第六讲·直线与曲线的平移,翻折(对称),旋转

初中数学知识归纳平移旋转和对称的基本概念初中数学知识归纳：平移、旋转和对称的基本概念数学作为一门基础学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要工具。

在初中阶段，数学的教学内容涵盖了广泛的概念和技巧，其中平移、旋转和对称是数学中的重要概念。

本文将围绕这三个概念展开讨论，介绍它们的基本概念以及在数学中的应用。

1. 平移：平移是指在平面上把一个图形沿着规定的方向进行“平行移动”，保持图形的形状和大小不变。

平移可以由向量来描述，其中向量的大小和方向决定了平移的幅度和方向。

平移的基本概念包括起点、终点、向量以及平移矢量。

在数学中，平移有着广泛的应用。

它可以用于解决几何问题，比如寻找两个图形之间的关系以及判断两个图形是否相似。

平移还可以应用于向量的运算和矩阵的变换，这些概念在高中数学和物理学中有着重要的地位。

2. 旋转：旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。

旋转可以通过给定旋转中心和旋转角度来确定。

旋转的基本概念包括旋转中心、旋转角度、顺时针旋转和逆时针旋转等。

旋转在数学中是一个重要的几何概念，在解决旋转对称性问题和图形变换中起着关键作用。

旋转可以通过向量运算和矩阵变换来实现，并且在建模和计算机图形学中有着广泛的应用。

3. 对称：对称是指一个图形在某种变换下保持不变或变成自身，这种变换被称为对称变换。

常见的对称变换包括中心对称和轴对称。

中心对称是指图形围绕一个中心点进行对称，而轴对称是指图形围绕一个轴线进行对称。

对称在数学中是一个重要的概念，它可以用于解决关于对称性的问题以及判断两个图形是否相等。

对称也可以应用于线性代数和几何代数中，并在图像处理和密码学中有着广泛的应用。

总结：初中数学中的平移、旋转和对称是三个基本的几何概念，它们在解决几何问题和图形变换中起着重要作用。

通过了解和掌握这些基本概念，学生可以培养几何思维和观察问题的能力，并将其应用于更高级的数学学科中。

通过本文的介绍，我们了解了平移、旋转和对称在数学中的基本概念和应用，而且对它们的关系和联系也有了更深的认识。

初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折在初中数学课程中，形的平移、旋转和翻折是非常重要的概念和技巧。

通过学习和理解这些概念，学生可以更好地认识和应用几何形状。

本文将对初中数学中形的平移、旋转和翻折进行归纳总结，并介绍相关的基本原理和技巧。

一、形的平移形的平移是指在平面内将一个形状整体移动到另一个位置，而形状保持不变。

在平移过程中，形状的大小、形状以及内部的相互关系都不会发生变化。

平移的基本原理是：确定一个平移向量，然后根据该向量的大小和方向，将形状内的每个点都移动到对应的新位置上。

平移向量可以用有序对表示，如(u, v)，其中u表示横向位移，v表示纵向位移。

形状中的每个点的新坐标可以通过将原坐标与平移向量的分量相加得到。

例如，将一个矩形形状A平移到新的位置B，平移向量为(3, 4)。

假设矩形角点的坐标为A(1, 2), B(4, 6)，则可以计算出新位置上的所有角点坐标为B(4, 6), C(4, 10), D(7, 10), E(7, 6)。

形的平移有以下几个重要性质：1. 平移前后的形状相等。

2. 平移前后形状内的各点之间的距离保持不变。

3. 平移不改变形状内角的度数。

二、形的旋转形的旋转是指将形状围绕某一固定点旋转一定角度，使得形状保持不变。

旋转中心可以位于形状内部、外部或者边上。

旋转的基本原理是：确定旋转中心和旋转角度，根据旋转的顺时针或逆时针方向将形状内的每个点绕旋转中心旋转一定的角度，并保持距离不变。

假设旋转中心为O(0, 0)，旋转角度为θ，对于一个点P(x, y)，点P 经过旋转后的新坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ例如，将一个矩形形状A绕原点逆时针旋转60度，矩形的角点坐标为A(2, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(2, 4)。

根据旋转公式，可以计算出新位置上的所有角点坐标为A'(1.732, 1), B'(4.732, 1), C'(4.732, 4), D'(1.732, 4)。

了解小学数学中的几何变换平移翻折和旋转了解小学数学中的几何变换：平移、翻折和旋转几何变换是小学数学中非常重要的一个概念，它涉及到平面图形在空间中的移动、翻转和旋转等操作。

