上海中学2021届第一学期高三综合数学试卷13 PDF版

上海市浦东新区2021-2022学年第一学期高三数学期中质量检测试卷 (满分: 150分答题时间:120分钟)一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1--6每小题4分，7—12每小题5分，共54分）.1．幂函数经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝，则此幂函数的解析式为.2.若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3. 设()1f x -为函数()21x f x x =+的反函数，则()12f -=_____.4.不等式102xx ->+的解集是.5．在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．6．已知球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π，则线段AB 的长度为________.7．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是．8．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．3.09．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x =．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ．11．已知命题2430m m α-+≤：，命题2680m m β-+<：.若αβ、中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动.有以下四个命题： ①平面MB 1P ⊥ND 1；②平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1；③△MB 1P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值； ④△MB 1P 在侧面D 1C 1CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

2021届高考数学一轮复习 专题07 数列一、填空题1．（2020·上海高三其他）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则，∴148a d +=． ∴．故答案为24．2．（2020·上海高三其他）设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a >，则公比q 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 因为21231lim()211n n a a qa a a a q q→∞•+++==>--，又10a >且01q <<， 解得2,13q ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3．（2017·上海闵行高三一模）已知数列的前n 项和为，则此数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】当1n =时,11211a S ==-=,当2n ≥时,()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a .故答案为:12n na .4．（2020·宝山上海交大附中高三其他）若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则 ． 【答案】8 【解析】 由题意，，∴88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．5．（2020·上海高三其他）已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________. 【答案】(－3，＋∞) 【解析】因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．6．（2020·上海嘉定高三二模）设各项均为正数的等比数列的前n 项和为，则6S =______． 【答案】63. 【解析】 由，得()661126312S -⇒==-．故答案为: 637．（2020·上海普陀高三二模）设n S 是等差数列的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=nn S n ______.【答案】12-【解析】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d dS n a n ∴=+-（其中d 是公差），，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-． 即 21(1)n S n a n =-++，．故答案为：12-8．（2020·上海高三其他）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012n na n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

上海中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．363．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=4．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2CD5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．256．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．87．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||PM 的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．10810．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12C ．32D ．32±12．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.15．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．三、解答题：共70分。

2021-2022学年上海第三女中学高三（上）期中数学试卷一、填空题1．已知z∈C，且满足＝i，求z＝．2．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝．3．已知函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2x，则f（﹣1）＝．4．已知球的表面积为16π，则该球的体积为．5．在（x+）6的二项展开式中，常数项是.（结果用数值表示）6．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是．7．已知向量，，若向量∥，则实数m ＝．8．数列{a n}前n项和S n＝n2+n+1，则a n＝．9．若无穷等比数列{a n}满足：a2a3＝a4，a5＝，（n∈N*），则数列{a2n﹣1}的所有项的和为．10．已知函数f（x）＝满足对任意的x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是．11．已知函数f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）（a，b，c∈R）是偶函数，若方程ax2+bx+c ＝1在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围是．12．正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为．二、选择题13．已知x∈R，则“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（）A．b＝2，c＝3B．b＝2，c＝﹣1C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝﹣2，c＝315．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，a n+1＝2S n，则下列关于{a n}的论断中正确的是（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．可能是等差数列，但不会是等比数列D．可能是等比数列，但不会是等差数列16．若不等式（|x﹣a|﹣b）sin（πx+）≤0对x∈[﹣1，1]恒成立，则a+b的值等于（）A．B．C．1D．2三、解答题17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱C1D1上的动点．（1）求三棱锥D﹣A1B1M的体积；（2）当点M是棱C1D1上的中点时，求直线AB与平面DA1M所成的角（结果用反三角函数值表示）．18．已知函数f（x）＝．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝，a＝4，b+c ＝5，求△ABC的面积．19．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f （x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）＝﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）＝2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n+2n﹣1，T n是数列{b n}的前n项和，求T n；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，集合A中的元素个数记为d（A），定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A的个数记为d（A+A），当时，称集合A具有性质Γ．（1）设集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，判断集合M中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；（2）设正数列{d n}的前n项和为S n，满足，其中，数列{d n}中的前2020项：d1，d2，d3，…，d2020组成的集合{d1，d2，d3，…，d2020}记作D，将集合D+D 中的所有元素t1，t2，t3，…，t k（k∈N*）从小到大排序，即t1，t2，t3，…，t k满足t1＜t2＜t3＜…＜t k，求t2020；（3）已知集合C＝{c1，c2，…，c n}，其中数列{c n}是等比数列，c n＞0，且公比是有理数，判断集合C是否具有性质Γ，说明理由．参考答案一、填空题1．已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．2．若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b＝2．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．解：由题意知是方程组的解，即，则a+b＝1+1＝2，故答案为：2．3．已知函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2x，则f（﹣1）＝．【分析】根据函数与反函数点关于y＝x对称，代入求出．解：把y＝﹣1代入反函数f﹣1（x）＝log2x＝﹣1，故x＝，故答案为：．4．已知球的表面积为16π，则该球的体积为．【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：＝．故答案为：．5．在（x+）6的二项展开式中，常数项是60.（结果用数值表示）【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得常数项的值．解：∵（x+）6的二项展开式的通项公式为T r+1＝•2r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项等于×4＝60，故答案为：60．6．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是．【分析】设事件A表示“任意抽取2个球，所抽的球都是红色球”，则事件A包含的基本事件个数为，而基本事件的总数为，代入古典概型的概率公式即可．解：依题意，设事件A表示“任意抽取2个球，所抽的球都是红色球”，则事件A包含的基本事件个数为＝6，而基本事件的总数为＝15，所以P（A）＝＝，故答案为：．7．已知向量，，若向量∥，则实数m＝．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出m的值．解：向量，，则﹣2＝（1﹣2m，8），又∥，则﹣3（1﹣2m）﹣8m＝0，解得m＝﹣．故答案为：﹣．8．数列{a n}前n项和S n＝n2+n+1，则a n＝．【分析】利用当n＝1时，a1＝S1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1即可得出．解：当n＝1时，a1＝S1＝1+1+1＝3．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]＝2n．∴a n＝．故答案为：．9．若无穷等比数列{a n}满足：a2a3＝a4，a5＝，（n∈N*），则数列{a2n﹣1}的所有项的和为．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，结合题意可得，解可得a1与q的值，进而可得数列{a2n﹣1}的首项为a1＝1，其公比为q2＝，由等比数列前n项和公式分析可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a2a3＝a4，a5＝，则有，解可得a1＝1，q＝，则数列{a2n﹣1}的首项为a1＝1，其公比为q2＝，则数列{a2n﹣1}的所有项的和S＝＝；故答案为：．10．已知函数f（x）＝满足对任意的x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（0，]．【分析】由已知可得：函数f（x）＝在R上为减函数，进而，解得a的取值范围．解：对任意的x1≠x2，都有＜0成立，则函数f（x）＝在R上为减函数，∴，解得a∈（0，]，故答案为：（0，]11．已知函数f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）（a，b，c∈R）是偶函数，若方程ax2+bx+c ＝1在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围是．【分析】由f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，可知，3，5是ax2+bx+c＝0的两个根，根据方程的根与系数关系可求得a，b，c的关系，然后结合二次函数的性质可求a的范围．解：∵f（x）＝（x2+8x+15）（ax2+bx+c）是偶函数，图象关于y轴对称，令x2+8x+15＝0可得，x＝﹣3或x＝﹣5，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是ax2+bx+c＝0的两个根，，∴，由ax2+bx+c＝1可得，ax2﹣8ax+15a＝1，∵x∈[1，2]时，x2﹣8x+15∈[3，8]，∴a＝故答案为：．12．正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为﹣7．【分析】建立坐标系，根据，求出P点坐标，设出M，N坐标分别为（a，﹣2），（﹣a，2），将转化为关于a，λ的函数，即可得到其最小值．解：如图，以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，以过O且垂直于AB 的直线为y轴建立坐标系，则B（2，﹣2），C（2，2），∴2＝+（1﹣λ）＝λ（2，﹣2）+（1﹣λ）（2，2）＝（2，2﹣4λ），∴＝（1，1﹣2λ）即P点坐标为（1，1﹣2λ），设M（a，﹣2），则N（﹣a，2），﹣2≤a≤2，∴＝（a﹣1，2λ﹣3），＝（﹣a﹣1，2λ+1）∴＝（a﹣1）（﹣a﹣1）+（2λ﹣3）（2λ+1）＝1﹣a2+4λ2﹣4λ﹣3，当a＝±2且λ＝﹣＝时，有最小值﹣7．故答案为：﹣7．二、选择题13．已知x∈R，则“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由x2﹣4x+3≠0得（x﹣1）（x﹣3）≠0，得x≠1且x≠3，即“x≠1”是“x2﹣4x+3≠0”的必要不充分条件，故选：B．14．若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（）A．b＝2，c＝3B．b＝2，c＝﹣1C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝﹣2，c＝3【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．解：∵1﹣i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴，解得b＝﹣2，c＝3．故选：D．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，a n+1＝2S n，则下列关于{a n}的论断中正确的是（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．可能是等差数列，但不会是等比数列D．可能是等比数列，但不会是等差数列【分析】由题设条件可得S n+1＝3S n，分类讨论即可得出结论．解：由a n+1＝2S n，得S n+1﹣S n＝2S n，即S n+1＝3S n，当S1＝0时，数列{a n}为等差数列；当S1≠0时，数列{S n}为以S1为首项，3为公比的等比数列，∴，则a n＝2S1•3n﹣2（n≥2），综上，数列{a n}可能是等差数列，但不会是等比数列．故选：C．16．若不等式（|x﹣a|﹣b）sin（πx+）≤0对x∈[﹣1，1]恒成立，则a+b的值等于（）A．B．C．1D．2【分析】设f（x）＝|x﹣a|﹣b，得出f（x）的符号变化情况，根据f（x）的单调性和对称性即可得出a，b的值．解：当﹣1≤x≤﹣或≤x≤1时，sin（πx+）≤0，当﹣≤x≤时，sin（πx+）≥0，∴当﹣1≤x≤﹣或≤x≤1时，|x﹣a|﹣b≥0，当﹣≤x≤时，|x﹣a|﹣b≤0，设f（x）＝|x﹣a|﹣b，则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，且f（x）的图象关于直线x＝a对称，∴f（﹣）＝f（）＝0，∴2a＝﹣+＝，即a＝，又f（）＝|﹣|﹣b＝0，故b＝．∴a+b＝．故选：B．三、解答题17．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱C1D1上的动点．（1）求三棱锥D﹣A1B1M的体积；（2）当点M是棱C1D1上的中点时，求直线AB与平面DA1M所成的角（结果用反三角函数值表示）．【分析】（1）三棱锥D﹣A1B1M的体积为＝，由此能求出结果．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面DA1M所成的角．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱C1D1上的动点∴三棱锥D﹣A1B1M的体积为：＝＝＝．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（4，2，0），D（0，0，0），A1（4，0，4），M（0，1，4），＝（0，2，0），＝（4，0，4），＝（0，1，4），设平面DA1M的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，4，﹣1），设直线AB与平面DA1M所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线AB与平面DA1M所成的角为arcsin．18．已知函数f（x）＝．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝，a＝4，b+c ＝5，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用行列式的计算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）＝sin（2x+）+，结合范围2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可得解值域．