2015、2抛物线平移旋转变换讲义

抛物线的旋转翻折和平移一、抛物线的平移求抛物线（）沿坐标轴平移后的解析式，一般可先将其配方成顶点式（），然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。

抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。

1. 简单的平移问题例1、将抛物线向右平移3个单位，再向上平移5个单位，求平移后所得抛物线的解析式。

2. 平移后与已知线段相交例2、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；（3）在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？例3.如图1，已知△ABC为直角三角形，∠ACB，AC BC，点A、C在x轴上，点B的坐标为（3，m）（m>0），线段AB与y轴相较于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过B、D两点。

（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将（1）中的抛物线沿y轴向上平移k个单位，平移后的抛物线交线段BD于E、F两点，若EF BD，求k的值；例4.如图1，抛物线y a 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，抛物线的对称轴交抛物线于点D ，交轴于点E ，若AB 2DE 。

（1）求抛物线的解析式；（2）沿抛物线的对称轴向下平移抛物线，平移后的抛物线交后抛物线的解析线段BC 于F 、G 两点，若FG BC ，求平移式； 例5.抛物线交轴于两点，交轴于；且满足，若（1）求这个抛物线的解析式；（2）在轴上是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由。

抛物线的旋转讲义解题要点剖析同抛物线平移一样，抛物线在旋转前后，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变.解与此相关问题的关键仍然是确定变换前后顶点坐标及开口方向.考题解析例1 已知关于x的方程mx²+2(m−1)x+m−1=0有两个实数根，且m 为非负整数.(1) 求m 的值;(2)将抛物线c₁:y=mx²+2(m−1)x+m−1向右平移a 个单位长度，再向上平移b个单位长度得到抛物线c₂，若抛物线c₂过点A(2，b)和点B(4，2b+1)，求抛物线c₂的表达式;(3) 将抛物线c₂绕点(n+1,n)旋转180°得到抛物线c₃,若抛物线c₃与直线y=12x+1有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围.思路分析 (1)该方程有两个实数根，则说明该方程是关于x的一元二次方程(即m≠0)，且根的判别式△≥0.再根据m为非负整数这一条件求出符合题意的m 的值.(2)将抛物线平移，不会改变抛物线的形状和大小.抛物线c₁平移后得到抛物线c₂，顶点也相应平移，利用顶点式可写出抛物线c₂的表达式(含a，b)，根据抛物线c₂过点A(2，b)和点 B(4,2b+1)等条件,可确定a 与b的值.(3)将抛物线绕某点旋转180°，不会改变抛物线的形状和大小，但会改变开口方向.由(2)可得抛物线c₂开口向上，将抛物线c₂绕点(n+1，n)旋转180°得到抛物线c₃，则抛物线c₂与抛物线c₃的顶点关于点(n+1，n)对称，抛物线c₃开口向下.若抛物线c₃与直线y=12x+1有两个交点且交点在其对称轴两侧，则满足抛物线c₃顶点在直线y=12x+1上方即可.规范解答 (1) ∵方程mx²+2(m−1)x+m−1=0有两个实数根，∴m≠0且△≥0.则有4(m−1)²−4m(m−1)≥0且m≠0,解得m≤1且m≠0.又∵m为非负整数,∴m=1.(2)抛物线c₁:y=x²平移后得到抛物线( C₂:y=(x−a)²+b.∵抛物线c₂过.A(2,b), ∴b=(2−a)²+b.解得a=2.∵抛物线c₂过点B(4,2b+1),∴2b+1=(4-a)²+b.∵a=2,∴解得b=3.所以抛物线c₂的表达式为y=(x−2)²+3(或y=x²−4x+7).(3)将抛物线C₂:y=(x−2)²+3绕点(n+1,n)旋转180°后得到的抛物线c₃,则抛物线c₃的顶点为((2n,2n-3).当x=2n时, y=12x+1=12×2n+1=n+1.由题意,得2n—3>n+1,解得n>4.故n 的取值范围是n>4.解后反思对于抛物线y=ax²+bx+c(a≠0),控制其形状、位置的参数有3个，分别是字母a，b，c，只要确定它们的值，抛物线便确定.二次项系数a 的值是用来控制函数形状的，其符号决定了抛物线的开口方向，其绝对值大小决定开口的“宽窄”；一次项系数b 和常数项c则决定了抛物线的位置.也就是说，将抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)平移，或关于某一点旋转180°，二次项系数a的绝对值都不会改变，但其符号可能改变(如将抛物线关于某点旋转180°，a 的符号会改变).认识这一点，也有利于确定变换后抛物线的表达式.例2点 P 为抛物线. y=x²−2mx+m²(m为常数,m>0)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转 90°后得到的新图象与 y 轴交于A，B 两点(点A 在点B的上方)，点Q为点P 旋转后的对应点.(1)当m=2时，点P 的横坐标为4时，求点Q的坐标；(2)设点Q的坐标为(a,b),用含m,b的代数式表示a;(3)如图18-1所示，点Q在第一象限内，点D 在x轴的正半轴上,点C为OD的中点,QO平分∠AQC,AQ=2QC,当QD=m时,求m的值.思路分析 (1)当m=2时, y=(x−2)²,,则点 G 的坐标为(2,0),点 P 的坐标为(4，4).由点 Q 为点P 绕点G 逆时针旋转90°后的对应点，易得点 Q 的坐标.(2)已知点 Q 的坐标为(a，b)，由点Q 为点P 绕点G 逆时针旋转90°后的对应点，可得点 P 的坐标，将点 P 的坐标代入抛物线表达式y=x²−2mx+m²中，可以得到a关于m，b的代数式.(3) C 为OD 的中点，也就是QC 为△OQD 的中线，利用“倍长中线”的方法构造全等三角形，进而求得点 A 的坐标.规范解答 (1)当m=2时，抛物线为y=(x−2)²,则点 G 的坐标为(2,0),点 P 的坐标为(4,4).如图18-2所示，分别连接QG，PG，过点Q作x轴的垂线，垂足为点 F，过点 P 作x轴的垂线，垂足为点 E.依题意,可得△GQF≌△PGE,则FQ=EG=2,FG=EP=4.所以 FO═2.所以点 Q的坐标为(一2,2).(2)如图18﹣2所示,点Q的坐标为(a,b),点 Q 为点P 绕点G逆时针旋转 90°后的对应点，可得点 P 的坐标为( (m+b,m−a)..将点 P 的坐标代入y=(x−m)²,得m−a=(m+b−m)²,整理，得m−a=b²,即a=m−b².(3) 如图18﹣3所示,延长QC到点E,使CE=CQ,连接OE.∵ C为OD 的中点,所以OC=CD.又∵∠ECO=∠QCD,∴△ECO≌△QCD.∴OE=DQ=m.∵AQ=2QC,∴AQ=QE.∵ QO 平分∠AQC,∴∠1=∠2.∴△AQO≌△EQO.则OA=EO=m.∴点A的坐标为(0,m).∴(2m,m)为抛物线y=(x−m)²上的点.∴m=(2m−m)².解得m₁=1,m₂=0(舍去).∴m=1.解后反思函数图象的旋转与图形的旋转一样，其实质仍然是点的旋转.以平面直角坐标系为背景的几何问题，特别是以平面直角坐标系为背景的图形变换问题，要实现点的坐标与线段长度的正确转换.求旋转后的抛物线与坐标轴的交点坐标，在这里不是通过解方程求得的，而是主要借助几何手段，通过几何证明和几何计算的方式得到的.全真模拟训练如图所示，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−1x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，且当x=02和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=−x+3与二次函数y=−1x2+bx+c的图象分别交于B，C2两点，点 B 在第一象限.x2+bx+c的解析式；(1)求二次函数y=−12(2) 连接AB,求AB 的长;(3) 连接AC,M 是线段AC 的中点,将点 B 绕点M 旋转180°得到点 N，分别连接 AN，CN，判断四边形 ABCN 的形状，并证明你的结论.。

