《复变函数》第3章

第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。

2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。

3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。

柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。

解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。

积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。

解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。

第三章 复变函数的积分1.复积分的定义：1()d lim (),nkk k Cf z z f z λξ→==∆∑⎰2.复变函数积分的性质性质3.1（方向性）若函数f (z )沿曲线C 可积，则()d ()d .CC f z z f z z -=-⎰⎰ (3.1)性质3.2（线性性）若函数f (z )和g (z )沿曲线C 可积，则(()())d ()d ()d ,CCCf zg z z f z z g z z αβαβ+=+⎰⎰⎰ (3.2)其中αβ,为任意常数.性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f (z )沿曲线C 可积，曲线C 由曲线段12,,,n C C C ,依次首尾相接而成，则12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰ (3.3)性质3.4（积分不等式）若函数f (z )沿曲线C 可积，且对z C ∀∈,满足()f z M ≤, 曲线C 的长度为L ,则()d ()d ,CCf z z f z s ML ≤≤⎰⎰3.复变函数积分的基本计算方法定理3.1 若函数f (z )=u (x,y )+iv (x,y )沿曲线C 连续，则f (z )沿C 可积，且()d d d d d .CCCf z z u x v y i v x v y =-++⎰⎰⎰ (3.5)计算公式：设C 为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为()()()(),z z t x t iy t a t b ==+≤≤则：()d (())()d .baCf z z f z t z t t '=⎰⎰4. 柯西－古萨定理定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f (z )是单连通域D 内的解析函数，则f (z )沿D 内任一条闭曲线C 的积分为零，即()d 0.Cf z z =⎰5. 复合闭路定理：定理 3.5 若f (z )在复闭路012n C C C C C ---=++++ 及其所围成的多连通区域内解析，则12()d ()d ()d ()d nC C C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰ , (3.10)也就是()d 0Cf z z =⎰ .6. 原函数与不定积分（1）上限函数：固定下限z 0，让上限z 1在区域D 内变动，并令z 1=z ,则确定了一个关于上限z 的单值函数()()d .zz F z f ξξ=⎰ (3.8)并称F (z )为定义在区域D 内的积分上限函数或变上限函数. （2）定理3.3 若函数f (z )在单连通域D 内解析，则函数F (z )必在D 内解析，且有F '(z )=f (z ). （3）原函数：定义3.2 若在区域D 内，()z ϕ的导数等于f (z )，则称()z ϕ为f (z )在D 内的原函数.（4）不定积分：全体原函数可以表示为()()z F z C ϕ=+,其中C 为任意常数.称为f (z )的不定积分（5）定理3.4 若函数f (z )在单连通域D 内处处解析，()z ϕ为f (z )的一个原函数， 则11010()d ()()()z zz z f z z z z z ϕϕϕ=-=⎰, (3.9)其中z 0、z 1为D 内的点. 7.柯西积分公式定理3.6 若f (z )是区域D 内的解析函数，C 为D 内的简单闭曲线，C 所围内部全含于D 内，z 为C 内部任一点，则1()()d 2πC f f z i zξξξ=-⎰ , (3.11) 其中积分沿曲线C 的正向.8.高阶导数公式定理3.7 定义在区域D 的解析函数f (z )有各阶导数，且有()1!()()d (1,2,),2π()n n C n f f z n i z ξξξ+==-⎰ (3.13) 其中C 为区域D 内围绕z 的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C 的正向.9.调和函数（1）定义3.3 在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ 的二元实函数(,)x y ϕ称为在D 内的调和函数.调和函数是流体力学、电磁学和传热学中经常遇到的一类重要函数.（2）定理3.10 任何在区域D 内解析的函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )，它的实部u (x ,y )和虚部v (x ,y )都是D 内的调和函数.（3）使u (x ,y )+iv (x ,y )在区域D 内构成解析函数的调和函数v (x ,y )称为u (x ,y )的共轭调和函数.或者说，在区域D 内满足柯西-黎曼方程u x =v y ,v x =-u y 的两个调和函数u 和v 中，v 称为u 的共轭调和函数.解析函数f (z )=u +iv 的虚部v 为实部u 的共轭调和函数，u 与v 的关系不能颠倒，任意两个调和函数u 与v 所构成的函数u+iv 不一定是解析函数.已知单连通域D 内的解析函数f (z )的实部或虚部求f (z )的方法书上已经详细介绍了三种方法，这里不再赘述求积分2e d 1zCz z +⎰ ，其中C 为： |z |=2.。

