上海市上海中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题

2020-2021学年上海市松江二中高三（上）期中数学试卷一、填空题1．若复数z满足iz＝1+i（i为虚数单位），则z＝．2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，B＝{0，2}．3．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为．4．若（1+x）n＝1+a1x+a2x2+a3x3+…+x n，（n∈N*），且a1：a2＝1：3，则n＝．5．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为．（结果保留π）6．双曲线的左、右焦点为F1、F2，若点P在双曲线上，，则＝．7．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为．8．已知正数a．b满足4a+b＝30，使得取最小值时（a，b）是．9．已知不等式4x﹣a•2x+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立．10．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A且与l相切1、C2，若动点M满足，则M的轨迹方程为．11．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是．12．对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤R，则S＝a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为．二、选择题13．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2＞b2D．lga＞lgb14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定15．若定义域为R的奇函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），那么必在函数y＝f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）16．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．三、解答题17．已知A＝{x|2x＜4}，．（1）求A∪B；（2）已知集合U＝R，C＝∁U（A∪B），D＝{x|ax﹣1＝0}，若C∩D＝∅18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．19．已知函数f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．20．（理）已知向量，（n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，对任意正整数n，都有b n•（4a n2﹣5）＝1成立，设S n为数列{b n}的前n项和，求；（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、A n（n，a n）、…中是否存在两点A i，A j（i，j为正整数）使直线A i A j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在21．（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）＝0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）2的方程F（λx，λy）＝0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ＝2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C1：y2＝2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2＝2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y），得抛物线C n+1：y2＝2p n+1x，…．若，求数列{p n}的通项公式p n．2020-2021学年上海市松江二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．若复数z满足iz＝1+i（i为虚数单位），则z＝1﹣i．【分析】由iz＝1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．【解答】解：由iz＝1+i，得z＝故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础题．2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，B＝{0，2}6．【分析】利用题中对A*B，求出A*B中包含的元素，求出集合A*B的所有元素之和．【解答】解：∵A*B＝{z|z＝xy，x∈A．又A＝{1，2}，4}，∴A*B＝{0，2，7}所以集合A*B的所有元素之和为0+2+5＝6故答案为：6【点评】本题考查理解题中的新定义；并利用新定义求集合．新定义题型是近几年高考常考的题型．3．已知圆心角是2弧度的扇形面积为16cm2，则扇形的周长为16cm．【分析】由题意，利用扇形的面积公式可求半径，利用弧长公式可求弧长，进而可求扇形的周长．【解答】解：设扇形半径为r，面积为s，则α＝2，扇形的面积为：s＝2＝×2×r2＝16 （cm8），解得：r＝4cm， 则周长l＝2r+αr＝4r+2r＝4r＝7×4＝16cm．故答案为：16cm．【点评】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．4．若（1+x）n＝1+a1x+a2x2+a3x3+…+x n，（n∈N*），且a1：a2＝1：3，则n＝7．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别为1，2求出a1，a2，列出方程求出n．【解答】解：（1+x）n展开式的通项为T r+1＝∁n r x r令r＝2得a1＝∁n1＝n令r＝8得∵a1：a4＝1：3，∴解得n＝7故答案为：7【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为．（结果保留π）【分析】先求正方体的棱长，再求正方体的对角线，然后求出球的半径，然后求出体积．【解答】解：球的内接正方体的对角线就是球的直径，求出半径可得体积．正方体的体积为8，则棱长为2，球的半径为：球的体积：故答案为：【点评】本题考查球的内接体问题，考查空间想象能力，是基础题．6．双曲线的左、右焦点为F1、F2，若点P在双曲线上，，则＝10．【分析】由“点P在双曲线上”，得|PF1|2+|PF2|2＝（2c）2，则|+|＝，即可计算出答案．【解答】解：由题意知，a＝4，所以c2＝a3+b2＝16+9＝25，所以F5（﹣5，0），F5（5，0），因为点P在双曲线上，，所以PF2⊥PF2，所以|PF1|8+|PF2|2＝（3c）2＝100，所以|+|＝＝，故答案为：10．【点评】本题考查向量与椭圆的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．7．某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为．【分析】先求出物理和化学同时被选中的情况几种，由此能求出物理和化学不同时被选中的概率．【解答】解：某同学从物理、化学、政治、地理六科中选择三个学科参加测试，基本事件总数n＝C63＝20，物理和化学同时被选中的情况有：C71＝4，∴物理和化学不同时被选中的概率为：P＝3﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8．已知正数a．b满足4a+b＝30，使得取最小值时（a，b）是（5，10）．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求得结论、【解答】解：∵正数a．b满足4a+b＝30，∴＝（4a+b）（≥•（4+，当且仅当，即a＝5，取最小值0.3．∴实数对（a，b）是（7．故答案为：（5，10）．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查“1”的代换，考查学生的计算能力，正确运用“1”的代换是关键．9．已知不等式4x﹣a•2x+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【分析】设t＝2x，t＞0，则t2﹣at+2＞0，对于a∈（﹣∞，3]恒成立，问题转化为a＜t+，于a∈（﹣∞，3]恒成立，即t+＞3，即可解得答案．【解答】解：不等式4x﹣a•2x+6＞0，对于a∈（﹣∞，所以设t＝2x，t＞8，则t2﹣at+2＞7，对于a∈（﹣∞，即a＜t+，对于a∈（﹣∞，所以t+＞7，即t2﹣3t+7＞0，解得t＞2或t＜4，即2x＞2或7x＜1，解得x＞1或x＜8，综上，x的取值范围为（﹣∞，+∞）．【点评】本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．10．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A且与l相切1、C2，若动点M满足，则M的轨迹方程为y2＝2x﹣1．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2＝4x，利用，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2＝4x，设C2（a，b），C2（m，n），y），则∵动点M满足，∴2（x﹣m，y﹣n）＝（a﹣m，﹣n），∴2x＝a+7，2y＝b，∴a＝2x﹣4，b＝2y，∵b2＝6a，∴（2y）2＝8（2x﹣1），即y3＝2x﹣1．故答案为：y6＝2x﹣1．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定坐标之间的关系是关键．11．已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1•x2•x3•x4的取值范围是（27，）．【分析】画出分段函数的图象，求得（3，1），（9，1），令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f （x4）＝a，作出直线y＝a，通过图象观察，可得a的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得x1x2＝1，x3+x4＝12，再由二次函数在（3，4.5）递增，即可得到所求范围．【解答】解：画出函数f（x）＝的图象，令f（x1）＝f（x2）＝f（x4）＝f（x4）＝a，作出直线y＝a，由x＝3时，f（3）＝﹣cosπ＝8，f（9）＝﹣cos3π＝1．由图象可得，当2＜a＜1时．由图象可得0＜x7＜1＜x2＜2＜x3＜4.5，7.5＜x5＜9，则|log3x8|＝|log3x2|，即为﹣log3x1＝log3x3，可得x1x2＝2，由y＝﹣cos（x）的图象关于直线x＝6对称6+x4＝12，则x1•x2•x3•x4＝x8（12﹣x3）＝﹣（x3﹣4）2+36在（3，7.5）递增，即有x1•x8•x3•x4∈（27，）．故答案为：（27，）．【点评】本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．12．对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，…满足a12+a2n+12≤R，则S＝a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为．【分析】根据等差数列的关系整理得S＝（2n+1）a3n+1，由＝≤R，根据△≥0，化简可得到S≤．【解答】解：数列{a n}等差数列，∴a2n+1+a7n+1＝a2n+5+a4n＝…2a2n+1，∴S＝（2n+4）a3n+1，∵＝≤R，化简得：﹣8dna3n+3+10n2d2﹣R≤6，关于d的二次方程，10n2d2﹣2dna3n+1+﹣R≤0，∴△＝﹣40n5（﹣R）≥0，化简得：3﹣10，∴≤，∴，S≤．故答案为：．【点评】本题考查求等差数列的和，利用判别式判断二次函数的最大值，属于中档题．二、选择题13．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．|a|＞|b|B．＞C．a2＞b2D．lga＞lgb【分析】A．a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，b＝1；B．a＞b不一定成立，例如取a＝1，b＝2；C．a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，b＝1；D．lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a＞b，即可判断出结论．【解答】解：A．|a|＞|b|，例如取a＝﹣2，因此不符合题意；B.，a＞b不一定成立，b＝2；C．a2＞b3，a＞b不一定成立，例如取a＝﹣2，因此不符合题意；D．lga＞lgb⇒a＞b＞0⇒a＞b．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B＝a sin A（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sin A＝1，可得A＝，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B＝a sin A，则由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，即sin（B+C）＝sin A sin A，可得sin A＝1，故三角形为直角三角形，故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．15．若定义域为R的奇函数y＝f（x）有反函数y＝f﹣1（x），那么必在函数y＝f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）【分析】由f（﹣t）＝﹣f（t）得f﹣1（﹣f（t））＝﹣t，再由函数图象的平移规律得出答案．【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f﹣1（﹣f（t））＝﹣t，即（﹣f（t）﹣1（x）的图象上，∵y＝f﹣5（x+1）图象是由y＝f﹣1（x）的图象向左平移3个单位得到的，∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y＝f﹣1（x+3）图象上．故选：C．【点评】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键．16．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f（x），则y＝f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由题意需要分段讨论，借助向量，当x∈[π，2π）时，由＝﹣设与的夹角为θ，再根据模的概念和弧长和弧度的关系，得到函数的表达式y＝5+4cos x，x∈（π，2π），同理求出后几段的表达式，继而得到函数的图象．【解答】解：当x∈[0，π]时，当x∈[π，2π）时，∵＝﹣设与的夹角为θ，|，||＝2，∴θ＝π﹣x∴y＝|O1P|7＝（﹣）2＝5﹣8cosθ＝5+4cos x，x∈（π，∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递增，当x∈[8π，4π）时，∵＝﹣，设与的夹角为α，||＝6，∴α＝2π﹣x，∴y＝|O1P|2＝（﹣）2＝5﹣2cosθ＝5+4cos x，x∈（2π，∴函数y＝f（x）的图象是曲线，且为单调递减．故选：A．【点评】本题考查了函数的图象的识别，借助向量求出函数的表达式，培养了学生的应用知识的能力，属于难题．三、解答题17．已知A＝{x|2x＜4}，．