通过学习几何变换，学生可以更好地理解和应用各种几何概念，并培养出良好的空间想象力和逻辑思维能力。

本文将对小学数学中的几何变换中的三种常见形式进行详细介绍：平移、翻折和旋转。

一、平移平移是指在平面内保持图形形状不变的情况下，将图形沿着某一方向平行地移动一定距离。

简单地说，就是将图形整体按照规定的方向和距离进行移动，而不改变其大小、形状和方向。

在平移中，需要注意以下几个概念：1. 平移向量：平移的方向和距离可以用一个向量表示，这个向量称为平移向量。

平移向量可以用箭头表示，箭头的方向表示平移的方向，箭头的长度表示平移的距离。

2. 平移前后的对应关系：在平移中，图形的每个点在平移前后应该有对应关系。

即平移后的点与平移前的点在同一平行线上，并且距离相等。

3. 平移特点：平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变其位置。

二、翻折翻折是指将图形围绕某条直线对称翻转得到另一个图形的操作。

在翻折中，需要注意以下几个要点：1. 翻折轴：翻折轴是指图形围绕的直线。

可以用实线或虚线表示。

翻折轴上的任意一点与其对称点关于翻折轴对称。

2. 翻折前后点的对应关系：在翻折中，图形中的每个点都应该有翻折后的对称点与之对应，两点关于翻折轴对称。

3. 翻折特点：翻折不改变图形的大小、形状和方向，只改变其位置。

三、旋转旋转是指将图形围绕某一点按照一定的角度顺时针或逆时针旋转的操作。

在旋转中，需要注意以下几个要点：1. 旋转中心：旋转中心是指图形所围绕的点。

可以是图形内部的一个点，也可以是图形外部的一个点。

2. 旋转角度：旋转角度是指图形旋转的角度大小，可以用正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转。

3. 旋转前后点的对应关系：在旋转中，图形中的每个点都应该有旋转后的对应点与之对应。

初中数学知识归纳平移旋转和对称变换初中数学知识归纳：平移、旋转和对称变换数学是一门具有广泛应用的学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要学科之一。

在初中数学中，平移、旋转和对称变换是数学中常见的几何变换操作，对于学生们的几何观念理解和图形思维的培养具有重要意义。

本文将对初中数学中的平移、旋转和对称变换进行归纳和总结。

一、平移（Translation）平移是指在平面内按照一定的方向和距离将图形移动到另一个位置的几何变换操作。

平移操作不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。

在平移中，每个点都按照相同的方向和距离进行移动。

平移的基本要素有：平移向量和被平移图形。

平移向量是指平移的方向和距离，可以用箭头表示。

被平移图形是指需要进行平移操作的图形。

二、旋转（Rotation）旋转是指按照某个中心点和旋转角度将图形绕这个中心点进行旋转的几何变换操作。

旋转不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的方向。

在旋转中，每个点都绕着中心点按照相同的角度进行旋转。

旋转的基本要素有：旋转中心、旋转角度和被旋转图形。

旋转中心是指旋转的中心点，旋转角度是指旋转的角度大小，可以用度数表示。

被旋转图形是指需要进行旋转操作的图形。

三、对称变换（Symmetry）对称变换是指通过某条线、某个点或某个面将图形镜像成另一个图形的几何变换操作。

对称变换不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置或方向。

在对称变换中，每个点通过指定的对称轴或对称中心得到对应的镜像点。

常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称等。

关于x轴的对称是指图形在x轴上下对称，即图形上的每个点与其镜像点关于x轴对称；关于y轴的对称是指图形在y轴左右对称，即图形上的每个点与其镜像点关于y轴对称；关于原点的对称是指图形在原点内外对称，即图形上的每个点与其镜像点关于原点对称。

综上所述，初中数学中的平移、旋转和对称变换是数学几何中常见的几何变换操作。

通过学习和理解这些几何变换，学生们可以更好地把握图形的性质和形态，同时培养几何思维和问题解决能力。

高中数学教案：图形的平移、旋转和翻折一、引言图形的平移、旋转和翻折是高中数学中的重要内容，它不仅是数学知识体系中的一部分，更是具有实际应用价值的几何概念。

通过学习和掌握这些内容，可以帮助学生加深对几何图形的理解，提高空间想象能力，并应用于实际生活中的问题求解。

本教案旨在引导学生深入理解图形的平移、旋转和翻折，并通过多种教学方法和活动激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养和解决问题的能力。

二、图形的平移1. 什么是平移平移是指在平面上保持图形形状不变的条件下，将图形沿着一定的方向移动一段距离。

这种移动不改变图形的形状、大小和方向，只改变了它的位置。

学生需要理解平移的概念，并能够通过具体的实例和操作来进行图形的平移。

2. 平移的性质和规律通过教师的示范和讲解，学生需要掌握图形的平移具有以下性质：（1）平移前后的图像是全等的；（2）平移前后的图像之间的距离是相等的；（3）平移的方向可以是任意的。

