2020届上海市上海中学高三下学期数学综合练习卷

上海中学高三综合数学试卷052020.04一、填空题1.已知z =复数则z 的虚部为___. 2.若(3,4),a =-r 则与(3,4)a =-r共线的单位向量为___.3.设221,x y +=则x+y 的最小值为____.4.已知矩阵1324106,05170A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭则AB=___. 5.若点55(cos,sin )66M ππ在角α的终边上,则tan2α=____. 6.将函数1y x a=+的图像向左平移一个单位后得到y= f(x)的图像,再将y= f(x)的图像绕原点旋转180°后仍与y= f(x)的图像重合,则a=__.7.已知函数210(),(1)10x x f x f x x ⎧-≤=⎨-+>⎩则方程f(x)=x 在区间(0,10)内所有实根的和为__.8.20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为____.9.已知数列{}{}n n a b 、满足:12,nn n n n a b a a +==+则{}n b 的前n 项和n S =____.10.若对任意实数x,都有1021001210(2)(2)(2),xa a x a x a x =+++++++L 则3a =___.11.在△ABC 中,角A ､B ､C 所对的边为a ､b ､c,已知sin A + sin(B -C)= 2sin2C,abcosC=3,则△ABC 面积的最大值为___.12. 设112233(,),(,),(,)x y x y x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点,则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为___.二、选择题13. 直线121x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)的倾斜角等于( ).6A π.3B π1.arctan 2CD.arctan214. 已知a>0, b>0,若11lim5,n n n nn a b a b ++→∞-=-则a+b 的值不可能是( )A.7B.8C.9D.1015. 已知数列1234a a a a 、、、满足1411111,(1,2,3)22nn n na a a a n a a ++=-=-=,则1a 所有可能的值构成的集合为( )1.[,1]2A ±±B. [±2,±1,]1.[,2,]2C ±±1.[,1,2]2D ±±±16. 若点N 为点M 在平面α上的正投影,则记(),a N f M =如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,记平面11AB C D 为β,平面ABCD 为γ,点P 是棱1CC 上一动点(与C ､1C 不重合),12[()],[()],Q f f P Q f f P γββγ==给出下列三个结论:①线段2PQ 长度的取值范围是12[,]2； ②存在点P 使得1//PQ 平面β; ③存在点P 使得12PQ PQ ⊥； 其中,所有正确结论的序号是( A.①②③B.②③C.①③D.①②三.解答题17.如图,在平面直角坐标系xOy 中, A 为单位圆与x 轴正半轴的交点, P 为单位圆上一点,且∠AOP=α,将点P 沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q(a,b),其中2[,].63ππβ∈(1)若点P 的坐标为34π(,),554β=时,求ab 的值; (2),6πα=求22b a -的取值范围.18. 如图所示,直三棱柱111ABC A B C -中,11,AA AB AC ===E ､F 分别是1CC BC 、的中点,11,AE A B ⊥D 为棱11A B 上的点.(1)证明:DF ⊥AE;(2)是否存在一点D,使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在,说明点D 的位置,若不存在,说明理由.19.中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展,已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t (单位:分钟)满足*525,,t t ≤≤∈N 经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t 相关:当20≤t ≤25时高铁为满载状态,载客量为1000人,当5≤t< 20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与2(20)t -成正比,且发车时间为5分钟时的载客量为100人,记发车间隔时间为t 分钟时,高铁载客量为P(t).(1)求P(t)的表达式;(2)若该线路发车时间间隔t 分钟时的净收入2()()4065020004tQ t P t t t =-+-(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益()Q t t最大.20.如图,曲线L 由曲线22122:1x y C a b +=( a>b>0, y ≤0 )和曲线22222:1x y C a b -=(y>0)组成,其中12F F 、为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点,34F F 、为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.(1)若23(2,0)(6,0),F F -、求曲线L 的方程;(2)如图,作直线l 平行于曲线2C 的渐近线,交曲线1C 于点A ､B,求证:弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上;(3)对于(1)中的曲线L,若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C ､D,求1CDF V的面积的最大值.21.已知数列{}n a 的前n 项积为,n T 满足(1)23n n n T -=*(),n ∈N 数列{}n b 的首项为2,且满足*1(1)()n n nb n b n +=+∈N(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (2)记集合*1{|(105)},n n n M n a b b n n λ+≤+∈N ,若集合M 的元素个数为2,求实数λ的取值范围;(3)是否存在正整数p ､q ､r,使得12q p q a a a b r a +++=+⋅L 成立?如果存在,请写出p ､q ､r 满足的条件,如果不存在,请说明理由.。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）在复平面内，复数12i z =-对应的点的坐标为（A ）(1,2)（B ）(2,1) （C ）(1,2)-（D ）(2,1)-（2）双曲线2214x y -=的渐近线方程为（A ）12y x =± （B ）y = （C ）2y x =±（D ）y =（3）记函数)(x f 的导函数为)(x f '，若()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为1y x =-+，则（A ）0()=2f x '（B ）0()=1f x ' （C ）0)(0='x f （D ）0()=1f x '-（4）已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，则事件“310x -<”发生的概率为（A ）12（B ）13 （C ）14（D ）16（6）执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为4，则图中判断框内①处应填（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（7）设集合1,(,) 1.x y D x y x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，则下列命题中正确的是（A ）(,)x y ∀D ∈，20x y -≤（B ）(,)x y ∀D ∈，22x y +≥- （C ）(,)x y ∀D ∈，2x ≥（D ）(,)x y ∃D ∈，1y ≤-（8）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用n a ，n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，若1300a =，则+1n a 与n a 的关系可以表示为（A ）111502n n a a +=+（B ）112003n n a a +=+ （C ）113005n n a a +=+（D ）121805n n a a +=+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020年上海中学高三下综合卷04一. 填空题1. 函数()f x 的图像向右平移一个单位长度，所得图像与x y e =关于y 轴对称，则()f x =2. 抽取某老师的某个工作周五天中，收到的信件数分别是10、6、8、5、6，则估计该老师一周收到信件数的方差2s =3. 若直线l 与曲线2cos :12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A 、B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为4. 设5260126(1)(12)x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，则2a =5. 把三阶行列式3745210x a x+中元素7的代数余子式记为()f x ，若关于x 的不等式()0f x >的解集为(1,)b -，则实数a b +=6. 不等式22129t a t t +≤≤+在(0,2]t ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是 7. 在平面直角坐标系中，若与点(2,2)A 的距离为1，且与点(,0)B m 的距离为3的直线恰有3条，则实数m 的值为8. 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若该小正四面体可以在纸盒内任意转动，则该小正四面体棱长的最大值为9. 给定正整数n 和正常数a ，对于满足2211n a a a ++≤的所有等差数列{}n a ，则12n n a a ++++21n a +⋅⋅⋅+的最大值为10. 已知1x ≥，1y ≥，且2222lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg xy 的最大值为11. 