r y --≈-∑，因为12r r <，所以dy c x=+更适宜作为平均金属含量y 关于样本对原点的距离x 的回归方程类型.（2）依题意，992110ˆ()()1(.4010.14)i ii i iu u y u u yβ==----===-∑∑，则ˆˆ97.9(10)0.21100y u αβ=-=--⨯=，于是10ˆ10010100y u x=-=-，所以y 关于x 的回归方程为10ˆ100yx=-.当20x =时，金属含量的预报值为31010099.5g /m 20ˆy=-=.20．(1)证明见解析；(2))||(,p a ++∞；(3)证明见解析，(),0a -.【分析】（1）联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理及数量积的坐标表示计算即得..（2）求出弦AB 的中点坐标及弦AB 的中垂线方程，进而求出n ，再结合判别式求解即得.（3）设出D 点的坐标，求出直线BD 的方程211121()y y y x x y x x +=---，借助（1）的信息，推理判断即得.【详解】（1）显然直线l 不垂直于坐标轴，设过点(),0M a 的直线l 的方程为x my a =+，由22y px x my a ⎧=⎨=+⎩消去x 得：2220y pmy pa --=，22Δ480p m pa =+>，则121222y y pm y y pa +=⎧⎨⋅=-⎩，所以22212121212222y y OA OB x x y y y y a pa p p⋅=+=⋅+=- 为定值.（2）设,A B 两点的中点坐标为()33,Q x y ，则21212322x x my my x a pm a ++==+=+，1232y y y pm +==，则()2,Q pm a pm +，即AB 的垂直平分线为()2y m x pm a pm =---+，令0y =，解得2n pm a p =++，显然22480p m pa ∆=+>，当0a >时，恒有220pm a +>成立，则n p a >+，当a<0时，2pm a a +>-，则n p a >-，所以n 的取值范围为)||(,p a ++∞.（3）由A 关于x 轴的对称点为D ，得()11,D x y -，则直线BD ：211121()y y y x x y x x +=---，整理得：2112212121y y x y x yy x x x x x ++=---.又()()()1221211212122x y x y y my a y my a my y a y y +=+++=++422pam pam pam =-+=-.因此直线BD 为：212122pm pam y x x x x x =+--，即()212pmy x a x x =+-过定点(),0a -，所以直线BD 过定点(),0a -.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)48ln 333y x =-+；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当1a =时，2()ln(1),(2)ln 32x f x x x f =++-=，求导得14()1,(2)13f x x f x ''=+-=+，切线方程为4ln 3(2)3y x -=-，所以所求切线方程为48ln 333y x =-+.（2）函数2()ln(1)2x f x a x x =++-的定义域为(1,)-+∞，求导得21()111a x af x x x x -+'=+-=++，令()0f x '=，即210x a -+=，即21x a =-，①当1a ≥时，函数()y f x =在定义域内严格增,无极值点；②当01a <<时，当1x -<<或x >时，()0f x '>，当x <()0f x '<，函数()y f x =在(1,-和)+∞严格增，在(严格减，此时极大值点为③当0a ≤时，当1x -<<时，()0f x '<，当x >时，()0f x '>，函数()y f x =在(-严格减，在)+∞严格增的，所以当1a ≥时，函数()y f x =无极值点；当01a <<时，函数()y f x =极大值点为当0a ≤时，函数()y f x =.（3）假设存在定点(,)m n 满足条件，由000()()()2x mf x f x m n +'=-+得：000)(2()f x n x m f x m -+'=-，又点(,)m n 在曲线()f x 上，则2()ln(1)2mn f m a m m ==++，于是220000001[ln(1)ln(1)])()()(2a x m x m x m f x n x mx m+-++----=--000[ln(1)ln(1)]12a x m x mx m +-++=+--，而()11a f x x x '=+-+，于是000002()1=1222212x m x m x m a af x m x m +++'=+-+-++++，因此000ln(1)ln(1)22x m x m x m +-+=-++，变形得00012(1)11ln 1111x x m x m m +-++=++++，令01(0)1x t t m +=>+，则2(1)ln 1t t t -=+，令函数22()ln ,01t g t t t t -=->+，求导得22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t '-=-=≥++，则()g t 在(0,)+∞单调递增，又(1)0g =，于是()0g t =只有唯一解1t =，即0111x m +=+，又0m x ≠，则1t ≠，故不存在定点(,)m n 满足条件.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