（2）由已知可求sin（A+）＝，结合范围A+∈（，），可得A＝，由余弦定理解得：bc＝3，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分，第1小题满分为6分，第2小题满分为8分）解：（1）∵f（x）＝＝cos2x+sin x cos x＝sin（2x+）+，∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）＝sin（2x+）+∈[0，1+]．（2）∵f（）＝sin（A+）+＝，可得：sin（A+）＝，∵A∈（0，π），A+∈（，），可得：A+＝，解得：A＝．∵a＝4，b+c＝5，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝25﹣3bc，解得：bc＝3，∴S△ABC＝bc sin A＝3×＝．19．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），则称f （x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）＝ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）＝﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由；（2）若f（x）＝2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案．解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）＝﹣f（x）有解．当f（x）＝ax2+2x﹣4a（a∈R）时，方程f（﹣x）＝﹣f（x）即2a（x2﹣4）＝0，有解x＝±2，所以f（x）为“局部奇函数”．（2）当f（x）＝2x+m时，f（﹣x）＝﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m＝0，因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m＝0在[﹣1，1]上有解．令t＝2x，t∈[，2]，则﹣2m＝t+设g（t）＝t+，则g'（t）＝1﹣＝，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．所以﹣2m∈[2，]，即m∈[﹣，﹣1]．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n+2n﹣1，T n是数列{b n}的前n项和，求T n；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．【分析】（1）由S n＝2a n﹣2可得S n+1＝2a n+1﹣2，两式相减并整理得a n+1＝2a n，结合S1＝a1＝2即可得到{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而a n＝2n；（2）由（1）可知b n＝a n+2n﹣1＝2n+2n﹣1，从而利用分组求和法即可求出T n；（3）c n＝＝＝2（﹣），从而即可求得R n＝2（﹣），进一步结合{R n}的单调性即可确定λ的最小值．解：（1）由S n＝2a n﹣2，得S n+1＝2a n+1﹣2，两式相减得S n+1﹣S n＝2a n+1﹣2a n，即a n+1＝2a n，又当n＝1时，S1＝a1＝2a1﹣2，解得a1＝2，所以{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2•2n﹣1＝2n；（2）由（1）可知b n＝a n+2n﹣1＝2n+2n﹣1，所以T n＝21+1+22+3+…+2n+（2n﹣1）＝21+22+…+2n+1+3+…+（2n﹣1）＝+（1+2n﹣1）＝2n+1+n2﹣2；（3）c n＝＝＝2（﹣），所以R n＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（﹣），由于n∈N*，所以R n＜，所以λ≥，即λ的最小值为．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，集合A中的元素个数记为d（A），定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A的个数记为d（A+A），当时，称集合A具有性质Γ．（1）设集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，判断集合M中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；（2）设正数列{d n}的前n项和为S n，满足，其中，数列{d n}中的前2020项：d1，d2，d3，…，d2020组成的集合{d1，d2，d3，…，d2020}记作D，将集合D+D 中的所有元素t1，t2，t3，…，t k（k∈N*）从小到大排序，即t1，t2，t3，…，t k满足t1＜t2＜t3＜…＜t k，求t2020；（3）已知集合C＝{c1，c2，…，c n}，其中数列{c n}是等比数列，c n＞0，且公比是有理数，判断集合C是否具有性质Γ，说明理由．【分析】（1）根据集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，可以得到d（M+M）以及M+M的元素性质，运用反证法可以判断出集合M中的三个元素不能组成等差数列；（2）根据递推公式求出数列{d n}的通项公式，根据题意写出集合D，根据题目中所给的定义，结合等比数列的性质求出t2020；（3）只要能够证明当n1＜n2≤n3＜n4时，不成立，运用反证法结合整除的知识，就可以判断出集合C具有性质Γ．解：（1）集合M中的三个元素不能组成等差数列，理由如下：因为集合M＝{1，x，y}具有性质Γ，所以，由题中所给的定义可知：M+M中的元素应是：2，x+1，y+1，2x，2y，x+y，这6个元素应该互不相等，假设M中的三个元素能构成等差数列，不妨设1，x，y成等差数列，这时有2x＝1+y，这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故M中的三个元素不能能构成等差数列；（2）由，得：（n≥2，n∈N•），以上两式相减得d n+1＝2d n，说明数列从第二项起，数列{d n}等比数列，因为，，所以有，所以，所以，显然n＝1时也满足上式，因此．所以，令d m+d n﹣1＜d n，则，则可得m＜n﹣1，显然1≤m＜n﹣1（m，n∈N•），根据定义在d n之间增加的元素个数为：，这样包括d n在内前面一共有个元素．当n＝63时，包括d63在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当n＝64时，能找到，因此；（3）集合C具有性质Γ，理由如下：设等比数列{c n}的公比为q，所以通项公式为：，q为有理数，设假设当n1＜n2≤n3＜n4时，成立，则有，故，因为q为有理数，所以设且m，n互质，因此有，则，式子的左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m，n互质，显然不成立，因此C+C集合中的元素个数为：，因此它符合已知所下的定义，因此集合C具有性质Γ．。

2021-2022学年高中数学1 空间向量与立体几何章末综合测评新人教A版选择性必修第一册年级：姓名：章末综合测评(一) 空间向量与立体几何(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1,5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0,34,10) B ．(－3,19,7) C ．44D ．23C [a ＋3b ＝(－3,2,5)＋3(1,5，－1)＝(0,17,2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44.]2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2C ．12D ．3B [若l 1⊥l 2，则a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2m )＝0，解得m ＝2.]3．在空间四边形ABCD 中，若向量AB →＝(－3,5,2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为( )A ．(2,3,3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2,1)D ．(－5,2，－1)B [取AC 中点M ，连接ME ，MF (图略)，则ME →＝12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，1，MF →＝12CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－12，－2，所以EF →＝MF →－ME →＝(－2，－3，－3)，故选B ．]4．如图所示，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若BE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则( )A ．x ＝－12，y ＝12B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝－12，y ＝－12D ．x ＝12，y ＝12A [BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →＝－AB →＋AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝－AB →＋AA 1→＋12AB →＋12AD →＝－12AB →＋AA 1→＋12AD →，∴x ＝－12，y ＝12.]5．已知A (2，－5,1)，B (2，－4,2)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．90°B [由题意得AB →＝(0,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12×2＝12，所以AB →与AC →的夹角为60°.] 6．已知二面角α­l ­β的大小为π3，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3B [设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量．∵|cos〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，∴〈m ，n 〉＝π3或2π3.但由于两异面直线所成的角的范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线m ，n 所成的角为π3.]7.如图，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E ，F 为CD 上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离( )A ．等于55a B ．和EF 的长度有关 C ．等于23a D ．和点Q 的位置有关A [取B 1C 1的中点G ，连接PG ，CG ，DP ，则PG ∥CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又A 1B 1∥平面PGCD ，所以点A 1到平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则C (0，a ,0)，D (0,0,0)，A 1(a ,0，a )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，∴DC →＝(0，a ,0)，DA 1→＝(a ,0，a )，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ， 设n ＝(x ，y ，z )是平面PGCD 的法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝0，n ·DC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a2x ＋az ＝0，ay ＝0，令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0，所以n ＝(－2,0,1)是平面PGCD 的一个法向量． 设点Q 到平面PEF 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA 1→·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ＋a 5＝5a 5，A 对，C 错．故选A ．]8.如图所示，ABCD ­A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1，E ，F ，C 1四点共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成夹角的余弦值为( )A ．22 B ．12C ．15D ．265B [以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知当E (6,3,0)，F (3,6,0)时，A 1，E ，F ，C 1共面，设平面A 1DE 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧DE →·n 1＝6a ＋3b ＝0，DA 1→·n 1＝6a ＋6c ＝0，可取n 1＝(－1,2,1)，同理可得平面C 1DF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)， 故平面A 1DE 与平面C 1DF 的夹角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12.故选B ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中正确的有( ) A ．OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量 B ．OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量C ．OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量 D ．OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量ACD [∵O 为正方体的中心，∴OA →＝－OC 1→，OD →＝－OB 1→，故OA →＋OD →＝－(OB 1→＋OC 1→)，同理可得OB →＋OC →＝－(OA 1→＋OD 1→)，故OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝－(OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→)，∴AC 正确；∵OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，∴OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，∴B 不正确；∵OA 1→－OA →＝AA 1→，OC →－OC 1→＝C 1C →＝－AA 1→，∴OA 1→－OA →＝－(OC →－OC 1→)，∴D 正确．]10．在以下选项中，不正确的命题有( ) A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λbC ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底ABC [A ．|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；B ．b 需为非零向量，故不正确；C ．因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D ．由基底的定义知正确．]11．下列说法正确的是( )A ．直线l 的方向向量a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l与m 垂直B ．直线l 的方向向量a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥αC ．平面α，β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥βD ．平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1AD [对于A ，∵a ＝(1，－1,2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，－12，∴a ·b ＝1×2＋(－1)×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴a ⊥b ，∴直线l 与m 垂直，A 正确．对于B ，∵a ＝(0,1，－1)，n ＝(1，－1，－1)，∴a ·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，B 错误．对于C ，∵n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，∴n 1与n 2不共线，∴α∥β不成立，C 错误．对于D ，由于A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，则AB →＝(－1,1,1)，BC →＝(－1,1,0)，又向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0，则u ＋t ＝1，D 正确．]12．如图(1)是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD ，如图(2)所示，则下列结论中正确的是( )A ．BD →·AC →＝0B ．平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直C ．异面直线BC 与AD 所成的角为60° D ．直线DC 与平面ABC 所成的角为30°AD [以B 为坐标原点，分别以BD →，BC →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD ＝2，则B (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,23，0)，A (0，3，3)，∴BD →＝(2,0,0)，AC →＝(0，3，－3)，BC →＝(0,23，0)，AD →＝(2，－3，－3)，DC →＝(－2,23，0)．∴BD →·AC →＝(2,0,0)·(0，3，－3)＝0，A 正确；易得平面BCD 的一个法向量为n 1＝(0,0，3)，平面ACD 的一个法向量为n 2＝(3，1,1)，n 1·n 2≠0，B 错误；|cos 〈BC →，AD →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·AD →|BC →||AD →|＝|0，23，0·2，－3，－3|23×10＝310≠12，C 错误；易得平面ABC 的一个法向量为BD →＝(2,0,0)，设直线DC 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DC →·BD →|DC →|·|BD →|＝44×2＝12，故D 正确．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC ，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3 [∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4. ∵BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎨⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.故BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.] 