（1）求A∪B；（2）已知集合U＝R，C＝∁U（A∪B），D＝{x|ax﹣1＝0}，若C∩D＝∅【分析】（1）解不等式求出集合A，B，结合集合并集的定义，即可求得A∪B；（2）由补集的定义求得集合C，由C∩D＝∅，对a分类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）A＝{x|2x＜4}＝（﹣∞，3），，3），所以A∪B＝（﹣∞，3）．（2）因为集合U＝R，所以C＝∁U（A∪B）＝[3，+∞），又D＝{x|ax﹣1＝0}，C∩D＝∅，当a＝3时，D＝∅；当a≠0时，D＝{}，则，解得a＜0或a＞，综上，实数a的取值范围是（∞，+∞）．【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．18．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得利润是元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【分析】（1）根据题意列不等式求出x的范围即可；（2）设总利润为y，得出y关于x的函数解析式，配方得出最大值即可．【解答】解：（1）由题意可得：200（5x+1﹣）≥3000，即5x﹣≥14，又6≤x≤10，∴3≤x≤10．（2）设生产1200千克产品的利润为y，则y＝100（5x+8﹣）•++5）＝120000[﹣4（﹣）2+]，∴当＝即x＝6时．故甲厂以8千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元．【点评】本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题．19．已知函数f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣．（1）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）；（2）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．【分析】（1）利用两角和与差的正弦、余弦公式可化简f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x ﹣＝sin（2x+）+，再利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的最大值及f（x）取最大值x时的取值集合；（2）x0∈[，]⇒2x0+∈[，]，故可求得cos（2x0+）＝﹣，利用两角差的余弦cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]即可求得cos2x0的值．【解答】解：（1）f（x）＝sin x•cos（x﹣）+cos2x﹣＝sin x（cos x+﹣＝sin2x++＝sin（4x+，当2x+＝8kπ+，即x＝kπ+，f（x）取得最大值．函数f（x）的最大值时x的取值集合为{x|x＝kπ+（k∈Z）}；（2）若f（x5）＝，即sin（3x0+）+＝，整理得：sin（2x3+）＝，∵x0∈[，]，∴2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）＝﹣，∴cos3x0＝cos[（2x6+）﹣3+）cos4+）si'n×+×＝．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的图象与性质及两角差的余弦，考查整体思想与化归意识，属于中档题．20．（理）已知向量，（n为正整数），函数，设f（x）在（0，+∞）n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}，对任意正整数n，都有b n•（4a n2﹣5）＝1成立，设S n为数列{b n}的前n项和，求；（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、A n（n，a n）、…中是否存在两点A i，A j（i，j为正整数）使直线A i A j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标公式，代入得f（x）＝是一个关于x二次函数，其图象是开口向上抛物线，在对称轴处函数取到最小值，由二次函数对称轴方程，得到数列{a n}的通项公式；（2）根据（1）的结论，将代入b n的表达式，得到，用裂项的方法求出其前n项和S n的表达式，最后可得其极限的值；（3）对于这类问题，我们可以先假设存在满足条件的数对（i，j），然后再进行推理可得结论．具体作法：任取A i、A j（i、j∈N*，i≠j），设A i A j所在直线的斜率为k ij，则，从而得到不存在满足条件的数对（i，j），得出结论．【解答】解：（1）f（x）＝…（7分）函数y＝f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为，开口向上，在（0，当时函数取得最小值，所以；…（4分）（2）将（1）中{a n}的表达式代入，得．…（6分）∴，…（6分）所以所求的极限为：＝；…（10分）（3）任取A i、A j（i、j∈N*，i≠j），设A i A j所在直线的斜率为k ij，则＝．因此不存在满足条件的数对（i，j）i A j的斜率为3．…（16分）【点评】本题综合了数列与向量、数列与函数以及数列的极限等知识点，是一道难题．对思维的要求较高，考查了转化化归和函数与方程的数学思想．21．（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）＝0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）2的方程F（λx，λy）＝0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ＝2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C1：y2＝2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2＝2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2＝2p3x，如此进行下去，对抛物线∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y），得抛物线C n+1：y2＝2p n+1x，…．若，求数列{p n}的通项公式p n．【分析】（1）由“伸缩变换”的伸缩比得，从而即得曲线C2的方程；（2）根据C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，λy）（λ＞0），得到C2分别解方程组得点A，B两点的坐标，最后利用两点的距离公式得到关于λ的方程求出λ的值，即可写出椭圆C2的方程；（3）先对∁n：y2＝2p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y）得抛物线C n+1：（λn y）2＝2p nλn x，结合y2＝2p n+1x得到：，从而求得数列{p n}的通项公式p n．【解答】解（1）由条件得，得C2：；（4分）（2）∵C2、C1关于原点“伸缩变换”，对C1作变换（x，y）→（λx，得到C2，（5分）解方程组得点A的坐标为解方程组得点B的坐标为＝＝，化简后得7λ2﹣8λ+8＝0，解得2的方程为或．（12分）（漏写一个方程扣2分）（3）（理）对∁n：y2＝7p n x作变换（x，y）→（λn x，λn y）得抛物线C n+1：（λn y）2＝7p nλn x，得，又∵y5＝2p n+1x，∴，即，（14分）＝2•28•23•…•2n﹣1，则，（16分）（或解：）p1＝1，∴．（18分）【点评】本小题主要考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线简单性质、数列与解析几何的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．。

2020-2021学年上海市杨浦区高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.直线a与平面α所成的角为600，直线b⊂α，则a,b所成的角的范围是()A. [00,900]B. [300,900]C. [600,900]D. [600,1200]2.已知m∈R，“函数y=2x+m−1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.定义A∗B、B∗C、C∗D、D∗B分别对应下列图形，那么下面的图形中，可以表示A∗D，A∗C的分别是()A. (1)、(2)B. (2)、(3)C. (2)、(4)D. (1)、(4)4.设函数f(x)=e x+lnx，满足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)，若f(x)存在零点x0，则下列选项中一定错误的是()A. x0∈(a,c)B. x0∈(a,b)C. x0∈(b,c)D. x0∈(c,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共38.0分）5.函数f(x)=√2x−4的定义域为______．6.已知A=(−∞,a]，B=[1,2]，且A∩B=⌀，则实数a的范围是______7.已知φ∈(0,π)，若函数f(x)=cos(2x+φ)为奇函数，则φ=______．8.已知长方体ABCD−A1B1C1D1的长、宽、高分别等于2，1，3，则沿着该长方体表面从点A到点C1的最短距离是__________．9.已知幂函数f(x)存在反函数，且反函数f−1(x)过点(2,4)，则f(x)的解析式是______．10.已知二项式(1−3x)n的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为______．11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=log2(2−x)，则f(0)+f(2)的值为________．12.用数字0，1，2，3，7可以组成个没有重复数字的四位奇数______(用数字作答)．13.若cos(π4−α)=35，则sin2α=_________________．14.在△ABC中，∠ACB=90°，点P是平面ABC外一点，且PC=24，若点P到直线AC、BC的距离都等于6√10，则PC与平面ABC所成角的大小为______．15.已知函数y=f(x)的定义域为[−1,2]，则直线x=1与函数y=f(x)的图像交点个数为________．16.函数f(x)=x2−4x+5在区间[0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．(1)求该三棱柱的表面积；(2)求异面直线AB与C1D所成角的大小．18.在△ABC中，AC=BC，D为边AC的中点，AB=BD．(Ⅰ)求sin C；(Ⅱ)若△ABD的外接圆半径为1，求△BDC的外接圆半径．19.某地区上年度电价为0.8元/kW⋅ℎ，年用电量为akW⋅ℎ，本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅ℎ至0.75元/kW⋅ℎ之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅ℎ经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K).该地区电力的成本为0.3元/kW⋅ℎ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？(注：收益=实际用电量×(实际电价−成本价)))=0，20.已知函数f(x)的定义域为R，且对，m，n∈R恒有f(m+n)=f(m)+f(n)−1，且f(−12当x>−1时，f(x)>0.求证：f(x)是单调递增函数．221.已知函数y=x2+mx−4，x∈[2,4](1)求函数的最小值g(m)；(2)若g(m)=10，求m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查直线与平面所成角的定义，属于基础题．根据定义以及范围即可求解．解：因直线a与平面α所成的角为60°，直线b在平面α内，在平面α内作直线b的平行线c与直线a 相交，c最小角为在直线a在平面α投影线上，即60°，最大角为90°．故选C．2.答案：B解析：若函数y=f(x)=2x+m−1有零点，则m<1，当m≤0时，函数y=log m x不成立，若函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数，则0<m<1，此时函数y=2x+m−1有零点是成立的，所以“函数y=2x+m−1有零点”是“函数y=log m x在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件，故选B．3.答案：C解析：解：根据题意得：A、B、C、D分别对应的图形为则表示A∗D，A∗C的分别是(2)、(4)，故选：C．根据题中新运算所对应的图形确定出A，B，C，D分别对应的图形，即可得到正确结果．此题考查了进行简单的合情推理，根据题意确定出A、B、C、D分别对应的图形是解本题的关键．4.答案：C解析：本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查，属于基础题．利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．解：函数f(x)=e x+lnx的定义域为{x|x>0}，函数是增函数，满足f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)，说明f(a)，f(b)，f(c)3个数中，有1个是负数一定是f(a)，其余为正数或3个都是负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在(a,c)，在(a,b)，在(c,+∞)，不可能在(b,c)．故选：C．5.答案：[2,+∞)解析：本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．解：由题意得：2x−4≥0，解得：x≥2，故函数的定义域是[2,+∞)，故答案为：[2,+∞)．6.答案：(−∞,1)解析：解：∵A∩B=⌀；∴a<1；∴实数a的范围为(−∞,1)．故答案为：(−∞,1)．由集合A，B，以及A∩B即可得出a<1．考查区间表示集合的概念，交集的概念及运算．7.答案：π2解析：本题考查诱导公式及正弦函数的性质，由已知得φ为π的奇数倍，结合φ∈(0,π)即可求解．2解：因为函数f(x)=cos(2x+φ)为奇函数，,k∈Z，所以φ=kπ+π2又φ∈(0,π)，．所以φ=π2．故答案为π28.答案：3√2解析：本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了数学转化思想方法，解答的关键是想到对长方体的三种展法，是中档题．解：长方体ABCD−A1B1C1D1的表面可有三种不同的方法展开，如图所示．，AB=3，BC=2，BB1=1．表面展开后，依第一个图形展开，AC1=√(1+2)2+32=3√2，依第二个图形展开，AC1=√(3+2)2+12=√26，依第三个图形展开，AC1=√(3+1)2+22=2√5，三者比较，得A点沿长方形表面到C1的最短距离为3√2．故答案为3√2．9.答案：f(x)=√x解析：解：∵函数f(x)的反函数f−1(x)过点(2,4)，∴原函数y=f(x)过点(4,2)．．设f(x)=xα，则2=4α，解得α=12∴好f(x)=√x．故答案为：f(x)=√x．利用互为反函数的性质和幂函数的定义即可得出．本题考查了互为反函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．10.答案：−540x3解析：解：二项式(1−3x)n的展开式中，∵第3项和第5项的二项式系数相等，∴C n2=C n4，∴n=6，则这个展开式的第4项为C63⋅(−3x)3=−540x3，故答案为：−540x3．根据第3项和第5项的二项式系数相等，求得n=6，再利用二项展开式的通项公式求得这个展开式的第4项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11.答案：−2解析：本题考查函数的奇偶性的性质，函数的值的求法，考查计算能力．解：f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时f(x)=log2(2−x)，则f(0)+f(2)=0−f(−2)=−log2(2+2)=−2．