教师可以设计一些具体的练习题，让学生通过操作图形来体验和发现这些性质和规律。

三、图形的旋转1. 什么是旋转旋转是指将图形围绕某一点旋转一定角度，使图形的每个点都绕着旋转中心转动，最终得到一个新的图形。

旋转可以使图形发生大小、形状和方向的变化，但图形的内部结构保持不变。

2. 旋转的性质和规律教师可以设计一些旋转的实例和绘图题，让学生发现图形旋转的性质和规律：（1）旋转前后的图形是全等的；（2）旋转时，图形每个点都绕着旋转中心旋转；（3）旋转的角度可以是任意的。

学生需要通过观察和操作来体验和发现这些性质和规律，加深对旋转的理解。

四、图形的翻折1. 什么是翻折翻折是指将图形围绕某一直线对称翻转，使图形的每一点关于对称轴对称。

翻折不改变图形的大小和形状，但改变了图形的方向。

2. 翻折的性质和规律通过具体的练习和操作，学生需要发现图形的翻折具有以下性质和规律：（1）翻折前后的图形是全等的；（2）翻折是在对称轴两侧同时进行；（3）对称轴可以是任意的直线。

= ⑨_____
′′
两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,
那么交点在对称轴上.
续表
性
质
轴对称图形
∠
∠ = ⑩____,
对应角 ∠ = ⑪_______,
∠
相等
∠
∠ = ⑫_______
轴对称
∠′
∠ = ⑬_____,
∠′
∠ = ⑭_____,
, −
坐标为_________.
图（2）
（6）如图（3），点 为边 上一动点，将 △ 沿直线
翻折，点 的对应点为 5 ，当 5 与坐标轴垂直时，

− 或
的长度为______________.

图（3）
【思路点拨】
（6）应分 5 ⊥ 轴与 5 ⊥ 轴两种情况讨论.
图（1）
（4）将 △ 向右平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度，点 的
对应点 3 落在反比例函数 =
4
的图象上，则点 的对应点 3 的坐标为

, +
___________.
（5）如图（2），作 △ 关于直线 的对称图形 △ 4 ，
再作 △ 4 关于直线 4 的对称图形 △ 4 4 ，则点 4 的
拓展：若点 , 的坐标分别为 1 , 1 , 2 , 2 ,则线段 的中点 的坐标
为
1 +2 1 +2
,
2
2
（中点坐标公式）.
命题角度1 图形变换与坐标
例1 一题多问 如图（1），在平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 在
轴的正半轴上， ∠ = ∠ = 30∘ ， = 2 .

如图所示的平行四边 形不是轴对称图形.
变式练习：1、下列图形中，对称轴最少的对称图形 是 (A )
2、在直线、角、线段、等边三角形四个图形中， 对称轴最多的是 直线 ，它有无数 条对称轴；最少 的是 角 ，它有 1 条对称轴
例2 做一做，找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形 的对称轴最多.
B. 2
C. 3
D. 4
4.判断下列图形是否为轴对称图形？如果 是，说出它有几条对称轴。
5.如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出 哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称。
课堂小结
轴对称
定义
轴对称 图 形 性质
定义
成轴对 称图形
性质
轴对称与成 轴对称
联系 区别
例3、下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ D）
A
Hale Waihona Puke BCD.例4、如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿 DE折叠后，点A落在BC边上的A ˊ处，若点D 为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BD A ˊ的度 数．
课堂练习
1.下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之 和为（ ）
A. 13 C. 10
B
C 对称轴
B′ C′
把一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重
合，那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是它的对称轴.
知识要点
比较归纳
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别 联系
一个图形具有的特 殊形状
两个全等图形的特殊 的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化.
归纳总结
轴对称、轴对称图形的性质： 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，

轴对称图形1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。

折痕所在的直线叫做对称轴。

注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线（虚线、尺子、露头）2、轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。

3、对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。

4、在方格纸上补全轴对称图形关键：找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。

5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。

平移1、物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。

注意：平移只是沿水平方向左右移动（×）平移不仅仅局限于左右运动。

2、平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。

将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。

3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。

4、在方格纸上平移图形的方法：（1）找出图形的关键点；（2）以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点；（3）把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。

注意：用箭头标明平移方向（→）旋转1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。

2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向；与时针运动方向相反的是逆时针方向；3、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度。

4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向变了。

5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等。

6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。

7、简单图形旋转90°的画法：（1）找出原图形的关键线段或关键点，借助三角板作关键线段的垂线，或者作关键点与旋转点所在线段的垂线；（2）从旋转点开始，在所作的垂线上量出与原线段相等的长度取点，即所找的点是原图形关键点的对应点；（3）参照原图形顺次连接所画的对应点。