在长方体1111ABCD A B C D -中，其中ABCD 是正方形，1AA AB >，设点A 到直线1B D 的距离和到平面11DCB A 的距离分别为1d 、2d ，则12d d 的取值范围是 12. 在△ABC 中，已知3AC =，sin sin C k A =（2k ≥），则△ABC 的面积的最大值为二. 选择题13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A.B. 2 C . 12 D . 12-14. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：（1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是(,)-∞+∞上的单调递减函数，则(())y f f x =也是(,)-∞+∞上单调递减函数；（4）若()y f x =函数存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点；其中正确的命题共有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个15. 已知函数22()1610f x x x x =++-+，① ()f x 的图像是中心对称图形；② ()f x 的图像是轴对称图形；③ 函数()f x 的值域为[13,)+∞；④ 方程(())110f f x =+有两个解；上述关于函数()f x 的描述正确的是（ ）A . ①③B . ③④C . ②③D . ②④16. 已知平面上四个点1(0,0)A 、2(23,2)A 、3(234,2)A +、4(4,0)A ，设D 是四边形1234A A A A 极其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合{|S P D =∈0||||,1,2,3,4}i PP PA i ≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为（ ）A . 2B . 4C . 8D . 16三. 解答题17. 已知向量4(cos ,1)OA x =-，4(1,sin 3sin 2)OB x x =+，x ∈R ，()f x OA OB =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若[0,]2x π∈，求()f x 的最值及相应的x 值.18. 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE AP ⊥于E .（1）求证：AP ⊥平面BDE ；（2）若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成的上、下两部分的体积比.19. 有一块形状是顶角为α角的耕地，tan 2α=-（如图，角的两边AM 、AN 足够长），该块土地中P 处有一建筑，经测量，它到土地边界AM 、AN 的距离分别为3千米、5千米，现要过P 修建一条直线公路，在公路与土地边界围成的区域内建一个工业园区，为尽量减少耕地占用，当AB 长为多少千米时，该工业园区的面积最小，最小面积为多少平方千米？20. 已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+，其中2n ≥，*n ∈N .（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）设2n n n b a -=⋅，n T 为数列{}n b 的前项n 和，求使2n T >的n 的取值范围；（3）设14(1)2n a n n n c λ-=+-⋅，试确定实数λ的值，使得对任意*n ∈N ，1n n c c +>恒成立.21. 设点P 为圆22:4O x y +=上的动点，点Q 为点P 在x 轴上的射影，动点M 满足：12MQ PQ =. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设过(3,0)A 且斜率为k 的直线l 与E 交于B 、C ，在E 上是否存在点D ，使OBDC 为平行四边形？若存在，求出k 的值，不存在，说明理由；（3）若ABCD 为E 的内接平行四边形（即A 、B 、C 、D 都在E 上），证明：O 为ABCD 的中心，并进一步求ABCD 面积的最大值.参考答案一. 填空题 1. 11x e + 2. 3.2 3. 4π 4. 305. 16. 1[,1]97. 2± 8. 29.10. 2+ 11. (1,)3 12. 2922k k - 二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）T π=；（2）3x π=，min ()2f x =-.18.（1）证明略；（2）1:2.19. 当AB 长5千米时，该工业园区的面积最小，最小面积为15平方千米.20.（1）证明略，1n a n =+；（2）3n ≥，*n ∈N ；（3）1λ=-.21.（1）2214x y +=；（2）8±；（3）4.。

上海市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷第二学期高三综合练习数学文科创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂进行创作单位： 明德智语学校一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，{|22,}B x x x =-<<∈R ，那么集合A B是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x的值等于（ ） A ．0.754 B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、()2203log 0x f x xx x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，，，则()()1f f -等于（ ） A ．2- B ．2 C ．4-D ．44、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2频率组距0.054x0.0061009080706050400成绩俯视图侧（左）视图正（主）视图C ．3D ．45、已知命题:p x ∀∈R ，()sin πsin x x -=；命题:q α，β均是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>．下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧6、已知x ，y 满足11y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、根据表格中的数据，可以断定函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．()12，B ．()2e ，C ．()e 3，D ．()35，8、在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =； ③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（ ）3n ≥，则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、已知向量()23a =-，，()1b λ=，，若a b∥，则λ=________．10、各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．11、阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为________．12、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且+2A C B = 若1a =，b =c 的值为________．13、过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于________．14、对定义域的任意x ，若有()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数：①1y x x =-，②log 1a y x =+，③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩ 其中满足“翻负”变换的函数是________． （写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15、（本小题共13分）已知函数)()sin sin f x x x x=-．⑴求()f x 的最小正周期；⑵当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、（本小题共13分）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）⑴求x ，y ；⑵若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．17、（本小题共14分）如图，BCD △是等边三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B'⊥．⑴求证：平面GNM ∥平面ADC '； ⑵求证：C A '⊥平面ABD ．18、（本小题共14分）已知函数()ln a f x x x=+（ ）0a >．19、（本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（ ）0a b >>的离心率e =，原点到过点()0A a ，，()0B b -，． ⑴求椭圆C 的方程；⑵如果直线1y kx =+（ ）0k ≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、（本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=（ ）*n ∈N ． ⑴求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=．数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）12152（11）4 （12）3π2 （13）4 （14）①③注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为()sin sin )f x x x x =-=21cos 2sin )2x x x -1sin(2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2T π==π2．（Ⅱ） 因为203x π<<，所以32662x πππ<+<．