故答案为−2．12.答案：54解析：解：根据题意，分3步进行分析：①，四位奇数的个位数字必须为1、3、7中的任意1个，有3种情况，②，四位数的千位数字不能为0，需要在剩下3个数字中任选1个，有3种情况，③，在剩下的3个数字中任选2个，安排在百位和十位，有A32=6种情况，则一共有3×3×6=54种情况，即有54个没有重复数字的四位奇数；故答案为：54．根据题意，分3步进行分析：①，四位奇数的个位数字必须为1、3、7中的任意1个，②，四位数的千位数字不能为0，需要在剩下3个数字中任选1个，③，在剩下的3个数字中任选2个，安排在百位和十位，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．13.答案：−725解析：本题考查诱导公式以及二倍角公式，属于基础题．根据诱导公式以及二倍角公式求解即可．解：由已知cos(π2−2α)=2cos2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725，∴sin2α=cos(π2−2α)=−725．故答案为−725．14.答案：30°解析：解：过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，PM⊥平面ABC，垂足为M，连结DM，EM，CM．∵PD=PE=6√10，DM=EM，∠PMD=∠PME=90°，∴△PMD≌△PME，∴DM=EM，∵AC⊥PD，AC⊥PM，∴AC⊥平面PDM，∴AC⊥DM，同理：BC⊥EM．∴M在∠BCA的角平分线上，∴∠BCM=45°，∵CE=√PC2−PE2=6√6，∴MC=√2CE=12√3．∴cos∠PCM=CMPC =√32，∴∠PCM=30°．即PC与平面ABC所成角为30°．故答案为：30°．过P作平面ABC，AC，BC的垂线PM，PD，PE，则可证M在∠ACB的平分线上，利用勾股定理计算CE，CM，求出cos∠PCM即可得出∠PCM的大小．本题考查了线面角的作法与计算，属于中档题．15.答案：1解析：本题考查函数的基本概念，属基础题，重点在于函数概念中：“对于定义域内的每一个x的值，有且只有一个y的值和它对应”，反映在图象上，定义域内每一条垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数有且只有一个解：∵函数的定义域为[−1,2]，x=1∈[−1,2]，根据函数的基本概念可知：“对于定义域内的每一个x的值，有且只有一个y的值和它对应”，反映在图象上，定义域内每一条垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数有且只有一个，∴直线x=1与函数y=f(x)的图像交点个数为1，故答案为1．16.答案：[2,4]解析：本题考查函数的最值求法，属于基础题．运用二次函数的性质求出最值即可解题．解：f(x)=x2−4x+5=(x−2)2+1，x∈[0,m]．由最小值为1知m≥2．由最大值为5知f(0)=5，f(4)=5．所以2≤m≤4．17.答案：解：(1)∵正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均为2，∴该三棱柱的表面积：S=2S△ABC+3S正方形ABB1A1=2×12×2×2×sin60°+3×2×2=12+2√3．(2)取AC中点E，连结DE，C1E，∵D为棱BC的中点，∴DE//AB，DE=12AB=1，∴∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角(或所成角的补角)，DC1=EC1=√4+1=√5，cos∠C1DE=C1D2+DE2−C1E22×C1D×DE =2×√5×1=√510，∴∠C1DE=arccos√510，∴异面直线AB与C1D所成角的大小为arccos√510．解析：(1)该三棱柱的表面积S=2S△ABC+3S正方形ABB1A1，由此能求出结果．(2)取AC中点E，连结DE，C1E，则DE//AB，从而∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线AB与C1D所成角的大小．本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．18.答案：解：(1)连接BD，设AC=b，BC=a，AB=c，且a=b，c=BD．在△BCD，△ABC中由余弦定理得：{c2=a2+b2−2abcosCc2=a2+14b2−abcosC⇒cosC=34⇒sinC=√74；(2)令∠ADB=α，在△ABC中有：c2=a2+a2−2a2×34=12a2⇒c=√22a=√22b，则有：cosα=b24+c2−c22×b2×c=√24⇒sinα=√144⇒c=2Rsinα=√142(R为△ABD的外接圆半径)，则有：2R′=csinC=2√2⇒R′=√2(R′为△BDC外接圆半径)．解析：本题考查三角形的解法，余弦定理以及应用，考查三角形的解法，是基本知识的考查．(1)连接BD，在△BCD，△ABC中由余弦定理，转化求解求sin C；(2)令∠ADB=α，在△ABC中通过余弦定理，求出c与a的关系，求出c，然后通过正弦定理求解△BDC 的外接圆半径．19.答案：解：(1)：设下调后的电价为x元/kw⋅ℎ，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益为y=(kx−0.4+a)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75)(5分)(2)依题意有{(0.2ax−0.4+a)(x−0.3)≥[a×(0.8−0.3)](1+20%)0.55≤x≤o.75(9分)整理得{x2−1.1x+0.3≥00.55≤x≤0.75解此不等式得0.60≤x≤0.75答：当电价最低定为0.6元/kw⋅ℎ仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．解析：(1)先根据题意设下调后的电价为x元/kw⋅ℎ，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益即可；(2)依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．20.答案：略.解析：设x1，x2∈R且x1<x2.则x2−x1−12>−12，由题意有f(x2−x1−12)>0，∵f(x2)−f(x1)=f[(x2−x1)+x1]−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)−1−f(x1)=f(x2−x1)−1=f(x2−x1)+ f(−12)−1，∴f(x)是单调递增函数．21.答案：解：(1)y=x2+mx−4，x∈[2,4]函数的对称轴是x=−m2，①−m2≤2即m≥−4时，函数在[2,4]递增，x=2时，函数值最小值，函数的最小值是2m，②2<−m2<4时，函数在[2,−m2)递减，在(−m2,4]递增，x=−m2时，函数值最小，最小值是−m24−4，③−m2≥4时，函数在[2,4]递减，x=4时，函数值最小，函数的最小值是4m+12，综上：g(m)={2m,m≥−4−m24−4,−8<m<−44m+12,m≤−8；(2)g(m)=10，由(1)得：若2m=10，解得：m=5，符合题意；若−m24−4=10，无解；若4m+12=10，无解；故m=5．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．(1)求出函数的对称轴，通过讨论m的范围，得到函数的单调性，从而求出g(m)的表达式即可；(2)根据g(m)的表达式求出m的值即可．。

2020-2021上海市南中学高三数学上期中试题及答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 5．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣7．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B相距，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5210．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒ D ．60B =︒二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）15．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 16．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．17．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； a b 2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 18．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得1=，则14m n+的最小值为__________． 19．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．20．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.三、解答题21．已知函数()cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 22．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.23．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC Va ，c . 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,ab c，已知222,3A b c a π=+=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）143a a ⨯=33，即4a +13a ≤-433 故1212a x x x x ++的最大值为433-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+，令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．D【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)902603904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.9．B【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．10．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q=++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.12．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin 2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.二、填空题13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047-【解析】 【分析】 对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律， 利用()()112121n n n n a b ++=--，求出10S .【详解】 由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出1020462047S =-. 故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.14．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴=故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题15．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角解析：14-【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===-故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；17．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误； 而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；对于④：()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误； 对于⑤1a +1a =a b ab +=2ab≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.18．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：116【解析】 【分析】由7652a a a =+求得2q =122m n a a a ⋅=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n+的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q=+, 由于0n a >,所以21q q=+,解得2q =或1q =-. 因为各项全为正,所以2q =.由于存在两项,m n a a 122m n a a a ⋅=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n+=; 当2,3m n ==时，14116m n +=； 当3,2m n ==时,1473m n +=;当4,1m n ==时,14174m n +=; 综上可得 14m n +的最小值为116, 故答案为116. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】 【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】Q 1112222n n n n b b b H n-++++==L ,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,故2121()(22212)n nn b b n b n --⋅++=-≥+L ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还 解析：3【解析】 【分析】将n a =15项的和. 【详解】利用分母有理化得na ===设数列{}n a 的前n项的和为n S ，所以前15项的和为：151215S a a a=+++L1=L1= 413=-= 即：153S =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.三、解答题21．（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出6x π-的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=，可得出4sin sin 3A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1sin 13B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin 41sin 3sin a A b B B ==-的取值范围. 【详解】（1）()1cos 2cos 2sin cos cos sin 2266f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤，因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2； （2）78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=，4sin sin 3A B ∴=-， 由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪⎨⎪<≤⎩，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4sin sin 4131,3sin sin 3sin 3Ba Ab B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦.因此，a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.22．（1）2n a n =；（2）21nn +. 【解析】 【分析】(1)直接根据累加法即可求得数列{}n a 的通项公式； (2)利用裂项相加即可得出数列{}n b 的前n 项和。

