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课时规范练 A 组 基础对点练1．将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝－2sin x B ．f (x )＝2sin x C ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：将y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ＝－2sin x cos x 的图象，所以f (x )＝－2sin x ，故选A. 答案：A2．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π12解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π6－2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.因为函数在图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6符合，故选A. 答案：A3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos(2x ＋π2)B ．y ＝sin(2x ＋π2)C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 答案：A4．若先将函数y ＝sin(4x ＋π6)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度，则所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：由题意知变换后的图象对应的函数解析式为y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x ，易知其一条对称轴的方程为x ＝π2，故选D.答案：D5．三角函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( ) A.3，π2B.3，πC.2，π2D.2，π解析：f (x )＝sin π6cos 2x －cos π6sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos 2x －12sin 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选B. 答案：B6．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，所以将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.故选D. 答案：D7．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象关于直线x ＝π6对称，则ω的最小值是( ) A ．6 B.23 C.94D.32解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π2个单位长度，可得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ2的图象．因为所得图象关于直线x ＝π6对称，所以ω·π6－ωπ2＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω＝－32－3k ，k ∈Z.因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值32，故选D.答案：D8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎫x －π6的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6.因为所得的函数图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈N)，即m ＝k π＋π6(k ∈N)，所以m 的最小值为π6，故选B.答案：B9．(2018·云南师大附中调研)若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0，x ∈R ，又f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为3π2，则ω的值为( )A.13B.23C.43D ．2解析：由题意知f (x )＝2sin(ωx －π3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为T 4＝3π2，所以T ＝6π，所以ω＝13，故选A.答案：A10．已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的部分图象如图所示，f (x 0)＝－f (0)，则正确的选项是( )A ．φ＝π6，x 0＝1B ．φ＝π6，x 0＝43C ．φ＝π3，x 0＝1D ．φ＝π3，x 0＝23解析：因为f (0)＝cos φ＝32⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，将x 0＝1代入可得cos 7π6＝－32，满足题设条件，故选A.答案：A11．(2018·湖南常德一中调研)已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：由题意知g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin(2x －π6)，令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k 2π，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π3，即函数g (x )的图象的一条对称轴的方程为x ＝π3，故选C. 答案：C12．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x ·cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. 答案：113．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．答案：2π314．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝__________.解析：由图象得周期T ＝23×⎝⎛⎭⎫13π4－π4＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．∵x ＝π4是函数增区间上的零点，∴π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，∴φ＝－π4＋2k π(k∈Z)．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋2k π， ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋2k π＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－ 2. 答案：－ 215．已知函数y ＝g (x )的图象由f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ的值为__________．解析：函数f (x )＝sin 2x 的图象在y 轴右侧的第一条对称轴为x ＝π4，直线x ＝π8关于x ＝π4对称的直线为x ＝3π8.由图象可知，图象向右平移之后，横坐标为3π8的点平移到横坐标为17π24的点，所以φ＝17π24－3π8＝π3.答案：π3B 组 能力提升练1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的最小正周期是π，若将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0,1)，则函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( )A ．在区间[－π6，π3]上单调递减B ．在区间[－π6，π3]上单调递增C ．在区间[－π3，π6]上单调递减D ．在区间[－π3，π6]上单调递增解析：依题意得ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)，平移后得到函数y ＝sin(2x ＋φ＋2π3)的图象，且过点P (0,1)，所以sin(φ＋2π3)＝1，因为－π<φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝sin(2x －π6)，易知函数f (x )在[－π6，π3]上单调递增，故选B.答案：B2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为( ) A.3π4 B.3π8 C.π4D.π8解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图象，则由π4＋φ＝k π＋π2，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)，所以φ的最小值为π4，故选C.答案：C3．(2018·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A ．3 B.32 C.43D.23解析：将f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后得到图象的函数解析式为y ＝2sin[ω(x －2π3)＋π6]－1＝2sin(ωx －2ωπ3＋π6)－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象． 