14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________.657[易知a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝x a ＋y b ，即⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177，λ＝657.]15．已知A (0,0，－x )，B (1，2，2)，C (x ，2，2)三点，点M 在平面ABC 内，O 是平面ABC 外一点，且OM →＝xOA →＋2xOB →＋4OC →，则x ＝________，AB →与AC →的夹角为________．(本题第一空2分，第二空3分)－1π3[由A ，B ，C ，M 四点共面可知x ＋2x ＋4＝1，∴x ＝－1. ∴A (0,0,1)，C (－1，2，2)，∴AB →＝(1，2，1)，AC →＝(－1，2，1)， ∴cos〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，即AB →与AC →的夹角为π3.]16．如图，等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C ­AB ­D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值为________．16[如图所示，过点C 作CO ⊥平面ABDE ，垂足为O ，取AB 的中点F ，连接CF ，OF ，OA ，OB ，则∠CFO 为二面角C ­AB ­D 的平面角，所以cos∠CFO ＝33. 设AB ＝1，则CF ＝32，OF ＝12，OC ＝22，所以O 为正方形ABDE 的中心．如图建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，0，24，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，24，24，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，22，24，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，24，24，所以cos 〈EM →，AN →〉＝EM →·AN →|EM →||AN →|＝16.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值． [解] (1)∵c ∥BC →，∴存在实数m ，使得c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m ,2m )． ∵|c |＝3， ∴－2m2＋－m2＋2m2＝3|m |＝3，∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又∵|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－110＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (3)∵k a ＋b ＝(k －1，k ,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k ,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52.∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面ABD ．[解] 如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)．(1)设BA ＝a ，则A (a ,0,0)．所以BA →＝(a ,0,0)，BD →＝(0,2,2)，B 1D →＝(0,2，－2)． 所以B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0＋4－4＝0.所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD ． 又BA ∩BD ＝B ， 所以B 1D ⊥平面ABD ．(2)由题意及(1)，知E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，1，EF→＝(0,1,1)．所以B 1D →·EG →＝0＋2－2＝0，B 1D →·EF →＝0＋2－2＝0. 所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF . 又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EGF . 由(1)，知B 1D ⊥平面ABD ， 故平面EGF ∥平面ABD ．19．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为直角梯形，FA ⊥AB ，AD ＝AF ＝FE ＝1，AB ＝2，AD ⊥BE .(1)求证：BE ⊥DE ；(2)求点F 到平面CBE 的距离．[解] ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ⊥AB ， 又AD ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴AD ⊥平面ABEF ， 又AD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ABEF .∵FA ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴FA ⊥平面ABCD ．∴FA ⊥AD ． (1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则B (0,2,0)，C (1,2,0)，D (1,0,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)， ∴BE →＝(0，－1,1)，DE →＝(－1,1,1)， ∴BE →·DE →＝0×(－1)＋(－1)×1＋1×1＝0， ∴BE →⊥DE →，∴BE ⊥DE .(2)由(1)得BC →＝(1,0,0)，BE →＝(0，－1,1)，FE →＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面CBE 的法向量，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，－y ＋z ＝0，令y ＝1，得z ＝1，∴n ＝(0,1,1)是平面CBE 的一个法向量． 设点F 到平面CBE 的距离为d ， 则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪FE →·n |n |＝12＝22.∴点F 到平面CBE 的距离为22. 20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，AC ⊥AB ，AC ＝AB ＝4，AA 1＝6，点E ，F 分别为CA 1，AB 的中点．(1)证明：EF ∥平面BCC 1B 1；(2)求B 1F 与平面AEF 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图，连接EC 1，BC 1，因为三棱柱A 1B 1C 1­ABC 为直三棱柱，所以E 为AC 1的中点．又因为F 为AB 的中点，所以EF ∥BC 1.又EF ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以EF ∥平面BCC 1B 1.(2)以A 1为原点，A 1C 1，A 1B 1，A 1A 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ，则A (0,0,6)，B 1(0,4,0)，E (2,0,3)，F (0,2,6)， 所以B 1F →＝(0，－2,6)，AE →＝(2,0，－3)，AF →＝(0,2,0)， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝2x －3z ＝0，n ·AF →＝2y ＝0，令x ＝3，得n ＝(3,0,2)，记B 1F 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈B 1F →，n 〉|＝|B 1F →·n ||B 1F →|·|n |＝313065.21．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，BE ⊥BC ，EA ⊥AC ，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ．(1)求证：AE ⊥平面ABCD ；(2)若∠ABE ＝60°，点F 在EC 上，且满足EF ＝2FC ，求平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值．[解] (1)证明：在△ABC 中，BC ＝2，AC ＝22，∠ACB ＝45°，由余弦定理可得AB 2＝BC 2＋AC 2－2×BC ×AC ×cos 45°＝4，所以AB ＝2(负值舍去)，因为AC 2＝AB 2＋BC 2，所以△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ． 又BE ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ， 所以BC ⊥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AE ， 因为EA ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ， 所以AE ⊥平面ABCD ．(2)由题易得EB ＝2AB ＝4，由(1)知，BC ⊥平面ABE ，所以平面BEC ⊥平面ABE ，如图，以B 为原点，过点B 且垂直于平面BEC 的直线为z 轴，BE ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Bxyz ，则C (0,2,0)，E (4,0,0)，A (1,0，3)，D (1,1，3)，因为EF ＝2FC ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，0，易知AD →＝(0,1,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，－3，设平面FAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，13x ＋43y －3z ＝0，令z ＝3，则x ＝9，所以n ＝(9,0，3)．由(1)知EA ⊥平面ABCD ，所以EA →＝(－3,0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 设平面FAD 与平面ADC 的夹角为α， 则cos α＝|EA →·n ||EA →|·|n |＝2423×221＝277，所以平面FAD 与平面ADC 的夹角的余弦值为277.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，F 为棱PD 的中点．(1)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ？并说明理由；(2)当二面角D ­FC ­B 的余弦值为14时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．[解] (1)在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥平面PCE ，且E 为棱AB 的中点． 理由如下：如图，取PC 的中点Q ，连接EQ ，FQ ， 由题意得，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，因为AE ∥CD 且AE ＝12CD ，所以AE ∥FQ 且AE ＝FQ .所以四边形AEQF 为平行四边形． 所以AF ∥EQ .又EQ ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以AF ∥平面PCE .(2)连接BD ，DE .由题意知△ABD 为正三角形，所以ED ⊥AB ，即ED ⊥CD ， 又∠ADP ＝90°，所以PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设FD ＝a ，则由题意知F (0,0，a )，C (0,2,0)，B (3，1,0)，则FC →＝(0,2，－a )，CB →＝(3，－1,0)， 设平面FBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·FC →＝2y －az ＝0，m ·CB →＝3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，3，23a ，易知平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 因为二面角D ­FC ­B 的余弦值为14，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m ||n |＝14，即14＋12a2＝14，解得a ＝1(负值舍去)． 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 由题意知在Rt△PBD 中，tan∠PBD ＝PD BD ＝2FDBD＝1，所以∠PBD ＝45°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°.。

2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．若集合A ＝{﹣1，0，1}，则在A 的所有子集中，含有元素0的集合共有个．2．设A 、B 是两个非空的有限集合，全集U ＝A ∪B ，且U 中含有m 个元素，若∪中含有n 个元素，则A ∩B 中所含有元素的个数为．3．设a 是实数，集合M ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，N ＝{y |ay +2＝0}，若N ⊆M ，则a 的取值集合是．4．不等式＞1的解集为．5．计算（lg 50）2+lg 2×lg 502+（lg 2）2＝．6．设a 2x ＝2，a ＞0，则＝．7．若关于x 的方程x 2+2（m ﹣1）x +4m 2＝0有两个实数根，且这两根互为倒数，则m ＝．8．对任意实数x ，不等式|x +1|+|x ﹣a |≥﹣a +1恒成立，则实数a 的取值范围是．9．已知幂函数y ＝f （x ）＝x α在[0，+∞）上是严格增函数，该幂函数的图像关于y 轴对称，且满足f （）＞，请写出一个满足条件的α的值．10．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是．11．若集合A ＝{x |x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0，x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是．12．集合M ＝{6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10个元素，设M 的所有非空子集为M i （i ＝1，2，…，1023），每一个M i 中所有元素乘积为m i （i ＝1，2，…，1023），则m 1+m 2+m 3+…+m 1023＝．二.选择题13．若集合M ＝{a ，b ，c }中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形14．俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要15．已知使不等式x 2+（a +1）x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x ﹣1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数y ＝[x ]（x ∈R ）称为高斯函数，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2，则点集P ＝{（x ，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是（）A．1B．πC．4D．π+1三、解答题17．（10分）已知关于x的不等式＜0的解集为S．（1）当m＝9时，求集合S；（2）若5∈S且7∉S，求实数m的取值范围．18．（10分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．19．（10分）设y＝f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c＝0，f（0）f（1）＞0．（1）求证：方程f（x）＝0有实根；（2）求的取值范围；（3）设f（x）与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的取值范围．20．（10分）（1）证明：设a1、a2都大于0，且a1+a2＝4，a1•a2＜2，则a1、a2中至少有一个小于1；（2）请作一猜想，将上述命题推广到n个数；（3）请证明（2）中你得到的结论．2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．【解答】解：由题意得，在集合A的子集中，含有元素0的有{0}，{0，﹣1}，{0，1}，{0，﹣1，1}，共4个．故答案为：4．2．【解答】解：因为全集U＝A∪B，且U中含有m个元素，若∪中含有n个元素，因为，所以A∩B中所含有元素的个数为m﹣n．故答案为：m﹣n．3．【解答】解：由题意解得M＝{﹣3，2}，∵N⊆M，①a＝0时，N＝∅，符合题意；②a≠0时，N＝{﹣}，∴﹣＝﹣3或2，解得a＝或﹣1，∴A＝{0，﹣1，}，∴A的取值集合为{0，﹣1，}．故答案为：{0，﹣1，}．4．【解答】解：∵不等式＞1，∴|2x﹣3|＜1且2x﹣3≠0，∴﹣1＜2x﹣3＜1且x≠，∴1＜x＜2且x≠，∴不等式解集为{x|1＜x＜2且x≠}．故答案为：{x|1＜x＜2且x≠}．5．【解答】解：（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2＝lg250+2lg2×lg50+lg22＝（lg50+lg2）2＝（lg100）2＝22＝4，故答案为：4．6．【解答】解：a2x＝2，a＞0，则a x＝，原式＝＝a2x﹣1+a﹣2x＝2﹣1+＝，故答案为：．7．【解答】解：设x1，x2是方程x2+2（m﹣1）x+4m2＝0有两个实数根，则x1x2＝4m2＝1，解得m＝或m＝﹣，又当m＝时，Δ＝[2（m﹣1）2﹣16m2]＜0，舍去m＝，当m＝﹣时，Δ＝[2（m﹣1）2﹣16m2]＞0．故答案为：﹣．8．【解答】解：由绝对值三角不等式可得|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣（x﹣a）|＝|a+1|，因为对任意实数x，不等式|x+1|+|x﹣a|≥﹣a+1恒成立，所以|a+1||≥﹣a+1，当a＞﹣1时，a+1≥﹣a+1，解得a≥0；当a≤﹣1时，﹣a﹣1≥﹣a+1，即﹣1≥1，不等式不成立，综上，实数a的取值范围是a≥0．故答案为：a≥0．9．【解答】解：∵幂函数y＝f（x）＝xα在[0，+∞）上是严格增函数，∴α＞0，∵该幂函数的图像关于y轴对称，∴α可以为偶数或分子为偶数，∵f（）＞，∴0＜α＜1，故满足条件的α的值可以为，故答案为：．10．【解答】解：∵a，b均为正实数，＝≤，∴当a≥，即a≥时，≤，即≤，∴h＝min{a，}＝≤；当0＜a＜时，h＝min{a，}＜；综上所述，h的最大值为．故答案为：．11．【解答】解：∵x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0且a＞0，∴x2﹣2x+2＜a（x+1），令f（x）＝x2﹣2x+2；g（x）＝a（x+1），∴A＝{x|f（x）＜g（x），x∈Z}，∴y＝f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y＝g（x）一次函数，图象是过一定点（﹣1，0）的动直线．又∵x∈Z，a＞0．数形结合，可得：．故答案为：（，]12．【解答】解：∵M的所有非空子集为M i（i＝1，2，…，1023），这1023个子集分成以下几种情况：①含0的子集有512个，这些子集均满足m i＝0；②不含0，含﹣1且还含有其它元素的子集有255个，③不含0，不含﹣1但含有其它元素的子集有255个，④只含﹣1的子集一个{﹣1}，满足m i＝﹣1；其中②③中的集合是一一对应的，且满足m i对应成相反数，故m1+m2+m3+…+m1023＝512×0+255×0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1二.