2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x ＜2}， B ={x|x−3x−1≤0} ，则集合A∪B=___ ． 2.（填空题，4分）在 (x2+1x )6的二项展开式中，x 2项的系数等于 ___ ．3.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（sinθ，1）， b ⃗⃗=(1，cosθ) ，其中0＜θ＜2π，若 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则θ=___ ．4.（填空题，4分）若z 1=1+i ，z 2=a-2i ，其中i 为虚数单位，且 z 1•z 2∈R ，则实数a=___ ．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a ，b ，则a ，b 所成角的最大值为 ___ ．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }满足a 1=1，若数列{b n }满足b n =max{a k+1-a k |1≤k≤n}（n∈N*），且a n +b n =2n （n∈N*），则数列{a n }的通项公式a n =___ ．12.（填空题，5分）设函数f （x ）的定义域是（0，1），满足： （1）对任意的x∈（0，1），f （x ）＞0；（2）对任意的x 1，x 2∈（0，1），都有 f (x 1)f (x 2)+f (1−x 1)f (1−x 2)≤2 ；)=2．（3）f(12的最小值为 ___ ．则函数g(x)=xf(x)+1x13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.（单选题，5分）已知a⃗，b⃗⃗，c⃗和d⃗为空间中的4个单位向量，且a⃗+b⃗⃗+c⃗ = 0⃗⃗，则| a⃗−d⃗ |+| b⃗⃗−d⃗ |+| c⃗−d⃗ |不可能等于（）A.3B.2 √3C.4D.3 √216.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为D，若f（x）存在反函数，且f（x）的反函数就是它本身，则称f（x）为自反函数．有下列四个命题：是自反函数；① 函数f(x)=−xx+1② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD ； （2）求PC 与平面ABCD 所成角．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2-mx+4，m∈R ． （1）当m=4时，解不等式g （x ）＞|f （x ）-2|．（2）若对任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），求实数m 的取值范围．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B 处被台风折断且形成120°角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A ，B ，C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）； （2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，PN⊥x轴于点N，直线QN交椭圆于点M（不同于Q点），试求∠MPQ的值；是否为定值？若（3）已知点R在椭圆上，直线PR与圆x2+y2=2相切，连接QR，问：|PR||QR|为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．(n∈N∗)．21.（问答题，18分）已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1-a n|=n，且a n≤ n−12（1）求a4的所有可能取值；（2）若数列{a2n}单调递增，求数列{a2n}的通项公式；（3）对于给定的正整数k，求S k=a1+a2+⋯+a k的最大值．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x−3x−1≤0}，则集合A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|0＜x≤3}【解析】：先解分式不等式求出B，再利用并集运算求解．【解答】：解：∵ B={x|x−3x−1≤0} ={x|1＜x≤3}，A={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|0＜x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}．【点评】：此题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，属于基础题．2.（填空题，4分）在(x2+1x)6的二项展开式中，x2项的系数等于 ___ ．【正确答案】：[1] 1516【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式的x2项的系数．【解答】：解：二项式(x2+1x)6展开式的通项公式为T r+1= C6r(x2)6−r(1x)r= C6r(12)6−rx6-2r，令6-2r=2，解得r=2，故(x2+1x)6二项展开式中，含x2项的系数等于C62(12)4= 1516，故答案为：1516．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．3.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，其中0＜θ＜2π，若a⃗⊥ b⃗⃗，则θ=___ ．【正确答案】：[1] 3π4或7π4【解析】：根据题意，由数量积的计算公式可得a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，结合θ的取值范围，即可确定θ的值．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，若a⃗⊥ b⃗⃗，则有a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，又0＜θ＜2π，所以θ= 3π4或7π4；故答案为：3π4或7π4．【点评】：本题考查向量垂直的判断方法，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．4.（填空题，4分）若z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：求出z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，由z1•z2∈R，能求出实数a．【解答】：解：z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，∴a+2=0，解得实数a=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，求出r与l的关系，确定两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，即可得到答案．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则2πr=πl，解得l=2r，当两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，最大值为60°．故答案为：60°．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：先求出等比数列{a n }的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2020+2S 2021=3S 2022， 所以S 2022-S 2020=2（S 2021-S 2022）， 即a 2021+a 2022=-2a 2022， 所以3a 2022=-a 2021， 所以q=- 13 ，所以无穷等比数列{a n }的各项和为S n = a 1(1−q n )1−q = 2×[1−(−13)n]1+13 = 32[1−(−13)n] ，当n→+∞时，S n → 32 ，故无穷等比数列{a n }的各项和为 32 ， 故答案为： 32．【点评】：本题考查了等比数列求和公式，极限思想，属于中档题．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意，设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所以f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，求出，|α-β|的最小值．【解答】：解：若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，f （x 1）+f （x 2）=0，得-f （x 1）=f （x 2），设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所有f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，对于任意的x∈[ −π4，π4 ]，2x+ π3 ∈[−π6，5π6] ，-f （x ）∈[-1， 12]=A ， 因为-f （x ）单调递减，根据题意，要使|α-β|=β-α最小，只需A=B 即可， 所以-1 ≤sin (2x +π3)≤12 ，得2x+ π3 ∈ [−π2+kπ，π6+kπ]，(k ∈z ) ， 故，|α-β|的最小值为 12 （ [π6−(−π2)] = π3 ． 故答案为： π3．【点评】：考查三角函数图象和性质，三角函数恒成立和能成立问题，综合性高，难度较大． 8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ． 【正确答案】：[1] 49【解析】：小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，由此能求出他能集齐3个不同动漫角色的概率．【解答】：解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个． 小明购买了4个盲盒， 基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P= m n = 3681 = 49． 故答案为： 49．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据中位线定理及椭圆的定义，表示出|OQ|，利用极化恒等式即可求得 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：连接PF 2，由题意可知|PF 2|=2|ON|，|NQ|= 12 |PF 1|， 所以|OQ|=|ON|+|NQ|= 12（|PF 2|+|PF 1|）= 12×4=2，由极化恒等式可知 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|QO|²- 14|F 1F 2|²=4-1=3， 所以 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， （极化恒等式： a ⃗ •b ⃗⃗ = (a⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)24）．故答案为：3．【点评】：本题考查椭圆的定义与性质，中位线定理及向量的数量积运算，考查向量的极化恒等式的应用，针对于极化恒等式，需要学生会推导及会使用，在做题中能起到事半功倍的效果，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：先判断出函数f （x ）为偶函数，结合题意得到f （0）=0，得到a 的值，从而求出f （x ），再判断函数f （x ）的单调性，确定f （x ）的取值范围，即可得到k 的范围．【解答】：解：函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 的定义域为R ， 又f （-x ）=x 2-a|x|+1x 2+1+a=f （x ）， 所以f （x ）为偶函数， 又函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1+a 有且只有一个零点，所以f （0）=0， 解得a=-1，故f （x ）=x 2+|x|+ 1x 2+1 -1， 所以f （x ）=x 2+1+ 1x 2+1 +|x|-2，因为y=x 2+1+ 1x 2+1 在[0，+∞）上为单调递增函数，且y=|x|-2在[0，+∞）上为单调递增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数， 又f （x ）为偶函数，所以f（x）≥f（0）=0，因为方程f（x）=k无解，所以k＜0，故实数k的取值范围为（-∞，0）．故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，若数列{b n}满足b n=max{a k+1-a k|1≤k≤n}（n∈N*），且a n+b n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=___ ．【正确答案】：[1]2n-1【解析】：根据已知条件分别求a1，a2，a3，…，由归纳即可得{a n}的通项公式．【解答】：解：因为a n+b n=2n（n∈N*），由a1=1，可得b1=a2-a1=21-1=1，所以a2=a1+1=1+1=2，因为a2+b2=22=4，可得b2=2=a3-a2，所以a3=4，因为b3=23-a3=8-4=4=a4-a3，可得a4=8，…，所以a n=b n=2n-1，故答案为：2n-1．【点评】：本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）设函数f（x）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）对任意的x1，x2∈（0，1），都有f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2；（3）f(12)=2．则函数g(x)=xf(x)+1x的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：由条件（1）（2）进行推导可得f（x）关于直线x= 12对称，借由对称轴推出f（x）为常数函数，代入g（x）基本不等式求最值运算．【解答】：解：由题意，令x1=1-x2，则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≤2，由（1）对任意x∈（0，1），f（x）＞0，则f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≥2√f(1−x2)f(x2)⋅f(x2)f(1−x2)=2，所以f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)=2，当且仅当f(1−x2)f(x2)=f(x2)f(1−x2)，即f（x2）=f（1-x2）时等号成立，所以f（x）关于直线x= 12对称，所以f（x1）=f（1-x1），f（x2）=f（1-x2），则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(x1)f(x2)+f(x1)f(x2)≤2，所以f(x1)f(x2)≤1，因为对任意x∈（0，1），f（x）＞0，所以f（x1）≤f（x2），所以f（x1）=f（x2）恒成立，故f（x）为常数函数，因为f（12）=2，所以f（x）=2，所以g（x）=xf（x）+ 1x =2x+ 1x，因为x∈（0，1），所以2x+ 1x ≥2√2x•1x=2 √2（当且仅当x= √22时等号成立），所以g（x）的最小值为2 √2．