答案：B5．已知函数f (x )＝sin 2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R.若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，18]B ．(0，14]∪[58，1)C ．(0，58]D ．(0，18]∪[14，58]解析：f (x )＝12(1－cos ωx )＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx ＝22sin(ωx －π4)，当ω＝12时，f (x )＝22sin(12x －π4)，x ∈(π，2π)时，f (x )∈(12，22]，无零点，排除A ，B ；当ω＝316时，f (x )＝22sin(316x －π4)，x ∈(π，2π)时，0∈f (x )，有零点，排除C ，故选D. 答案：D6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎫5π3，0解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x ) max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3. 答案：A7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z)．又f (x )在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在(π18，5π36)上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. 答案：B8．(2018·郑州模拟)函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称解析：由题意得，g (x )＝－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin 2x .A.最大值为1正确，而g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；B.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g (x )单调递减，显然g (x )是奇函数，故B 正确；C.当x ∈⎝⎛⎭⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝⎛⎭⎫－3π4，π4，此时不满足g (x )单调递增，也不满足g (x )是偶函数，故C 错误；D.周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称．故选B. 答案：B9．(2018·河北衡水中学调研)已知点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，则函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1的最小正周期和最小值分别为( )A ．2π，－32B ．π，－32C ．π，－52D ．2π，－52解析：因为点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，所以a 2＋b 2＝1，可设a ＝cos φ，b ＝sin φ，代入原函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a 2－1，得f (x )＝cos φcos 2x ＋sin φsin x cos x －12cos φ－1＝12cosφ(2cos 2x －1)＋12sin φsin 2x －1＝12cos φcos 2x ＋12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－32，故选B.答案：B10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 答案：B11．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝__________.解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.答案：14312．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ⎝⎛⎭⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的最大值是__________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18.答案：5π1813．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2， 即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π214．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由图象可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2， ∴ω＝2，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，∴φ＝π4.又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，逆境给人宝贵的磨炼机会。
课时作业 A 组——基础对点练1．将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图像，则f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝－2sin x B ．f (x )＝2sin x C ．f (x )＝22sin 2x D ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：将y ＝cos 2x 的图像向左平移π4个单位长度后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ＝－2sin x cos x 的图像，所以f (x )＝－2sin x ，故选A. 答案：A2．(2018·福州市质检)要得到函数f (x )＝sin 2x 的图像，只需将函数g (x )＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移12个周期B ．向右平移12个周期C ．向左平移14个周期D ．向右平移14个周期解析：因为f (x )＝sin 2x ＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π4)]，且函数g (x )的周期为2π2＝π，所以将函数g (x )＝cos 2x 的图像向右平移π4个单位长度，即向右平移14个周期，得到函数f (x )＝sin 2x 的图像，故选D. 答案：D3．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos(2x ＋π2)B ．y ＝sin(2x ＋π2)C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图像向左平移π3个单位长度，所得图像经过点(2π3，0)，则ω的最小值是( ) A.32B ．2C ．1D.12解析：依题意得，函数f (x ＋π3)＝sin ω(x ＋π3)(ω＞0)的图像过点(2π3，0)，于是有f (2π3＋π3)＝sinω(2π3＋π3)＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，选C. 答案：C5．三角函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( ) A.3，π2B.3，πC.2，π2D.2，π解析：f (x )＝sin π6cos 2x －cos π6sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin 2x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos 2x －12sin 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选B. 答案：B6．(2018·石家庄市质检)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos 2x ，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[π12，7π12]B ．[－5π12，π12]C ．[－π3，2π3]D ．[－π6，5π6]解析：f (x )＝sin(2x ＋π6)＋c os 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin(2x＋π3)．由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以f (x )的一个单调递减区间为[π12，7π12]，故选A.答案：A7．将函数y ＝3cos x ＋s in x (x ∈R)的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图像的函数解析式为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6.因为所得的函数图像关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈N)，即m ＝k π＋π6(k ∈N)，所以m 的最小值为π6，故选B.