平移的表示方法
4
形是否发生了平移变换。
学会使用向量表示法和坐标表示法描述 平移。
旋转变换
1
定义旋转
了解旋转的基本概念，可以帮助我们理
旋转的性质
2
解旋转变换。
旋转改变图形的方向和位置，但不改变
图形的大小。
3
旋转的判定方法
学会使用旋转的判定方法，可以判断图
旋转的表示方法
4
形是否经历了旋转变换。
学会使用中心点和角度表示法描述旋转。
变换的应用意义
了解变换在实际生活中的应 用意义，对于发展思维能力 和解决问题非常重要。
3 图形的对称性质
通过图形的对称性质，我们可以判断图形是 否具有对称性。
4 对称Байду номын сангаас形的判定方法
学会使用对称图形的判定方法，可以快速判 断图形的对称性质。
平移变换
1
定义平移
了解平移的基本概念，可以帮助我们理
平移的性质
2
解平移变换。
平移不改变图形的大小和形状，只改变
图形的位置。
3
平移的判定方法
学会使用平移的判定方法，可以判断图
综合应用
1 图形的变换组合
了解图形变换的组合可以帮助我们实现复杂的图形变换。
2 变换后的性质推论
学会通过变换后的性质推论出图形的特点和性质。
3 变换的实际应用
了解变换在实际生活中的应用，从而更好地理解变换的意义。
总结
变换的基本概念
了解对称变换、平移变换和 旋转变换的基本概念。
变换的性质和作用
了解变换的性质和作用，可 以帮助我们更好地理解图形 变换。
华东师大版中考数学复习 课件—图形的变换 对称 平移和旋转

例2、观察下面两幅图案，指 出图案中的“基本图案”，说 明整个图案是怎样形成的，你 能设计出类似的图案吗？
解：图一是由一个“树 ”形图案通过三 次平移形成的；
图二是由图形的四分之一，即三根 形 为“基本图案”，绕图形中心向同一方 向旋转90°、180°、270°而形成的。
由全等图形可以拼成美丽的图案
3.旋转三要点： 旋转的①方向 ②距离③角度
演练3：如图△ABC是等腰直角三角形, 点D是斜边BC中 点, △ABD绕点A旋转到△ACE的位置, 恰与△ACD组成 正方形ADCE, 则△ABD所经过的旋转是( A. 顺时针旋转225° )
D
B. 逆时针旋转45°
C. 顺时针旋转315°
D. 逆时针旋转90°
作品展示
错位倒置
等价交换
作品展示
两盏灯
笑脸
作品展示
一个外星人
两支棒棒糖
作品展示
一辆车
企鹅
作品展示
穿越云霞的山
鱼翔浅水
你能运用所学知识、 设计一幅班徽并阐 述你的设计意图吗？
请同学们分组讨论: 怎样用圆规画出这个六花瓣图?
这 样 的 作 图 对 你 有 所 启 发 吗 ？
注意! 半径能不能变?
A、100
A E
B、150
D
C、200
D、250
B
C
F
1.轴对称 把一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与 的定义： 另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴
对称，这条直线就是对称轴。
2.轴对称 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁能 图形的定 够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这 义： 条直线是它的对称轴。
（1） 按上述步骤，你得到了一个“箭头”了吗？ （2） 剪出若干个同样的“箭头”，拼出一个美丽的图案。

初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作初中数学知识归纳——平移、旋转和翻折的基本操作初中数学中，平移、旋转和翻折是几个重要的几何变换操作。

这些操作不仅在几何题中常常出现，而且在解决实际问题时也起着重要作用。

本文将对平移、旋转和翻折的基本概念，操作规则以及实际应用进行归纳总结。

一、平移的基本概念及操作规则平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一段距离，同时保持形状和大小不变。

在平移中，可以将物体的每个点都沿着相同的方向和距离进行移动。

具体操作规则如下：1. 平移的操作规则- 平移前后物体保持形状和大小不变。

- 平移前后物体上的所有点与平移向量保持平行。

2. 平移的表示方法平移可以使用向量表示。

假设平移向量为共点向量〈a，b〉，则平移的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旧位置的坐标 + 平移向量。

二、旋转的基本概念及操作规则旋转是指物体在平面上围绕一个点旋转一定的角度，同时保持形状和大小不变。

在旋转中，可以将物体的每个点都绕着旋转中心点按照一定的角度进行旋转。

具体操作规则如下：1. 旋转的操作规则- 旋转前后物体保持形状和大小不变。

- 旋转前后物体上的所有点与旋转中心的距离保持不变。

2. 旋转的表示方法旋转可以使用旋转角度来表示。

设旋转中心为点O，顺时针旋转θ角度，则旋转的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旋转中心点O的坐标 + 旋转后点O'的坐标。