所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分） 解：（Ⅰ）由题意可得2992718x y ==，所以11x =，3y =． （Ⅱ）记从高二年级抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高三年级抽取的2人为1c ，2c ，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种． ……8分设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种． 因此3()0.310P A ==．故选中的2人都来自高二的概率为0.3． ………………………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为M ，N 分别是BD ，'BC 的中点， 所以//MN DC '． 因为MN ⊄平面ADC '，DC '⊂平面ADC '，所以//MN 平面ADC '． 同理//NG 平面ADC '． 又因为MN NG N =， 所以平面//GNM 平面ADC '．（Ⅱ）因为90BAD ∠=， 所以AD AB ⊥．又因为'AD C B ⊥，且'AB C B B =，所以AD ⊥平面'C AB ． 因为'C A ⊂平面'C AB ， 所以'AD C A ⊥．因为△BCD 是等边三角形，AB AD =，不防设1AB =，则BC CD BD ===可得1C A '=．由勾股定理的逆定理，可得'AB C A ⊥．A BCDMNG因为AB AD A =， 所以'C A ⊥平面ABD ． (14)分（18）（共14分）解:(Ⅰ)()ln af x x x =+，定义域为(0,)+∞,则|221()a x a f x x x x -=-=．因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈， 所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a ． (Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤0(30)x >>，所以20012a x x ≥-+对030x >>恒成立．又当00x >时,200311222x x -<-+≤,（19）（共13分）解(Ⅰ)因为2c a =，222a b c -=，所以 2a b =．因为原点到直线AB ：1x y a b -=的距离5d ==，解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164x y+=．(Ⅱ) 由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>．设11(,)E x y ，22(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ， 则1224214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+．所以21M BM M y k x k +==-．所以20M M x ky k ++=．即 224201414k k k k k -++=++．又因为0k ≠， 所以218k =．所以k =．………………………………13分（20）（共13分）解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（ ）*t ∈N ， 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====． 与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（ ）*t ∈N ， 则22n T n n a a a +==，而222n T n t n t a a a +++==从而n t n a a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数T，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=．…………13分。

绝密★启用前上海中学高三综合数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一.填空题1.不等式13x x+<的解为____ 2.函数2()(2f x x x =<-)的反函数是____3.已知b+i ､2-ai(a,b ∈R)是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根,则q=____4.将一个底面半径为4,高为2的圆锥锻造成一个球体,则此球体的表面积为____5.以3122012-⎛⎫ ⎪⎝⎭为增广“矩阵的二元一次方程组的解为x ､y,则x ､y 这两个数的等比中项为____ 6.3名男生､3名女生和2位老师站成一排拍合照,要求2位老师必须站在正中间,队伍左右两端不能同时是一男生和一女生,则总共有____种排法.7.已知函数f(2(),(),x x g x ax x ==-其中a>0,若对任意m ∈[1,2]都存在n ∈[1,2]使得f(m)f(n)=g(m)g(n)成立,则实数a 的取值集合为___.8.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:()(3)4,M x a y a -++-=过原点的动直线l 与圆M 交于A ､B 两点,若以线段AB 为直径的圆,与以M 为圆心､MO 为半径的圆始终无公共点,则实数a 的取值范围是____. 9.已知正数x ､y ､z 满足2221,x y z ++=则1z xyz+的最小值为__. 10.已知向量a b r r 、满足:|2||3|2,a b a b -=+=r r r r 则a b ⋅r r 的取值范围是___. 11.已知△ABC 的面积为1,若BC=1,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,sinA=___.12.如图,已知正四面体ABCD 的棱长为2,棱AD 与平面α所成角[,],32ππθ∈且顶点A 在平面α内,点B ､C ､D 均在平面α外,则棱BC 的中点E 到平面α的距离的取值范围是___.二.选择题13.已知集合,2{|20}A x x x =∈-++≥N ,则满足条件A ∪B=A 的集合B 的个数为()A.4B.7C.8D.16 14.已知函数()2sin()(4f x x πω=+ω>0)的图像在区间(0,1]上恰好有三个最高点,则ω的取值范围是() 1927.[,)44A ππ 913.[,)22B ππ 1725.[,)44C ππ D.[4π,6π)15.已知a ､b 为实数,则“不等式|ax+b|≤1对所有满足|x|≤1都成立”是“|a|≤1且|b|≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.已知数列{}n a 的通项为:*,,(1)(21)(1)n nx a n x x nx =∈+++L N 若1220201a a a +++L ＜,则实数x 可以等于() 2.3A - 5.12B - 13.48C - 11.60D - 三.解答题 17.已知圆柱1OO 的底面半径为1,高为π,ABCD 为圆柱的一个轴截面,动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D,其路径最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示,将轴截面ABCD 绕着1OO 轴逆时针旋转θ后,边11B C 与曲线T 交于点P.(1)求曲线Γ的长度;(2)当2πθ=时,求点1C 到平面APB 的距离.18.已知12()log f x x =,当点M(x,y)在y=f(x)的图像上运动时,点N(x-2,ny)在函()n y g x =的图像上运动*()n ∈N .(1)求()n y g x =的解析式;(2)若方程12()(2)g x g x a =-+有实根,求实数a 的取值范围.19.某地火山喷发停止后,为测量的需要,设距离喷口中心50米内的圆面为第1区,50米至100米的圆环面为第2区,…，第50(n-1)米至50n 米的圆环面为第n 区,…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000kg,第2区为平方米的平均重量较第1区减少2%,第3区又较第2区减少2%,以此类推,求:(1)求离火山口1225米处的圆环面平均每平方米的火山灰重量(精确到1kg);(2)第几区内的火山灰总重量最大?20.已知椭圆C:22 221x ya b+=(a>b>0)过点2(1,),2离心率为2,2点A､B分别是椭圆C的上､下顶点,点M是椭圆C上异于A､B的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P在直线x-y+2=0上,且3,BP BM=u u u r u u u u r求△PMA的面积;(3)过点M作斜率为k的直线分别交椭圆C于另一点N,交y轴于点D,且点D在线段OA上(不包括端点),直线NA与直线BM交于点P,求OD OP⋅u u u r u u u r的值.21.已知a为正实数,n为自然数,抛物线22nay x=-+与x轴正半轴交于点A,设直线l过点A且在y轴上的截距为f(n),已知直线l与抛物线仅有一个交点.(1)用a和n表示f(n);(2)若对所有正整数n都有33()1()11f n nf n n-≥++成立,求a的最小值;(3)当0<a<1时,试比较11()(2)nkf k f k=-∑与27(1)(1)4(0)(1)f f nf f-+⋅-的大小,并说明理由.。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题五及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-=M C U =}7,5{，则a 的值为（ ） A ．2或8- B ．8-或－2 C ．－2或8 D ．2或8 (2)复数4312i i++的实部是（ ）A ．-2B ．2C ．3D ．4(3) “sin x ＝1”是 “cos x ＝0”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 在等比数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝16，则a 8＋a 9＝(A) 128 (B) －128 (C) 256 (D) －256(5)1-=m 是直线03301)12(=++=+-+my x y m mx 和直线垂直的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (6)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点, 点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为2(7) 函数axxxxf+--=93)(23（）A．0>a B．0<a C．3010<<-a D．