答案：B8．若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0，x ∈R ，又f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为3π2，则ω的值为( ) A.13 B.23 C.43D ．2解析：由题意知f (x )＝2sin(ωx －π3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为T 4＝3π2，所以T ＝6π，所以ω＝13，故选A.答案：A9．已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)，若将它的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，则函数g (x )的图像的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：由题意知g (x )＝2sin[2(x －π6)＋π6]＝2sin(2x －π6)，令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3＋k 2π，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π3，即函数g (x )的图像的一条对称轴的方程为x ＝π3，故选C. 答案：C10．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x ·cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. 答案：111．(2018·昆明市检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)，A ，B 是函数y ＝f (x )图像上相邻的最高点和最低点，若|AB |＝22，则f (1)＝________. 解析：设f (x )的最小正周期为T ，则由题意，得22＋(T 2)2＝22，解得T ＝4，所以ω＝2πT＝2π4＝π2，所以f (x )＝sin(π2x ＋π3)，所以f (1)＝sin(π2＋π3)＝sin 5π6＝12.答案：1212．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像如图所示，则f (0)的值为________．解析：由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图像可知，其最小正周期T ＝2π，则ω＝1.又f (－3π4)＝sin(－3π4＋φ)＝0,0＜φ＜π，∴φ＝3π4，∴f (0)＝sin 3π4＝sin(π2＋π4)＝cos π4＝22.答案：2213．已知函数y ＝g (x )的图像由f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到，这两个函数的部分图像如图所示，则φ的值为__________．解析：函数f (x )＝sin 2x 的图像在y 轴右侧的第一条对称轴为x ＝π4，直线x ＝π8关于x ＝π4对称的直线为x ＝3π8.由图像可知，图像向右平移之后，横坐标为3π8的点平移到横坐标为17π24的点，所以φ＝17π24－3π8＝π3.答案：π3B 组——能力提升练1．(2018·广州市检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在(0，π4)上单调递减B ．f (x )在(π8，3π8)上单调递减C ．f (x )在(0，π4)上单调递增D ．f (x )在(π8，3π8)上单调递增解析：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在(π8，3π8)上单调递增，故选D.答案：D2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的最小值为( ) A.3π4 B.3π8 C.π4D.π8解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(φ>0)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，则由π4＋φ＝k π＋π2，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)，所以φ的最小值为π4，故选C.答案：C3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)－1(ω>0)的图像向右平移2π3个单位长度后与原图像重合，则ω的最小值是( ) A ．3 B.32 C.43D.23解析：将f (x )的图像向右平移2π3个单位长度后得到图像的函数解析式为y ＝2sin[ω(x －2π3)＋π6]－1＝2sin(ωx －2ωπ3＋π6)－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A. 答案：A4．若关于x 的方程2sin(2x ＋π6)＝m 在[0，π2]上有两个不等实根，则m 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．[0,2]C ．[1,2)D ．[1，3]解析：2sin(2x ＋π6)＝m 在[0，π2]上有两个不等实根等价于函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)的图像与直线y ＝m 有两个交点．如图，在同一坐标系中作出y ＝f (x )与y ＝m 的图像，由图可知m 的取值范围是[1,2)． 答案：C5．函数f (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2－33x －π(x ∈[－11π12，19π12])所有零点之和为( )A.2π3 B.4π3 C ．2πD.8π3解析：函数f (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2－33x －π(x ∈[－11π12，19π12])的零点可转化为函数g (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2与h (x )＝33x －π的交点的横坐标g (x )＝cos(2x －2π3)＋4cos 2x －2＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin(2x ＋π3)，h (x )＝33x －π＝1x －π3，可得函数g (x )，h (x )的图像关于点(π3，0)对称．函数g (x )，h (x )的图像如图所示．结合图像可得在区间[－11π12，19π12]上，函数g (x )，h (x )的图像有4个交点，且关于点(π3，0)对称．所有零点之和为2×π3＋2×π3＝4π3，故选B.答案：B6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎫5π3，0解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，将各选项代入验证，可知选A. 答案：A7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z)．又f (x )在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在(π18，5π36)上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. 答案：B8．(2018·衡水中学调研)已知点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，则函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a2－1的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－32B ．π，－32C ．π，－52D ．2π，－52解析：因为点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1上，所以a 2＋b 2＝1，可设a ＝cos φ，b ＝sin φ，代入原函数f (x )＝a cos 2x ＋b sin x cos x －a 2－1，得f (x )＝cos φcos 2x ＋sin φsin x cos x －12cos φ－1＝12cosφ(2cos 2x －1)＋12sin φsin 2x －1＝12cos φcos 2x ＋12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－32，故选B.答案：B9．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图像向右平移π3个单位后得到的图像关于原点对称，则函数f (x )的图像( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图像向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图像，又g (x )的图像关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 答案：B10．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎫π6＝f ⎝⎛⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝__________.解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 答案：14311．