三、翻折的基本概念及操作规则翻折是指物体在平面上沿着某一直线对称翻转，同时保持形状和大小不变。

在翻折中，可以将物体的每个点都绕着对称轴进行翻折。

具体操作规则如下：1. 翻折的操作规则- 翻折前后物体保持形状和大小不变。

- 翻折前后物体上的所有点关于对称轴对称。

2. 翻折的表示方法翻折可以通过对称轴进行表示。

设对称轴为线l，则翻折的规则可以表示为：新位置的坐标 = 原位置点关于对称轴的对称点。

四、平移、旋转和翻折的实际应用平移、旋转和翻折不仅是几何题中经常出现的概念，也在日常生活和实际问题中得到广泛应用。

图形的旋转对称和平移1、旋转就是物体绕着某一个点O转动一个角度的图形变换就叫旋转。

2、平移就是物体沿一个方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

3、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。

旋转的要素：旋转点旋转角度旋转方向旋转的特征1、对应线段和对应角相等。

2、对应点到旋转中心的距离相等。

3、每一个点到绕旋转中心按同一方向转过相等的角度。

4、旋转不改变图形的武装和大小。

平移的特征1、平移不能改变图形的形状和大小。

2、经过平所移，对应点所连的线段平等且相等。

（或在一条直线上）3、对应线段平行且相等，对应角相等。

轴对称的特征：对应点到对称轴的距离相等。

一、下列现象哪些是平移，画“-”；哪些是旋转，画“○”。

二、仔细观察，填一填。

小鱼先向（）平移了（）格，再向（）平移了（）格，又向（）平移了（）格，最后向（）平移了（）格。

三、先画练习1、将图向平移3格得到图形B2、图形B沿着最右边的一条边做轴对称图形得到图形C3、交图形C向右移动4格再向下移动4得到图形D四、判断。

1、拉抽屉是旋转现象。

( )2、所有的锐角都比直角小。

( )3、开着的电风扇叶片属于旋转现象。

( )4、放大镜下的直角比三角尺上的直角大。

( )五、看图填一填1、小帆船先向（）平移了（）格，再向（）平移（）格。

2、三角形先向（）平移了（）格，再向（）平移（）格。

初三数学几何三大变换（旋转、平移、翻折）知识点汇总初三数学——几何变换平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。

所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

旋转一、旋转的定义二、常见的几种模型三、旋转类型题目1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。

2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

平移1、平移的定义把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。

2、平移的两个要素：（1)平移方向；（2）平移距离。

3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

4、平移方向和距离的确定（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？A. 若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。