第三章 复变函数的积分复变函数的积分（以下简称为复积分）是研究解析函数的重要工具之一．用这种工具我们可以证明解析函数的许多重要性质．例如，解析函数导数的连续性，解析函数的无穷可微性等，表面看起来只与微分学有关的命题，都可用复积分这一工具得到比较好地解决．另外，对解析函数，我们完全可以通过函数的连续性，再结合函数的适当积分特征（积分与路径无关）来加以刻画，从而使对解析函数研究摆脱以往过份依赖实、虚部二元实函数，受数学分析知识的限制这种尴尬的境地，为解析函数的研究开辟了新的途径和新的思路（实际上，解析函数的许多进一步研究，正是在有了积分定义法之后，才得以进一步深入）．一．学习的基本要求1．能正确地理解复变函数积分的定义，掌握复积分与实、虚部二元实函数所产生的两个第二型曲线积分的关系，从而理解为什么复积分虽具有形式上的一元性，但实质上是与多元函数的第二型线积分联系在一起的，具有第二型线积分的特点． 复积分与实积分的具体关系如下：函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+定义在平面有向光滑或逐段光滑曲线C 上，则()Cf z dz ⎰存在⇔(,)(,)Cu x y dx v x y dy -⎰和(,)(,)Cv x y dx u x y dy +⎰都存在．此时还有()(,)(,)(,)(,)CCCf z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy =-+⋅+⎰⎰⎰．2．熟练掌握复积分的若干基本性质以及基本性质的应用（比如：利用积分的估值性，估计复积分的模，证明一些与积分有关的极限问题等）．参数方程法3．熟练掌握复积分计算的两种基本方法——参数方程法 ，并牛顿－莱布尼兹公式能用这两种方法熟练计算复积分．●熟记复积分的参数方程计算公式：记积分路径C 的参数方程为()z z t =，0t t T ≤≤，其中00()z z t =，()Z z T =()f z 在积分路径C 上连续，则()d [()]()d T Ct f z z f z t z t t '=⋅⎰⎰其中右边定积分上、下限要根据曲线C 的方向确定．另外能正确写出连接两点1z 和2z 的直线段12z z 的参数方程 121()z z z z t =+-，01t ≤≤．圆周0z z ρ-=的参数方程0i z z e θρ=+，02θπ≤≤或πθπ-≤≤．●熟记复积分的牛顿－莱布尼兹公式：设函数()f z 在区域D 内连续，0z ，Z D ∈，C 是区域D 内从0z 到Z 的任意积分路径，若()f z 在区域D 内存在原函数()F z （即()()F z f z =，z D ∈），则 00()d ()d ()()()Z Zz z Cf z z f z z F z F Z F z ∆===-⎰⎰．这里注意的是：当()F z 为某多值函数的单值解析分支函数时，()F Z 的值一般不能随便取，要根据0()F z 的值以及z 沿C 从0z 连续变到Z 来确定．4．掌握并熟悉几个典型积分：① 若C 是平面上的一条围线，a C ∉，则112,10()0nCa C n a C n a C n Z i dz z a π=≠∈⎧⎪=⎨-⎪⎩⎰当在的内部，且当在的内部，且当在的外部，，， ．② 若C 是平面上以a 为心，R 为半径的一段圆弧，其参数方程为：i z a R e θ=+⋅， （1202θθθπ≤≤≤≤），方向是θ从1θ到2θ（即θ增加的方向或逆时针方向），则2121(1)(1)111(),11(),()(1)i n i n nCn n n i dz e e z a n R θθθθ---=≠⋅-⎧⎪=⎨⋅--⎪-⎩⎰当当 ． 特别，当C 为整个圆周z a R -=时，此时02θπ≤≤，112,10,()n Cn n i dz z a π=≠⎧=⎨-⎩⎰当当 ． ③0d Cz Z z =-⎰，2201d ()2C z z Z z =-⎰，其中C 为从0z 到Z 的任意简单曲线．特别当0z 与Z 重合（0Z z =），即C 为简单闭曲线时，d 0Cz =⎰，d 0Cz z =⎰．④ 要学会善于利用积分曲线的方程，对被积函数进行简化，例如当积分曲线为圆周2z R =时，可利用22R z z z ==⋅对被积函数进行简化等．5．了解并熟悉柯西（积分）定理的各种形式，理解各种形式的条件和结论的含义，理解为什么积分与路径无关能成为解析函数的积分特征，并能熟练掌握运用各种形式的柯西（积分）定理计算复积分的方法（理解柯西定理在计算积分中所起的作用）．初步掌握利用复积分来解决某些定积分问题的方法，理会这种方法的基本思路（即先选择适当的复积分，通过复积分的方法计算出积分的值，然后再利用参数方程法将复积分转化为实积分，通过比较实部和虚部，达到解决实积分的目的）．初步掌握利用柯西定理来解决解析函数的原函数的存在性问题．且是该解析函数在单连通区域内的原函数．