选择题13．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；故选：D．14．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．15．【解答】解：解不等式3x﹣1≤0，得x≤，解集为（﹣∞，]．由不等式x2+（a+1）x+a≤0，得（x+1）（x+a）≤0，因为使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0，若a＝1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为{﹣1}，满足{﹣1}⊆（﹣∞，]，符合题意．若a＜1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣1，﹣a]，则[﹣1，﹣a]⊆（﹣∞，]，所以﹣a≤，解得﹣≤a＜1．若a＞1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣a，﹣1]，则[﹣a，﹣1]⊆（﹣∞，]，所以a＞1．综上知，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．故选：B．16．【解答】解：由题意可得或或或，画出可行域，如图所示，∴点集P＝{（x，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是4，故选：C．三、解答题17．【解答】解：（1）当m＝9时，＝，转化为（x+3）（x﹣）（x﹣3）＜0，解得x＜﹣3或，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（，3），（2）若5∈S且7∉S，则，解得1≤m＜或25＜m≤49．18．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：…依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6…（6分）∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x＝4时，y＝7，z＝1；当x＝5时，y＝4，z＝3；当x＝6时，y＝1，z＝5．…（10分）（2）∵W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z＝﹣600x+19300当x＝4时，W最大，W最大值＝﹣60×4+19300＝16900（元）．…（14分）19．【解答】证明：（1）∵f（0）f（1）＞0，∴c（3a+2b+c）＞0，，则c＝﹣a﹣b，（﹣a﹣b）（2a+b）＞0，2a2+3ab+b2＜0，，＝12a2+12ab+4b2＝＝，∴所给方程有实根，解：（2）由2a2+3ab+b2＜0知a2≠0，变形为，解得，∴∈（﹣2，﹣1）．解：（3）∵＝＝∵，结合二次函数的性质，∴，∴|x1﹣x2|∈[，）．20．【解答】解：（1）反证法：假设a1，a2均大于或等于1，设a1＝b1+1，a2＝b2+1，∴b1与b2均等于或大于0，由a1•a2＜2，a1+a3＝4，∴b1•b2≥0，∴（b1+1）（b2+1）＜2，b1+1+b2+1＝4，∴b1b2+b1+b2+1＝b1b2+3＜2，∴b1b2＜﹣1，即b1b2＜0与假设矛盾，故原命题成立；（2）猜想：a1•a2•…•a n＜n，a1，a2，…，a n都大于0，且a1+a2+…+a n＝2n，则a1，a2，…，a n中至少有一个小于1，（3）反证法：设a1＝b1+1，a2＝b2+1，．…，a n＝b n+1，b1，b2，…，b n均大于或等于0，∴a1，a2，…，a n均大于或等于1（b1•b2•…•b n≥0），∴（b1+1）+（b2+1）+…+（b n+1）＝2n，∴b1+b2+…+b n＝n，∴a1•a2•…•a n＝（b1+1）（b2+1）……（b n+1）＜n，又∵b1•b2•……•b n+b1+b2+…+b n≤（b1+1）（b2+1）…（b n+1）＜n，∴b1b2…b n＜0与假设矛盾，故原命题成立．。

2021届高考数学一轮复习 专题16复数一、填空题1．（2020·上海松江·期末）已知复数z 满足，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 【答案】1 【解析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθθ-=+-，当且仅当时取等号．故答案为：1．2．（2020·上海高三其他）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 【答案】1- 【解析】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 3．（2020·上海普陀·高三一模）设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】依题意，由于z 为实数，故110,22a a -==.4．（2020·上海市建平中学高三月考）已知x C ∈，且，则_____． 【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=， 当1x =时,,当43210x x x x ++++=时， ， 故，或-1故答案为：4或-1．5．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】设z a bi =+，（且），将原方程变为，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；设z a bi =+，（且） 则原方程变为所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以14z =-±综上满足条件的所以复数的和为 故答案为：32-6．（2019·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 【答案】-3 【解析】试题分析：由题意得：32436iz i i+=+=-+，其虚部为-3 7．（2019·上海市建平中学高三月考）已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re()z =________ 【答案】0 【解析】因为，所以()Re 0z =. 故答案为0.8．（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________【解析】由题意2z i =-+，∴。

上高二中2021届高三数学（理科）第三次月考试卷1．已知全集U =R ，集合{}220M x N x x =∈-≤，{}21xA y y ==+，则()U M C A ⋂=（ ）A ．{}1B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}01x x ≤≤2. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.若c>b>a>0，则( ) A. log a c>log b c lnc －c a >b －cbD. a b b c >a c b b 4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是( )A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5．已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<6.已知()31ln1x f x x ++=--，则函数()f x 的图象大致为 ( ) A. B.C. D.7.下列命题中正确的共有（ ）个①. (0,),23x xx ∃∈+∞> ②. 23(0,1),log log x x x ∃∈<③. 131(0,),()log 2x x x ∀∈+∞> ④.1311(0,),()log 32x xx ∀∈< A ．1B. 2C. 38.已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （-x ）= -f （x+4），当x>2时，f （x ）单调递增，如果x 1+x 2<4且（x 1-2）（x 2-2）<0，则f （x 1）+f （x 2）的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负9.已知x ，y ∈R ，且满足020(0)2y ax y ax a x -≥⎧⎪-≤>⎨⎪≤⎩，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为( ) A.32B.2C.3 10.已知函数f(x)＝1＋log a (x －2)(a>0，a ≠1)的图象经过定点A(m ，n)，若正数x ，y 满足1m nx y+=，则2xx y y++的最小值是( ) B.10 C.5＋11.已知函数y ＝f(x)在R 上可导且f(0)＝2，其导函数f'(x)满足()()2f x f x x '-->0，对于函数g(x)＝()xf x e ，下列结论错误．．的是( ) A.函数g(x)在(2，＋∞)上为单调递增函数 是函数g(x)的极小值点 ≤0时，不等式f(x)≤2e x 恒成立 D.函数g(x)至多有两个零点12．若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．eB ．2eC ．()42m m +D ．()41m m +13．已知2'()2(2)f x x xf =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14．奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________.15．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是_______.16.已知实数x ，y 满足y ≥2x>0，则92y xx x y++的最小值为 。

2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a 2+1）x ＜3的解为 ___ ．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．3.（填空题，3分）设正实数x ，y 满足xy=20，则x+4y 的最小值为 ___ ．4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ． 5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ．11.（填空题，3分）已知a 、b 、c 均为正实数，则 ab+bca 2+b 2+c 2 的最大值为___ ．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1． 13.（单选题，4分）设a ，b ，c ，d 为实数，下列说法正确的是（ ） A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则 ac ＞ bd C.若 √a ＞b ，则a ＞b 2 D.若a ＞b ＞0，则a 2＞ab ＞b 214.（单选题，4分）已知实数a ，b ，则“ a+ba−b ＞0”是“|a|＞|b|”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log1549=（）45A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.2717.（问答题，6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y 的值．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（k为常（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x=3- km+1数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）不等式（a2+1）x＜3的解为 ___ ．）【正确答案】：[1]（-∞，3a2+1【解析】：根据a²+1＞0，结合不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a²+1＞0，，所以该不等式解为x＜3a2+1）．故答案为：（-∞，3a2+1【点评】：本题考查不等式的求解，属于基础题．2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．【正确答案】：[1]{x|x=10n-1，（n∈N*）}【解析】：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法写入集合即可．【解答】：解：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法表示为{x|x=10n-1，（n∈N*）}，故答案为：{x|x=10n-1，（n∈N*）}．【点评】：本题考查了进位制以及集合的表示方法，属于基础题．3.（填空题，3分）设正实数x，y满足xy=20，则x+4y的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]8 √5【解析】：由基本不等式，即可得解．【解答】：解：因为x＞0，y＞0，所以x+4y≥2 √x•4y =2 √4×20 =8 √5，当且仅当x=4y，即x=4 √5，y= √5时，等号成立，所以x+4y的最小值为8 √5．故答案为：8 √5 ．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 4.（填空题，3分）给定正实数a ，b ，化简代数式 √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1=___ ．【正确答案】：[1] √ab【解析】：由 √1a 3= a −13 ， (ab )56 = a 56 • b 56 ， √b 3 ）-1= b −13 代入化简即可．【解答】：解： √1a 3• (ab )56 （ √b 3）-1= a −13 • a 56 • b 56b −13= √a • √b = √ab ， 故答案为： √ab ．【点评】：本题考查了有理数指数幂的化简，属于基础题．5.（填空题，3分）已知实数a ，b 满足log 2a=log 5b= √2 ，则lg （ (ab )√2 ）=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：先把已知的对数式化为指数式，求出a ，b 的值，再利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2a=log 5b= √2 ， ∴a=2 √2 ，b= 5√2 ，∴（ab ） √2 =（2 √2 •5√2 ） √2 =102， ∴lg （ (ab )√2 ）=lg102=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}．若A∩B=A ．则m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，+∞）【解析】：推导出A⊆B ，列出方程组，能求出m 的取值范围．【解答】：解：集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m -1}，A∩B=A ， ∴A⊆B ，∴ {2−m ≤2m −12−m ≤−22m −1≥5 ， 解得m≥4．∴m 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，3分）已知集合A={（x ，y ）x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}，则A 的真子集共有 ___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：采用列举法，列举出A 中的元素，再计算真子集个数．【解答】：解：∵A={（x ，y ）|x 2+y 2=50，x ，y 是自然数}． ∴A={（1，7），（5，5），（7，1）}共3个元素． ∴A 的真子集有23-1=7个． 故答案为：7．【点评】：用列举法写出A 的所有元素是解答本题的关键．属于易做题． 8.（填空题，3分）设集合A=N ，B={x| x+2x−3 ＞0，x∈R}，则A∩∁R B=___ ． 【正确答案】：[1]{0，1，2，3}【解析】：先解一元二次不等式求出集合B ，再根据集合的基本运算即可求解．【解答】：解：∵B={x| x+2x−3＞0，x∈R}={x|（x+2）（x-3）＞0}={x|x ＞3或x ＜-2}，∴∁R B={x|-2≤x≤3}， ∵A=N ，∴A∩（∁R B ）={0，1，2，3}， 故答案为：{0，1，2，3}．【点评】：本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．9.（填空题，3分）若不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x 2+bx+a ＞0的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1]（ 17， 12）【解析】：设y=ax 2+bx-7，ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），得到开口向下，2和7为函数与x 轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a 与b 的关系，化简不等式-7x 2+bx+a ＞0即可求得答案．【解答】：解：因为不等式ax 2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞）， 所以 { a ＜0−ba =2+7−7a=2×7 ，解得 {a =−12b =92 ，则不等式-7x 2+bx+a ＞0即为14x²-9x+1＜0， 解得 17＜x ＜12 ，故-7x 2+bx+a ＞0的解集为（ 17 ， 12 ）． 故答案为：（ 17 ， 12 ）．【点评】：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．10.（填空题，3分）设x ＞1，若log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0，则log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）=___ ． 【正确答案】：[1]- 14【解析】：利用对数的运算性质求解．【解答】：解：∵log 2（log 4x ）+log 4（log 16x ）+log 16（log 2x ）=0， ∴ log 2(12log 2x) + 12log 2(14log 2x) + 14 log 2（log 2x ）=0，∴ log 2[12log 2x•(14log 2x)12•(log 2x )14] =0，∴ 12log 2x • 12(log 2x )12 • (log 2x )14 =1，∴ log 2x •(log 2x )12•(log 2x )14 =4，∵log 2（log 16x ）+log 16（log 4x ）+log 4（log 2x ）= log 2[14log 2x•(12log 2x)14•(log 2x )12] =log2(12)14 = log22−14 =- 14，故答案为：- 14．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．11.（填空题，3分）已知a、b、c均为正实数，则ab+bca2+b2+c2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：根据基本不等式的性质，利用a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，即可求出ab+bca2+b2+c2的最大值．【解答】：解：a、b、c均为正实数，则a2+ 12 b2≥ √2 ab，12b2+c2≥ √2 bc，∴ ab+bc a2+b2+c2 = ab+bc(a2+12b2)+(12b2+c2)≤√2(ab+bc)= √22，当且仅当a=c= √22b 时，等号成立，∴ ab+bc a2+b2+c2的最大值为√22．故答案为：√22【点评】：本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1．【正确答案】：[1]1859【解析】：由2m的最高位为1，得到2m x（210）n的最高位也为1，构成以指数幂为10的周期性，得到前三个数最高位数字为l的数为20，24，27，结合周期性，即可求解．