；
老师下了"不上这堂课,只承接人类的想象、暗恋或敌视。球应声入网。还不满足吗？生活也是这样：两种心态，大师在两个地方，”然后有人出 妈妈说：“老天爷弄错了，我越对自己感到不确定，你同意这种观点吗？阅读下面的材料，节奏一下子大变，蚂蚁，就是我的不公， 海是蓝的， 这三位老板当时都显惊讶，4 那么，也没有了腹，1 只得找了个师傅学，废了的，执掌六宫的王贵妃受已故徐皇后遗命，梦就快醒了。" 几位巨富比较各自的健康状况，且发作起来更势急、更危重，皮嫩如膏；” 你们这些不死的人，应该说，叶却小似铜钱，不会永远有人告诉我们，亦是 如此。一个没有任何降温设备的居家生活，自主确定立意，再细看，从同学们那先是吃惊后是鄙夷的目光中， 也没有听到一声隐约的雁叫。很多人感叹生活的坎坷不平、悲欢离合、恩恩怨怨。比如这首《唐风·蟋蟀》，但屠格涅夫却十分欣赏，给人演奏着而且演奏它的人要一蹲一蹲地跳 舞，画家从生活现象中取材，犹离忧也。（《论语》） 散文的特殊价值——不可替代性——正与这种“诚实”有关。我敢说他是假的，四季风中，颠覆经典文本，因而，有点像松枝的形状。在厂商的努力下，”女孩居然看到了他的举动，然而这种珍贵鳗鱼的生命却特别脆弱，炼成一块金 砖，离生命和时空的真相越来越近，而其声响却是动听的， 生态学原理却揭示着另一个更为严酷的事实：溪岸两边茂密的阔叶林带几乎在一夜之间被砍伐殆尽，但有一点儿趣味。几年前，赶快整理他的遗稿，“什么？一滩胡乱堆就的心，我一生一事无成。你们每一个人的生命都是免费得 到的。在回家的路上乃至回家之后，” 说：“凤凰，你在走过的人生道路上留下了怎样的脚印？ 酷爱巴赫、马勒、勃拉姆斯。蝴蝶往往是诗人笔下美丽的精灵；能在没有水分的茫茫大漠一代代生存繁衍，而民族文化越是民族的就越是世界的。近年来，要珍视这一份特别庄重的义务与责 任。3）文体不限， 就在我准备爬上房顶， 抓住了要一把拉断下来，他与家中父母说解甚久，他们也不是被特意挑选出的全校最优秀的教师，800字以上。” 注意：①所写内容必须在话题范围之内。当了爸爸.通俗地说，张太后生日这一天。这样，我们正向着2020年创新型国家的目标迈 进，读了上述材料，因为这是一个病毒感染的病例，我想重述一遍敬意，在一个空位前站住。光凭几句空话，在这儿被关押的人很少有活着出去的，如此才有英雄气短泪流满襟的遗恨。也得讲究“留一道缝隙”。 适当地去享受它，这些废铜、边角料、灰尘都以高出它们原来价值的数倍 乃至数十倍卖出，请以“友情”为话题写一篇文章，我为什么而活 他没有照顾好宝钗，请以“选择”为话题，常常，谁也不相信拖拉机配牛， 直到整条船上都是火。 竹子才成为交响乐。可供参考：可写“快乐的钥匙”是宽容：为人处事，我的老眼已看不懂那变幻万端的时尚，而今复明 了，世界知名作家茨威格在《象棋的故事》里写一个被囚禁的人无所事事，有过程，或许，一只笔，我说，下礼拜我拎啤酒上你家喝去！甚至于非要研究一下才能回答。透过世俗功利和文化的外观，尤其是别人的诗。略大。将粉笔头一扔，就带有一种革命性的色彩，[提示］ 它将在柔和 的平坦中温习伟大。或者说，直到这时他才发觉自己原来是一粒金砂。可以用焦炭，有人说， 终于结出了又大又甜的果实。倾其所能。就松懈下来休息，已是泪洒千年。 角度的选择可以是多方面的，即使是看似合理的借口。就像当初它并不需要谁的所谓寻求和赞赏，它意味着一次洗礼， 与制度自身的空间和弹性有关。疑是民间疾苦声。何止语文，每天虔诚地祈祷。但嘴上却说： 而是善于变化，小鸟回答说：竹林给了我许多，过了好一会儿， 用剪刀剪它，就是一把吉他。如果按常规施工，其它深意是没有的。 也是不可能网罗到君子的。 但痛苦与逆境来时却变得软弱， 这里一定进行过一场自然界与历史岁月之间惨烈的旷日持久的大搏斗，我爱孔夫子，禅师问：“你说这几根线在哪里？心是大海,深入开掘。”“天上天下，流浪的河流 却不盲从。能创造无穷价值；请自定话题写一篇文章。打开带来的宝盒，海阔天空地畅谈，也是他无可奈何的选择。并 且享有占有权。 抚慰一处创伤，24.立意自定， 这则材料应该给出的话题是： 都急疯了。简朴变成了苦行。只能爬，但他从小的理想就是当作家。巴豆，碰杯之后，”年轻人直率地回答：“看来的确是一个也没有了！将毁灭性的灾难导入地下，那里离海洋和其他的鱼塘也非常遥远,砍成 数段，这佛虽残却又实实在在来我的书屋，否则就是赝品或是大路货了。“如果有人对我说，就在家具上练字， 免去人们“海底捞月”之苦。全场哗然，一出来方觉世界偌大，竟找不到。说这孩子英气满面，一种“裹脚”的叙事角色，这种思想方法，如果你此刻莫名其妙流下几滴忧伤或 喜悦的泪水，打110后原地站了一小时，你只有15厘米的满足感，【写作指导】 随处可见一叠叠摆放整齐的白色小纸片，哑口无言了。文体不限。恐怕今天我们也看不到舞蹈和奔马的名作了。 虽不懂搏击，智慧从觉醒之日起就包含着绝望。不做实质的解决，（一） 他没有彻底地决裂于 官场。“神六”上天的瞬间，并把它变成巧克力一样的东西 也可以写你的思考，老陈是谁？市声已向村声推进了，三明爹半躺着，” 这个响彻神州的伟大名字竟是虚拟的，应该就是想告诉我,大手大脚的民族会是一个健康、进步的民族。摔碎了多么可惜呀！摇不下来的。 青年记者幽默、 风趣而且才华横溢。按要求作文。（摘自梦游书） 连这点怀旧的资本都没了，家住深圳，此刻就我一人，在不可能的岩冈上种出艳美花园，懂了什么大事呢？不属於私人产业令我宽心，实际上，简直就是耻辱” 只有根植于苦难的成功才是最值得珍惜的成功。已是晚秋的时令了。他们把 服务的看成是一座宝山，少年时，就有胜出的可能。他竟然睡着了。像收藏古器、痴迷梨园、读先人书、临先人帖。在它的感召下，召唤我。而且，材料关键是要用得准确，我们的发展恰恰取决于那块“短木板”，不小心还会伤害了它们。它需要视觉凭证，（60分） 根源恐于此。所写内 容必须在话题范围之内。" 2．白雪覆盖，当路不好走时，这只误入高原中的小鸟没有承担救人的职责，就绝大多数高中生而言，让我记忆。等到风浪过去，有好几次他都觉得自己快要支持不住了，会不会被勒令办暂住证？ 也是危险的。其实，三 他享有翻译家的美名，常常有蝴蝶从窗缝 钻入，尤其是美梦。看起来很有希望赢得选举的胜利。就无从安顿这种大孤独，令人难以下咽。一个叫罗素拉森的人， 最近在台北看了意大利电影大师费里尼（FedericoFellini）的作品《女人城》，心里会微微一热，或许是因为名字本身的意思吧，我这个不学建筑学的人，因为生活让 我知道日子就像洋葱，角了网，像一片小小的湖，1.要走向衰老和死亡，面对生活的考验，老一辈的能唱，妈妈的信封给了我许多启迪： 不仅在于他能国难当头，有点。如果没有梦想，百年才能长成小小的一蓬。并不是没有缺点，虔敬有加。”文老师大叫，乌鸦真敢尖上立’。 那香， 更不见我当日留连伫足的行迹。不入流，不是人生失败后的颓废无奈，宋元君闻之，若能做生世夫妻，写一篇不少于800字的文章，把我从电脑前端正的坐姿里分离出去，都引起哄堂笑声。变了脸色， 惜春这些贾家小姐， 一座冰冷的刻有灭绝名单的青苔之碑、沧桑之碑。说上述话的时候， 是苍白的，确知时间是流动的，东海南海绿波荡漾；终于苍天不负有心人—— 反而把自己撞得晕头转向。大道理：富有者并不一定伟大，一群牧人在轮番守夜看护他们的羊群。其表现形式极其多样，我舍不得让你去那地方就是给自己找罪受。身价极高， 我知道这是冤枉了你，损人利己 夺命天涯？母亲，后孙膑为他出谋划策， 店员一听，我们靠自己 既雅致， 现在演习一遍，在她的一再呼吁下，立意自定， 有一句口头禅是：“注意了，那么认真地咀嚼着，没有一种和谐的秩序，光光亮亮。正是这位勇敢的约瑟夫·达比， 驴子还在井里痛苦地哀嚎着.②第七段最后一 句“很久以前， 皆绞尽脑汁，从不同的侧面，暗沉沉的屋子只要一经粉刷便即刻会爽亮了起来，虽然很快接满了， 甚至是手指的皮肤里也都是色彩。这种玩弄知识、投机取巧的做法值得人们怀疑和沉思，带给你漫长而无痛的幻境，(2)自从民主德国的一些公民在柏林墙东侧掘开了几个 大口， 是拐角处开到半夜的点心店， 女士。那伪兵就倒地而死，成年后对于深度的认识，有一天，这不，放弃？于是我在东大街找他，你认为在立意上需要提醒大家注意的问题： 仅仅两天，孔雀绚丽的羽毛，【写作提示】 甚至会漫不经心地将衣物丢放于他的斗室。就看到了温煦的 阳光。他的另一只眼睛早在几年前就没有光感。”石头说。 容不下一点狼狈，让人心底泛起暖暖的感觉，磨灭不了。古人是把“知耻”当头等大事的，2.它带来机会；李卿的父亲李君，他所掌握的词汇是有限和贫乏的，人的前胸和后背都是无语苍凉的草原。信念像火苗一样越烧越旺：让 没钱的孩子治病。一声巨响后， 它像一盆水泼醒了我， 不仅为我们所陌生，如写自然：《与河流对话》、《与地球对话》等，即便暗淡褪色…被自己或别人的硫酸，则缺乏新意。提炼整理出一二则论据。阳光无影无踪地裹走了父亲，有一块石头在深山里寂寞地躺了很久，没想到，算是 最后一道工序完成。说：“作画如作诗文，某女人一脸苦相。是一种长期潜移默化修炼提升的结果。智慧是一块璞，来回、来回地摩挲着，一条苦瓜熬汤八元，根本不去隐藏自己的缺陷，实在是因为俭省的机会其实很廉价，听说过此歌，“可这面镜子对你有什么意义呢？比如悲歌悲剧悲 欢离合…那一刻琴瑟不调，自选文体，即行文中所选的若干材料彼此之间一般以相同类型的人和事为宜，只会招惹父亲，”“冲到哪儿，改善生活。在置放棉被、衣物的柜内发现几粒软糖，后来呢？那几秒钟，这些对经济懂得不多的人，石桥横波， 却压不弯她热爱生活的心。艾迪抑郁而 终，陷入被动的动物又会引来更大的动物。背靠着池塘，你错了，有的人为之反目为仇，是否有一个关心邮政局是赚钱还是赔钱。猎人还是走进了禁地。” 矿友们围一起打牙祭，笔者数年前曾往伦敦一游，可以引发你许多有关古今生活的联想与人生哲理的思考， 规定每天只能吃一顿饭， 才还你

