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1第三章 复变函数的积分复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。
解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。
同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。
§3.1 复变函数积分的概念1 积分的定义复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。
今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。
在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为-C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤tt 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。
定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ：)(t z z =，βα≤≤t ，以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。
在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ，把曲线C 分成n 个小弧段。
在每个小弧段上任取一点k ζ，作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ，其中1--=∆k k k z z z ，记{}n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到b ）的积分，并记为⎰=Cdz z f J )(，即为∑⎰=→∆=nk k kCz f dz z f 1)(lim )(ζλ。
第三章复变函数的积分复变函数的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多重要性质都可以通过积分形式反映出来。
§1.复积分的概念一.复积分的定义与计算1．有向曲线设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C 理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A 到B 作为曲线C 的正向,那么B 到A 就是曲线C 的负向,2.复积分的概念定义：设C 为z 平面上一条以A 为起点，以B 为终点的简单光滑曲线，复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上有定义.在曲线C 上任. -C 记为取B z z z A n == ,,10将C 分为n 个小弧段，（k k k y i x z +=，k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1）在每个小弧段上任取一点k k k i ηξς+=，作和式(),z f S nk k k n ∑=∆=1ς设,max k z ∆=λ若当0→λ时，该式的极限存在，且与小弧段的分法及k ς的取法无关，则称此极限值为复变函数()()()y x v i y x u z f ,,+=在C 上从A 到B 的复积分，记作()⎰c dz z f ；若曲线方向改为由B 到A ,则积分记作()⎰-c dz z f ；当C 为简单闭曲线时，则此积分记作()⎰c dz z f .（规定逆时针方向为C 的正向）定理3.1设()()()y x v i y x u z f ,,+=在光滑曲线C 上连续，则积分()⎰c dz z f 存在，且为()()()()().,,,,⎰⎰⎰++-=cccdy y x u dx y x v i dyy x v dx y x u dz z f 此式说明，复积分的计算问题可以转化为二元实函数的曲线积分来处理。
（注：上式在形式上可看做函数()v i u z f +=与微分dy i dx dz +=相乘后得到的，这样便于记忆）特别地，若C 的参数方程为：()()()t y i t x t z +=（()()B b z A a z ==,），则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()[]()[]().,,,,,,,,,,dt t z t z f dtt y i t x t y t x v i t y t x u t dy t y t x u t dx t y t x v i t dy t y t x v t dx t y t x u dyy x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f bababab accc'='+'+=++-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1计算dz z c⎰，其中C 是如图所示：x1i1c 2c 3c （1）从点1到点i 的直线段1c ；（2）从点1到点0的直线段2c ，再从点0到点y的直线段i 的直线段3c 所连接成的折线段c =2c +3c .问题：影响积分的因素有哪些？例2计算()⎰-c nzz dz0，其中n 为任何整数，C 为以0z 为中心，r 为半径的圆周.例3计算⎰czdz 其中C 为从原点到点3+4i 的直线段.二.复积分的基本性质(1)()()[]()()⎰⎰⎰±=±c c c dz z g dz z f dz z g z f ；(2)()()⎰⎰=ccdz z f k dz z kf ；(3)()()⎰⎰--=c cdz z f dz z f ;(4)()()()⎰⎰⎰+=21c c c dz z f dz z f dz z f ,其中21C C C +=；(5)()()⎰⎰≤≤ccML ds z f dz z f .（积分估值）例4设C 为从原点到点3+4i 的直线段，试求积分⎰-ci z dz模的一个上界。
第三章 复变函数的积分3.1解 计算积分120[()]ix y ix dz +-+⎰，路径(1)自原点至1i +的直线段；(2)自原点沿实轴至1，由1铅直向上至1i +；(3)自原点沿虚轴至i ，由i 沿水平方向右至1i +。