275<<-a(8) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S(A) 1 (B)12(C)14(D)18(9) 若实数a，b，c，满足对任意实数x，y有 x＋2y－3≤ax＋by＋c≤x＋2y＋3，则a＋2b－3c的最小值为(A) －6 (B) －4 (C) －2 (D)0(10) 设U为全集，对集合X，Y*”，X*Y＝(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则 ( X*Y)*Z＝(A) (X Y)∩Z X∩Y Z X Y )∩Z(D) ( X∩Y )∪Z二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （文科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．若复数2z i i =+（i 是虚数单位），则||z = . 2. 不等式231x ->的解集为 .3. 已知函数)10(log 1)(≠>+=a a x x f a 且　，)(1x f -是)(x f 的反函数，若)(1x fy -=的图像过点(3,4)，则a = .4. 用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料平方米（保留3位小数）. 5. 关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y += . 6. 设1e r 、2e r 是平面内一组基向量，且122a e e =+r r r 、12b e e =-+r r r ，则向量12e e +r r可以表示为另一组基向量a r 、b r 的线性组合，即12e e +=r ra +rb r .7. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为()f x = .8. 已知非负实数x 、y 满足不等式组3,2,x y x y +≤⎧⎨-≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为 .9. 正方体骰子六个表面分别刻有1~6的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为 .10. 设联结双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=（0a >，0b >）的4个顶点的四边形面积为1S ，联结其4个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为 . 11.将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .12. 已知数列{}n a 是首项为a 、公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=.若对任意的*N n ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.13. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是（ ）A ． ()1,2n =-r ； B. ()2,1n =-r ； C. ()1,2n =--r ; D. ()2,1n =r. 14. 若*Nn ∈，(1nn n b =+（n a 、n b Z ∈），则55a b +=（ ）A. 32；B. 50;C. 70;D. 120. 15. 在△ABC 中，“C B A sin sin 2cos =”是“△ABC 为钝角三角形”的 （ ）A ．必要非充分条件；B ．充分非必要条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.16. 现有两个命题：（1） 若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2） 若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ． P Q Ü； B. Q P Ü； C. P Q =； D. P Q =∅I .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.17. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，314a =. 对任意*N n ∈，向量()1,n a a =r、11,2n b a +⎛⎫= ⎪⎝⎭r 都满足a b ⊥r r ，求lim n n S →∞.18. （本题满分14分）已知复数1cos z x i =+，21sin z x i =+⋅（i 是虚数单位），且12z z -=当实数()2,2x ππ∈-时，试用列举法表示满足条件的x 的取值集合P .19.（本题满分14分）如图，圆锥体是由直角三角形AOC 绕直角边AO 所在直线旋转一周所得，2OC =.设点B 为圆锥体底面圆周上一点，60BOC ∠=︒，且ABC △的面积为3. 求该圆锥体的体积.20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，0.5BC =米.上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.EMN △是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB DC 、不重合）. （1）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S（平方米）表C第19题图示成关于x 的函数()S f x =；（3）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积.21. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知等轴双曲线222:C x y a -=（0a >）的右焦点为F ，O 为坐标原点. 过F 作一条渐近线的垂线FP 且垂足为P，OP =u u u r（1）求等轴双曲线C 的方程；（2）假设过点F 且方向向量为()1,2d =r的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，求OA OB ⋅u u u r u u u r 的值； （3）假设过点F 的动直线l 与双曲线C 交于M 、N 两点，试问：在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ⋅u u u u r u u u r为常数.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．C DNC图（2）第20题图上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （理科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期综合练习高三数学文科第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B =（A ）{2}（B ）{1,2}（C ）{0,1,2}（D ）{1,0,1,2}-解析：根据集合的基本运算性质答案为B 。

知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算 难度系数：1（2）在复平面内，复数21i-对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限 解析：22(1)11i (1)(1)_i i i i +==+--+，所以对应的点在第一象限。

知识点;推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方难度系数：2（3出的结果为0时，输入的x 值为 （A ）2或2-（B ）1-或2- （C ）1或2- （D ）2或1-解析：本程序相当于以分段函数221;02;0x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，y=0，x=1或2-，答案为C 。

知识点;算法与框图--------算法和程序框图 难度系数：2（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值是 （A ）18（B ）36（C ）54（D ）72解析：67555262()626a a a d a d a =+∴+=++∴=，195992=9=5422a a a S +⨯=⨯（）随意答案C 。

知识点;数列---------等差数列 难度系数：2（5）已知tan =2α，那么sin 2α的值是（A ）45-（B ）45（C ）35-（D ）35解析：tan =2α，α在逸散象限，4sin 2=2sin cos 2555αα•α=⨯=，所以答案B 。

知识点;三角函数--------三角函数--------同角三角函数的基本关系式；三角函数----恒等变换--------倍角公式难度系数：2（6）已知函数)(x f 在[0，+∞]上是增函数，()(||)g x f x =，若),1()(lg g x g >则x 的取值范围是（A ）(0,10)（B ）(10,)+∞ （C ）1(,10)10（D ）1(0,)(10,)10+∞ 解析;10,()()(),lg 1,10;0,()()(),lg 1,010x f x f x g x x x x f x f x g x x x >==>><=-=-><<,所以x 的范围1(0,)(10,)10+∞Z 知识点：函数与导数------基本初等函数与应用----------对数与对数函数；函数与导数---------函数-------------函数的单调性难度系数;3（7）已知点(2,0)A ，(2,4)B -，(5,8)C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是（A ）(6,7)（B ）(7,6) （C ）(5,4)--（D ）(4,5)--解析：AB 的中点坐标(0,2)，AB 的垂直平分线方程为y=x+2，设815(,)(6,7)58222y x D x y D x y -⎧=-⎪⎪-∴⎨++⎪+=⎪⎩知识点：解析几何--------直线-------两直线的位置关系 难度系数：3 （8）对任意实数a，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x k=-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（A ）(2,1)-（B ）[0,1] （C ）[2,0)-（D ）[2,1)- 解析：22224;(1)(4)1()(1)(4)1(1)(4)1x k x x f x x x k x k x x ⎧++--+≥⎪=-++=⎨-+--+<⎪⎩，；，方法一：去特殊值验证答案。