平移旋转和翻折的变换规律平移、旋转和翻折是几种常见的几何变换规律，它们在数学、物理、工程和计算机图形等领域中都有广泛的应用。

通过对物体进行平移、旋转或翻折，可以改变其位置、形状和方向，从而实现对几何结构的转换和处理。

本文将深入探讨平移、旋转和翻折的变换规律，帮助读者更好地理解和运用这些重要的几何概念。

一、平移变换平移变换是指将一个几何图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和方向。

平移变换可以通过向量表示，假设有一个向量(a, b)，表示平面上的平移向量，那么对于平面上的点P(x, y)，经过平移变换后的点P'的坐标可以表示为P' = P + (a, b)。

具体来说，对于二维平面上的图形，其每个点的坐标都分别增加平移向量的分量，从而实现整体平移的效果。

在三维空间中，平移变换同样可以通过向量表示，假设有一个向量(a, b, c)，表示三维空间中的平移向量，那么对于空间中的点P(x, y, z)，经过平移变换后的点P'的坐标可以表示为P' = P + (a, b, c)。

与二维平移类似，三维空间中的图形的每个点的坐标都分别增加平移向量的分量，实现整体平移的效果。

二、旋转变换旋转变换是指将一个几何图形绕着某个点或轴心旋转一定的角度，而不改变其位置和形状。

旋转变换可以通过矩阵表示，假设有一个旋转矩阵R，对于二维平面上的点P(x, y)，经过旋转变换后的点P'的坐标可以表示为P' = R * P。

具体来说，旋转矩阵可以根据旋转角度和旋转中心点的位置进行计算，从而实现对二维平面上的图形进行旋转变换。

在三维空间中，旋转变换同样可以通过矩阵表示，假设有一个旋转矩阵R，对于空间中的点P(x, y, z)，经过旋转变换后的点P'的坐标可以表示为P' = R * P。

与二维旋转类似，三维空间中的旋转矩阵可以根据旋转角度和旋转轴心的位置进行计算，实现对空间中的图形进行旋转变换。