复变函数(第四版)课件--章节3.3

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复变函数课件-第三章复变函数的积分解读

1、复变函数积分的定义
设在复平面 C 上有一条连接 z 0 及 Z 两点的简单曲线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。把曲线C用分点 z0 , z1 , z2 ..., zn 1 , zn Z

C
f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2 C1 C2
b
a
C1
结论2: 周线C : f ( z )dz 0 C 函数f(z)的积分与路径无关,
目的
研究复积分与路径的无关性:
k
zk
C
z1
z0
复变函数的积分
分实部与虚部，有 n 1
[u (
k 1
k
k
, k ) iv( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )]
n 1
或者
u (
k 1 n 1 k 1
n 1
, k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk )
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 2
0 | k 0,1,2,..., n 1} 0
时，上面的四个式子分别有极限：
u( x, y)dx, v( x, y)dy, v( x, y)dx, u( x, y)dy,
C f ( z)dz C f ( z)dz, （4）积分是在相反的方向上取的。

复变函数积分的性质：

复变函数课件章节

复变函数(第四版)课件章节大纲
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添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数论
06
添加章节标题
复变函数的基本概念
复数及其几何意义
复数：实数与虚数的组合
复平面：复数的几何表示
复数的模：表示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一种特殊函数
应用：在解析数论、复动力系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研究函数在复平面上的值分布规律
皮卡定理：描述函数在复平面上的值分布规律
极值性质：全纯映射的极值性质，包括最大值和最小值
泰勒定理：泰勒定理的证明和应用，包括泰勒级数和泰勒展开式
极值定理：极值定理的证明和应用，包括极值点的存在性和唯一性
泰勒定理的应用：泰勒定理在复变函数中的应用，包括求解微分方程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等

西安交大工程数学复变函数第四版第三章复变函数的积分

显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
22
2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C（其中C为任意常数），称为 f z 的不定积分，即
f zdz Fz c （其中C为任意常数）
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
（换元积分法分部积分法）
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析，C是D内的一条简单闭曲线，
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互
不相交，且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D，
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析，则F z在B内是一解析函数，
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
24
定理三
设f z在单连通域B内解析，Gz为f z的一个原函数，
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f

《复变函数》第3章

§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
2014-10-20
( n ) k 1
复变函数（第四版）
第三章复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理基本定理的推广－复合闭路定理原函数与不定积分柯西积分公式解析函数的高阶导数解析函数与调和函数的关系
《复变函数》(第四版) 第1 页
2014-10-20
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第16页
条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第17页
dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
2014-10-20 《复变函数》(第四版)
i

2 0
e in d
第7 页
( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
《复变函数》(第四版) 第3 页
n
2014-10-20

复变函数(3.3.4)--原函数与不定积分

= ie1+i
= ie(cos1+ i sin1).
￲ 例 5、试沿区域 Im(z) ￲ 0, Re(z) ￲ 0 内的圆弧 z = 1，求 i ln(z +1) dz 的值.
1 z +1
解
函数
ln(z +1) z +1
在所涉区域内解析，
它的一个原函数为
ln 2
(z 2
+
1)
,
￲i ln(z +1) dz
￲i 0
z cos
zdz
= [z sin
z
+ cos z]i0
= i sin i + cos i -1
=
i
e-1 2i
e
+
e-1 + 2
e
-1
=
e-1
-1.
￲ 例 3、求 i z cos zdz 的值. 0
￲ ￲ 另解 i z cos zdz = i zd(sin z)
0
0
第三章复变函数的积分
第三章复变函数的积分
第二节原函数与不定积分
例题
￲ 例 1、求 z1 zdz 的值. z0
解
因为
z
是解析函数，它的原函数是
1 2
z
2
.
由牛顿-莱布尼兹公式知，
￲z1 zdz z0
=
1 2
z2
z1 z0
=
1 2
( z12
-
z02 ).
￲ 例 2、求 pi z cos z2dz 的值. 0
￲ ￲ 解
pi 0ห้องสมุดไป่ตู้
z cos