故答案为：2 √2．【点评】：本题考查了抽象函数的性质，基本不等式求最值，属于难题．13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由等比数列的通项公式和数列的单调性的定义，结合充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：由a1＞a3，S2＞S4，可得a1＞a1q2，a1+a1q＞a1+a1q+a1q2+a1q3，即为a1（1-q2）＞0，a1（1+q）＜0，若a1＞0，则-1＜q＜1，且q≠0，又q＜-1，可得q∈∅；若a1＜0，则q＞1或q＜-1，又q＞-1，可得q＞1，综上可得，数列{a n}单调递减；但“数列{a n}单调递减“推不到“a1＞a3，S2＞S4”，所以“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的通项公式的运用，以及数列的单调性的判断和充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【正确答案】：C【解析】：A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；【解答】：解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D ，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错； 故选：C ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，属于基础题．15.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 和 d ⃗ 为空间中的4个单位向量，且 a ⃗ +b ⃗⃗ +c ⃗ = 0⃗⃗ ，则| a ⃗ −d ⃗ |+| b ⃗⃗ −d ⃗ |+| c ⃗ −d ⃗ |不可能等于（ ） A.3 B.2 √3 C.4 D.3 √2【正确答案】：A【解析】：首先由三个向量和为0向量得到三向量共面且两两成120度，再分情况考虑 d ⃗ ，不难得解．【解答】：解：设向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，d ⃗ 分别对应向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗ 可知三个向量两两夹角为120°， 如图，当D 与A 重合时，所求值为2 √3 ； 当D 与M 重合时，所求值为4； 当OD⊥平面ABC 时，所求值为3 √2 ． 故选：A ．【点评】：此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．16.（单选题，5分）函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）存在反函数，且f （x ）的反函数就是它本身，则称f （x ）为自反函数．有下列四个命题： ① 函数 f (x )=−xx+1 是自反函数；② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：D【解析】：由反函数跟自反函数定义逐一进行判断．，【解答】：解：① ，因为f（x）=- xx+1定义域为{x|x≠-1}，，设y=- xx+1所以y（x+1）=-x，，解得x=- yy+1（x≠-1），所以f（x）的反函数为y=- xx+1即f（x）反函数为它本身，满足自反函数定义，故① 正确，排除C；对于③ ，要使f（x）= √1−x2有意义，则1-x2≥0，即-1≤x≤1，因为f（x）为[a，b]上的自反函数，所以[a，b]⊆[-1，0]或[a，b]⊆[0，1]，所以则b-a的最大值为1，③ 正确，排除B；对于④ ，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，而f（x）为定义在R上的自反函数，故f（x）图象关于y=x对称且与y=x有交点，所以方程f（x）=x有解，故④ 正确；故选：D．【点评】：本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求PC与平面ABCD所成角．【正确答案】：【解析】：（1）证明CD⊥DP．AB⊥DP，然后证明AB⊥平面PAD．（2）作AD的中点E，连结PE，CE，说明PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．通过四棱锥P-ABCD的体积，求解得CD=4．在Rt△PEC中，求解PC与平面ABCD所成角．【解答】：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥DP．又AB || CD，∴AB⊥DP．∵AP∩DP=P，AP，DP⊂面PAD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：作AD的中点E，连结PE，CE，∵PA=PD，PA⊥PD，∴PE⊥AD，AD=2√2，PE=12AD=√2．由（1）AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，又AB∩AD=A，AB，AD⊂面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．四棱锥P-ABCD的体积为4=13S梯形ABCD•PE=13•AB+CD2•AD•PE=13•2+CD2•2√2•√2，得CD=4．在Rt△PDC中，PC=√PD2+DC2=√22+42=2√5．在Rt△PEC中，sin∠PCE=PEPC =√22√5=√1010，∠PCE=arcsin√1010．所以PC与平面ABCD所成角为arcsin√1010．【点评】：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x，g（x）=x2-mx+4，m∈R．（1）当m=4时，解不等式g（x）＞|f（x）-2|．（2）若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2），求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为|x-2|＞1，解之即可；（2）可求得当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]，依题意，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x ) max≤m≤ (x+3x )min，利用对勾函数的性质分别求得(x+2x)max与(x+3x)min，即可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为：|x-2|2＞|x-2|，即|x-2|＞1，解得x＞3或x＜1，故不等式g（x）＞|f（x）-2|的解集为{x|x＞3或x＜1}．（2）∵f（x）=x，∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]；又g（x）=x2-mx+4，x∈[1，2]，对于任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴g（x）的值域是f（x）的值域的子集，即当x∈[1，2]时，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x )max≤m≤ (x+3x)min，又当x∈[1，2]时，由对勾函数的性质可得y=x+ 2x ∈[2 √2，3]，y=x+ 3x∈[2 √3，4]，∴3≤m≤2 √3，即m的取值范围为[3，2 √3 ]．【点评】：本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合正弦定理可得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，代入计算即可；（2）设△4BC的内接矩形DEFG的边DE在AC上且DE=2，设DG=EF=h，由∠CAB=θ，构建函数h= 8sinθsin(60°−θ)sin60°，再结合θ范围求得h范围，然后与救援车高比较即可得到答案．【解答】：解：（1）在△ABC中，∠CBA=120°，∠CAB=45°，所以∠BCA-15°，由正弦定理，得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，所以AB+BC= 10sin120°（sin15°+sin45°）= 15√2+5√63≈11.2，答：折断前树的高度11.2米；（2）如图，设△4BC 的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且DE=2，设DG=EF=h ， 因为∠CAB=θ，∠CBA=120°，所以∠BCA=60°-θ， 所以AD+CE+DE= ℎtanθ + ℎtan (60°−θ) +2=10， 所以h[ cosθsinθ + cos (60°−θ)sin (60°−θ)]=8， h=8sinθsin (60°−θ)sin60° = √3√34 sin2θ- 1−cos2θ4 ）= 8√33sin (2θ+π6)−4√33， 因为θ∈（0， π3 ），所以 2θ+π6∈(π6，5π6) ， 所以sin （2θ+ π6 ）∈（ 12 ，1]，所以h∈（0， 4√33]， 由于4√33＜2.5， 所以高2.5米的救援车不能从此处通过．【点评】：本题考查了解三角形的应用，正弦定理，三角函数值域的求法，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，PN⊥x 轴于点N ，直线QN 交椭圆于点M （不同于Q 点），试求∠MPQ 的值；（3）已知点R 在椭圆上，直线PR 与圆x 2+y 2=2相切，连接QR ，问： |PR||QR| 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【正确答案】：【解析】：第一问要弄清楚A 点就是椭圆的右顶点，第二问要设而不解，计算较繁琐，通过计算找出两直线PM 和PQ 是垂直关系，第三问要分直线PR 的斜率是否存在两种情况进行讨论．【解答】：解：（1）．∵点 A(√6，0) 在椭圆上． ∴a= √6 ．又∵ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−c −√6，0) ， AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c −√6，0) ．∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-c 2=3．∴c 2=3，b 2=3． ∴椭圆C的标准方程：x 26+y 23=1 ．（2）．设P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），M （x 1，y 1）则Q （-x 0，-y 0），N （x 0，0）． 因为M 、N 、Q 三点共线，所以 y 1x1−x 0=y02x 0，所以 y 1=y 0(x 1−x 0)2x 0① ． 联立 {x 026+y 023=1x 126+y 123=1，两式相减得 y 1−y 0x 1−x 0=−x 1+x2(y 1+y 0)． ② 将 ① 代入 ② 中的右边的分母中，化简可得： y 1−y 0x 1−x 0=−x 0y 0，所以K PM = −x0y 0，又因为K PQ = y 0x 0， 所以K PM •K PQ =-1，所以PM⊥PQ ， 所以∠MPQ= π2 ．（3）． ① 当直线PR 的斜率不存在时，依题意可得直线PR 的方程为x= √2 或x=- √2 ． 若直线PR ：x= √2 ，则直线PQ ：y=x ，可得P （ √2 ， −√2 ），Q （- √2 ，- √2 ），R （ √2 ，- √2 ）．则|PR|= 2√2 ，|QR|= 2√2 ，所以 |PR||RQ|=1 ． 其他情况由对称性同理可得 |PR||RQ|=1 ．② 当直线PR 的斜率存在时，设直线PR 的方程为y=kx+m ， 因为直线与圆O 相切，所以圆心O 到直线PR √k 2+1=√2 ，即|m|= √2(1+k 2) ．设P （x 1，y 1），R （x 2，y 2），则Q （-x 1，-y 1）．联立 {y =kx +m x 26+y 23=1 ，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2-6=0，Δ＞0．则x 1+x 2= −4km 1+2k 2 ，x 1x 2= 2m 2−61+2k 2．所以|PR|= √1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√2√1+k 2•√6k 2−m 2+31+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2． 因为|QR|= √(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2 ．又因为y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m= k (−4km1+2k 2)+2m =2m1+2k 2 ． 所以|QR|= √(−4km 1+2k 2)2+(2m1+2k 2)2= 2|m|√1+4k 21+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2=|PR | ．即 |PR||QR|=1 ． 综上所述， |PR||QR|=1 ．【点评】：本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12(n ∈N ∗) ．（1）求a 4的所有可能取值；（2）若数列{a 2n }单调递增，求数列{a 2n }的通项公式； （3）对于给定的正整数k ，求S k =a 1+a 2+⋯+a k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据数列的递推公式，即可求出a 4的所有可能取值；（2）根据数列{a 2n }单调递增，且a 2=-1，a 4=0，判断数列{a n }中相邻两项不可能同时为非负数，结合题意判断数列{a 2n }是等差数列，从而求出数列{a 2n }的通项公式；（3）根据（2）知a n ，a n+1不能都为非负数，讨论n 为奇数和n 为偶数时，a n+1+a n 的取值情况，从而求出k 为奇数时和k 为偶数时，S k 的最大值．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12（n∈N *）， 所以|a 2-0|=1，a 2=1（不合题意，舍去），或a 2=-1； 当a 2=-1时，|a 3+1|=2，解得a 3=1，或a 3=-3；当a 3=1时，|a 4-1|=3，解得a 4=4（不合题意，舍去），或a 4=-2， 当a 3=-3时，|a 4+3|=3，解得a 4=0，或a=-6， 所以a 4的所有可能取值是-2，0，-6；（2）因为数列{a2n}单调递增，且a2=-1，a4=0，所以a2n≥0对n≥2成立；下面证明数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数；假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，因为|a i+1-a i|=i，若a i+1-a i=i，则a i+1=a i+i≥i＞(i+1)−12，与已知条件矛盾；若a i+1-a i=-i，则a i+1=a i+i≥i＞i−12，与已知条件矛盾；所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数，即a2n≥0对n≥2成立；所以当n≥2时，a2n-1≤0，a2n+1≤0，即a2n-1≤a2n，a2n+1≤a2n，所以a2n-a2n-1=2n-1，a2n-1-a2n-2=-（2n-2），（a2n-a2n-1）+（a2n-1-a2n-2）=（2n-1）-（2n-2）=1，即a2n-a2n-2=1，其中n≥2，即数列{a2n}是首项为-1，公差为1的等差数列，所以数列{a2n}的通项公式为a2n=-1+（n-1）×1=n-2；（3）对于给定的正整数k，S k=a1+a2+⋯+a k，由（2）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数，当a n≥0时，a n+1＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当a n+1≥0时，a n＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n=a n+1-n，所以a n+a n+1=2a n+1-n≤2× n+1−12-n≤0，所以总有a n+a n+1≤0成立，当n为奇数时，|a n+1-a n|=n，所以a n+1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤-1，当n为偶数时，a n+1+a n≤0，所以k为奇数时，S k=a1+（a2+a3）+...+（a k-1+a k）≤0，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=0，所以S k的最大值为0．得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当k为偶数时，S k=（a1+a2）+...+（a k-1+a k）≤- k2，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，- k2，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=- k2，所以S k的最大值为- k2．综上知，k为奇数时，S k的最大值为0，k为偶数时，S k的最大值为- k2．【点评】：本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，以及分类讨论思想，是难题．。