【解答】：解：若2m的最高位为1，由210=1024，其中210的最高位为1，可得2m×（210）n 的最高位也为1，所以构成以指数幂为10的周期性，其中前三个数最高位数字为1的数为20，24，27，即每个周期内有3个最高位为1的数字，又由26190=20×210×619，26194=24×210×619的最高位为1，所以在集合A={1，2，4…，26194}中最高位为1的共有619×3+2=1859个．故答案为：1859．【点评】：本题考查了进位制，周期性，属于中档题．13.（单选题，4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（）A.若a＞b，则a2＞b2B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac ＞bdC.若√a＞b，则a＞b2D.若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2【正确答案】：D【解析】：根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可求解．【解答】：解：对于A，令a=1，b=-1，满足a＞b，但a2=b2，故A错误，对于B，令a=2，b=1，c=2，d=1，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但ac =bd，故B错误，对于C，令a=1，b=-1，满足√a＞b，但a=b2，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴a-b＞0，a2＞b2，∴a2-ab=a（a-b）＞0，ab-b2=b（a-b）＞0，∴a2＞ab＞b2，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了作差法，以及特殊值法，属于基础题．14.（单选题，4分）已知实数a，b，则“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：C【解析】：由分式不等式转化为整式不等式，结合平方差公式和绝对值不等式，由充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：已知实数a，b，不等式a+ba−b＞0等价为（a+b）（a-b）＞0，即为a2-b2＞0，即a2＞b2，即为|a|＞|b|，所以“ a+ba−b＞0”是“|a|＞|b|”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则log154945=（）A. 2b−1−2a1+aB. 2b−2−a1+aC. 2ab−1−2a1+aD. 2ab−2−a1+a【正确答案】：D【解析】：利用对数的运算性质和换底公式求解．【解答】：解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log37，∴ log154945=log1549-log1545=2log157-log155-2log153= 2log715 - 1log515- 2log315= 2log73+log75 - 11+log53- 21+log35= 21ab +1b- 11+1a- 21+a= 2ab1+a - a1+a- 21+a= 2ab−a−21+a，故选：D．【点评】：本题主要考查了对数的运算性质和换底公式的应用，是基础题．16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（）A.3B.9C.18D.27【正确答案】：C【解析】：利用绝对值的性质可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a ，b ，c=±3，不合题意，再取a=3，b=-3，c=0，符合题意，即可得解．【解答】：解：∵6=|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c ）-a-b+c|=2|c|，∴|c|≤3，同理可得|a|≤3，|b|≤3，若a ，b ，c=±3，显然不可能；若a=3，b=-3，c=0，此时符合题意，则a 2+b 2+c 2=18．故选：C ．【点评】：本题考查代数式最值的求解，考查绝对值的性质及意义，考查运算求解能力，属于中档题．17.（问答题，6分）若实数x ，y 满足集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等，求x ，y 的值．【正确答案】：【解析】：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}，由此能够求出x ，y 的值．【解答】：解：由集合{x ，xy ，lg （xy ）}与集合{0，|x|，y}相等知，lg （xy ）=0，即xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}．所以 {x =|x |xy =1y =1或 {x =y xy =1|x |=1 ， 解得x=y=1或x=y=-1．当x=y=1时，A=B={0，1，1}，与集合元素互异性矛盾，应舍去；当x=y=-1时，A=B={-1，0，1}，故x=y=-1．【点评】：本题考查集合相等的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意集合中元素互异性的合理运用．18.（问答题，8分）解下列不等式：（1）x2-5x+7＜|2x-5|；（2）√x−1 +2x＜5．【正确答案】：【解析】：（1）结合不等式的特征，利用函数的对称性去掉绝对值符号求解不等式即可；（2）将不等式进行变形，然后结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得不等式的解集．时，不等式即：x2-5x+7＜2x-5，【解答】：解：（1）当x≥52整理可得x2-7x+12＜0，解得3＜x＜4，令f（x）=x2-5x+7，g（x）=2x-5对称，注意到函数f（x），g（x）均关于直线x=52时不等式的解集为1＜x＜2，由函数的对称性可得当x＜52综上可得，不等式的解集为（1，2）⋃（3，4）．（2）不等式即√x−1＜−2x+5，不等式有解时，x≥1，注意到函数f(x)=√x−1单调递增，函数g（x）=-2x+5单调递减，且f（2）=g（2）=1，结合函数的定义域可得不等式√x−1＜−2x+5的解集为{x|1≤x＜2}．【点评】：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，对称性的应用，函数单调性的应用等知识，属于中等题．19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知得4-xy=2x+y ，然后结合基本不等式即可求解；（2）由已知先用y 表示x ，然后代入后结合基本不等式可求．【解答】：解：（1）因为xy+2x+y=4，所以4-xy=2x+y ≥2√2xy ，当且仅当2x=y 时取等号，解得 √xy ≤√6−√2 ，故xy 的最大值8-4 √3 ，此时x= √3−1 ，y=2 √3 -2；（2）因为xy+2x+y=4，所以x= 4−y y+2 =-1+ 6y+2 ，所以x+y=-1+ 6y+2 +y=-3+ 6y+2+y+2 ≥−3+2√(y +2)•6y+2 =-3+2 √6 ， 当且仅当y+2= 6y+2 ，即y= √6 -2，x= √6 -1时取等号，x+y 的最小值-3+2 √6 ．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的配凑基本不等式的应用条件．20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m≥0）满足关系式x=3- k m+1 （k 为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k 的值，并将该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？【正确答案】：【解析】：（1）当m=0时，x=1，求出k的值，从而得到x，然后利用每件产品的销售价格元，列出y的函数关系式即可；为1.5× 8+16xx（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，则1=3-k，解得k=2，，所以x=3- 2m+1元，因为每件产品的销售价格为1.5× 8+16xx]-（8+16x+m）∴利润函数y=x[1.5× 8+16xx）-m=4+8x-m=4+8（3- 2m+1+（m+1）]+29（m≥0）．=-[ 16m+1+（m+1）]+29（m≥0），（2）因为利润函数y=-[ 16m+1+（m+1）≥2 √16 =8，所以，当m≥0时，16m+1=m+1，即m=3（万元）时，y max=21（万元）．∴y≤-8+29=21，当且仅当16m+1所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据新定义检验即可；（2）利用新定义计算求解可得d的值；（3）设t=−cm x2+cx，由新定义得关于t的方程t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，由二次函数性质求得t的范围，由h（t）min＞0可得c的范围．【解答】：解：（1）若f（x），g（x）是否为一对“太极函救”，由f（x）=x+1=0，得x=-1，所以g（f（-1））=g（0）=1，x=-1不是g（f（x））的零点，所以f（x），g（x）不是一对太极函救；（2）设r为方程的一个根，即f（r）=0，由题设g（f（r））=0，所以g（0）=g（f（r））=d=0；（3）因为d=0，由a=1，f（m）=0得b=−cm，所以f(x)=bx2+cx=−cm x2+cx，g(f(x))=f(x)[f2(x)−cmf(x)+c]，由f（x）=0得x=0或m，易得g（f（x））=0，据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，故f2(x)−cmf(x)+c=0无实数根，设t=−cm x2+cx，则t2−cmt+c=0无实根，记ℎ(t)=t2−cmt+c，c＞0时，t=−cm (x−m2)2+mc4≤mc4，ℎ(t)=t2−cmt+c=(t−c2m)2+c−c24m2，mc 4≤c2m，即0＜m≤√2时，ℎ(t)min=ℎ(mc4)=m2c216−c24+c＞0，解得0＜c＜164−m2，mc 4＞c2m，即m＞√2时，ℎ(t)min=ℎ(c2m)=c−c24m2＞0，0＜c＜4m2，综上，m∈(0，√2]时，c∈(0，164−m2)，m∈(√2，+∞)时，c∈（0，4m2）．【点评】：本题主要考查新定义的理解与应用，函数的最值的求解，分类讨论的数学思想，二次函数的最值等知识，属于中等题．。

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。

绝密★启用前|满分数学命制中心2021-2022学年上学期第五章 函数的概念、性质及应用（B 卷 能力提升）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：泸教版必修一2020第五章 函数的概念、性质及应用。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、填空题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．（2021·上海市进才中学高一期末）已知是()2xy f x x ==+，的反函数，则函数1()()y f x f x -=+的最小值为________. 【答案】3 【分析】首先根据函数的单调性求出函数的值域，即可得到反函数的定义域，根据原函数的单调性得到反函数的单调性，即可得到1()()y f x f x -=+的单调性，从而求出其最小值；【详解】解：因为()2x y f x x ==+在上单调递增，所以()0min ()0201f x f ==+=，()2max ()2226f x f ==+=，所以()2x y f x x ==+的值域为所以的定义域为，因为()2xy f x x ==+在上单调递增， 所以在上单调递增，所以1()()y f x f x -=+在定义域上单调递增，因为，所以()110f -=所以()()11min 112103y f f -=+=++=故答案为：2．（2021·上海市进才中学高一期末）函数()log 213a y x =-+（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________. 【答案】 【分析】令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解； 【详解】解：因为函数()log 213a y x =-+（且）的图像恒过定点，所以令即时log 133a y =+=，所以点坐标为； 故答案为：3．（2021·上海·高一专题练习）函数，的值域为__________． 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性分析出的单调性，然后即可求解出的最值，从而的值域可确定出. 【详解】由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递减， 所以()()min 24f x f ==，又()()max 1max ,42f x ff ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且11178222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4415f =+=，所以，所以的值域为， 故答案为：.4．（2021·上海虹口·高一期末）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是__________． 【答案】 【分析】分别代入，计算得和，所以可得方程在区间内有实根，所以根据二分法，下一个取的点为.【详解】当时，3411420x x +-=+-=-<，时，334 1.5 1.540.8750x x +-=+-=>，所以方程在区间内有实根，所以下一个取的点是. 故答案为：5．（2021·上海虹口·高一期末）已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a 的值为__________． 【答案】-6 【分析】由的图象过点得函数的图象过点，把点代入的解析式求得的值． 【详解】 解：的图象过点， 函数的图象过点， 又， ，即． 故答案为：．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数||()2x a f x -=在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用对称性和指数函数的单调性，判定函数在[a ,+∞)上单调递增，再结合已知条件即可求出结果． 【详解】 因为函数()2x af x -=的对称轴为， 所以函数()2x af x -=在上是增函数；又函数()2x af x -=在上是增函数，所以．故答案为：.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2230()30x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()23(2)0f a f a -+>，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(,3)(1,)-∞-⋃+∞ 【分析】先根据已知条件判断出的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性将原不等式转化为关于的不等式，由此求解出的取值范围.【详解】当时，()()()()220,33x f x x x x x f x -<-=⋅---=--=-， 当时，()()()()220,33x f x x x x x f x ->-=-+⋅-=-=-， 且，所以是定义在上的奇函数，因为的对称轴为，所以在上单调递增， 由为奇函数可知在上单调递增，因为()23(2)0f a f a -+>，所以()()232f a f a ->-，所以，所以或，即的取值范围是()(),31,-∞-⋃+∞， 故答案为：()(),31,-∞-⋃+∞. 【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如()()()()0f g x f h x +>的不等式的思路： （1）利用奇偶性将不等式变形为()()()()f g x f h x >-；、 （2）根据单调性得到与的大小关系；（3）结合函数定义域以及与的大小关系，求解出的取值范围即为不等式解集.8．（2021·上海市控江中学高一期末）函数2()21f x x ax =--在区间上为严格减函数的充要条件是_________. 【答案】【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间为严格减函数， 所以二次函数对称轴， 故答案为：9．（2021·上海市控江中学高一期末）设函数f （x ），若f （α）＝9，则α＝_____． 【答案】﹣9或3 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果. 【详解】 由题意可得或，∴α＝﹣9或α＝3 故答案为：﹣9或3 【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.10．（2021·上海市控江中学高一期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是______. 【答案】 【分析】根据函数的对称性求出的解析式，代入求解即可. 【详解】解：因为函数的图像与的图像关于直线对称，则()3log g x x =， 又函数的图像与的图像关于轴对称，则()3()log f x x =-，()3()log 1f a a =-=-，则.故答案为： 【点睛】知识点点睛：（1）与图像关于直线对称，则()log a g x x =； （2）与关于轴对称，则()()f x g x =-； （3）与关于轴对称，则()()f x g x =-；11．（2021·上海·高一专题练习）若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个. 【答案】2 【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x 2+4x+1（x ＜0）的图象关于原点对称的图象， 看它与函数y="2" /e x （x≥0）交点个数即可． 如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f （x ）的“友好点对”有：2个． 故答案为212．（2021·上海市实验学校高一期末）已知函数，且243()1()f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数的和是______. 【答案】10 【分析】先分析出是偶函数且(0)(2)(2)f f f ==-，然后即可求出所有的的值 【详解】 因为 所以所以是偶函数若243()1()f a a f a -+=-则2431a a a -+=-或()2431a a a -+=--解得或2或4又因为(0)(2)(2)f f f ==- 所以当时也成立故满足条件的所有整数的和是123410+++= 故答案为：10【点睛】 要善于从一个函数的解析式分析出其性质，比如单调性、奇偶性和一些特有的性质. 二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．2.函数()()2ln 4f x x=-的单调增区间是______．3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．5.已知函数()()12f x xx α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一B.二C.三D.四14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C .充分必要D.既不充分也不必要15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +- B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答题17.求函数()f x =18.已知0a >，b R ∈，且函数()12xf x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()ff x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．2021-2022年上海中学高一上期末一、填空题1.若函数()f x 满足()112x f x -+=，则()4f =______．