解： (1)设参数方程为 (1)z i t =+，01t ≤≤1122011[()](1)(1)333iix y ix dz it i dt i i +-+=+=+=-+⎰⎰(2)设参数方程为12:0,: 1.C y C x ==121112215[()]()(1)26iC C x y ix dz x ix dx y i idy i +-+=+=++-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰(3)设参数方程为12:0;:1l x l y ==121112201[()]()(1)26il l i x y ix dz y idy x ix dx +-+=+=-+-+=--⎰⎰⎰⎰⎰ 3.2计算Cz dz z⎰积分的值，其中C 为（1）||2z =；（2）||4z =. 解： 令i z reθ=，202i i z rzre dz rie d ri zrθπθθπ-===⎰⎰故当2r =时，为4i π;当4r =时，为8i π. 3.3 求证：2Cdz 4z π≤⎰其中C 是从1i -到1的直线段。
证明： C ：z=1+iy=1+itan θ,0.4πθ-≤≤22222111tan cos cos z y d dz i θθθθ=+=+==，，故有222241cos cos 4oCCdz dz d z zπθπθθ-≤==⎰⎰⎰3.4试用观察法确定下列积分的值，并说明理由，C 为|z|=1。
解： （1）2144Cdz z z ++⎰积分值为0，因被积函数在|z|≤1内解析。
（2）1cos Cdz z⎰积分值为0，因被积函数在|z|≤1内解析。
（3）112Cdzz -⎰1212Cdz i z π=-⎰3.5求积分zCe dz z⎰的值，其中C 为由正向圆周|z|=2与负向圆周|z|=1所组成。
解：||2||1220zz zc z z e e e dz dz dz i i z z z ππ===-=-=⎰⎰⎰3.6解：21c dz z z -⎰，其中C 为圆周|z|=2。
211()(1)f z z z z z ==-- 在|z|=2内有两个奇点z=0，1，分别作以0，1为中心的圆周C 1，C 2，C 1与C 2不相交，则2211112201c c c dz dz dz i i z z z z ππ=-=-=--⎰⎰⎰3.7 3.8解:计算下列积分值。
（1）sin iz dz π⎰解00sin cos |1cos .i izdz z i πππ=-=-⎰（2）11iz ze dz +⎰解11111()|.iz z z i ize dz ze e ie +++=-=⎰（3）0(32)iz e z dz +⎰解200(32)(3)|3 4.iz z i i e z dz e z e +=+=-⎰3.9解: 计算21C dz z ⎰，其中c 为圆周||z i +=2 的右半周，走向为从-3i 到i 。
3211114|.33i i Cdz i z zi i -=-=--=⎰3.10解: 计算下列积分。
（1）|2|12zz e dz z -=-⎰解22|2|12|2.2zz z z e dz ie ie z ππ=-===-⎰ （2）2||2211z z z dz z =-+-⎰ 解 221||2212(21)|4.1z z z z dz i z z i z ππ==-+=-+=-⎰ （3）解 将被积函数分解因式得到244111iiz iz e z e ππ=--+由于点4ie π在圆周 ||1z i -=内部，而函数41iz eπ+在闭圆盘||1z i -≤ 上为解析，故42||1||144112()(2224iz i z i iidzi dz e i z i eiz e z e πππππππ-=-=====+--+⎰⎰ 3. 11. 解 计算(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中 C 是（1） ||1z = （2）|2|1z -= （3） 1|1|2z -=(4)||3z = （1）被积函数在 ||1z ≤ 内仅有一个奇点12z =- ，故122()|.1252()2C z zz iz I dz i z z ππ=--===-+⎰（2）被积函数在 |1|1z -≤ 内仅有奇点 2z = ，故24212()|2215z C zz z I dz i i z z ππ=+===-+⎰（3）被积函数在 1|1|2z -≤ 内处处解析，故 0I =（4）被积函数在||3z ≤ 内仅有两个奇点12z =-，2z = ，由复合闭路原理，知12422112552()2C C z z i i z z I dz dz i z z πππ-+=+=+=-+⎰⎰ 其中 1C 为 ||1z =，2C 为 |2|1z -=。
3.12若()f z 是区域G 内的非常数解析函数，且()f z 在 G 内无零点，则 ()f z 不能G 内取到它的最小模。
证明：设 1(),()g z f z =因()f z 为非常数解析函数，且 z G ∀∈ ，()0f z ≠ ，则 ()g z 为非常数解析函数，所以 ()g z 在 G 内不能取得最大模，即()g z 不能在 G 内取得最小模。
3.13. 解 计算下列积分。
（1）100||1zz e dz z =⎰ (99)0100||1122()|99!99!z z z z e i dz i e z ππ====⎰ （2）||22sin ()2z zdz z π=-⎰||222sin 2cos |0()2z z zdz i z z πππ====-⎰（3）123cos C C C zdz z=+⎰其中1C :||2z =,2C :||3z = 1212""00333cos cos cos 112(cos )|2(cos )|02!2!z z C C C C C z z z dz dz dz i z i z z z z ππ===+=+=-=⎰⎰⎰ 3.14.设()f z 在||1z ≤上解析，且在 ||1z =上有 |()|||f z z z -≤，试证：'1|()|82f ≤证 由柯西积分公式知'||1211()()122()2z f z f dz z π==-⎰ 则'||1||1||1||122211|()|1|()|||1||||118|()|||||||8.11112222||||||2224z z z z f z z z f z z z z z f dz dz dz ds z z z ππππππ====-+-++≤≤≤≤==---⎰⎰⎰⎰3.15.设()f z , ()g z 在区域 D 内处处解析，C 为D 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D 如果()()f z g z =在C 上所有的点处成立，试证在C 所有的点处()()f z g z =也成立。
证 设 ()()()F z f z g z =-，因()f z ，()g z 均在 D 内解析，所以()F z 在 D 内解析，在 C 上，()0()F z z C =∈ ，0z ∀ 在 C 内有0||101()()02z F z F z dz iz z π===-⎰ 即00()()f z g z = ，由0z 的任意性知，在 C 内 ()()f z g z = 。