第1页，共2页上海2020-2021学年建平中学高三上学期期中模拟卷数学学科参考答案一.填空题（本大题共有题，本大题满分分，只要求直接填写结果，第题每题填对得分，第题每题填对得分，否则一律得零分.）1.(0,1)2.323.54.8-5.31,2⎛⎤⎥⎝⎦6.57.68.1289.1(,10)10 10.9π 11.[4,)π+∞ 12.][)(,66,-∞-⋃+∞二、选择题（本大题共4小题，本大题满分20分）每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分 13.D 14.C 15.C 16.C三.解答题（共有五题，满分76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答写在答题卡的制定区域内）17、1AD 上找一点E ，令2DE ，连接BE 、AC ，则DE BC由题意得，PA平面ABCD ，AB ,AD平面ABCD ，PA AB ,PA AD ,在Rt PAB ,Rt PAE ,Rt EAB 中，2PB BEPE ,则PBE 为等边三角形，即3PBE,CD BE ,PB 与CD 夹角为3.2同1理得，Rt PAC 中，6PC,2PB ,2BC222PB BC PC 即2PBC，12222S PBC令h 为D 到平面PBC 距离PBCDDPBCV V111122323h 22h，即为所求. 18、()1由题意得()2cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()f x ⎡∈-⎣ABC h ∆∴=，4BC =22424T πππω===⨯()2()00435f x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ 04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则0-4322x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则03cos 435x ππ⎛⎫+=⎪⎝⎭()()000+1+1+43434f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4355⎭19、 （1）由题意可知曲线C 是以A,B 为焦点且长轴长为8的椭圆，又24c = ,则2c = ，b = 所以曲线C 的方程为2211612x y += （2）由于A,B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为5：3,因此设A,B 两岛的距离比为5：3.即鱼群距离A 岛，B 岛的距离为5海里和3海里。

2020-2021学年上海上海高三上数学期中试卷一、选择题1. 已知a，b都是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：a，b都是实数，a>b，不能推出a2>b2，如−2>−3，但(−2)2<(−3)2，充分性不成立；a2>b2，不能推出a>b，如(−3)2>(−2)2，但−3<−2，必要性不成立．所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也又不必要条件．故选D．2. 等差数列{a n}中，已知a1=13，a2+a5=4，a n=33，则n的值为（）A.48B.49C.50D.51【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出a n的表达式，然后令a n=33，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，∵a1=13，a2+a5=4，∴13+d+13+4d=4，即23+5d=4，解得d=23．∴等差数列{a n}的通项公式为a n=13+23(n−1)=23n−13，令a n=33，即23n−13=33，解得n=50．故选C．3. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A.y=tan xB.y=3xC.y=x 13 D.y=lg|x|【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：A，y=tan x是奇函数，在(kπ−12π,kπ+12π)，k∈Z上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误；B，f(−x)=3−x=13x≠−f(x)，不是奇函数，故B错误；C，f(−x)=(−x)13=−x13=−f(x)，是奇函数，根据幂函数的性质可知，函数y=x13在R上单调递增，故C正确；D，f(−x)=lg|−x|=lg|x|=f(x)，所以y=lg|x|是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选C.4. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点、角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f(x)，则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象与图象变化【解析】此题暂无解析【解答】解：当0≤x≤π2时，OM=1⋅cos x=cos x，则点M到直线OP的距离f(x)=OM⋅sin x=cos x sin x=12sin2x；当π2<x≤π时，OM=1⋅cos(π−x)=−cos x，则点M到直线OP的距离f(x)=OM⋅sin x=−cos x sin x=−12sin2x；综上所述，y=f(x)在[0，π]上的解析式为：f(x)=|12sin2x|，由正弦函数的性质可得：f(x)max=12.故选B.二、填空题lim n→∞nn+1=________.【答案】1【考点】极限及其运算【解析】直接利用极限的运算求解即可. 【解答】解：limn→∞n n+1=limn→∞n+1−1 n+1=limn→∞(1−1n+1)=lim n→∞1−lim n→∞1n +1=1.故答案为：1.若函数f (x )=sin ax (a >0)的最小正周期为4π，则实数a =________.【答案】12【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】直接利用公式求解即可.【解答】解：∵ 函数f (x )=sin ax (a >0)的最小正周期为4π，∴ T =2πa=4π， 解得a =12.故答案为：12.已知f(x)=√x −3+4(x ≥3)，则f −1(5)=________．【答案】4【考点】反函数【解析】因为反函数的自变量是原函数的函数值，所以令f(x)=√x −3+4=5可得x =4，进而得到答案．【解答】解：因为反函数的自变量是原函数的函数值，所以令f(x)=√x −3+4=5可得x =4，所以f −1(5)=4．故答案为：4．方程lg (x −3)+lg x =1的解x =________．【答案】5【考点】对数的运算性质【解析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg (x −3)+lg x =1，即lg x(x −3)=1得：{x −3>0，x >0，lg x(x −3)=1，即{x >3，x(x −3)=10，解得：x =5.故答案为：5．已知cos α=−35，α∈(π2,π)，则sin 2α=________．【答案】−2425【考点】二倍角的正弦公式同角三角函数间的基本关系 【解析】直接利用同角三角函数的基本关系式求解正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：由题可得cos α=−35，α∈(π2,π)，所以sin α=√1−cos 2α=√1−(−35)2=45，所以sin 2α=2sin αcos α=2×45×(−35)=−2425．故答案为：−2425．方程sin x =cos x ，x 在[0, 2π)上的解集为________．【答案】{π4，5π4} 【考点】同角三角函数间的基本关系函数的求值【解析】方程sin x =cos x ，即 tan x =1，当 x 在[0, 2π)上时，x =π4，或 x =5π4．【解答】解：方程sin x =cos x ，即 tan x =1，当x 在[0, 2π)上时，x =π4或 x =5π4， 故答案为：{π4，5π4}．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为________．【答案】2【考点】等比中项基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42.∵等比数列{a n}各项均为正数，∴4=a3+a5≥2√a3a5=2√a42=2a4，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a4≤2，a4的最大值为2．故答案为：2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减，且f(2)=0，则不等式f(x)<0的解集为________.【答案】(−2,0)∪(2,+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】通过奇函数的f(0)=0和f(2)=0确定函数的单调性，进而画出函数的图像，根据图像直接写出f(x)<0的解.【解答】解：f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，且f(2)=0，所以f(−2)=−f(2)=0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(x)在(−∞,0)上单调递减，可得函数图象草图如图，则不等式f(x)<0的解集为(−2,0)∪(2,+∞).故答案为：(−2,0)∪(2,+∞).函数f(x)=|x−2|−ln x在定义域内的零点的个数为________．【答案】2【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x−2|，y2=ln x(x>0)的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．【解答】解：由题意，函数f(x)的定义域为(0, +∞)，由函数零点的定义，f(x)在(0, +∞)内的零点即是方程|x−2|−ln x=0的根．令y1=|x−2|，y2=ln x(x>0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象如图，由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数f(x)有两个零点．故答案为：2.已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A−sin2C)=(√2a−b)sin B（其中a，b分别是∠A，∠B的对边），那么∠C的大小为________．【答案】45∘【考点】正弦定理余弦定理【解析】先利用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形的内角和及和角的三角函数，变形展开，化简即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A−sin2C)=(√2a−b)sin B，由正弦定理可得，a sin A −c sin C =(√2a −b)sin B ，a 2−c 2=√2ab −b 2，∴ cos C =a 2+b 2−c 22ab =√22， ∴ ∠C =45∘.故答案为：45∘．把数列{a n }的所有项按照从小到大的原则写成如图所示的数表：其中，a n =2n −1，且第k 行有2k−1个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为A(t, s)，则A(8, 18)=________．【答案】289【考点】等比数列的前n 项和【解析】跟据第k 行有2k−1个数知每行数的个数成等比数列，要求A(t, s)，先求A(t, 1)，就必须求出前t −1行一共出现了多少个数，根据等比数列求和公式可求，而由a n =2n −1可知，每一行数的分母成等差数列，可求A(t, s)，令t =8，s =18，可求A(8, 18)【解答】解：由第k 行有2k−1个数，知每一行数的个数构成等比数列，首项是1，公比是2， ∴ 前k −1行共有1−2k−11−2=2k−1−1个数，∴ 第k 行第一个数是A(k, 1)=2×2k−1−1=2k −1，∴ A(k, s)=2k −1+2(s −1)，∴ A(8, 18)=28−1+2(18−1)=289.故答案为：289．设函数y =f (x )的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈R ，都有f (x +T )=T ⋅f (x )，则称函数y =f (x )是“似周期函数”，非零常数T 为函数y =f (x )的“似周期”，现有下面四个关于“似周期函数”的命题：(1)如果“似周期函数”y =f (x )的“似周期”为−1，那么它是周期为2的周期函数；(2)函数f (x )=x 是“似周期函数”；(3)函数f (x )=(12)x是“似周期函数”；(4)如果函数f (x )=cos ωx 是“似周期函数”，那么“ω=kπ， k ∈Z .其中真命题的序号是________.【答案】(1)，(3)，(4)【考点】命题的真假判断与应用函数的周期性函数新定义问题【解析】对于①，如果“似周期函数y=f(x)的“似周期”为−1，则f(x−1)=−f(x)，即f(x−1)=−f(x)=−(f(x+1))=f(x+1)，至此可以判断其正误；接下来利用“似周期函数”的定义分析判断其它小题的正误，问题即可解答．【解答】解：对于(1)：根据题意有f(x−1)=−f(x)，令x=x+1可得有f(x)=−f(x+1)，两式联立得f(x−1)=f(x+1)，因此f(x)是周期为2的周期函数，故此命题正确；对于(2)：假设f(x)=x是似周期函数，则对任意x∈D，存在T满足x+T=Tx，令x=1，显然此式不成立，故此命题错误；对于(3)：对任意x∈D，存在T满足2−(x+T)=T⋅2−x，化简得2−T=T，利用零点存在性定理或者画出函数y=2−x与y=x观察交点个数，显然此方程有唯一解，故此命题正确；对于(4)：如果函数f(x)=cosωx是“似周期函数”，则有cos[ω(x+T)]=T cosωx对任意x∈D恒成立，观察左右两个函数的值域，故必有T=±1即cos[ω(x+T)]=cos(ωx+ωT)=±cosωx，两边平方得cos2(ωx+ωT)=cos2ωx，即cos(2ωx+2ωT)+12=cos2ω+12，因此cos(2ωx+2ωT)=cos2ωx，根据诱导公式，有2ωT=2kπ，结合T=±1，所以ω=kπ(k∈Z)，故此命题正确.