2020年上海中学高考数学综合测试试卷（2）（4月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若函数f(x)在区间[−2,2]上的图象是一条连续不断的曲线，且函数f(x)在(−2,2)上仅有一个零点，则f(−2)⋅f(2)的符号是( )A. 小于零B. 大于零C. 小于或大于零D. 不能确定2. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实(虚)线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. 64B. 643 C. 16 D. 1633. 矩阵的一种运算(a b cd)(y x)=(cx +dy ax+by )，该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩阵(a bcd)作用下变换成点(ax +by,cx +dy)，若曲线x 2+4xy +2y 2=1，在矩阵(1a b 1)的作用下变换成曲线x 2−2y 2=1，则a +b 的值为( ) A. −2 B. 2 C. ±2 D. −44. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，已知曲线C ：y =x 2，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得到的几何体为Γ.给出以下四个几何体图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积相等的是( )A. ①B. ②C. ③D. ④二、单空题（本大题共12小题，共60.0分）5. 设集合A ={x|x =√3k +1,k ∈N}，B ={x|x ≤5,x ∈Q}，则A ∩B =______．6. 若复数z 满足(3−4i)z =|4+3i|，则z 的虚部为______．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =4x 2的焦点到准线的距离为______． 8. 若x 1，x 2，⋯，x 2020的平均数为4，标准差为3，且y i =−3(x i −2)，i =1，2，⋯，2020，则新数据y 1，y 2，⋯，y 2020的标准差为______．9. (2+x)n 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则(2+x)n 的展开式中倒数第4项的系数为______．10. 某几何体的一条棱长为2，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为√3的线段，在左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则2a +b 的最大值为______．11. 已知函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)，数列a n 满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，则实数a 的取值范围是______．12. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示)． 13. 当x ∈[0,2]时，函数f(x)=ax 2+4(a −1)x −3在x =2时取得最大值，则实数a的取值范围是______ ．14. 若存在实数a 、b 使得直线ax +by =1与线段AB(其中A(1,0)，B(2,1))只有一个公共点，且不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立，则正实数p 的取值范围为______．15. 设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，与圆(x −5)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条．则r 的取值范围是______． 16. 已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中A 2>π2，若|B 2C 2|=1，则2√2|A 2B 2|+3|A 2C 2|的最大值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足：2√3asinCsinB =asinA +bsinB −csinC ．(1)求角C的大小；−B)=bcos(2kπ+A)(k∈Z)且a=2，求△ABC的面积．(2)若acos(π218.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λ(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C−AE−D的大小为60°，求λ的值．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设关系：C(x)=k3x+5f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式．(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20.已知椭圆Γ：a2b2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点：(1)求椭圆Г的方程：(2)设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：1OA2+1OB2为定值：(3)设点C在Γ上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD距离为常数d(0<d<2)，求动点D的轨迹方程：21.数列{a n}的各项均为正数，a1=t，k∈N∗，k≥1，p>0，a n+a n+1+a n+2+⋯+a n+k=6p n(1)当k=1，p=5时，若数列{a n}是成等比数列，求t的值；(2)当t=1，k=1时，设T n=a1+a2p +a3p2+⋯+a n−1p n−1+a np n−1，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列1+ppT n−a np n−6n是一个常数；(3)设数列{a n}是一个等比数列，求t(用p，k的代数式表示)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：当f(x)=x 时，f(−2)⋅f(2)<0， 当f(x)=x 2时，f(−2)⋅f(2)>0， 当f(x)=sin(π2x)时，f(−2)⋅f(2)=0， 故选：D ．由题意举例f(x)=x ，f(x)=x 2，f(x)=sin(π2x)，从而解得． 本题考查了函数的零点的判定定理的应用．2.【答案】D【解析】 【分析】本题考查三视图求几何体的体积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积，由椎体的体积公式求出该多面体的体积． 【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D −ABC 、为棱长为4的正方体一部分， 直观图如图所示：B 是棱的中点， 由正方体的性质得，CD ⊥平面ABC ， △ABC 的面积S =12×2×4=4， 所以该多面体的体积V =13×4×4=163，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：设(x,y)是曲线x 2+4xy +2y 2=1的点，在矩阵(1a b 1)的作用下的点为(x′,y′)，即{x′=x +ay y′=bx +y，又x′2−2y′2=1， ∴(x +ay)2−2(bx +y)2=1，(1−2b 2)x 2+(2a −4b)xy +(a 2−2)y 2=1． 故{1−2b =12a −4b =4a 2−2=2，解得：a =2，b =0， ∴a +b =2． 故选：B ．设(x,y)是曲线x 2+4xy +2y 2=1的点，在矩阵(abc d)的作用下的点为(x′,y′)，得出关于a ，b 的方程组，从而解决问题．本题主要考查几种特殊的矩阵变换、曲线与方程等基础知识，考查运算求解能力，解答的关键是利用待定系数法求解a ，b ；属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设直线y =t ，与y =x 2交于(√t,t)，0≤t ≤1， 切线的斜率为2，切线方程为y =2x −1， y =t 与y =2x −1交于(t+12,t)，用平行于底面的平面截几何体Γ所得的截面为圆环， 截面面积为π(t 2+2t+14−t)=π⋅(t−1)24，对于图①，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到圆的截面， 且圆的半径为12(t −1)，可得截面面积为π⋅(t−1)24，符合题意；对于图②，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 截面积为大圆面积去掉一个小圆面积，且面积为14π−14πt 2，不符合题意； 对于图③，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到正方形截面，不符合题意； 对于图④，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 且面积为π⋅(t+12)2−πt 2=π(1−t)(1+3t)4，不符合题意．综上可得四个几何体中与Γ的体积相等的是图①． 故选：A ．求得切线方程，设直线y =t ，求得与切线的交点和抛物线的交点，可得截面面积，分别用平行于下底面且距离为t 的平面截四个几何体，求得截面面积，由祖暅原理，可得结论．本题考查祖暅原理的理解和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．5.【答案】{1,2，4，5}【解析】解：∵A={x|x=√3k+1,k∈N}，B={x|x≤5,x∈Q}，∴A∩B={1,2，4，5}．故答案为：{1,2，4，5}．进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】45【解析】解：∵|4+3i|=√42+32=5．由(3−4i)z=|4+3i|，得(3−4i)z=5，即z=53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=5(3+4i)25=35+45i．∴z的虚部为45．故答案为：45．首先求出|4+3i|，代入后直接利用复数的除法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.【答案】18【解析】解：抛物线y=4x2的焦点到其准线的距离为：p=18．故答案为：18．利用抛物线方程求出p，即可得到结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．8.