工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大

⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1

C
f z dz
n
k 1 C

k
f z dz 0

C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz

C
4

ux t , yt xt vx t , yt yt dt

i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是连续函数而C 是光滑曲线时, ⑵
C C C

C
f z 第二型曲线积分 dz一定存在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。

复变函数3

推论（复合闭路定理）：推论（复合闭路定理）：
设C1 , C 2 , L , C n 为简单闭曲线 (互不包含且互不相交，互不包含且互不相交)，互不包含且互不相交
C为包含C1 , C 2 , L , C n的简单闭曲线，
D为由边界曲线 Γ = C U C U C U L U C
− 1 − 2 − n
C : z = z0 + reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π ), dz = ireiθ dθ 解：
I=∫
2π
0
2π ire iθ dθ 0, n ≠ 1, 1 − i ( n −1)θ dθ = iθ n = n −1 ∫ ie (re (re ) r 0 2π i, n = 1.
dz 例如 ∫ = 2π i, z =1 z
∫
C
f (z) 2π i (n) dz = f (z0 ) n+1 (z − z0 ) n!
求下列积分的值, 其中C为正向圆周为正向圆周: 例1 求下列积分的值其中为正向圆周 | z | = r >1. cosπz ez
(z +1) (z −1) C cosπz [解] 1) 函数内的z=1处不解析处不解析, 解内的处不解析但cosπz在C内 π在内 5 在C内的 (z −1 )
其中C为在函数的解析区域D内围绕其中为在函数 f (z)的解析区域内围绕 z0的任何一条正的解析区域向简单曲线, 而且它的内部全含于D. 向简单曲线而且它的内部全含于
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 高阶导数公式的作用不在于通过积分来求导而在于通过求导来求积分. 而在于通过求导来求积分
第三章复变函数的积分
§3.1 复积分的概念

复变函数第四版第三章积分更新

证明：n 1; n 2; n n 1数学归纳法
目标5：应用柯西积分公式，通过f
例1、 1)
z r 1
( n)
( z 0 )求积分。
z 1
cos z
5
dz
2)
z r 1
z
ez
2
1

2
dz
例2、莫勒拉定理： ( Morera) （柯西定理的逆定理） f ( z )在单连通域B内连续，且： f ( z )dz 0
u( x , y )处处为调和函数
二、定理：
解析函数的实部和虚部都是调和函数。
证明：
f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) u v f ( z )解析 x y 2 u 2v 2 x yx
2 2
u v y x
2u 2v 2 y xy
应用：利用解析函数的理论解决调和函数的问题。如：映射问题；拉谱拉斯边值问题。
目标5：应用柯西积分公式，通过f ( z 0 ), f
( n)
( z 0 )求积分。
目标6：判断函数是否调和函数。
作业3：第三章习题( p100 ~ 102) 9 ， 28 18,
目标1：求复变函数沿曲线的积分。
z0 z
证明：原函数：if F 源自( z ) f ( z ), 称F ( z )为原函数。不定积分： f ( z )dz F ( z ) C
应用：函数在解析区域内的线积分化为求原函数的问题。
目标4：用原函数求区间积分。
例1、 z cos zdz ?
0
i
例2、沿区域 Im( z ) 0, Re( z ) 0内 ln( z 1) 的圆弧 z 1, 计算： 1 z 1 dz ?

复变函数第四版(第三章)

f z dz f z dz f z dz ,
C C1 C2
C C1 C2

C
f ( z )dz f ( z ) dz f ( z ) ds ML C C
(若f ( z)在C上有界： f ( z) M , L为C的长度.)
}
例题1
f ( z) f ( z) d z dz z z0 z z0 C K f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) dz dz z z0 z z0 K K
f ( z ) f ( z0 ) 2 π if ( z0 ) dz z z0 K
C C
M y N x u y ( v ) x
例题4
证明
M
N
M
N
M y N x vy ux

C
z 1 dz 8 , C : z 1 2 . z 1
证明：
C
z 1 z 1 z 1 dz dz dz C C z 1 z 1 2
2i cos( i )
i(e e 1 ).
}
例题2
计算

z 2
sin z dz. 2 z 1
因为f(z)=sinz在复平面上解析,又解：方法1 -1,1均在内,所以 z 2
}
注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上
解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析,
在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有
f ( z)dz 0.
c
推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，