故答案为：(1)，(3)，(4).三、解答题已知集合A是函数y=√2−x2+x+2−1的定义域，集合B={x|x−ax−1<0，x∈R}．(1)若a=3，求A∩B；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由二次根式有意义的条件可知集合A满足2−x2+x+2−1≥0，即−x2+x+2≥0，即(x−2)(x+1)≤0，解得−1≤x≤2，所以集合A=[−1,2]；当a=3时，由集合B可得，x−3x−1<0，即(x−3)(x−1)<0，解得1<x<3，所以集合B=(1,3).A∩B=(1,2].(2)x−a x−1<0，即(x −a)(x −1)<0，当a <1时，B =(a,1) ；当a =1时，B =⌀；当a >1时，B =(1,a ).因为B ⊆A ，所以{a <1，a ≥−1或a =1或{a >1，a ≤2，所以−1≤a <1或a =1或1<a ≤2，所以−1≤a ≤2.【考点】函数的定义域及其求法交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由二次根式有意义的条件可知集合A 满足2−x 2+x+2−1≥0，即−x 2+x +2≥0，即(x −2)(x +1)≤0，解得−1≤x ≤2，所以集合A =[−1,2]；当a =3时，由集合B 可得，x−3x−1<0，即(x −3)(x −1)<0，解得1<x <3，所以集合B =(1,3).A ∩B =(1,2].(2)x−a x−1<0，即(x −a)(x −1)<0，当a <1时，B =(a,1) ；当a =1时，B =⌀；当a >1时，B =(1,a ).因为B ⊆A ，所以{a <1，a ≥−1或a =1或{a >1，a ≤2，所以−1≤a <1或a =1或1<a ≤2，所以−1≤a ≤2.设函数f (x )=4x −1(x ≥0)的反函数为f −1(x )，g (x )=log 4(3x +1).(1)求f −1(x )；(2)设函数ℎ(x )=g (x )−f −1(x )，判断函数ℎ(x )在区间(0,+∞)上的单调性并用定义证明．【答案】解：(1)因为x≥0，所以y=f(x)=4x−1≥0，所以4x=y+1，所以x=log4(y+1)，所以f−1(x)=log4(x+1)(x≥0)．(2)ℎ(x)=log4(3x+1)−log4(x+1)=log4(3x+1x+1)在区间(0,+∞)上单调递增.证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，ℎ(x1)=log43x1+1x1+1+，ℎ(x2)=log4(3x2+1x2+1)，则3x1+1x1+1−3x2+1x2+1=3x1x2+3x1+x2+1−3x1x2−3x2−x1−1(x1+1)(x2+1)=2(x1−x2)(x1+1)(x2+1)，因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+1>0，x2+1>0所以0<3x1+1x1+1<3x2+1x2+1，所以log4(3x1+1x1+1)<log4(3x2+1x2+1)，即ℎ(x1)<ℎ(x2)．所以函数ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增．【考点】反函数复合函数的单调性函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为x≥0，所以y=f(x)=4x−1≥0，所以4x=y+1，所以x=log4(y+1)，所以f−1(x)=log4(x+1)(x≥0)．(2)ℎ(x)=log4(3x+1)−log4(x+1)=log4(3x+1x+1)在区间(0,+∞)上单调递增.证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，ℎ(x1)=log43x1+1x1+1+，ℎ(x2)=log4(3x2+1x2+1)，则3x1+1x1+1−3x2+1x2+1=3x1x2+3x1+x2+1−3x1x2−3x2−x1−1(x1+1)(x2+1)=2(x1−x2)(x1+1)(x2+1)，因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+1>0，x2+1>0所以0<3x1+1x1+1<3x2+1x2+1，所以log4(3x1+1x1+1)<log4(3x2+1x2+1)，即ℎ(x1)<ℎ(x2)．所以函数ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增．如图，现在要在一块半径为1米，圆心角为π3的扇形纸板AOB上剪出一个矩形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ，矩形MNPQ的面积为S．(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应θ的值．【答案】解：(1)由题可得PN=OP⋅sinθ=sinθ，tan∠AOB=tanπ3=√3，MN=ON−OM=OP⋅cosθ−QM tan∠AOB=cosθ−√33sinθ，所以S=sinθ(cosθ−√33sinθ)(0<θ<π3).(2)S=sinθ(cosθ−√33sinθ)=sinθcosθ−√33sin2θ=12sin2θ−√3(1−cos2θ)6=12sin2θ+√36cos2θ−√36=√33(√32sin2θ+12cos2θ)−√36=√33sin(2θ+π6)−√36，因为0<θ<π3，所以π6<2θ+π6<5π6，当2θ+π6=π2即θ=π6时S取得最大值，S max=√36.答：当θ=π6时，矩形MNPQ的面积最大值为√36.【考点】在实际问题中建立三角函数模型任意角的三角函数二倍角的余弦公式二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可得PN=OP⋅sinθ=sinθ，tan∠AOB=tanπ3=√3，MN=ON−OM=OP⋅cosθ−QM tan∠AOB=cosθ−√33sinθ，所以S=sinθ(cosθ−√33sinθ)(0<θ<π3).(2)S=sinθ(cosθ−√33sinθ)=sinθcosθ−√33sin2θ=1sin2θ−√3(1−cos2θ)=12sin2θ+√36cos2θ−√36=√33(√32sin2θ+12cos2θ)−√36=√33sin(2θ+π6)−√36，因为0<θ<π3，所以π6<2θ+π6<5π6，当2θ+π6=π2即θ=π6时S 取得最大值， S max =√36. 答：当θ=π6时，矩形MNPQ 的面积最大值为√36.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n −a n (n ∈N ∗). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)设b n =a n −1，求证：数列{b n }是等比数列；(3)设c n =b n ⋅(n −n 2)(n ∈N ∗)，如果对任意n ∈N ∗，都有c n <t5，求正整数t 的最小值． 【答案】(1)解：当n =1时，可得S 1=a 1=1−a 1，整理得2a 1=1，解得a 1=12； 当n =2时，可得S 2=12+a 2=2−a 2，整理得2a 2=32，解得a 2=34； 当n =3时，可得S 3=12+34+a 3=3−a 3，整理得2a 3=74，解得a 3=78；当n =4时，可得S 4=12+34+78+a 4=4−a 4，整理得2a 4=158，解得a 4=1516. 所以a 1=12，a 2=34，a 3=78，a 4=1516．(2)因为S n =n −a n ，所以n ≥2时， S n−1=(n −1)−a n−1，所以n ≥2时， a n =S n −S n−1=1−a n +a n−1， 得a n =12a n−1+12，所以n ≥2时， a n −1=12a n−1−12=12(a n−1−1)，即n ≥2时， b n =12b n−1 ， b 1=a 1−1=−12≠0，所以数列{b n }是等比数列，且首项为−12，公比为12． (3)由(2)可得， b n =−12n ，所以 C n =b n ⋅(n −n 2)=n 2−n 2n，所以C n+1−C n=(n +1)2−(n +1)2n+1−n 2−n 2n=n(3−n)2n+1，所以C 1<C 2<C 3=C 4>C 5>⋯ 所以C n 有最大值C 3=C 4=34． 对任意n ∈N ∗，都有C n <t 5，当且仅当34<t 5，即t >154时，正整数t 的最小值是4．【考点】数列递推式数列与不等式的综合 【解析】 【解答】(1)解：当n =1时，可得S 1=a 1=1−a 1，整理得2a 1=1，解得a 1=12； 当n =2时，可得S 2=12+a 2=2−a 2，整理得2a 2=32，解得a 2=34； 当n =3时，可得S 3=12+34+a 3=3−a 3，整理得2a 3=74，解得a 3=78；当n =4时，可得S 4=12+34+78+a 4=4−a 4，整理得2a 4=158，解得a 4=1516. 所以a 1=12，a 2=34，a 3=78，a 4=1516．(2)因为S n =n −a n ，所以n ≥2时， S n−1=(n −1)−a n−1，所以n ≥2时， a n =S n −S n−1=1−a n +a n−1， 得a n =12a n−1+12，所以n ≥2时， a n −1=12a n−1−12=12(a n−1−1)， 即n ≥2时， b n =12b n−1 ， b 1=a 1−1=−12≠0，所以数列{b n }是等比数列，且首项为−12，公比为12．(3)由(2)可得，b n=−12n，所以C n=b n⋅(n−n2)=n2−n2n，所以C n+1−C n=(n+1)2−(n+1)2n+1−n2−n2n=n(3−n)2n+1，所以C1<C2<C3=C4>C5>⋯所以C n有最大值C3=C4=34．对任意n∈N∗，都有C n<t5，当且仅当34<t5，即t>154时，正整数t的最小值是4．已知函数f(x)=x|x−a|的定义域为D，其中a为常数．(1)若D=R，且f(x)是奇函数，求a的值；(2)若a≤−1，D=[−1,0]，函数f(x)的最小值是g(a)，求g(a)的最大值；(3)若a>0，在[0,a]上存在n个点x i(i=1，2，⋯，n，n≥3），满足x1=0，x n=a，x1<x2<⋯<x n，使得|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|= 8，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(−x)=0对任意x∈R恒成立，所以x|x−a|=−(−x)|−x−a|=x|x+a|，即|x2−ax|=|x2+ax|即ax=0对任意x∈R恒成立，所以a=0.(2)f(x)=x|x−a|={(x−a2)2−a24，x≥a，−(x−a2)2+a24，x<a，因为a≤−1，所以[−1,0]⊆[a,+∞），所以f(x)=(x−a2)2−a24，x∈[−1,0]．①当−2≤a≤−1时，−1≤a2≤−12，f(x)在[−1,a2]上单调递减，在[a2,0]上单调递增，[f(x)]min=−a24．②当a<−2时，a2<−1，f(x)在[−1,0]上单调递增，[f(x)]min=f(−1)=a+1．综上所述，g(a)={−a24，−2≤a≤−1，a+1，a<−2，若−2≤a≤−1，则−1≤g(a)≤−14；若a<−2，则g(a)<−1，所以当a=−1时，[g(a)]max=−14．(3)因为a>0，且f(x)在[0,a2]上单调递增，在[a2,a]上单调递减，所以f(x)max=f(a2)，f(x)min=f(0)，而|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|≤2[f(x)max−f(x)min]，要使满足条件的点存在，必须且只需2[f(a2)−f(0)]≥8，即a 22≥8，解得a≥4．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(−x)=0对任意x∈R恒成立，所以x|x−a|=−(−x)|−x−a|=x|x+a|，即|x2−ax|=|x2+ax|即ax=0对任意x∈R恒成立，所以a=0.(2)f(x)=x|x−a|={(x−a2)2−a24，x≥a，−(x−a2)2+a24，x<a，因为a≤−1，所以[−1,0]⊆[a,+∞），所以f(x)=(x−a2)2−a24，x∈[−1,0]．①当−2≤a≤−1时，−1≤a2≤−12，f(x)在[−1,a2]上单调递减，在[a2,0]上单调递增，[f(x)]min=−a24．②当a<−2时，a2<−1，f(x)在[−1,0]上单调递增，[f(x)]min=f(−1)=a+1．综上所述，g(a)={−a24，−2≤a≤−1，a+1，a<−2，若−2≤a≤−1，则−1≤g(a)≤−14；若a<−2，则g(a)<−1，所以当a=−1时，[g(a)]max=−14．(3)因为a>0，且f(x)在[0,a2]上单调递增，在[a2,a]上单调递减，所以f(x)max=f(a2)，f(x)min=f(0)，而|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|≤2[f(x)max−f(x)min]，要使满足条件的点存在，必须且只需2[f(a2)−f(0)]≥8，即a 22≥8，解得a≥4．。

2020-2021学年上海市杨浦区高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．（3分）函数f（x）＝的定义域为．2．（3分）已知集台A＝（﹣∞，a]，B＝[2，3]，且A∩B非空，则实数a的取值范围是．3．（3分）若函数y＝cos（x+φ）为奇函数，则最小的正数φ＝．4．（3分）已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为．5．（3分）幂函数f（x）的图象过点（4，2），其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝．6．（3分）（1+x）n的二项展开式中，若第9项与第13项系数相等，则第20项为．7．（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝log2（2﹣x），则f （0）+f（2）＝．8．（3分）用0、1、2、3、4这五个数可以组成个没有重复数字的四位奇数．（用数字作答）9．若sin（α﹣）＝，则sin2α＝．10．（3分）P是直角三角形ABC所在平面外一点，已知三角形的边长AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC＝4，则直线PB与平面ABC所成角的余弦值为．11．（3分）函数y＝f（x）的定义域D和值域A都是集合{1，2，3}的非空真子集，如果对于D内任意的x，总有x+f（x）+xf（x）的值是奇数，则满足条件的函数y＝f（x）的个数是．12．（3分）若分段函数f（x）＝，将函数y＝|f（x）﹣f（a）|，x∈[m，n]的最大值记作Z a[m，n]，那么当﹣2≤m≤2时，Z2[m，m+4]的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．设直线a，b与平面α所成的角相等，则直线a，b的位置关系为（）A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．平行、相交或异面14．已知x，y∈R，则“x＝y”是“lnx＝lny”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件15．申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数字联赛，4名同学各自对结果估计如下，A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”；C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”，已知其中有且只有2人的估计是正确的，则去参加联赛是（）A．A同学B．B同学C．C同学D．D同学16．