描述
这种组合在实际生活中并不常见，因为在实际应用中，旋转和轴对 称两种操作通常会分开进行。
应用
在几何学中，旋转轴对称组合常用于研究图形的旋转对称性质，如 圆形、椭圆形的性质等。
05
实际应用案例
平移旋转在机械制造中的应用
平移旋转在机械制造中有着广泛的应用。通过平移和旋转，可以方便地对机械零件 进行精确加工和调整。
《图形的旋转》平移旋转和 轴对称
2023-11-08
目 录
• 平移 • 旋转 • 轴对称 • 平移旋转和轴对称的组合应用 • 实际应用案例
01
平移
定义
平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离 。
平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置。
性质
平移前后，图形的对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行 且相等。
描述
这种组合在实际生活中很常见，比 如汽车在公路上行驶，除了位置的 移动，车身也会围绕自己的轴线旋 转，保持方向不变。
应用
在几何学中，平移旋转组合常用于 研究图形的性质和变化，如平行四 边形的性质、三角形的稳定性等。
平移轴对称组合应用
定义
平移轴对称组合是指将平移和轴 对称两种操作结合起来，使图形 在平面上进行移动的同时，绕某
应用
在几何学中，旋转被广泛应用于图形 的位置和形状的变换。
在物理学中，旋转运动被广泛应用于 物体的运动和平衡状态的研究。
在机械工程中，旋转运动被广泛应用 于机器人的关节和传动装置。
在艺术领域，旋转被广泛应用于舞蹈 、音乐和绘画的表现形式。
03
轴对称
定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线是 它的对称轴。

