几种线形之间的关系

4.2 直线、射线、线段1．直线(1)概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始的概念，直线常用“一根拉得很紧的细线”，“一张纸的折痕”等实际事物进行描述．(2)特点：直线向两方无限延伸，不可度量，没有粗细；并且同一平面内的两条相交直线只有一个交点．(3)直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即“两点确定一条直线”．(4)直线的两种表示法：一是用一个小写字母表示：如直线a，b，c或直线l等．另一个是用直线上两个点的大写字母表示，如：直线AB或直线BA.如图：表示为直线l或直线AB(点的字母位置可以交换)．(5)直线与点的位置关系：一是点在直线上，也叫做直线经过这点；另一种是点在直线外，也叫做直线不经过这个点．【例1－1】下面几种表示直线的写法中，错误的是()．A．直线a B．直线MaC．直线MN D．直线MO解析：直线的表示法有两种，一种是用一个小写字母表示，另一种是用直线上两个点的大写字母表示，所以直线Ma这种表示法不正确，故选B.答案：B【例1－2】如图，下列说法错误的是()．A．点A在直线m上B．点A在直线l上C．点B在直线l上D．直线m不经过B点解析：点与直线有两种位置关系，一是点在直线上，也称作直线过这点，另一种是点在直线外．所以C错误．答案：C2．射线(1)定义：直线上一点和它一旁的部分，叫做射线．它是直线的一部分．如图就是一条射线，其中O是射线的端点．(2)表示法：同直线一样，射线也有两种表示方法，一种是用一个小写字母表示：如射线a，b，c或射线l等，另一个是用射线上两个点的大写字母表示，其中前面的字母表示的点必须是端点．如图：表示为射线l或射线OA.注意：表示射线端点的字母一定要写在前面．(3)特点：射线只有1个端点，向一方无限延伸，因此不可度量．【例2－1】如图，若射线AB上有一点C，下列与射线AB是同一条射线的是()．A．射线BA B．射线ACC．射线BC D．射线CB解析：端点相同，在同一条直线上，且方向一致，就是同一条射线，所以B正确．答案：B3．线段(1)定义：直线上两点和它们之间的部分，叫做线段．它是直线的一部分．(2)特点：有两个端点，不能向两方无限延伸，因此它有长度，有大小．(3)表示法：同直线一样，线段也有两种表示法，一种是用一个小写字母表示，如线段a，b，c.另一种是用线段两个端点的大写字母表示．如图：可以表示为：线段AB或线段BA，或线段a.(4)线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简单的说成：“两点之间，线段最短．”意义：选取最短路线的原则和依据．(5)两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离．破疑点线段的表示表示线段的两端点的字母可以交换，如线段AB也是线段BA，但端点字母不同线段就不一样．【例3】如图有几条直线？几条射线？几条线段？并写出．分析：直线主要看有几条线向两方无限延伸，图中只有一条；射线主要看端点，再看延伸方向，3个端点，所以有6条，线段主要是看端点，3个端点，所以有3条．解：有一条直线AB(或AC，AD，AE，BE，BD，CD，…)；射线有6条：CA，CB，DA，DB，EA，EB.线段有3条：CD，CE，DE.4.线段的画法(1)画一条线段等于已知线段画法：①测量法：用刻度尺先量出已知线段的长度，画一条等于这个长度的线段；②尺规法：如图：画一条射线AB，在这条射线上截取(用圆规)AC＝a.(2)画线段的和差测量法：量出每一条线段的长度，求出它们的和差，画一条线段等于计算结果的长度．如：已知线段a，b(a＞b)，画线段AB＝a－b，就是计算出a－b的长度，画出线段AB等于a－b 的长度即可．尺规法：如图，已知线段a，b，画一条线段，使它等于2b－a.画法：如图，①画一条射线AB，在这条射线上连续截取(用圆规)AC=2b，②再以A为一个端点，截取AD=a，那么DC=2b－a.【例4】如图，已知线段a，b，c，画一条线段，使它等于a＋b－c(用尺规法)．画法：如图，①画射线(直线也可)AB，在射线AB上分别截取AC＝a，CD＝b.②以D为一个端点在AD上截取DE＝c，线段AE即为所求．5．线段的比较(1)测量法：就是用刻度尺测量出两条线段的长度，再比较它们的大小．(2)叠合法：把两条线段的一端对齐，放在一起进行比较．如图：①若C 点落在线段AB 内，那么AB ＞AC ；②若C 点落在线段AB 的一个端点上，那么AB ＝AC ；③若C 点落在线段AB 外(准确的说是AB 的延长线上)，那么AB ＜AC .谈重点 线段的比较 用叠合法比较两条线段的大小，一端一定要对齐，看另一个端点的落点，测量法要注意单位的统一．