【1题答案】【答案】4【解析】【分析】根据题意，令3x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()112x f x -+=，令3x =，可得()()3131424f f -+===.故答案为：4.2.函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【2题答案】【答案】(2,0]-【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元，利用复合函数单调性的求法求解【详解】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-，令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，故答案为：(2,0]-3.已知θ是第四象限角，5cos 13θ=，则2021cos 2πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【3题答案】【答案】1213-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，在利用诱导公式可求得结果.【详解】因为θ是第四象限角，5cos 13θ=，则12sin 13θ==-，所以，202112cos cos sin 2213ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1213-.4.函数()()()42log 4log 2f x x x =⋅的最小值为______．【4题答案】【答案】18-##-0.125【解析】【分析】化简函数为()2442(log )3log 1f x x x =++，4log t x R =∈，得到()2231f t t t =++，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()()()4242log 4log 2(log 1)(log 1)f x x x x x =⋅=++24444(log 1)(2log 1)2(log )3log 1x x x x =++=++，令4log t x R =∈，可得()22312312()48f t t t t =++=+-，当34t =-时，()min 31()48f t f =-=-，即函数()f x 的最小值为18-.故答案为：18-.5.已知函数()()12f x x x α=≤≤的最大值与最小值之差为12，则α=______．【5题答案】【答案】23log 2或1-.【解析】【分析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数()()12f x xx α=≤≤，当0α>时，函数()f x 在[]1,2上为单调递增函数，可得1212α-=，解得23log 2α=；当0α=时，显然不成立；当0α<时，函数()f x 在[]1,2上为单调递减函数，可得1122α-=，解得1α=-，综上可得，23log 2α=或1α=-.故答案为：23log 2或1-.6.已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．【6题答案】【答案】15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.7.不等式()()2021202142x x --->-的解为______．【7题答案】【答案】()(),23,4∞-⋃【解析】【分析】根据幂函数的性质，分类讨论即可【详解】将不等式()()2021202142x x --->-转化成2021202111(()42x x >--（Ⅰ）1041021142x x x x ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪--⎩，解得34x <<；（Ⅱ）104102xx ⎧>⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩，解得2x <；（Ⅲ）1041021142x x x x ⎧<⎪-⎪⎪<⎨-⎪⎪>⎪--⎩，此时无解；综上，不等式的解集为：(,2)(3,4)-∞故答案为：(,2)(3,4)-∞ 8.设()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数．若()()2212f a f a ->+，则a 的取值范围是______．【8题答案】【答案】6[,1)2--.【解析】【分析】根据题意，列出不等式组222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在区间[]22-,上的严格增函数，因为()()2212f a f a ->+，可得222122212222a a a a ⎧->+⎪-≤-≤⎨⎪-≤+≤⎩，解得12a -≤<-，所以实数a 的取值范围是6[,1)2--.故答案为：[,1)2--.9.若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为______．【9题答案】【答案】P R Q =<【解析】【分析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P 、R 的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P 、Q 的大小关系.【详解】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin R P θθθθθθθθ=-=+-=-=又2233cos sin (cos sin )P Q θθθθ-=---(cos sin )(cos sin )(cos sin )(1cos sin )θθθθθθθθ=-+--+(cos sin )(cos sin 1cos sin )θθθθθθ=-+--(cos sin )(cos 1)(1sin )θθθθ=---因为π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0,cos 10,1sin 0θθθθ->-<->所以0P Q -<，即P Q<所以P 、Q 、R 的大小关系为P R Q =<.故答案为：P R Q=<10.在函数()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点．【10题答案】【答案】3【解析】【分析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.【详解】因为()125236x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数在R 上单调递减，又()0001250=3236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11112512236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222125252=23618f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3331253=1236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且当3x >时，()()0,1f x ∈，当0x <时，令,N *x n n =-∈，则()12536151222Z 236251010n n nn n n nn n f n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++=++=++∉ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，函数()125236xxxf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点．故答案为：3.11.设()111f x x x x=++-，若存在a ∈R 使得关于x 的方程()()()20f x af x b ++=恰有六个解，则b 的取值范围是______．【11题答案】【答案】2,)++∞【解析】【分析】作出f (x )的图像，当0x <时，min ()1f x =+，当0x >时，min ()2f x =.令()t f x =，则20t at b ++=，则该关于t的方程有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞.令2()g t t at b=++，则(2)01)0gg>⎧⎪⎨+<⎪⎩，据此求出a的范围，从而求出b的范围．【详解】当1≥x时，11()11f x x xx x=++-=+，当01x<<时，112()11f x x xx x x=++-=+-，当0x<时，112()11f x x xx x x=--+-=--+，则f(x)图像如图所示：当0x<时，2()11f x xx=--+≥+，当0x>时，min()2f x=．令()t f x=，则20t at b++=，∵关于x的方程()()()20f x af x b++=恰有六个解，∴关于t的方程20t at b++=有两个解1t、2t，设1t＜2t，则11)t∈+，21,)t∈+∞，令2()g t t at b=++，则(2)4201)91)0g a bg a b=++>⎧⎪⎨+=++++<⎪⎩，∴42ba-->且a<，要存在a满足条件，则42b--<，解得2b>+．故答案为：2,)++∞．12.若定义域为(]0,I m =的函数()e xf x =满足：对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，则m 的最大值为______．（e 2.718281828≈是自然对数的底）【12题答案】【答案】ln 4##2ln 2【解析】【分析】不妨设三边的大小关系为：0a b c <≤≤，利用函数的单调性，得出()f a ，()f b ，()f c 的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出m 的最大值即可.【详解】()e xf x =在(]0,I m =上严格增，所以(()1,e m f x ⎤∈⎦，不妨设0a b c <≤≤，因为对任意能构成三角形三边长的实数,,a b c I ∈，均有()f a ，()f b ，()f c 也能构成三角形三边长，所以e e e ,a b c a b c +>+>，因为e e e a b c +≥=>，所以24e e a b c +>，因为对任意,,a b c I ∈都成立，所以24e e c c ≥，所以e 4c ≤，所以ln 4c ≤，所以ln 4m ≤，所以m 的最大值为ln 4．故答案为：ln 4.二、选择题13.2021- 的始边是x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限．A.一 B.二C.三D.四【13题答案】【答案】B 【解析】【分析】将2021- 转化为()0,360内的角，即可判断.【详解】20213606139-=-⨯+ ，所以2021- 的终边和139 的终边相同，即落在第二象限.故选：B14.设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【解析】【分析】利用特例法、函数单调性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出合适的选项.【详解】若函数()f x 在R 上严格递增，对任意的1x 、2R x ∈且12x x <，()()12f x f x <，由不等式的性质可得()()1122f x x f x x +<+，即()()12g x g x <，所以，()()g x f x x =+在R 上严格递增，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇒“()()g x f x x =+在R 上严格递增”；若()()g x f x x =+在R 上严格递增，不妨取()12f x x =-，则函数()()12g x f x x x =+=在R 上严格递增，但函数()12f x x =-在R 上严格递减，所以，“()f x 在R 上严格递增”⇐/“()()g x f x x =+在R 上严格递增”.因此，“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的充分不必要条件.故选：A.15.将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到()g x 的函数图像，则()g x =（）A.()lg 211x +-B.1lg 5x +⎛⎫⎪⎝⎭C.()lg 211x -- D.1lg 5x -⎛⎫⎪⎝⎭【15题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由题意，将函数()()lg 2f x x =的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得()221lg[2(1)]1lg(22)1lg lg 105x x g x x x ++=+-=+-==.故选：B.16.设函数()2xf x x =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠．对于ABC ，下列说法正确的是（）①一定是钝角三角形②可能是直角三角形③不可能是等腰三角形③可能是等腰三角形A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】【分析】结合0BA BC ⋅<uu r uu u r，得到90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到AB BC <，可判定③正确，④不正确.【详解】由题意，函数()2xf x x =+为单调递增函数，因为点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在()f x 的图像上，且32210x x x x -=-≠，不妨设123x x x <<，可得12123232(,),(,)BA x x y y BC x x y y =--=--，则12321232()()()()BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--，因为123x x x <<，可得1232()()0x x x x --<，31221222313222(()()[())][2()]()2x x x x x x x x y y y y -+----+-=又由因为12220x x -<，120x x -<，32220x x ->，320x x ->，所以31221232[())][())22(22(]0xxxxx x x x -+-+-<-，所以12321232()()()()0BA BC x x x x y y y y ⋅=--+--<所以90ABC ∠> ，所以ABC 一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；由两点间的距离公式，可得AB BC ==根据指数函数和一次函数的变化率，可得点A 到B 的变化率小于点B 到C 点的变化率不相同，所以AB BC <，所以ABC 不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确.故选：A.三、解答题17.求函数()f x =【17题答案】【答案】定义域为(1,)+∞，值域为[1,)+∞，递减区间为(1,2]，递增区间为[2,)+∞.【解析】【分析】由函数的解析式有意义列出不等式，可求得其定义域，由2331(1)111x x x x x -+=-+---，结合基本不等式，可求得函数的值域，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.【详解】由题意，函数()f x =23301x x x -+≥-且10x -≠，因为方程223333(024x x x -+=-+>，所以10x ->，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为(1,)+∞又由2233(1)(1)11(1)1111x x x x x x x x -+---+==-+----，因为10x ->，所以1(1)1111x x -+-≥=-，当且仅当111x x -=-时，即2x =时，等号成立，所以23311x x x -+≥-，所以函数()f x 的值域为[1,)+∞，令()1(1)11g x x x =-+--，根据对勾函数的性质，可得函数()g x 在区间(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 在(1,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增.18.已知0a >，b R ∈，且函数()12x f x b a=+-有奇偶性，求a ，b 的值．【18题答案】【答案】()f x 为奇函数，11,2a b ==，【解析】【分析】由函数奇偶性的定义列方程求解即可【详解】若()f x 为奇函数，则()()0(R)f x f x x -+=∈，所以11022x x b b a a-+++=--恒成立，即212122x x x b a a+=--⋅-，所以22222212[2(1)2]x x x x a b a a a -⋅+=--⋅++⋅-恒成立，所以21222(1)ab a b a =⎧⎨-=-+⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以当()f x 为奇函数时，11,2a b ==，若()f x 为偶函数，则()()(R)f x f x x -=∈，所以1122x x b b a a-+=+--恒成立，得22x x -=，得0x =，不合题意，所以()f x 不可能是偶函数，综上，()f x 为奇函数，11,2a b ==，19.某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．（1）求1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．【19题答案】【答案】（1）1 1.5k =，11a =，23k =，212a =（2）分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.【解析】【分析】（1）代入点的坐标，求出1k ，1a 与2k ，2a 的值；（2）在第一问的基础上，表达出总利润的关系式，利用配方求出最大值.【小问1详解】将()()1,1.5,3,4.5代入11ay k x =中，111 1.53 4.5a k k =⎧⎨⋅=⎩，解得：111.51k a =⎧⎨=⎩，将()()4,6,9,9代入22ay k x =中，22224699a a k k ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得：22312k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1 1.5k =，11a =，23k =，212a =.【小问2详解】设分配生产乙商品的投资为m （0≤m ≤20）万元、甲商品的投资为()20m -万元，此时的总利润为w ，则())12231.5203131.52w m m =-+⋅=-+，因为0≤m ≤20，1=，即1m =时，w 取得最大值，即分配生产乙商品的投资为1万元，甲商品的投资为19万元，此时总利润的最大值为31.5万元.21.设函数()1122f x x ax x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭，其中a R ∈．（1）若当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()f x 取到最小值，求a 的取值范围．（2）设()f x 的最大值为()M a ，最小值为()L a ，求()()()g a M a L a =-的函数解析式，并求()g a 的最小值．【21题答案】【答案】（1）3(3,)4-（2）()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，最小值为12.【解析】【分析】（1）求得函数的导数()22(1)1a x f x x--'=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，列出方程组，即可求解；（2）由（1）知()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，得到函数()f x 在1[,2]2上单调递减，得到()32g a a =；若10a ->时，令()0h x =，求得x =12≤2≥，122<<三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数()11(1)f x x ax a x x x =+-=-+，可得()2221(1)1(1)a x f x a x x--'=--=，令()2(1)1h x a x =--，要使得函数()f x 在1(,2)2x ∈取到最小值，则函数()f x 必须先减后增，则满足()()11()11024(2)4110h a h a ⎧=--<⎪⎨⎪=-->⎩，解得334a -<<，即实数a 的取值范围为3(3,)4-.