设函数f（x）＝x+lgx满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），f（x）的零点为x0，则下列选项中一定错误是（）A．x0∈（a，c）B．x0∈（a，b）C．x0∈（b，c）D．x0∈（c，+∞）三、解答题：17．已知圆锥的体积为π，底面半径OA与OB互相垂直，且OA＝，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且＝．（1）求角C的大小；（2）当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．19．某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为m立方米，今年计划将水价降到2.8元/立方米至4元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元/立方米．经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5m），该地区的成本为2元/立方米．（1）今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价x最低价格为多少？（保留2为小数）（2）试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？20．设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且同时满足以下两个条件：①存在实数a＞1，使得f（a）＝1；②当m∈R，x＞0时，有f（x m）﹣mf（x）＝0恒成立．（1）函数y＝lnx是否满足上述两个条件？并说明理由；（2）求证：当x，y＞0时，f（）＝f（x）﹣f（y）；（3）若当t＞0时，f（t2+4）﹣f（t）≥1恒成立，求实数a的取值范围．21．函数f（x）＝g（x）+h（x），其中g（x）是定义在R上的周期函数，h（x）＝ax+b，a，b为常数．（1）g（x）＝sin x，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求证：“f（x）为奇函数”的一个必要非充分条件是“f（x）的图象有异于原点的对称中心（m，n）”；（3）g（x）＝sin x+cos x，|f（x）|在x∈[0，3π]上的最大值为M，求M的最小值．参考答案一、填空题（共12小题）.1．（3分）函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，5]．解：由题意，得5﹣x≥0，解得x≤5，故函数的定义域是（﹣∞，5]，故答案为：（﹣∞，5]．2．（3分）已知集台A＝（﹣∞，a]，B＝[2，3]，且A∩B非空，则实数a的取值范围是[2，+∞）．解：∵A＝（﹣∞，a]，B＝[2，3]，且A∩B非空，∴a≥2，∴a的取值范围是：[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．3．（3分）若函数y＝cos（x+φ）为奇函数，则最小的正数φ＝．解：函数y＝cos（x+φ）为奇函数，因为函数y＝cos（x+）＝﹣sin x是奇函数，所以φ＝．故答案为：．4．（3分）已知长方体的长、宽、高分别为3、4、12，则长方体的一条对角线长为13．解：由题意，长方体的对角线长是：＝13．故答案为：13．5．（3分）幂函数f（x）的图象过点（4，2），其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝9．解：令幂函数解析式为y＝x a，又幂函数的图象过点（4，2），∴2＝4a，∴a＝∴幂函数的解析式为y＝，那么f（9）＝3，即原函数过（9，3），所以其反函数过（3，9）故答案为：9．6．（3分）（1+x）n的二项展开式中，若第9项与第13项系数相等，则第20项为20x19．解：展开式中第9项的系数为C，第13项的系数为C，则C，解得n＝20，所以第20项为C＝20x19，故答案为：20x19．7．（3分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝log2（2﹣x），则f （0）+f（2）＝﹣2．解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时f（x）＝log2（2﹣x），则f（0）+f（2）＝0﹣f（﹣2）＝﹣log2（2+2）＝﹣2，故答案为：﹣2．8．（3分）用0、1、2、3、4这五个数可以组成36个没有重复数字的四位奇数．（用数字作答）解：根据题意，分3步进行分析：①、要求四位数为奇数，其末位数字为1、3，有2种情况，②、0不能在首位，则需要在剩下的3个数字中任选1个，有3种情况，③、在剩下的3个数字中任选2个，安排在其他2个数位，有A32＝6种情况，则一共有2×3×6＝36种情况，即有36个四位奇数，故答案为：36．9．若sin（α﹣）＝，则sin2α＝．解：∵已知sin（α﹣）＝，则sin2α＝cos（2α﹣）＝cos2（α﹣）＝1﹣2＝1﹣2•＝，故答案为：．10．（3分）P是直角三角形ABC所在平面外一点，已知三角形的边长AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，PA＝PB＝PC＝4，则直线PB与平面ABC所成角的余弦值为．解：取AC的中点D，连接PD，BD，∵PA＝PC，D是AC的中点，∴PD⊥AC，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5，∴AD＝BD＝，又PA＝PB＝4，∴△PAD≌△PBD，∴∠PDB＝∠PDA＝90°，∴PD⊥BD，又AC∩BD＝D，∴PD⊥平面ABC，∴∠PBD为直线PB与平面ABC所成的角，∴cos∠PBD＝＝．故答案为：．11．（3分）函数y＝f（x）的定义域D和值域A都是集合{1，2，3}的非空真子集，如果对于D内任意的x，总有x+f（x）+xf（x）的值是奇数，则满足条件的函数y＝f（x）的个数是29．解：集合{1，2，3}的非空真子集有{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}这6种，①当D＝{1}时，x＝1，则x+f（x）+xf（x）＝1+2f（1）为奇数，所以2f（1）为偶数，所以f（1）可取值集合为为{1，2，3}；②当D＝{2}时x＝2，则x+f（x）+xf（x）＝2+3f（2）为奇数，所以3f（2）为奇数，所以f（2）可取值集合为为{1，3}；③当D＝{3}时x＝3，则x+f（x）+xf（x）＝3+4f（3）为奇数，所以4f（3）为偶数，所以f（3）可取值集合为为{1，2，3}；④当D＝{1，2}时x＝1或x＝2，则由上可知1+2f（1）为奇数且2+3f（2）为奇数，所以f（1）可取值集合为为{1，2，3}且f（2）可取值集合为为{1，3}；所以共有2×3＝6种情况；⑤当D＝{1，3}时x＝1或x＝3，则由上可知1+2f（1）为奇数且3+4f（3）为奇数，所以f（1）可取值集合为为{1，2，3}且f（3）可取值集合为为{1，2，3}；所以共有3×3＝9种情况；⑥当D＝{2，3}时x＝2或x＝3，则由上可知2+3f（2）为奇数且3+4f（3）为奇数，所以f（2）可取值集合为为{1，3}且f（3）可取值集合为为{1，2，3}；所以共有2×3＝6种情况；故共有3+2+3+6+9+6＝29种，故答案为：29．12．（3分）若分段函数f（x）＝，将函数y＝|f（x）﹣f（a）|，x∈[m，n]的最大值记作Z a[m，n]，那么当﹣2≤m≤2时，Z2[m，m+4]的取值范围是[4，60]．解：由f（x）＝，得f（2）＝1，则y＝|f（x）﹣f（a）|＝|f（x）﹣1|，作出函数f（x）的图象如图所示：当﹣2≤m≤﹣1时，|f（x）﹣1|max＝|（﹣3）﹣1|＝4；当m＞﹣1时，m+4＞3，2m+4﹣3﹣1＝2m+4﹣4＞4，∴当﹣1＜m≤2时，Z a[m，m+4]＝2m+4﹣4，则Z2[m，m+4]的最大值为26﹣4＝60．故Z2[m，m+4]的取值范围是[4，60]．故答案为：[4，60]．二、选择题:13．设直线a，b与平面α所成的角相等，则直线a，b的位置关系为（）A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．平行、相交或异面解：若a∥b，显然a，b与平面α所成角相等，若a，b为圆锥的两条母线所在的直线，显然a，b与圆锥底面所成的角相等，此时，a，b显然为相交直线，若a，b为异面直线，且a∥α，b∥α，显然a，b与平面α所成角相等，且均为0，故当直线a，b与平面α所成的角相等时，直线a，b可能平行，可能相交，可能异面．故选：D．14．已知x，y∈R，则“x＝y”是“lnx＝lny”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：∵x，y∈R，∴x＝y＜0时，不能推出lnx＝lny，lnx＝lny⇔x＝y＞0，故由lnx＝lny，可得x＝y，故x，y∈R，则“x＝y”是“lnx＝lny”的必要非充分条件．故选：B．15．申辉中学从4名有数学特长的同学A、B、C、D中挑1人去参加中学生数字联赛，4名同学各自对结果估计如下，A：“参赛的是A”；B：“参赛的是B”；C：“参赛的是A或B”；D：“参赛的既不是A也不是C”，已知其中有且只有2人的估计是正确的，则去参加联赛是（）A．A同学B．B同学C．C同学D．D同学解：若去参加联赛是A，则A估计正确，B估计错误，C估计正确，D估计错误，符合题意，若去参加联赛是B，则A估计错误，B估计正确，C估计正确，D估计正确，不符合题意，所以去参加联赛的不是B，若去参加联赛是C，则A估计错误，B估计错误，C估计错误，D估计错误，不符合题意，所以去参加联赛的不是C，若去参加联赛是D，则A估计错误，B估计错误，C估计错误，D估计正确，不符合题意，所以去参加联赛的不是D，所以去参加联赛是A，故选：A．16．设函数f（x）＝x+lgx满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），f（x）的零点为x0，则下列选项中一定错误是（）A．x0∈（a，c）B．x0∈（a，b）C．x0∈（b，c）D．x0∈（c，+∞）解：函数f（x）＝x+lgx的定义域为{x|x＞0}，函数是增函数，满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），说明f（a），f（b），f（c），有1个是负数一定是f（a），两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a，c），在（a，b），在（c，+∞），不可能在（b，c）．故选：C．三、解答题：17．已知圆锥的体积为π，底面半径OA与OB互相垂直，且OA＝，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）解：（1）∵圆锥的体积为π，OA＝，∴V圆锥＝＝π，解得OS＝1，∴SB＝＝2，∴圆锥的表面积为：S＝＝（3+2）π．（2）∵底面半径OA与OB互相垂直，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，则S（0，0，1），O（0，0，0），A（，0，0），B（0，，0），P（0，，），＝（0，0，﹣1），＝（，﹣，﹣），设异面直线SO与PA所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线SO与PA所成角的大小为arccos．18．已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且＝．（1）求角C的大小；（2）当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．解：（1）因为＝，所以ab＝（c﹣b+a）（c+b﹣a），所以a2+b2﹣c2＝ab，所以cos C＝＝＝，因为C∈（0，π），所以C＝．（2）因为C＝，△ABC外接圆半径R＝1时，由正弦定理，可得c＝2R sin C＝，由余弦定理，得3＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以S△ABC＝ab sin C≤＝，所以△ABC面积的最大值为，此时三角形为等边三角形．19．某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为m立方米，今年计划将水价降到2.8元/立方米至4元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元/立方米．经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5m），该地区的成本为2元/立方米．（1）今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去年的收益，则实际水价x最低价格为多少？（保留2为小数）（2）试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？解：（1）实际水价为x元/立方米，不妨设新增的用水量为y，则y＝，那么，今年供水部门的收益为W＝，x∈[2.8，4]，∵保证供水部门的收益不得低于去年的收益，∴≥（4.2﹣2）m，x∈[2.8，4]，整理得：m（x2﹣6.2x+9.5）≥0，解得x∈[3.44，4]．∴实际水价x最低价格为3.44元/立方米；（2）今年的收益为W＝，x∈[2.8，4]，化简得：W＝mx+，x∈[2.8，4]，对W求导，可得W′＝m﹣，x∈[2.8，4]，令W′＝0，可得x＝2（舍去），或x＝3，∴当x＝3时，今年供水部门收益取最小值为2m．20．设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且同时满足以下两个条件：①存在实数a＞1，使得f（a）＝1；②当m∈R，x＞0时，有f（x m）﹣mf（x）＝0恒成立．（1）函数y＝lnx是否满足上述两个条件？并说明理由；（2）求证：当x，y＞0时，f（）＝f（x）﹣f（y）；（3）若当t＞0时，f（t2+4）﹣f（t）≥1恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当x＝e时，f（e）＝lne＝1，满足条件①，∵当x＞0时，f（x m）＝lnx m＝mlnx＝mf（x），即f（x m）﹣mf（x）＝0恒成立，满足条件②，综上所述函数y＝lnx满足上述两个条件；证明（2）∵x，y均为正数，且0＜a＜1，根据指数函数性质可知，总有实数m，n使得x＝a m，y＝a n，于是＝f（）＝f（a m﹣n）＝（m﹣n）f（a）又f（x）﹣f（y）＝f（a m）﹣f（a n）＝mf（a）﹣nf（a）＝（m﹣n）f（a），∴f（）＝f（x）﹣f（y）当t＞0时，f（t2+4）﹣f（t）≥1恒成立，由存在实数a＞1，使得f（a）＝1；∴f（t2+4）﹣f（t）≥f（a）根据（2）结论，可得f（）≥f（a）可得≥a，由＝，（当且仅当t＝2时，取等号）可得a≤4，即1＜a≤4．∴实数a的取值范围是（1，4]．21．函数f（x）＝g（x）+h（x），其中g（x）是定义在R上的周期函数，h（x）＝ax+b，a，b为常数．（1）g（x）＝sin x，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求证：“f（x）为奇函数”的一个必要非充分条件是“f（x）的图象有异于原点的对称中心（m，n）”；（3）g（x）＝sin x+cos x，|f（x）|在x∈[0，3π]上的最大值为M，求M的最小值．解：（1）f（x）＝g（x）+h（x）＝sin x+ax+b，若f（x）为奇函数，则，故b＝0，a∈R，若f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）⇒2sin x+2ax＝0对x∈R恒成立⇒不存在，a，b满足条件，⇒若b＝0，则f（x）为奇函数，若b≠0，则f（x）为非奇非偶函数；（2）证明：若f（x）为奇函数，则f（0）＝0⇒g（0）＝﹣b，且f（x）+f（﹣x）＝0，则g（x）+g（﹣x）＝﹣2b，设g（x）的周期是T，则f（x+T）+f（﹣x+T）＝2aT，故f（x）的图象有异于原点的对称中心（T，aT），必要性得证，取g（x）＝sin x，h（x）＝1，则f（x）＝sin x+1关于（π，1）对称，但f（0）＝1≠0，则f（x）不是奇函数，非充分性得证；（3）f（x）＝sin x+cos x+ax+b＝sin（x+）+ax+b，取a＝b＝0，则M＝，若存在更小的M，则当x＝和时，ax+b≤0，当x＝时，ax+b≥0，故不存在最大值，最小值是M min＝．。