【例5】 已知：如图，完成下列填空：(1)图中的线段有________、________、________、________、________、________共六条．(2)AB ＝________＋________＋________；AD ＝________＋________；CB ＝_______＋__________.(3)AC ＝AB －__________；CD ＝AD －__________＝BC －__________；(4)AB ＝__________＋__________.解析：根据图形和线段间的和差关系填空，注意(4)题有两种可能．答案：(1)AC AD AB CD CB DB(2)AC CD DB AC CD CD DB(3)CB AC DB(4)AD DB 或AC CB6．线段中点、线段等分点(1)定义：点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点．(2)拓展：把一条线段分成相等的三条线段的点叫做这条线段的三等分点….(3)等量关系：在上图中：AM ＝BM ＝12AB ；2AM ＝2BM ＝AB . 【例6】 如图，点C 是线段AB 的中点．(1)若AB ＝6 cm ，则AC ＝__________cm.(2)若AC ＝6 cm ，则AB ＝__________cm.解析：若AB ＝6 cm ，那么AC ＝12AB ＝3(cm)． 若AC ＝6 cm ，那么AB ＝2AC ＝2×6＝12(cm)．答案：3 127．关于延长线的认识延长线是重要的，也是应用较多的几何术语，是初学者最易错，最不好理解的地方，下面介绍几种关于延长线的术语：如图(1)延长线段AB ，就是由A 往B 的方向延长，并且延长线一般在作图中都用虚线表示；如图(2)叫做反向延长线段AB ，就是由B 向A 的方向延长；如图(3)延长AB 到C ，就是到C 不再延长；如图(4)延长AB 到C ，使AB ＝BC ；如图(5)点C 在AB 的延长线上等．几种常见的错误，延长射线AB 或延长直线AB ，都是错误的，图(6)中只能反向延长射线AB .【例7－1】 若AC ＝12AB ，那么点C 与AB 的位置关系为( )． A ．点C 在AB 上 B ．点C 在AB 外C ．点C 在AB 延长线上D ．无法确定答案：D【例7－2】 画线段AB ＝5 cm ，延长AB 至C ，使AC ＝2AB ，反向延长AB 至E ，使AE ＝13CE ，再计算： (1)线段AC 的长；(2)线段AE ，BE 的长．分析：按要求画图．由画图过程可知：AC ＝2AB ，且C 在AB 的延长线上，所以AB ＝BC ＝12AC ，E 在AB 的反向延长线上，且AE ＝13CE ，所以AB ＝BC ＝AE ＝5 c m.解：如图：(1)因为AC ＝2AB ，所以BC ＝AB ＝5 cm ，所以AC ＝AB ＋BC ＝5＋5＝10 (cm)．(2)因为AE ＝13CE ，所以AE ＝AB ＝BC ＝5 cm ， 所以BE ＝AB ＋AE ＝5＋5＝10 (cm)．8.线段的计数公式及应用一条直线上有n 个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即A →AB ，AC ，AD ，B →BC ，BD ，C →CD ，线段总数为3＋2＋1＝6，若是更多的点，由以A 为顶点的线段的条数可以看出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有n 个点时，以A 为顶点的线段就有(n －1)条，同样以B 为顶点的线段也有(n －1)条，因此n 个顶点共有n (n －1)条线段；但由A 到B 得到的线段AB 和由B 到A 得到的线段BA 是同一条，而每条线段的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了2次，所以除以2就是所得线段的实际条数，即当一条直线上有n 个点时，线段的总条数就等于12n (n －1)． 【例8－1】 从秦皇岛开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？分析：这个问题相当于一条直线上有4个点，求这条直线上有多少条线段．因为任意两站之间的票价都不相同，因此有多少条线段就有多少种票价，根据公式我们很快可以得出有6种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有12种车票．解：当n ＝4时，有n (n －1)2＝4×(4－1)2＝6(种)不同的票价．车票有6×2＝12(种)．答：有6种不同的票价，有12种车票．【例8－2】 在1,2,3，…，100这100个不同的自然数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？分析：本题初看似乎和线段条数的计数规律无关，但事实上，若把每个数都看成直线上的点，而把这两个数求和得到的结果看成是1条线段，则其中的道理就和直线上线段的计数规律是完全一致的，因而解法一样，直接代入公式计算即可求出结果．