ch( x + iy) = ch x cos y + i sh x sin y, 及 sh( x + iy) = sh x cos y + i ch x sin y.
5 、反三角函数和反双曲函数
1. 反三角函数的定义 设 z = cos w , 那么称 w 为 z 的反余弦函数 ,
记作 w = Arc cos z .
i 2 1 1 1 = − ln + + k π − arctan . 4 5 2 3 2
其中 k = 0, ± 1, ± 2, L.
6 、 小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围 内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 分成单值解析分支的方法 2.指数函数具有周期性 3. 负数无对数的结论不再成立 作业： 作业：第68页15,18,20题
今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都 是它在除去原点及负实轴的平面内的某 一单值分支.
3 、乘幂与幂函数
1.定义
乘幂 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复 数, 定义乘幂ab为ebLna, 即ab = ebLna 由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kiπ)是多值的, 因而ab也 是多值的. 说明: 说明: (1) 当b为整数时, 由于 ab =ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kπ)] =ea(ln|a|+iarg a)+2kbπi=eblna, 所以这时ab具有单一的值.
e +e cos iy = = ch y 2 −y y e −e sin iy = = i sh y 2i
y
−y
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y, sin( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y.
这两个公式对于计算cos z与sin z的值有用. iv)当y→∞时, |siniy|和|cosiy|都趋于无穷大, 因此, |sinz|≤1和|cosz|≤1在复数范围内不再成立. v)解析性 在复平面内都解析 其它复变数三角函数的定义如下: sin z cos z tg z = , ctg z = , sin z cos z 1 1 sec z = , csc z = . cos z sin z
iii) exp z的周期性, 它的周期性是2kπi, 即 i ez+2kπi=eze2kπi=ez 其中k为任何整数. 注意：为了方便, 往往用ez代替exp z. 这里 注意 的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的 符号使用。
2 、对数函数
1.定义
对数函数定义为指数函数的反函数. 将满足方程 ew=z (z≠0) 的函数w=f(z)称为对数函数 对数函数. 对数函数 令w=u+iv, z=reiθ, 则 eu+iv=reiθ, 所以 u=ln r, v=θ. 因此 =ln|z|+i w=ln|z|+iArg z 由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为
例 求 2 和ii的值 2 1 . [解 1 ]
2
=e
2 Ln1
= e2kπi
2
= cos(2kπ 2) + i sin( 2kπ 2). (k = 0,±1,±2,L ); ii = ei Lni = e =e
π i i +2kπi 2
π − +2kπ 2
, (k = 0,±1,±2,L ).
y→0
所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点ln z处 处连续. 综上所述, z=ew在区域 -p<v=arg z<p内的反函数w=ln z是单值的, 由反函数 求导法则可知:
d ln z 1 1 = w= z d z de dw
所以, 在除去原点及负实轴的平面内解析. 所以, ln z在除去原点及负实轴的平面内解析. Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也 解析, 并且有相同的导数值. 解析, 并且有相同的导数值.
iii)公式
cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 sin 2 z + cos2 z =1
由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. 但当z为纯虚数iy时, 我们有
§2.3 初等函数
一、 指数函数 二 、对数函数 三 、乘幂与幂函数 四 、三角函数和双曲函数 五 、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考
1 、指数函数
1.定义 如果函数f(z)满足下列三个条件: 定义 i) ez不等于零, 且|exp z|=ex; ii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z)； iii) f(z)在复平面内解析，且f ’(z)=f(z) 。 称f(z) 为指数函数 指数函数 2.性质 性质 i)在复平面处处解析的函数, 且有 f '(z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex. 记作 exp z=ex(cos y+isin y). 等价于关系式: |exp z|=ex, Arg(exp z)=y+2kπ
Arcsinz = −iLn(iz + 1 − z2 ),
i 1 + iz Arctanz = − Ln . 2 1 − iz
2. 反双曲函数的定义
反双曲正弦 Arsinhz = Ln(z + z2 + 1), 反双曲余弦 Arcoshz = Ln(z + z2 − 1), 1 1+ z . 反双曲正切 Artanhz = Ln 2 1− z
Ln( z1z2 ) = Ln z1 + Ln z2 z1 Ln = Ln z1 − Ln z2 z2
ii)对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它 点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不 连续. 因为若设z=x+iy, 则当z<0时,
y→0
lim− arg z = −π , lim+ arg z =π .
双曲函数
1.定义 1.定义
ez + e−z ez − e−z ez − e−z ch z = , sh z = , th z = z −z 2 2 e +e
分别称为双曲余弦 正弦和正切函数 双曲余弦,正弦和正切函数 双曲余弦 正弦和正切函数. 2.性质 性质 2ki chz和shz都是以为 周期的函数, chz为偶函数, shz为 奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为: (chz)'=shz, (shz)'=chz 不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny
例1 求Ln 2, Ln(−1)以及它们相应的主值. [解] 因为Ln 2=ln 2+2kπi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(−1)=ln 1+iArg(−1)=(2k+1)πi(k为整数), 所 以它的主值是ln(−1)=πi. 注：在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复 数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷 多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函 数的拓广. 3.性质 性质: 性质 i)
1 当a为分数 时, 有 n z =e
1 n 1 Ln z n
=e
1 n
1 ln|z| n
arg z + 2kπ arg z + 2kπ + i sin cos n n
arg z + 2kπ arg z + 2kπ =| a | cos + i sin n n = n z, 其中k = 0,1,2,L, (n −1).
补充题
求函数值 Arc tan( 2 + 3i ).
i 1 + i(2 + 3i ) 解 Arc tan( 2 + 3i ) = − Ln 2 1 − i(2 + 3i ) i −3+ i = − Ln 2 5
i 2 1 = − ln + i π − arctan + 2kπ 2 5 3
−
π
2
由此可见ii是正实数 它的主值是e ,
幂函数 如果a = z为一复数，就得到一般的幂函数w = zb 2.性质 1 i)当b为正整数n及分数 时是与z的n次幂及z的n次根的定义 n . 是完全一致的因为 当a为正整数n时, 根据定义 zn = enLn z = eLn z+Ln z+L+Ln z = eLn z ⋅ eLn z ⋅L⋅ eLn z = z ⋅ z ⋅L⋅ z. (指数n项) (因子n个) (因子n个)
(2) 当a=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于p p
a =e
b
ln|a|+i (arg a+2kπ ) q q
=e
p ln|a| q
p p [cos (arg a + 2kπ ) + i sin (arg a + 2kπ )], q q
ab 具有q个值, 即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个 值. 除此而外, 一般而论 具有无穷多个值.
所以幂函数z = n z是一个多值函数, 具有n个分支, 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内 是解析的 且有 , ′ 1 ′ 1 n n ′ n Ln z 1 1 −1 z = z = e = zn . n