3-3复变函数

f ( z0 ) 1 f (z) dz . C f (1 i ) 2πi z z0 2 ( 6 13i ).
18
1 2 i f ( z0 ) f ( z Re )d 定理3.12（最大模原理） 0 0 2 设f ( z )在区域G内解析,又f ( z )不是常数，则在G内
解
f (z) dz 2i f ( z0 ) z z0
因为 f ( z ) e z 在复平面内解析 ,
z 1 位于 z 2内,
由柯西积分公式
e z d z 2 i e 2ei . z 1 z 1 z 2
12
z
例2 计算积分

zi
1 f (z) 1 1 z( z i ) 解 2 z0 i , zi z ( z 1) z ( z i )( z i ) 1 因为 f ( z ) 在 z i 内解析, 由柯西积分公式 2 1 1 z( z i ) 1 1 z( z 2 1) dz 1 z i dz 2i z( z i ) z i
1 f (z) 2i f ( ) 1 C1 z d 2i f ( ) C2 z d
C1
z
C2
G
1 f (z) 2i

C1 C 2
f ( ) d z
10
定理3.9中若C为圆周 | z z0 | R
1 f (z) f ( z0 ) dz 2i C z z0
7
C
二、柯西积分公式
定理3.9 设正向简单闭曲线C为区域 G的边界， f ( z ) 在G 内处处解析, 在G G C上连续，则对于区域G内任一点z0 , 有 1 f (z) f ( z0 ) dz . C 2 πi z z 0

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( 0, 0)
v x dx v y dy
2 2
( x, y )
( 0, 0 ) 3
(3 x 3 y )dx 6 xydy
2
x 3 xy c
方法二：偏积分法：
vx 3 x 3 y ,
2 2
对x不定积分 x 3 y x ( y) v
3 2
v y 6xy ' ( y)
§3.3 调和函数与解析函数
一调和函数二解析函数与调和函数三解析函数与共轭调和函数四例题练习五作业习题
一调和函数
定义如果二元实函数 u(x,y) 在区域 D 内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯(Laplace)方程:
u u 2 0 2 x y
2 2
则称u(x,y)为区域D内的调和函数。

（b1）验证函数v(x,y)是调和函数，（b2）求调和函数u(x,y)，使u+iv是解析函数。
这是相似的问题，其中（a2）问题的提法也可以：求u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)。
例1 验证 u(x,y)=y3-3x2y 是z平面上的调和函数，并求 v(x,y), 使 f(z)=u+iv 是解析函数。解：
又因为 y 6 xy v
' ( y) 0， ( y) c
方法三：复变函数不定积分法：
设z x iy, f ( z ) u iv, 则f ' ( z ) u x iu y 6 xy i(3 y 3 x ) 3iz
2 2 2
所以f ( z ) iz c i( x iy) c
u x v y , u y பைடு நூலகம் vx ,
得
uxx vyx , u yy vxy ,
因为vyx与vxy都连续，所以相等， vxy 0 vyx
同理,在D内有即u(x,y)及v (x,y)都是D内的调和函数
三解析函数与共轭调和函数
Question：函数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是调和函数 f(x,y)=excosy 是一个调和函数
二解析函数与调和函数
定理
解析函数 f ( z ) u ( x, y) iv( x, y) 的实部u ( x, y)与虚部v( x, y) 都是调和函数。
证明：设 f(z)=u+iv 在区域D内解析,满足C.-R.方程
的实部u ( x, y )与虚部v( x, y ) 都是调和函数 , f ( z )一定是解析函数吗？什么？为
Answer:NO, N0, N0!
解析函数的充要条件是C-R方程，描述u，v之间的关系。而调和函数只是u，v各自的性质，并未描述相互间的关系。
共轭调和函数
3 3
其虚部就是( x, y) v
五作业习题
第三章习题29,30,31题
完了？谁完了？
积分学，学完了
Class is over
祝你下课！
u x 6 xy, u xx 6 y, u y 3 y 3 x , u yy 6 y,
2 2
u xx u yy 0
所以u是调和函数，下面求v函数
方法一：第二类曲线线积分法：
由C-R方程得
vy 6xy, vx 3x 3 y
2
2
v
( x, y )

定义：调和函数u(x,y),v(x,y)，使满足u+iv 是解析函数，则称v是u的共轭调和函数
思考：如果v是u的共轭调和函数，那么u也是v的共轭调和函数吗？思考：如果u+iv是解析函数，那么v+iu也是解析函数吗？
四例题练习

问题：（a1）验证函数u(x,y)是调和函数，（a2）求调和函数v(x,y)，使u+iv是解析函数。