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ⎝⎛⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的最大值是__________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，解得2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18.答案：5π1812．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，因为函数f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin(ω2＋π4)＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2， 即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π213．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由图像可知，T ＝2⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2， ∴ω＝2，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z.又|φ|＜π2，∴φ＝π4.又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，∴A ＝1，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 3。
第四节二次函数的图象与性质姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2019·荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．32．(2019·温州)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2 3．(2019·湖州)已知a，b是非零实数，|a|>|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是( )4．(2019·河池)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中错误的是( )A ．ac ＜0B ．b 2－4ac ＞0C ．2a －b ＝0D ．a －b ＋c ＝05．(2019·梧州)已知m ＞0，关于x 的一元二次方程(x ＋1)(x －2)－m ＝0的解为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是( ) A ．x 1＜－1＜2＜x 2 B ．－1＜x 1＜2＜x 2 C ．－1＜x 1＜x 2＜2 D ．x 1＜－1＜x 2＜26．(2019·贵阳)在平面直角坐标系内，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y ＝12x ＋12上．若抛物线y ＝ax 2－x ＋1(a≠0)与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．a≤－2B ．a<98C ．1≤a<98或a≤－2D ．－2≤a<987．(2019·玉林)已知抛物线C ：y ＝12(x －1)2－1，顶点为D ，将C 沿水平方向向右(或向左)平移m 个单位，得到抛物线C 1，顶点为D 1，C 与C 1相交于点Q.若∠DQD 1＝60°，则m等于( )A．±4 3 B．±2 3C．－2或2 3 D．－4或4 38．(2019·烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 2 3 4y 5 0 －4 －3 0下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．59．(2019·哈尔滨)二次函数y＝－(x－6)2＋8的最大值是________．10．(2019·凉山州)将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移________个单位后经过点A(2，2)．11．(2019·广元)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)，(0，2)，且顶点在第一象限，设M＝4a＋2b＋c，则M的取值范围是______．12．(2019·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________．13．(2019·贺州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②a－b＋c<0；③3a＋c＝0；④当－1<x<3时，y>0，正确的是________(填写序号)．14．(2019·长丰县二模)如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2＋2ax ＋2(a＜0)的图象上，点A，B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为________．15．(2019·宁波)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．16．(2019·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)、点B(－1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点D(0，3)作直线MN∥x轴，点P在直线MN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．1．(2019·济宁)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c>n的解集是________．2．(2019·芜湖二十九中一模)设二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时取得最大值10，并且它的图象在x轴上所截得的线段长为4，求a、b、c的值．3．(2019·贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．参考答案基础训练1．C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.A 8.B9．8 10.3 11.－6<M<612．x1＝－2，x2＝5 13.①③④14.(－2，2)15．解：(1)∵把点P(－2，3)代入y＝x2＋ax＋3中，解得a＝2，∴y＝x2＋2x＋3.∴顶点坐标为(－1，2)．(2)①当m＝2时，n＝11；②∵点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11.16．解：(1)将点A(3，0)、点B(－1，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，可得b ＝－2，c ＝－3， 则y ＝x 2－2x －3. (2)∵C(0，－3)， ∴S △DBC ＝12×6×1＝3，∴S △PAC ＝3.∵设P(x ，3)，直线CP 与x 轴交于点为Q ， ∴S △PAC ＝12×6×AQ，∴AQ＝1，∴Q(2，0)或Q(4，0)．设直线CQ 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入点Q 坐标， ∴直线CQ 为y ＝32x －3或y ＝34x －3.当y ＝3时，x ＝4或x ＝8， ∴P(4，3)或P(8，3)． 拔高训练 1．x<－3或x>12．解：∵设抛物线与x 轴的交点的横坐标为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝ca，∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝b 2－4aca 2＝4，① ∴x＝3时取得最大值10，∴－b2a ＝3，②4ac －b 24a ＝10，③ 联立①②③解之得： a ＝－52，b ＝15，c ＝－252.3．解：(1)∵OA＝OC ＝4OB ＝4，∴点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，－4)．(2)抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －4)＝a(x 2－3x －4)， 将点C(0，－4)的坐标代入得－4a ＝－4，解得a ＝1， 则抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4. (3)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将点A(4，0)，C(0，－4)的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－4，则直线AC 的解析式为y ＝x －4.如解图，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H. ∵OA＝OC ＝4， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°. ∵PH∥y 轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°.设点P(x，x2－3x－4)，则点H(x，x－4)，PD＝HPsin∠PHD＝22(x－4－x2＋3x＋4)＝－22x2＋22x.∵－22＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为22，此时点P的坐标为(2，－6)．。