【答案】9【解析】解：∵x1，x2，⋯，x2020的标准差为3，∴x1，x2，⋯，x2020方差为9，∵y i=−3(x i−2)，i=1，2，⋯，2020，∴新数据y1，y2，⋯，y2020的方差为(−3)2×9=81，即标准差为√81=9．故答案为：9．根据已知条件，结合方差的线性公式，即可求解．本题主要考查了方差的线性公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9.【答案】280【解析】【分析】本题考查二项式定理，考查二项式展开式的通项公式，是基础题．由已知求得n=7，求出展开式的第5项得答案．【解答】解：由展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，得C n2=C n5，得n=7．∴(2+x)n=(2+x)7，(2+x)7的展开式中倒数第4项为T5=C74⋅23⋅x4=280x4．∴展开式中倒数第4项的系数为280．故答案为：280．10.【答案】5【解析】解：根据题意，将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，则设长方体的长为x，高为y，宽为z，所以x2+y2+z2=4，x2+y2=3，y2+z2=a2，x2+z2=b2，变形，可得a 2+b 2=5，设a =√5cosθ，b =√5sinθ，(0<θ<π2)，则2a +b =2√5cosθ+√5sinθ=5sin(θ+α)(其中tanα=2)， 当tanθ=12，即a =2b =1时，2a +b 取得最大值，且其最大值为5． 故答案为：5．根据题意，将棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，则三视图中的三个投影，是三个面的对角线；设出长宽高，分析可得a 2+b 2=5，再设a =√5cosθ，b =√5sinθ，则有2a +b =2√5cosθ+√5sinθ，由此可得答案．本题考查几何体的三视图，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．11.【答案】(2,3)【解析】解：∵数列{a n }是递增数列， 又∵f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)a n =f(n)(n ∈N ∗)， ∴1<a <3且f(7)<f(8)∴7(3−a)−3<a 2解得a <−9，或a >2 故实数a 的取值范围是(2,3) 故答案为：(2,3)由函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)，数列a n 满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，我们易得函数f(x)={(3−a)x −3 (x ≤7)a x−6 (x >7)为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a >1，且3−a >0，且f(7)<f(8)，由此构造一个关于参数a 的不等式组，解不等式组即可得到结论． 本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n ∈N ∗时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f(7)<f(8)，从而构造出关于变量a 的不等式是解答本题的关键．12.【答案】23【解析】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球，三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有C32×C31×C21=18种，其中C32表示3个同学中选2个同学选择的项目，C31表示从三种组合中选一个，C21表示剩下的一个同学有2种选择，故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是1827=23，故答案为：23．先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．13.【答案】[23,+∞)【解析】解：对称轴为x=2−2aa，1)当a>0时，要使x=2时候取得最大值，则2−2aa ≤1，解得a≥23，2)当a=0时，f(x)=−4x−3，x=0时候取得最大值，不符合题意，3)当a<0时，要使x=2时候取得最大值，则2−2aa ≥2，a≥12，与a<0相悖．综上所述a的取值范围为[23,+∞)．故答案为：[23,+∞)．分a>0，a=0，a<0三种情况进行讨论，然后根据x的范围结合图象进行求解．本题考查二次函数的图象和性质，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．14.【答案】[1,+∞)【解析】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A(1,0)，B(2,1)在直线ax+by=1的两侧，∴(a−1)(2a+b−1)≤0，即{a −1≤02a +b −1≥0，或{a −1≥02a +b −1≤0； 画出它们表示的平面区域，如图所示．a 2+b 2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O 到直线2x +y −1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d min =1√5那么a 2+b 2的最小值为：d 2=15．由于存在实数a 、b 使得不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立， ∴(1sin 2θ+pcos 2θ)min ≥20(a 2+b 2)min =4， ∵θ∈(0,π2)，∴sinθ，cosθ∈(0,1)．∴1sin 2θ+pcos 2θ=(sin 2θ+cos 2θ)(1sin 2θ+pcos 2θ)=1+p +cos 2θsin 2θ+psin 2θcos 2θ≥1+p +2√cos 2θsin 2θ⋅psin 2θcos 2θ=1+p +2√p ，当且仅当tan 2θ=√p时取等号．∴1+p +2√p ≥4，p >0，解得1≤p ． ∴tanθ=1，即θ=π4时取等号． 故答案为：[1,+∞)．直线ax +by =1与线段AB 有一个公共点，可知：点A(1,0)，B(2,1)在直线ax +by =1的两侧，因此(a −1)(2a +b −1)≤0.画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O 到直线2x +y −1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得d min =√5由于存在实数a 、b 使得不等式1sin 2θ+pcos 2θ≥20(a 2+b 2)对于任意θ∈(0,π2)成立，可得(1sin2θ+pcos2θ)min≥20(a2+b2)min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．本题考查了函数图象与性质、线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】2<r<4【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得(y1+y2)(y1−y2)=4(x1−x2)，当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以y0x0−5=−1k，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴−2√3<y0<2√3，∵M在圆上，∴(x0−5)2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4<r2<16，故2<r<4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2<r<4，故答案为：2<r<4．先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2√3，所以交点与圆心(5,0)的距离为4，即可得出结论．本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题16.【答案】√10【解析】 【分析】本题主要考查了诱导公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 由已知结合诱导公式，三角形内角和定理可解得A 2=3π4，由正弦定理可得b 2=√2sinB 2，c 2=√2sin(π4−B 2)，利用三角函数恒等变换的应用化简所求，利用正弦函数的性质可求最大值． 【解答】解：∵锐角△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值， ∴不妨设：cosA 1=sinA 2，cosB 1=sinB 2，cosC 1=sinC 2， 又A 2>π2，为钝角，则B 2，C 2为锐角，结合诱导公式可知：A 2=A 1+90°，B 2=90°−B 1，C 2=90°−C 1， 由三角形内角和定理可得：A 2+B 2+C 2=180°， 解得：A 1=π4.A 2=3π4，∵|B 2C 2|=1， ∴由正弦定理可得：c 2sin(π4−B 2)=b 2sinB 2=√22=√2，可得：b 2=√2sinB 2，c 2=√2sin(π4−B 2)， ∴2√2|A 2B 2|+3|A 2C 2|=2√2c 2+3b 2=4√2sin(π4−B 2)+3√2sinB 2=4(√22cosB 2−√22sinB 2)+3√2sinB 2=2√2cosB 2+√2sinB 2 =√10sin(B 2+φ)≤√10，故答案为：√10．17.【答案】解：(1)2√3asinCsinB =asinA +bsinB −csinC ．∴由正弦定理a 2+b 2−c 2=2√3absinC 即cosC =a 2+b 2−c 22ab =2√3absinC2ab=√3sinC ，即tanC =sinCcosC =√3sinC=√33， 则C =π6，(2)∵acos(π2−B)=bcos(2kπ+A)(k ∈Z)，∴asinB =bcosA ， 即sinAsinB =sinBcosA ， ∵sinB ≠0，∴sinA =cosA ，即tanA =1， 则A =π4，B =π−π6−π4， ∵a =2， ∴asin π4=csin π6得2√22=c12，得c =√2，则三角形的面积S =12acsinB =12×2×√2sin(π6+π4)=√2(12×√22+√32×√22)=1+√32．【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理建立方程关系进行求解即可．(2)根据条件求出A 的大小，结合正弦定理求出c 的值，结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面积，两角和差的正弦公式进行转化求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力．