【小问2详解】解：由（1）知()22(1)1a x f x x--'=，设()2(1)1h x a x =--，若10a -≤时，即1a ≥时，()0h x <，即()0f x '<，函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(),(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；若10a ->时，即1a <时，令()0h x =，即2(1)10a x --=，解得x =x =12≤时，即3a ≤-时，()0h x >在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '>，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递增，所以5151(2)2,()()22(2)2f a L a f a M a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=-；2≥时，即314a ≤<时，()0h x <在1[,2]2x ∈恒成立，即()0f x '<，可得函数()f x 在1[,2]2上单调递减，所以1515()(,(2)2222()2M a f a f a L a ==-==-，可得()()()32g a M a L a a =-=；③当122<<时，即334a -<<时，当1[2x ∈时，()0h x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当2]x ∈时，()0h x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，所以当x =()f x取得最小值，即()L a =，又由1515(),(2)22222f a f a =-=-，可得13((2)22f f a -=，（i ）当30a -<≤时，1()(2)02f f -<，即1((2)2f f <，所以5()(2)22M a f a ==-，此时()()()522g a M a L a a --==-；（ii ）当304a <<时，1()(2)02f f ->，即1((2)2f f >，所以151()()222M a f a ==-，此时()()()5122g a M a a L a --==-，综上可得，函数()g a 的解析式为()()()33,[,)2452(3,0]2513(3,)2243,(,3]2a a g a a x g a g a a x a a ∞∞⎧∈+⎪⎪⎪=--∈-⎪=⎨⎪=--∈-⎪⎪⎪-∈--⎩，当3a ≤-时，()9(3)2g a g ≥-=；当34a ≥时，()39(48g a g ≥=；当30a -<≤时，令[1,2)t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，根据二次函数的性质，可得当1t =时，函数()t ϕ取得最小值，最小值为()112ϕ=；当304a <<时，令1(,1)2t =，则21a t =-，可得()21222t t t ϕ-+=，则()()112t ϕϕ>=，综上可得，函数()g a 的最小值为12.23.对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点．现设()2f x x a =+．（1）当2a =-时，分别求()f x 与()()f f x 的所有不动点；（2）若()f x 与()()ff x 均恰有两个不动点，求a 的取值范围；（3）若()f x 有两个不动点，()()f f x 有四个不动点，证明：不存在函数()g x 满足()()()f x g g x =．【23题答案】【答案】（1）123415152,1,22x x x x --+==-==（2）31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（3）见详解.【解析】【小问1详解】因为2a =-，所以()f x x =即220x x --=，所以122,1x x ==-，所以()f x 的不动点为122,1x x ==-；解(())f f x x =，22242(())(2)(2)242f f x f x x x x x =-=--=-+=，所以42420x x x --+=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式22x x --，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22(2)(1)0x x x x --+-=，所以123,4152,1,2x x x -±==-=，所以(())f f x 的不动点为123,4152,1,2x x x -±==-=；【小问2详解】由2()f x x a x =+=得20x x a -+=，由222422(())()()2f f x f x a x a a x ax a a x =+=++=+++=、得42220x ax x a a +-++=，因为()f x x =是(())f f x x =的解，所以上述四次方程必有因式2x x a -+，利用长除法或者双十字相乘法因式分解得22()(1)0x x a x x a -++++=，因为()f x 与(())f f x 均恰有两个不动点，所以①12140,144340a a a ∆=->∆=--=--<或②1140a ∆=->且20x x a -+=和210x x a +++=有同根，由①得3144a -<<，②中两方程相减得210x +=，所以12x =-，故34a =-，综上，a 的取值范围是31,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；【小问3详解】（3）设()f x 的不动点为,a b ，(())f f x 的不动点为a b c d ,,,，所以(),(),(),()f a a f b b f c c f d d ==≠≠，设()(())h x f f x =，则()(())h c f f c c ==，所以(())((())()h f c f f f c f c ==，所以()f c 是()(())h x f f x =的不动点，同理，()f d 也是()(())h x f f x =的不动点，只能(),()f c d f d c ==，假设存在()(())f x g g x =，则()()g a a g b b =⎧⎨=⎩或()()g a bg b a =⎧⎨=⎩，因为()y f x =过点(,),(,)c d d c ，所以(),()g c c g d d ≠≠，否则()(())()f c g g c g c c ===矛盾，且(),()g c d g d c ≠≠，否则()(())()f c g g c g d d ===，所以一定存在(),(),(),()g c t g t d g d s g s c ====，,S t 与cd 均不同，所以((())g g g t t =，所以(())f f t t =，所以(())f f x 有另外不动点，矛盾，故不存在函数()g x 满足()(())f x g g x =．。

闵行区2020学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合A *=N ，{215}B x x =-<，则AB =．（用列举法表示） 2．已知复数z 满足i 2i z =+（i 为虚数单位），则z =．3．若函数()21xf x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(9)g =．4．若tan()34πα+=-，则tan α=_________．5．在()612x -的二项展开式中，3x 项的系数为__________．（用数字作答） 6．如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为3，则异面直线1AA 与1BD 所成角的大小是__________．7．新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 种．（用数字作答）8．设12{21 2}33k ∈--，，，，，若(1 0)(0 1)x ∈-，，，且||k x x >，则k 取值的集合是．9．已知定义在上的函数满足()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩.设在[)()*22,2n n n -∈N 上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为． 10．已知 2n n ∈≥N ，，函数2333n ny x n n =+++的图像与y 轴相交于点n A 、与函数1log (4)ny x =-的图像相交于点n B ，n n OA B △的面积为n S (O 为坐标原点)，则lim n n S →∞=．11．已知平面向量,,a b c ，对任意实数t ，都有-≥-b ta b a ，-≥-b tc b c 成立．若3=a ，2=c ，7-=a c ，则b =．12．已知函数()1f x x x=+，给出下列命题： ①存在实数a ，使得函数()()y f x f x a =+-为奇函数；②对任意实数a ，均存在实数m ，使得函数()()y f x f x a =+-关于x m =对称； ③若对任意非零实数a ，()()f x f x a k +-≥都成立，则实数k 的取值范围为(],4-∞； ④存在实数k ，使得函数()()y f x f x a k =+--对任意非零实数a 均存在6个零点. 其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．若a 为实数，则“1a <”是“11a>”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C)充要条件(D) 既非充分也非必要条件 14．若lg2a =，lg3b =，则5log 12等于( ) (A)21a b a ++(B) 21a b a +(C)21a b a+-(D) 21a b a -15．已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF F S S S -=△△△,则双曲线的渐近线方程是 （） (A)y x =±(B) 2y x =±(C)y =(D) 3y x =± 16．如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB 、PD 于点E 、F （可与端点重合），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（）(A)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B)14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) 8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．BCP D F M E A17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在圆柱1OO 中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面O 的直径，D 是底面圆周上异于B 、C 的点． （1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若2BD =，4CD =，6AC =，求圆柱1OO 的侧面积．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()22sincos 22cos 2222x x xf x =+-． （1）求函数在区间[]0,π上的值域；（2）若方程()=3(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式．比如()(1 2 3 ) i i i A a b i n =，，，，，是平面直角坐标系上的一系列点，其中n 是不小于2的正整数，用函数()y f x =来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列) (i i i A a b ，比较接近．其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数()y f x =的拟合误差为：22211221(())[(())(())(()])n n f x f a b f a b f a b n∆=-+-++-．x 1 2 3 4 5 y 2.2 1 2 4.6 7 （1）若用函数14()5f x x x -+=来拟合上述表格中的数据，求1(())f x ∆； （2）若用函数|2|2()2x f x m -=+来拟合上述表格中的数据．①求该函数的拟合误差2(())f x ∆的最小值，并求出此时的函数解析式2()y f x =； ②指出用12(),()f x f x 中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)()f x已知椭圆2222 1(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(0 2)，，其长轴长、焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点 Q P 、，与椭圆Γ相交于两点 M N 、，各点互不重合，且满足12 PM MQ PN NQ λλ==，． （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值；（3）若123λλ+=-，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知数列{}n a 与{}n b 满足()11n n n n a a b b λ++-=-（λ为非零常数），n *∈Ν. （1）若{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 也是等差数列；（2）若12,3,sin2n n a b πλ===，求数列{}n a 的前2021项和； （3）设11a b λ==，22b λ=，12(3,)2n n n b b b n n *--+=≥∈N ，若对{}n a 中的任意两项i a ，()*,j a i j i j ∈≠N ，，2i j a a -<都成立，求实数λ的取值范闵行区2020学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题1．{1,2}； 2．12i -；3．3；4．2； 5．160-； 6．22arctan 3； 7．90；8．2{2 }3-，；9．64； 10．6；11．2213；12．②③. 二. 选择题13．B ；14．C ；15．D ；16．D ． 三. 解答题17． [证明]（1）由已知可知AB ⊥平面BCD ，CD 平面BCD ，AB CD ∴⊥………………………2分点D 是O 上异于B 、C 的点，BC 是O 的直径， 所以CD BD ⊥，………………………4分又AB BD B =，∴CD ⊥平面ABD ………6分[解]（2）在Rt BDC △中，2BD =，4CD =，90BDC ∠=︒，∴BC =………………………8分∴4AB =………………………10分∴圆柱1O O的侧面积为：S BC AB π=⋅⋅=侧．…………………14分18．[解]（1）()f x x x =+，………………………2分所以()2sin()4f x x π=+， ………………………4分因为函数在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以当4x π=时，()f x 的最大值为2，当x π=时，()f x的最小值为．所以函数的值域为]2,2[-．………………………6分 （2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>………………………8分由(f x ω得sin(4x πω+ 所以2=2=2()4343x k x k k ππππωπωπ++++∈Z 或…………………10分 所以225==()1212k k x x k ππππωωωωω++∈Z 或．由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解， 所以只需[]5,0,1212πππωω∈， ………………………12分 解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ………………………14分 19．[解]（1）若用函数()221()4521f x x x x =-+=-+来拟合上述表格中的数据，则2222211(())[(2 2.2)(11)(22)(5 4.6)(107)]5f x ∆=-+-+-+-+-……………4分222221(0.2000.43) 1.845=++++=；………………………6分 （2）①若用函数|2|2()2x f x m -=+来拟合上述表格中的数据，则()f x|12|2|22|2|32|2|42|2|52|221(())[(2 2.2)(21)(22)(2 4.6)(27)5]f x m m m m m -----∆=+-++-++-++-++-220.080.28(0.04)0.27840.2784m m m =+≥++=+，………………………10分则当0.04m =-时，2(())f x ∆的最小值为0.2784，此时22()20.04x f x -=-｜｜.………………………12分 ②由上可知，1(())f x ∆= 1.84=，2(())f x ∆=20.080.28m m =++ 比较1(())f x ∆与2(())f x ∆，发现当2525m <<1(())f x ∆>2(())f x ∆，此时用22()2x f x m -=+｜｜来拟合上述表格中的数据更好；当112525m =+-或时，1(())f x ∆=2(())f x ∆，用12()()f x f x 、拟合效果一样；当112525m m >+<-或时，1(())f x ∆<2(())f x ∆，此时用21()45f x x x =-+来拟合上述表格中的数据更好.………………………14分20．[解]（1）∵椭圆2222 1(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(0 2)，，2b =，……2分设焦距为2c ，由条件得222(2)(2)2(2)a b c +=，又222a b c =+，解得212a =．∴椭圆Γ的标准方程为221124x y +=．………………………4分（2）由题意，(0 1) (1 0)P Q ，，，，设1122() ()M x y N x y ，，，， ∵12 PM MQ PN NQ λλ==，， ∴1111122222()(1) 1 1 ()(1)x y x y x y x y λλ--=--=--，，，，，， 从而111222(1) (1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x xx x λλ==--，，……6分∴12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-， 由2212411y x x y =-+⎧+=⎪⎨⎪⎩得，24690x x --=，∴121239 24x x x x +==-，，………8分∴1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-；………………………10分 （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122() ()M x y N x y ，，，， 则：(0,) ( ,0) P km Q m -，由1PM MQ λ=得11111()() x y km m x y λ+=--，，，注意到1x m ≠ ∴()111x x m λ=-，从而111x m x λ=-，同理222x m x λ=-，…………12分又123λλ+=-，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=，则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③………………………14分 ③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k---⋅+=⇒=+++，∴2m =，（满足②） 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(2 0)，．