高三数学练习答案班级 姓名 学号一、填空题：〔30103=⨯'〕1．假设1(,),sin 2,4216ππθθ∈=那么cos sin θθ-的值是 . 2．函数|cos ||sin |x x y -=的值域为 .]1,1[-3．一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，那么此扇形的面积为 . csc 21 4．函数f (x )=)431cos(log 21π+-x 的单调递增区间为 [6k π+43π,6k π+49π) (k ∈Z).5．()2sin 5150x -︒=，那么符合条件的锐角x 的集合为 {15,27,87︒︒︒}. 6．函数y = arccos(sin x ), (323π≤≤π-x )的值域为 . ]65,0[π7．假设42x ππ<<，那么函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。

解析:令tan ,x t =142x t ππ<<∴>,8. 以下命题正确的选项是 〔1〕〔3〕 (只须填写命题的序号即可)〔1〕函数x y arccos 2π=－是奇函数；〔2〕在△ABC 中，A+B ＜2π是sinA ＜cosB 的充要条件；〔3〕当)10(sin cos )0(<<=+∈m m ααπα时，，，那么α一定是钝角，且|αtan |＞1；〔4〕要得到函数)42cos(π-=x y 的图象, 只需将2sin x y =的图象向左平移4π个单位. 9．(理)函数x x m x f cos sin 2)(-=在区间)2,0(π上单调递减，那么实数m 的取值范围为 .条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，且21x x <，那么不等式()()21x f x f >恒成立，即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ，所以上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 且当2021π<<<x x 时，42,2021π<<x x ，所以 12tan ,2tan 021<<x x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞.9.(文) 函数x x y 44cos sin +=的最小正周期T=2π. 10．(理)△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，其外接圆半径为1，且有sin A －sin C ＋22cos(A －C)=22.那么△ABC 的面积为 . 解： B=600，A ＋C ＝1200， C ＝1200－A ，∴ sin A －sin C ＋22cos 〔A －C 〕 ＝21sin A －23 cos A ＋22［1－2sin 2〔A －60°〕］=22， ∴sin〔A －60°〕［1－2 sin 〔A －60°〕］＝0 ∴sin〔A －60°〕＝0或sin 〔A －60°〕＝22又0°＜A ＜120°∴A ＝60°或105° (2) 当A ＝60°时，Ｓ△＝21ａc sin B ＝21×4Ｒ2sin 360°＝433 当A ＝105°时,S △＝21×4Ｒ2·sin105°sin15°sin60°＝4310．〔文〕在中，sin cos A A +=22，，，那么的面积为 . 21)45cos(22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A ，又二、选择题：〔2054=⨯'〕11．电流强度I 〔安〕随时间t 〔秒〕变化的函数sin()I A t ωϕ=+(0,0,0)2A πωϕ>><<的图象如右图所示，那么当150t =时，电流强度是 〔 〕 A ．5-安 B ．5安 C ．3 D ．10安答案：B12．由以下条件解ABC ∆，其中有两解的是A ．20,45,80b A C ===B ．30,28,60a c B ===C ．14,16,45a c A ===D ．12,15,120a c A === 答案：C13．函数()0sin cos 22>-=ωωωx x y 的最小正周期是π,那么函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πωx x f 的一个单调递增区间是( ) A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,45ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,4ππ 答案：B14．假设圆)0(222>=+r r y x 至少能盖住函数rxx f 2sin30)(π=的图象的一个最高点和一个最低点，那么r 的取值范围是〔 〕A ．[)+∞,30B ．[)+∞,6C ．[)+∞,2πD ．以上都不对答案：B15．〔理〕函数()1cos(2)(0)22g x x ππϕϕ=-+<<的图象过点(1,2)，假设有4个不同的正数i x 满足()i g x M =，且8(1,2,3,4)i x i <=，那么1234x x x x +++等于〔 〕 A ．12 B ．20 C ．12或20 D ．无法确定 答案：C 15．〔文〕假设函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4π)= f (x -4π)，那么f (x)的解析式可以是 〔 C 〕A ．f (x)=cosxB ．f (x)=cos(2x 2π+) C ．f (x)=sin(4x 2π+) D ．f (x) =cos6x三、解答题：〔50501=⨯'〕16．设全集U=R 。