解：不同的结果共有：12n (n －1)＝12×100×(100－1)＝4 950(种)． 答：共有4 950种不同的结果． 9.与线段有关的计算和线段有关的计算主要分为以下三种情况：(1)线段的和差及有关计算，一般比较简单，根据线段间的和差由已知线段求未知线段．(2)有关线段中点和几等分点的计算，是本节的重点，其中以中点运用最多，这也是用数学推理的方式进行运算的开始．(3)综合性的运算，既有线段的和差，也有线段的中点，综合运用和差倍分关系求未知线段．解技巧 线段的计算 有关线段的计算都是由已知，经过和差或中点进行转化，求未知的过程，因此要结合图形，分析各段关系，找出它们的联系，通过加减倍分的运算解决．【例9－1】 如图，线段AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，点D 在CB 上且DB ＝1.5 cm ，求线段CD 的长度．分析：根据中点关系求出CB ，再根据CD ＝CB －DB 求出CD .解：CB ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，CD ＝CB －DB ＝4－1.5＝2.5(cm)． 答：线段CD 的长度为2.5 cm.【例9－2】 如图所示，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，求线段CD 的长．解：由于C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，所以OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，所以CD ＝12(OA ＋OB )＝12AB ＝12×4＝2. 答：线段CD 的长为2.10．直线相交时的交点数两条直线相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，那么n 条直线两两相交最多有多少个交点？下面以5条直线两两相交最多有多少个交点为例研究：如图，当有5条直线时，每条直线上有4个交点，共计有(5－1)×5个交点，但图中交点A ，既在直线e 上也在直线a 上，因而多算了一次，其他交点也是如此，因而实际交点数是(5－1)×5÷2＝10个，同样的道理，当有n 条直线时，在没有共同交点的情况下，每条直线上有(n －1)个交点，共有n 条直线，交点总数就是n (n －1)个，但由于每一个点都数了两次，所以交点总数是12n (n －1)个． 【例10－1】 三条直线a ，b ，c 两两相交，有__________个交点( )．A ．1B ．2C ．3D ．1或3解析：三条直线a ，b ，c 两两相交的情形有两种，如图．答案：D【例10－2】 同一平面内的12条直线两两相交，(1)最多可以有多少个交点？(2)是否存在最多交点个数为10的情况？分析：(1)将n ＝12代入12n (n －1)中求出交点个数．(2)交点个数为10，也就是12n (n －1)＝10，即n (n －1)＝20，没有两个相邻整数的积是20，所以不存在最多交点个数是10的情况．解：(1)12条直线两两相交，最多可以有：12n (n －1)＝12×12×(12－1)＝66(个)交点． (2)不存在最多交点个数为10的情况．11.最短路线选择“两点之间，线段最短”是线段的一条重要性质，运用这个性质，可以解决一些最短路线选择问题．这类问题一般分两类：一类是选择路线，选择从A 到B 的最短路线，连接AB 所得到的线段就是；另一类是选择一个点，使这个点到A ，B 的距离之和最小，根据“两点之间，线段最短”这条线段上的任一点到A 到B 的距离之和都等于这条线段的长度，所以这条线段上的任一点都符合要求．但这类问题往往还有附加条件，如：这点还要在某条公路上，某条河上等，所以要满足所有条件．解技巧 求最短路线 对于第一类问题，只要将A ，B 放到同一个平面上，连接AB 即可得到所需线路．对于第二类问题，连接AB ，它们的交点一般就是所求的点．【例11】 如图(1)，一只壁虎要从圆柱体A 点沿着表面尽可能快的爬到B 点，因为B 点处有它要吃的一只蚊子，则它怎样爬行路线最短？分析：要想求最短路线，必须将AB 放置到一个平面上，根据“两点之间，线段最短”，连接AB ，所得路线就是所求路线，因此将圆柱体的侧面展开如图(2)所示，连接AB ，则AB 是壁虎爬行的最短路线．解：在圆柱上，标出A ，B 两点，将圆柱的侧面展开(如图(2))，连接AB ，再将圆柱复原，会得到围绕圆柱的一条弧线，这条线就是所求最短路线．析规律 立体图形中的最短路线 在立体图形中研究两点之间最短路径问题时，通常把立体图形展开成平面图形，转化为平面图形中的两点间的距离问题，再用平面内“两点之间，线段最短”求解．。