18.【答案】解：以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0，0)，A(a,0，0)，B(a,a ，0)，C(0,a ，0)，E(0,0，λa)， (1)证明：∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,λa)，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，−λa)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，−λa)． ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a ，0)⋅(−a ，−a ，λa) =a 2−a 2+0⋅λa =0，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ． (2)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，0)为平面ADE 的一个法向量． 设平面ACE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则n ⃗ ⊥EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⊥EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴即{ax −aλz =0ay −aλz =0, 取z =1，得n⃗ =(λ,λ,1)．∴cos60°=√2λ2+1⇔√2λ2+1=2|λ|．由λ∈(0,1]，解得λ=√22．【解析】本题主要考查了二面角及其度量，以及空间中直线与直线之间的位置关系，属于中档题．(1)以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，计算向量的数量积，只要说明数量积与λ无关即可； (2)分别求出平面ADE 与平面ACE 的一个法向量，利用二面角C −AE −D 的大小为60°建立两法向量的关系式，求出λ的值即可．19.【答案】解：(Ⅰ)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5． 再由C(0)=8，得k =40， 因此C(x)=403x+5． 而建造费用为C 1(x)=6x ，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C 1(x)=20×403x +5+6x =8003x +5+6x(0≤x ≤10) (Ⅱ)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6． 解得x =5，x =−253(舍去)．当0<x <5时，f′(x)<0，当5<x <10时，f′(x)>0，故x =5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】(I)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C(0)=8，得k =40，进而得到C(x)=403x+5.建造费用为C 1(x)=6x ，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式． (II)由(1)中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：(1)∵椭圆Γ：a2b2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点，∴b=c=√2，∴a=√2+2=2，∴椭圆Г的方程为x24+y22=1．证明：(2)设A(x0,y0)，则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B(−2y0x,2)，∴1OA2+1OB2=1x02+y02+14y02x02+4=4+x024(x02+y02)=4+x024(x02+2−x022)=12，∴1OA2+1OB2为定值12．解：(3)设C(x0,y0)，D(x,y)，由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，①又C点在椭圆上，得：x024+y022=1，②联立①②，得：x02=4y22x2+y2，y02=4x22x2+y2，③由OC⊥OD，得OC⋅OD=CD⋅d，∴OC2⋅OD2=(OC2+OD2)⋅d2，∴1d2=1OC2+1OD2=1x02+y02+1x2+y2=14x22x2+y2+4y22x2+y2+1x2+y2=2x2+y2+44(x2+y2)，化简，得D点轨迹方程为：(1d2−12)x2+(1d2−14)y2=1．【解析】(1)由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出椭圆Г的方程．(2)设A(x0,y0)，则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B(−2y0x0,2)，由此能证明1OA2+1 OB2为定值12．(3)设C(x0,y0)，D(x,y)，由OC⊥OD，得x0x+y0y=0，又C点在椭圆上，得：x024+y022=1，从而x02=4y22x2+y2，y02=4x22x2+y2，由此能求出D点轨迹方程．本题考查椭圆方程的求法，考查代数式和为定值的证明，考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质及椭圆与直线的位置关系的合理运用．21.【答案】解：(1)a n+a n+1=6⋅5n，a n+1+a n+2=6⋅5n+1，…(2分)设等比数列(a n}的公比是q，则a n+a n+1=6⋅5n⋅5，∴q=5，…(4分)n=1时，t+5t=30，∴t=5.…(5分)(2)证明：∵n是任意的正整数，当n=1时，a1+a2p=6P1=6，依此类推，当n取n−1项时，a n−1+a np n−1=6p np n−1=6，∴T n=a1+a2p +a3p2+⋯+a n−1p n−2+a np n−1，1 p T n=a1p+a2p2+a3p3+⋯+a n−1p n−2+a np n=a1+a1+a2p +a2+a3p2+⋯+a n−1+a np n−1+a np n，…(7分)∴(1+1p )T n=2a1+a1+2a2p+a2+2a3p2+⋯+a n−1+2a np n−1+a np n=a1+6n−6+a np n，…(9分)∴1+pp T n−a nP n−6n=a1−6=−5.…(10分)(3)a n+a n+1+a n+2+⋯+a n+k=6p n，a n+1+a n+2+a n+3+⋯+a n+1+k=6p n+1，…(11分)数列{a n}是一个等比数列，所以求出公比为p，…(13分)∴t(p n−1+p n+⋯+p n+k−1)=6p n，…(15分)项数为n+k−1−(n−1)十1=k+1项，当p=1时，t(k+1)=6，∴t=6k+1，…(16分)当p≠1，且p>0时，t p n−1(1−p k+1)1−p=6p n，∴t=6p(1−p)1−p k+1.…(17分)【解析】(1)由a n+a n+1=6⋅5n，a n+1+a n+2=6⋅5n+1，得到等比数列(a n}的公比q= 5，由此能求出t的值．(2)T n =a 1+a 2p+a 3p 2+⋯+a n−1p n−2+a n p n−1，1p T n =a 1+a 1+a 2p+a 2+a 3p 2+⋯+a n−1+a n p n−1+anp n ，由此能够证明1+p pT n −a n P n−6n =a 1−6=−5．(3)a n +a n+1+a n+2+⋯+a n+k =6p n ，a n+1+a n+2+a n+3+⋯+a n+1+k =6p n+1，数列{a n }是一个等比数列，所以求出公比为p ，由此能求出t ．本题考查数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期高三期中练习数学理科创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合}21{≤<-=x x P ，}01{>-=x x Q ，则=Q PA ．}11|{<<-x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≤<-x xD ．}1|{->x x2．若向量a =（1，—1），b =（—1，1），c =（5，1），则c +a+b =A ．aB ．bC ．cD ．a+b 3．抛物线24y x =-的准线方程是 A ．116x =B ．1x =C ．1y =D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶 图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方 差为A ．647B ．9C ．738D ．7806．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为A．4B．32C ．22D．37．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．827B．271C．2627D．15278．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图所示在x轴，y轴平行方向来回运动（即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0) →(2,0) ……），若每秒运动一个单位长度，那么第秒时，这个粒子所在的位置为A．（16,44）B．（15,44）．C．（14,44）D．（13,44）第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．函数sin cosy x x=的最小正周期为.10．经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标y方程为_.11．如图，是计算111124620++++的值的一个程序框 图，其中判断框内应填入的条件是. 12．若函数2)(3++-=cx x x f )(R c ∈，则/3()2f -、/(1)f -、/(0)f 的大小关系是_.13．如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则=BD _. 14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)0(-=f ，则函数x x f x g +=)()(的零点个数为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共12分）已知函数)2sin()42cos(21)(x x x f --+=ππ． （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）求)(x f 在区间[,)42ππ-上的最大值与最小值．