一、单选题二、多选题1.如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．2.记为等比数列的前项和，若，则（ ）A ．6B．C．D ．183.二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，且展开式中的第项的系数是第项的系数的倍，则的值为（ ）A．B．C．D．4. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5.已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 已知复平面内，复数对应的点满足，则实数（ ）A．B ．0C ．1D ．27. 已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是A．B．C．D．8.设函数的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），则等于A ．3B ．4C ．5D ．69.若随机变量，下列说法中正确的是（ ）A．B．期望C．期望D．方差上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题 (2)上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题 (2)三、填空题四、解答题10. 已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）A ．是以2为周期的周期函数B ．点是函数的一个对称中心C．D ．函数有3个零点11. 已知函数，的定义域均为，且，.若的图象关于直线对称，，则（ ）A．B．C．D．12.已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（ ）A ．时，截面面积为B ．时，C ．随着的增大先减小后增大D ．的最大值为13. 已知是定义在上的奇函数，且.若当时，，则在区间上的值域为____________，在区间内的所有零点之和为__________14.已知圆的圆心在轴正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为________.15.在中，，，，则的面积为______.16. 函数在处的切线方程为.(1)求；(2)已知，过可作的三条切线，证明：.17. 如图，在△ABC 中，已知，，，BC 边上的中线AM 与的角平分线相交于点P ．(1)的余弦值．(2)求四边形的面积.18. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面.(1)证明平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.19. 某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．(1)求乙同学得100分的概率；(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．20. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上.（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值.21.设.(1)求的单调性，并求在处的切线方程；(2)若在上恒成立，求k的取值范围.。

1上海中学2023学年第二学期高三年级数学周测22024.03一、填空题1．若复数满足232z z i +=−，其中i 为虚数单位，则z =________． 2．已知z 是虚数，1z z+是实数，则z =________． 3．在二项式8a x x +的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则实数a =________． 4．设非零复数x ，y 满足220x xy y ++=，则代数式20232023x y x y x y +++的值为________．5．已知关于x 的实系数一元二次方程290x mx ++=的两根为1x ，2x ，若12x x −=，则实数m 的值为________．6．某圆柱轴截面的斜二测画法的直观图如图所示，AO ′，BC 分别对应圆柱两个底面的直径，若AO ′=，CO ′=，则该圆柱的表面积为________．7．在△ABC 中，若90C ∠=°，4AC =，3BC =，D 是AB 的中点，E ，F 分别是BC ，AC 上的动点，且1EF =，则DE DF ⋅的最小值为________．8．已知2k +个两两互不相等的复数1z ，2z ，…，k z ，1w ，2w ，满足12124w w w w −=−，且{}1,3s t w z −∈，其中1s =，2；1t =，2，…，k ，则k 的最大值为________． 9．已知函数()()21ln 1f x a x ax =+++，1a <−．如果对任意1x ，()20,x ∈+∞，()()12124f x f x x x −≥−，则a 的取值范围为________．10．房屋的天花板上点P 处有一光源，P 在地面上的射影为Q ，在地面上放置正棱锥2S ABCD −，底面ABCD 接触地面，已知正四棱锥S ABCD −的高为1米，底面ABCD 的边长为0.5米，Q 与正方形ABCD 的中心O 的距离为3米，又PQ 长为3米，则棱锥影子（不包括底面ABCD ）的面积的最大值为________．11．单位正方体1111ABCD A B C D −中，P 是底面ABCD 上的一点，Q 是体对角线1BD 上的一点，R 是面对角线1B C 上的一点，则PQ QR +的最小值为________．