…………16分（3）另解：由题意设01122 (0 ) (0) () ()P m Q x M x y N x y ，，，，，，，， 由1PM MQ λ=，知111011() () x y m x x y λ-=--，，，注意到120y y ≠ ∴111y m y λ-=-，从而111m y λ=-，同理221my λ=-，…………12分又123λλ+=-，∴1212()0y y m y y ++=①，显然直线l 的斜率k 存在且不为零，不妨设直线l 的方程为()x t y m =-， 联立221124()x y x t y m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(3)2120t y mt y t m +-+-=，则2422244(3)(12)0m t t t m ∆=-+->②，且222121222212,33mt t m y y y y t t -+==++③，…14分③代入①得22221220t m m t -+=，2()4mt ∴=， ∵直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点 Q P 、， ∴0mt ->，2mt ∴=-（满足②），直线l 的方程为2x ty =+，所以直线l 恒过定点(2 0)，．…………16分21．[证明]（1）设{}n b 的公差为d ，则()11()n n n n a a b b d n λλ*++-=-=∈N ，…2分故数列{}n a 是等差数列； ………………………4分[解]（2）由sin2n n b π=，可知{}n b 是周期为4的数列，即4n n b b +=； 由()()()()43+32+21+1n n n n n n n n b b b b b b b b λλλλ++++=-+-+-+-()40n n b b λ+=-=，即{}n a 也是周期为4的数列. ………………………6分又由12,sin 2n n a b π==，()113n n n n a a b b ++-=-可求：21a =-，34a =-，41a =-，412344S a a a a =+++=-， ………………………………8分所以()()2021123452018201920202021S a a a a a a a a a =+++++++++145052018a S =+=-. ………………………………10分（3）由12(3,)2n n n b b b n n *--+=≥∈N 得()111(2,)2n n n n b b b b n n *+--=--≥∈N ，即{}1n n b b +-是以212b b λ-=-为首项，12-为公比的等比数列，则1111222n nn n b b λλ-+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………12分所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()()443+32+21+1n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++-=-+-+-+-12111222n n λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111221133212n n λλλ-⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=+- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.则122111323n n n a b a b λλλλλ-⎛⎫=+-=-+-⎪⎝⎭. ………………14分当n 为奇数时，1221323n n a λλλ-⎛⎫=+-⎪⎝⎭单调递减，且23n a λλλ-<≤； 当n 为偶数时，1221323n n a λλλ-⎛⎫=-+-⎪⎝⎭单调递增，且2223n a λλλλ-≤<-；因为0λ≠，故2223λλλλλ-<-<，所以{}n a 的最大值为1a λ=，最小值为222a λλ=-， …………………16分因为对{}n a 中的任意两项i a ，()*,j a i j ∈N ，2i j a a -<都成立，所以122a a -<， 解得()()2,00,2λ∈-综上，λ的取值范围是()()2,00,2-. ………………………………18分。

上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．2B ．1169C ．16．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x 依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记{}()max (),(),()K x f x g x h x =．则对于下列命题：①若()K x 是严格增函数，则()()K x f x =；三、解答题17．已知:31x m a <-或x m >-，:2x b <或4x ³．(1)若a 是b 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若a 是b 的必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知0a >，关于x 的不等式223ax bx c £++£．分以下两种情形来讨论：情形一：当21x y xy +=->时，有()()113x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是4，所以集合A 中除1以外的最小元素为6，但是336A +=Î，3327A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾.情形二：当2x y xy +¹-时，则1x y xy +=-或(),2x y xy m m +=->，（因为若m 为负整数，则()()110x y m --->，即此时1x y xy m +¹-+），若11x y xy +=->，有()()112x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是3，所以集合A 中除1以外的最小元素为5，但是235A +=Î，2324A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾；若(),2x y xy m m +=->，有()()111x y m --=+，不妨设(),2,2x a y b a b ==>>，()()111a b m --=+，且此时集合A 中除1以外的最小元素为x y a b A +=+Î，但是122xy a b a b <-=+-<+，所以2xy A -Ï,而这与集合A 是“减2集”矛盾.综上所述：不存在集合A 是“减2集”.（3）假设存在A 是“减1集”，{}1A ¹.假设1A Î，则A 中除了元素1以外，必然还含有其他元素.假设2A Î，则11A +Î，但111A ´-Ï，因此2A Ï，假设3A Î，则12A +Î，且121A ´-Î，因此3A Î，因此可以有{}1,3A =,假设4A Î，则13A +Î，但131A ´-Ï，因此4A Ï，假设5A Î，则23A +Î，且321A ´-Î，因此5A Î，可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集，又当7A Î时，34A +Î，但3412´=，所以A 中元素应该小于7，因此减1集可以有{}{}131,3,5,,.【点睛】关键点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况21x y xy +=->和2x y xy +¹-证出矛盾，第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解.答案第171页，共22页。

上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟3数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合U =R ,集合{}21P x x =-≥,则U P =ð______2．在91x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为__________.3．写出系数矩阵为1221⎛⎫ ⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是______.4．已知函数()sin sin()(0)3f x x x πωωω=-+>的最小正周期是2π，则ω=______.5．若三阶行列式1302124121n m m n -+---中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15-，则i n m +（其中i 是虚数单位，R m n ∈、）的值是_______________．6．函数12()log (423)x x f x +=-+的值域为___________7．某校举行数学文化知识竞赛，现在要从进入决赛的5名选手中随机选出2名代表学校参加市级比赛.某班有甲、乙两名同学进入决赛，则在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为______.8．在ABC 中，a 、b 、c 分别为角、、A B C 的对边，且满足274cos cos 2()22A B C -+=，则角A 的大小是______.9．关于x 的不等式()2log 231a x x -+≤-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是______.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 在椭圆22143x y+=上，点M 是OP 的中点，过点M 作直线l （和直线OP 不重合）与椭圆相交于Q ，R 两点，若直线OP ，OQ 的斜率分别为1k 、2k ，且35MR QM =，则12k k 的值是______.11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有______项.12．已知函数21,0()2,0x a x x f x x ax x ⎧++->=⎨-+≤⎩的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为__________.二、单选题13．已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则“数列{}n S 为等差数列”是“数列{}n a 为常数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．如图，B 、D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB =AD =，则AC BD ⋅=（）A ．1B ．2C ．tD ．2t16．已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数λ，μ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是A ．{(,)|4}λμλμ+=B ．22{(,)|4}λμλμ+=C ．2{(,)|44}λμλμ-=D ．22{(,)|4}λμλμ-=三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，P 点在平面ABCD 内的射影为A ，且2PA AB ==，E 为PD 中点.(1)证明：//PB 平面AEC (2)证明：平面PCD ⊥平面PAD .18．如图，摩天轮上一点P 在时刻t （单位:分钟)距离地面的高度y (单位:米)满足()[]()sin ,0,0,,y A t b A ωϕωϕππ=++>>∈-，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处.（1）根据条件写出y 关于t 的函数解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米?19．已知函数()()22x af x x x +=∈+R ．（1）写出函数()y f x =的奇偶性；（2）当0x >时，是否存在实数a ，使()y f x =的图象在函数()2g x x=图象的下方，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为2，A ，B 分别是椭圆的右顶点和下顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知P 是椭圆C 内一点，直线AP 与BP 的斜率之积为12-，直线.AP BP ，分别交椭圆于,M N 两点，记PAB ，PMN 的面积分别为PAB S ∆，PMN S ∆.①若,M N 两点关于y 轴对称，求直线PA 的斜率；②证明：PAB PMN S S ∆∆=.21．已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>.参考答案：1．{}3|1x x <<【分析】解绝对值不等式求得集合P ，再求得U P ð.【详解】由21x -≥，得21x -≤-或21x -≥，即1x ≤或3x ≥.所以{|1P x x =≤或}3x ≥，所以{}U |13P x x =<<ð.故答案为：{}3|1x x <<【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查补集的概念和运算，属于基础题.2．1【详解】令，即得各项系数的和.考点：赋值法.3．2323x y x y +=⎧⎨+=⎩【分析】根据系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭求解.【详解】由题意得：线性方程组是2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，故所求的一个线性方程组是2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，故答案为：2323x y x y +=⎧⎨+=⎩4．4【分析】根据三角恒等变换化简三角函数，然后利用周期计算公式列方程，解方程即可求值【详解】()π1πsin sin sin sin cos sin 3223f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫=-+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期是2ππ2T ω==，所以4ω=.故答案为：45．2【详解】试题分析：由已知条件得，即，从而有，故i n m +，故答案为2．考点：1．行列式；2．复数的模．6．[1,)+∞【分析】先利用配方可得到12423(21)22,x x x +-+=-+≥然后利用对数函数的性质即可求解【详解】因为12423(21)22,x x x +-+=-+≥所以根据对数函数的性质可得122()log (423)log 21x x f x +=-+≥=，可知函数的值域为[1,)+∞．故答案为：[1,)+∞7．710##0.7【分析】得出这次竞赛中该班没有同学参加市级比赛的概率，即只从除甲、乙两名同学外的三名同学中选两个的概率，在根据互斥事件的概率计算即可得出答案.【详解】在这次竞赛中该班有同学参加市级比赛的概率为2325C 71C 10-=.故答案为：0.78．π3##60︒【分析】根据题意结合三角恒等变换运算求解即可得答案.【详解】由πA B C ++=，即πB C A +=-，故()22π2B C A +=-则()()2221cos 4cos cos 2()4cos 2π222cos cos 222cos 2cos 12cos 2co 22A ABC A A A A A A +-+=⨯--=+-=+--=-+，可得24cos 4cos 10A A -+=，解得1cos 2A =，因为0πA <<，所以π3A =.故答案为：π3.9．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分类讨论，根据对数函数单调性，结合恒成立思想解决即可.【详解】由题意得，()21log 231log a a x x a ⎛⎫-+≤-= ⎪⎝⎭，所以21123a x x a >⎧⎪⎨-+≤⎪⎩恒成立，或201123a x x a <<⎧⎪⎨-+≥⎪⎩恒成立，即()2max 1123a x x a >⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，或()2min 01123a x x a <<⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，因为223x x -+无最大值，所以()2max 1123a x x a >⎧⎪⎨-+≤⎪⎩无解；因为223x x -+最小值为2，所以()2min 010111232a a x x a a <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⎨⎨-+≥≥⎪⎪⎩⎩，解得112a ≤<，综上，1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．34-##0.75-【分析】分别设11(,)Q x y ，22(,)R x y ，M 00(,)x y ，则00(2,2)P x y .将,,P Q R 点的坐标分别代入椭圆方程，结合已知35MR QM = ，即可推得22220011010164(34)9(34)48(34)300x y x y x x y y +++-+=，整理可得010143x x y y =-，即可求出答案.【详解】设点11(,)Q x y ，22(,)R x y ，M 的坐标为00(,)x y ，则点00(2,2)P x y .则121y k x =，010y k x =.因为点P 在椭圆上，所以220044143x y +=，即2200343x y +=.因为35MR QM = ，所以202001013,)(),(5x x y y x x y y --=--，所以20013()5x x x x -=-，20013()5y y y y -=-，所以2018355x x x =-，2018355y y y =-.又,Q R 在椭圆上，所以有22113412x y +=，22223412x y +=，代入有220101838334125555x x y y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开得22220011010164(34)9(34)48(34)300x y x y x x y y +++-+=，即010*********(34)300x x y y ⨯+⨯-+=，所以0101340x x y y +=，所以010143x x y y =-.所以0011120101y y y y k k x x x x =⋅=01013443y y y y ==--.故答案为：34-.11．89【分析】根据题意分析可得数列要想项数最少，需要各项最大，可设这个“好数列”为：()()1,2,3,,1,,1,,3,2,1n n n ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，求这个“好数列”各项之和为2n ，令22021n ≤得44n ≤，此时220214485-=，将85分成小于或等于44的项，最少可以分成两项，由此即可求解.【详解】由题意得数列要想项数最少，需要各项最大；又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，所以需要数列前面递增，后面对称递减，又各项之和是2021，中间可能存在相等的项，设除去相等项后的各项为()()1,2,3,,1,,1,,3,2,1n n n ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，令各项和123(1)(1)21n n n ++++-++-+++ (1)[1(1)]2[123(1)]22n n n n n-+-=++++-+=⨯+ 2(1)2021n n n n =-+=≤，得44n ≤，当n 为44时，项数为432187⨯+=项，220214485-=，将85分成小于或等于44的项，最少可以分成两项，故这个数列至少有87289+=项，故答案为：89【点睛】本题考查数列新定义和等差数列求和，关键在于理解数列新定义中各项数的特点，严格按照运用定义进行求和和数列的项的探索，属于中档题.12．{2[1,1]--⋃-【分析】对参数a 进行分类讨论，结合二次函数的最值，由已知条件，求得不同情况下对应的参数范围，再求并集即可.【详解】分情况进行讨论：当0a ≥时，21,0()2,0x a x x f x x ax x ⎧++->=⎨-+≤⎩，0x >时()f x 在[,1]a -取得最小值1a +，0x ≤时在0x =时取得最小值2，故12a +≤，解得1a ≤，又因为此时0a ≥，所以01a ≤≤。