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面ABCD 是矩形，M 、N 分别是CD 、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD ，SA =AD =1，AB =2．. .'OCO BD A（I ）求证：MN ⊥平面ABN ；（II ）求二面角A —BN —C 的余弦值． 17．（本小题满分13分）已知函数()32331f x ax x a=-+-(R a ∈,且0)a ≠，求)(x f '及函数)(x f 的极大值与极小值．18．（本小题满分13分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选． （I ）求甲答对试题数ξ的分布列及数学期望； （II ）求甲、乙两人至少有一人入选的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率32e =，一个焦点的坐标为()3,0．（I ）求椭圆C 方程；（II ）设直线1:2l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ．当m 变化时，求TAB ∆面积的最大值．20．（本小题满分14分）当n p p p ,,,21 均为正数时，称np p p n+++ 21为n p p p ,,,21 的“均倒数”．已知数列{}n a 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为121+n ．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12+=n a c nn ，试判断并说明()*1n n c c n N +-∈的符号； （Ⅲ）已知(0)na nb t t =>，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，试求1n nS S +的值；（Ⅳ）设函数124)(2+-+-=n a x x x f n，是否存在最大的实数λ，使当λ≤x 时，对于一切正整数n ，都有0)(≤x f 恒成立？参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. π10. 2cos ρθ= 11.20n ≤12./(0)f ＞/(1)f -＞/3()2f -13. 814.3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15. （本小题共12分） 解：（Ⅰ）由题意 0)2sin(≠-x π⇒Z k k x ∈≠-,2ππ⇒Z k k x ∈+≠,2ππ故所求定义域为{Z k k x x ∈+≠,2|ππ} (4)分（Ⅱ）x x x x x x f cos 2sin 2cos 1)2sin()42cos(21)(++=--+=ππxx x x cos cos sin 2cos 22+=x x sin 2cos 2+=)4sin(22π+=x …………9分3,04244x x ππππ-≤<∴≤+<，…………10分∴当04x π+=即4x π=-时，min ()0f x =；当42x ππ+=即4x π=时，max ()f x =．……12分16．（本小题满分14分）解：（I ）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，1，0），D （0，1，0），S （0，0，1）(图略)).21,21,22(),0,1,22(N M ∴……………………2分 ).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(==-=∴…………………………4分∴MN ⊥平面ABN .……………………………………………………………………7分（II ）设平面NBC 的法向量.,),,,(SC n BC n c b a n ⊥⊥=则且又易知 令a =1，则).2,0,1(= (11)分显然，)21,21,0(-=MN 就是平面ABN 的法向量.由图形知，二面角A —BN —C 是钝角二面角…………………………………12分.33---∴的余弦值是二面角C BN A ……………………………………14分 17．（本小题满分13分）解：由题设知)2(363)(,02ax ax x ax x f a -=-='∴≠………………2分令2()00f x x x a'===得 或……………………………4分 当0a >时，随x 的变化，()/f x 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a ==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小……………8分 当0a <时，随x 的变化，()'f x 与()f x 的变化如下：∴()()301f x f a ==-极大，()22431f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭极小…………………12分 综上，当0a >时，()31f x a =-极大，()2431f x a a=--+极小； 当0a <时，()31f x a=-极大，()2431f x a a=--+极小.……………13分 18．（本小题满分13分）解：（I ）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3，…………………1分则,301)0(31034===C C P ξ.61)3(31036===C C P ξ…………………………………………………5分ξ∴的分布列为…………………… 6分 甲答对试题数ξ的数学期望为.5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………7分 （II ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则.15141205656)(310381228=+=+=C C C C B P ………………………………9分 因为事件A 、B 相互独立，∴ 甲、乙两人考试均不合格的概率为.451]15141][321[)()()(=--=⋅=⋅B P A P B A P ………………………11分∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544…………………13分 另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.454419．（本小题满分14分）解法一：（I ）依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=)0(>>b a,2=∴a ………………3分 ,1222=-=c a b ………………4分 (9)…………10分∴椭圆C 的方程是2214x y +=………………5分（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y()21212012002,22 111,,2221,2x x m x x m AB x x x m y x m m M m m +=-=-====+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭则(),0,1012,1233,,044MT AB T t mMT AB k k t m t m T m -⊥∴⋅=⋅=-+⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭设解得………………11分.1)1(8522+--=m ………………13分 22<<-m ，∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为.85………………14分解法二：（I ）同解法一（II ）221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由 设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y212122,22x x m x x m ∴+=-=-………………8分()01200111,,2221,2x x x m y x m m M m m =+=-=+=⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………10分MT∴的方程为322y x m =--令0y =，得34x m =-，3,04T m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭………………9分设AB 交x 轴与点R,则()2,0R m -.||45||m TR =∴ ………………11分 ,852)2(8522=-+⋅≤m m ………………13分 ∴当21m =，即1m =±时，TAB S ∆取得最大值为.85…………14分20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）121(21)n n a a a a n n -++⋅⋅⋅++=+,121(1)(21)n a a a n n -++⋅⋅⋅+=--，两式相减，得41(2)n a n n =-≥ . 又111211a =⨯+，解得 13411a ==⨯- , ∴ 41()n a n n N +=-∈ . ………4分 （Ⅱ）∵4132212121n n a n c n n n -===-+++, 11322323n n a c n n ++==-++ , ∴1332123n n c c n n +-=-++＞0， 即1n n c +＞c .………7分（Ⅲ）∵41()na n nb t t t -==＞0,∴374112n n n S b b b t t t -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，当1t =时,n S n = ,11n n S n S n++=; ………8分 当t ＞0且1t≠时, 344(1)1n n t t S t -=-，441411n n nn S t S t ++-=-. ………10分创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 综上得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>--=+=++1,0,111,14441t t tt t n n S S n n n n ………11分 （Ⅳ）由（Ⅱ）知数列 {}n c 是单调递增数列,11c =是其的最小项，即11n c c ≥=．假设存在最大实数,使当x λ≤时,对于一切正整数n ,都有2()4021n a f x x x n =-+-≤+ 恒成立，则2421n n a x x c n -+≤=+ ()n N +∈．只需2141x x c -+≤=，即2410x x -+≥．解之得2x ≥+或2x ≤-,可取2λ=………14分。