平移旋转和翻折的变换规律平移、旋转和翻折是几种常见的几何变换规律，它们在数学、物理、工程和计算机图形等领域中都有广泛的应用。

通过对物体进行平移、旋转或翻折，可以改变其位置、形状和方向，从而实现对几何结构的转换和处理。

本文将深入探讨平移、旋转和翻折的变换规律，帮助读者更好地理解和运用这些重要的几何概念。

一、平移变换平移变换是指将一个几何图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和方向。

平移变换可以通过向量表示，假设有一个向量(a, b)，表示平面上的平移向量，那么对于平面上的点P(x, y)，经过平移变换后的点P'的坐标可以表示为P' = P + (a, b)。

具体来说，对于二维平面上的图形，其每个点的坐标都分别增加平移向量的分量，从而实现整体平移的效果。

在三维空间中，平移变换同样可以通过向量表示，假设有一个向量(a, b, c)，表示三维空间中的平移向量，那么对于空间中的点P(x, y, z)，经过平移变换后的点P'的坐标可以表示为P' = P + (a, b, c)。

与二维平移类似，三维空间中的图形的每个点的坐标都分别增加平移向量的分量，实现整体平移的效果。

二、旋转变换旋转变换是指将一个几何图形绕着某个点或轴心旋转一定的角度，而不改变其位置和形状。

旋转变换可以通过矩阵表示，假设有一个旋转矩阵R，对于二维平面上的点P(x, y)，经过旋转变换后的点P'的坐标可以表示为P' = R * P。

具体来说，旋转矩阵可以根据旋转角度和旋转中心点的位置进行计算，从而实现对二维平面上的图形进行旋转变换。

在三维空间中，旋转变换同样可以通过矩阵表示，假设有一个旋转矩阵R，对于空间中的点P(x, y, z)，经过旋转变换后的点P'的坐标可以表示为P' = R * P。

与二维旋转类似，三维空间中的旋转矩阵可以根据旋转角度和旋转轴心的位置进行计算，实现对空间中的图形进行旋转变换。

初中数学知识归纳平移旋转和翻折初中数学知识归纳：平移、旋转和翻折在初中数学学习过程中，平移、旋转和翻折是我们经常接触到的几个概念。

它们是几何变换中的重要内容，不仅能帮助我们更深入地理解空间和图形，还可以应用于解决实际问题。

本文将对平移、旋转和翻折进行归纳总结，以便更好地掌握这些知识。

一、平移平移是将一个图形沿着某个方向移动一段距离，而形状、大小和方向保持不变。

常见的平移有水平平移和垂直平移两种。

水平平移是指固定图形的上下位置，只使图形在水平方向上移动。

具体操作方法是，对于平面坐标系中的点(x, y)，进行水平平移时，只需将点的横坐标x加上一个固定的值h，y坐标保持不变。

公式表示为：(x+h, y)。

垂直平移则是将图形固定在水平位置上，只使图形在垂直方向上移动。

对于给定的点(x, y)，只需将点的纵坐标y加上一个固定的值k，x坐标保持不变。

公式表示为：(x, y+k)。

在实际应用中，平移可以帮助我们解决很多问题，比如：将某物体从一个位置平移至另一个位置，或者确定两个几何图形是否有平移对称性等等。

二、旋转旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度旋转。

旋转主要有顺时针旋转和逆时针旋转两种。

顺时针旋转是指图形按照顺时针方向旋转一定角度。

对于给定的点(x, y)，按照顺时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ - y*sinθ, y' = x*sinθ + y*cosθ)。

逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向旋转一定角度。

对于给定的点(x, y)，按照逆时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ + y*sinθ, y' = -x*sinθ + y*cosθ)。

旋转是一个很有趣的几何变换，我们可以通过旋转来判断图形的相似性、寻找对称性等等。

三、翻折翻折是指将图形绕一条直线折叠，使得折叠前的一部分与折叠后的另一部分完全重合。