12．设函数()()21x f x e x ax a =−−+，其中1a <若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则实数a 的取值范围为________． 二、选择题13．对任意复数1ω，2ω，定义1212ωωω∗=ω，对任意复数1z ，2z ，3z 有如下命题：①()()()1231323z z z z z z z +∗=∗+∗ ②()()()1231132z z z z z z z ∗+=∗∗+③()()123123z z z z z z ∗∗=∗∗ ④1221z z z z ∗=∗则真命题的个数是（ ）. A ．1B ．2C ．3D ．414．在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱BC ，BD 上的点（不含端点），BE BC =λ ，记二面角A EF C −−的大小为θ，在点F 从点B 运动到点D 的过程中，下列结论正确的是（ ）． A ．若14λ=，则θ先增大后减小B ．若14λ=，则θ先减小后增大C ．若34λ=，则θ先增大后减小D ．若34λ=，则θ先减小后增大15．已知a ，b R ∈，复数2z a bi =+（其中i 为虚数单位）满足4z z ⋅=．给出下列结论： ①22a b +的取值范围是[]1,44=3(][),11,−∞−+∞ ④2211a b +的最小值为2其中正确结论的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．416．正四面体A BCD −各顶点在平面M 同侧，各顶点到面M 的距离分别为1，2，3，4，则该正四面体的棱长为（ ）．AB． C． D三、解答题17．若关于x的方程210x zx −+−=有实数根，其中i 为虚数单位，求使得复数z 的模取到最小时方程的解．18．如图，四棱锥P ABCD −的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AB =，BC =四棱锥P ABCD −，M 为BC 的中点．（1）求异面直线AM 与PB 所成的角； （2）求直线PM 与平面PBD 所成角的正弦值．419．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 为PB 的中点，点E 为BC 的中点． （1）证明：∥EF 平面PAC ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．20．已知椭圆2222:1(0)x y Γa b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆Γ于A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）直线MN 是否过一定点R ？若是，求出该定点R 的坐标；若不是，请说明理由； （3）求2△MNF 面积的最大值．521．已知,a b 是实数,函数()3f x x ax =+,()()2,'g x x bx f x =+和()'g x 是()f x ,()g x 的导函数,若()()''0f x g x …在区间I 上恒成立,则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性一致. (1)设0a >,若函数()f x 和()g x 在区间[)1,−+∞上单调性一致,求实数b 的取值范围; (2)设0a <,且a b ≠,若函数()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上单调性一致,求a b −的最大值.6参考答案一、填空题1.1-2i ；2.1；3.12或114；4.1；5.±±； 6.3π； 7.154； 8.5； 9.(,2]−∞−；11.23； 12.；312,e11.单位正方体1111ABCD A B C D −中，P 是底面ABCD 上的一点，Q 是体对角线1BD 上的一点，R 是面对角线1B C 上的一点，则PQ QR +的最小值为________．2312.设函数()()21x f x e x ax a =−−+，其中1a <若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则实数a 的取值范围为________．312,e函数()()21x f x e x ax a =−−+,其中1a <,设()()21,x g x e x y ax a =−=−, 存在唯一的整数0x ,使得()00f x <,∴存在唯一的整数0x ,使得()0g x 在直线y ax a =−的下方,()()'21x g x e x =+ , ∴当12x <−时,()'0g x <,∴当12x =−时,()12122ming x g e −=−=−.当0x =时, ()()01,10g g e =−=>,直线y ax a =−恒过()10,,斜率为a ,故()01a g −>=−, 且()113g e a a −−=−−−…,解得312a e <….a ∴的取值范围是312,e . 故答案为:312,e. 二、选择题13.B ； 14.B ； 15.C ；16.A716.正四面体A BCD −各顶点在平面M 同侧，各顶点到面M 的距离分别为1，2，3，4，则该正四面体的棱长为（ ）．AB． C． D不妨设顶点,,,A B C D 到平面M 的距离分别为1,2,3,4将平面M 平移,使得平面M 过点D 与正四面体相交,与棱,AB AC 分别交于点,E F 如图:由题意得：F 为AC 的中点,E 为AB 的三等分点(靠近点A ) 设正四面体的棱长为a ,则2160223AEF a a S sin ∆=×××=。