（课本上的定理3.2及其变形的形式定理3.2＂）原函数（此时，我们称这样的原函数为解析函数的局部原函数），即多连通区域内的解析函数一定存在局部的原函数．附：定理3.2＂ 若函数()f z 在单连通区域D 内连续，且积分与路径无关，0z D ∈为取定的一点，则区域D 定义的变上限函数0()()d Z z F z f ξξ=⎰在D 解析，且为()f z 在D 内的原函数，即()()F z f z '=，z D ∈．6．能正确地理解柯西（积分）公式的含义，掌握其证明的方法及其如下统一形式：设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 解析，在闭区域D D C =+上连续（即()f z 可以连续到C 上），则(),1()d 20,C f z zD f i z z D D Cξξπξ∈⎧⎪=⎨-∉=+⎪⎩⎰其中1()d 2C f i zξξπξ-⎰也称为柯西型积分． 并能熟练地应用柯西（积分）公式或其统一形式来计算复积分或某些其它的值（如()f z 在某一点的导数值等）．7．熟练掌握解析函数的高阶导数公式，并能熟练地运用高阶导数公式来计算复积分或证明某些定积分问题（如：220(21)!!cos d 2(2)!!n n n πθθπ-=⋅⎰等）．8．掌握解析函数的无穷可微性、复积分的柯西不等式、关于整函数的刘维尔定理及其刘维尔定理的简单应用（如：证明某些整函数为常函数，证明代数学基本定理等）．9．掌握莫勒拉定理以及解析函数的积分定义法．10．归纳复积分()Cf z dz ⎰的常用计算方法：当C 是非封闭简单曲线时，主要有下面的方法：① 利用C 的参数方程，将复积分()Cf z dz ⎰化为关于参数的定积分；② 补充适当积分路径与原积分路径合成封闭曲线，再用柯西定理或柯西公式以及参数方程法．此时要求补充的积分路径尽可能简单，以便在补充的积分路径上的复积分计算起来比较容易；③ 利用复积分的牛顿—莱布尼兹公式．当C 是简单闭曲线时，主要有下面的方法： ① 利用C 的参数方程，将复积分()Cf z dz ⎰化为关于参数的定积分；② 利用柯西定理或柯西（积分）公式或高阶导数的积分公式． ③ 利用课本第3章习题三的第16或17题．11．单连通区域内积分与路径无关的两种说法：设D 是单连通区域，函数()f z 定义在D 上，则下面的两种说法是等价的①对于D 内任意两点0z ，1z ，以及D 内任意一条以0z 为起点，1z 为终点的简单曲线C ，总有()Cf z dz ⎰的值只与0z 和1z 有关，而与D 内从0z 到1z 的简单曲线C 无关（即积分与路径无关）．②对于D 内任意的简单闭曲线C ，总有()0Cf z dz =⎰．二．问题研究－柯西型积分的几个问题设C 是复平面上的一条有向简单曲线，函数()f z 在C 上连续，通常我们把下面的积分1()()2C f F z d i zζζπζ=-⎰，z C ∉（即z C D ∆∈-=） 称为柯西（Cauchy ）型积分．1．柯西型积分在点集D 上的解析性显然，当C 是非封闭简单曲线时，D C =-是一个多连通区域；当C 是简单闭曲线时，D C =-是由一个单连通区域（即C 的内部）和一个多连通区域（即C 的外部）构成．问题１： 设C 是复平面上的一条有向简单曲线，函数()f z 在C 上连续，则1()()2C f F z d i zζζπζ=-⎰在C D ∆-=的每一个区域内解析，并且()1!()()2()n n C n f F z d i z ζζπζ+=-⎰（z D C ∈=-），{0,1,2,}n ∈规定：若函数()f z 在∞的某去心邻域内解析，且lim ()z f z →∞存在，则称()f z 在∞解析，此时()lim ()z f f z ∆→∞∞=．问题２： 若C 是简单闭曲线，则在上面的问题１中，lim ()z F z →∞有何特点，()F z 能否在∞解析？问题３： 若C 是简单闭曲线，()f z 在C 上连续，且()f z 在C 内部还解析，则问题１与柯西公式有何联系？2．柯西型积分的边值问题－奇异积分设a C ∈，若01()lim2r C r f d i aζζπζ→-⎰存在，其中{}r C C C a r ζζ=-⋂-<则定义01()()lim2r C r f F a d i aζζπζ∆→=-⎰称为柯西型积分()F z 在z a =处的值．其中()f ζ在C 上连续． 问题４： （１）讨论01()lim2r C r f d i aζζπζ→-⎰的存在性；（２）讨论01()lim2r C r f d i a ζζπζ→-⎰与01()lim 2r L r f d i aζζπζ→-⎰的关系， 其中r L 是与曲线{}C a r ζζ⋂-<具有相同起点和终点的适当圆弧：a r ζ-=．（３）若C 是简单闭曲线，()f z 在C 上连续，且()f z 在C 内部还解析，a C ∈，计算1()?2C f d i aζζπζ=-⎰，并由此写出全平面上统一的柯西公式．。