八下数学第二章思维导图人教版《八下数学》是学生日常学习、生活中涉及到的最广泛的问题，它是由全国人民共同创造、共同发展起来。

《八下数学》教材分为八章，第一章为基本概念与性质，第二章为数学方法及应用，第三章为算术几何。

这几章是八年级数学的基础知识和重要知识点，也是学好数学的重点所在。

“八下数学”作为国内最早应用于小学课本教学的一门学科，从初中进入高中后，对此章节内容有所侧重和改变。

所以“八下数学”中部分知识涉及范围较广。

本节课内容共分为四个板块：概念与性质、空间与几何、计算应用和解题技巧三个方面。

通过对概念与性质、空间与几何、计算应用三个方面内容的分析和总结，掌握了该部分内容中重要的知识点及运用公式解决问题的能力。

一、概念与性质本单元主要包括两个重要的知识点：概念：两个概念相互关联，互相影响。

两个概念相互区别，共同构成一个新事物及其概念。

性质：概念的发展和完善是一个动态的过程。

认识新事物是认识事物与不一样事物之间区别的开始，它是认识事物发展和完善所必须具备的一种态度。

通过本单元内容的学习，可以将此部分内容形成一条逻辑清晰、完整可行的知识脉络。

1、两个概念相互关联，互相影响，是两个概念相互区别的基础。

(1)含义：表示一件事物的不同方面的属性，而这一属性是在具体事物的某个方面或某些方面具有某种属性。

(2)关系：一个事物或一组关系可以表示成多个概念。

(3)关系：在相互关联的基础上形成的概念。

(4)关系：两个不一样的概念必须互相学习或者影响彼此才能被创造和应用。

(5)区别：事物具有相对独立性和相对统一性；事物具有绝对性和相对独立性；事物具有相对统一性；事物具有绝对性和相对统一性；事物具有相对统一性。

(6)解释：两个事物或要素之间相互关系或区别是认识新事物及其自身关系和相互关系及产生一系列新概念所必须具备的前提条件。

也是知识理解与记忆中极其重要的内容之一。

通过此部分内容学习可以使学生了解事物之间相互区别的基础知识，从而加深学生对这部分内容的理解与记忆。

三角形的三边关系为:三角形，任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.由于是线段的不等量关系，我们在遇到求边或周长的范围以及一些不等量的习题时，就要想到利用这一性质，常见的应用如下:一.判断三条线段能否组成三角形(最直接的方法是，若两条短线段的和大于最长的线段，则此三线段可构成三角形)1.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(____)A.2，3，4.B.5，6，7.C.5，6，12.D.6，8，10.2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是(____)A.5，5，10.B.4，5，6.C.4，4，4.D.3，4，5.二.求三角形第三边的长或取值范围3.若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足|a2一9|+(b一2)2=0，则第三边长a的取值范围是______.4.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(______).A.14.B.10.C.3.D.2.5.若三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是(_____).A.6<L<15.B.6<L<16.C.11<L<13.D.10<L<166.一个三角形的两边长分别为5㎝和3㎝，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是(_____).A.2㎝或4㎝.B4㎝或6㎝.C.4㎝.D.2㎝或6㎝.三.求等腰三角形的边长及周长7.已知实数x，y满足|x一4|+(y一8)2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(____).A.20或16.B.20.C.16.D.以上均不对.8.若等腰三角形的周长为10㎝，其中一边长为2㎝，则该等腰三角形的底边长为(_)A.2㎝，B.4㎝.，C.6㎝，D.8㎝.9.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数.(1)求△ABC的周长;(2)判断△ABC的形状.解:(1)∵AB=5，BC=2，∴3<AC<7，又∵AC的长为奇数，∴AC=5，∴△ABC的周长为5+5+2=12.(2)∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形四.化简含绝对值的式子10.已知a，b，c为三角形的三边长，化简:|b+c一a|+|b一c一a|一|c一a一b|一|a 一b+c|.【分析】化简绝对值，关键判断绝对值里边的代数式是正数、负数还是零.是正数或零，去掉绝对值，代数式保持不变;是负数，去掉绝对值后，代数式变为原来的相反数，之后，能合并的再合并同类项.本题通过三角形三边关系判断绝对值里边代数式的正、负情况.解:∵a，b，c为三角形的三边长，∴b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴b+c一a>0，b一c一a<0，c一a一b<0，a一b+c>0，∴原式=(b+c一a)一(b一c一a)+(c一a一b)一(a一b+c)=2c 一2a.五.证明线段不等关系10.如图，已知P是△ABC内一点，求证:PA+PB+PC>(AB+BC+AC)【分析】AP，BP，CP把△ABC分为三个三角形，每个三角形两边和大于第三边，AP，BP，CP正好各用两次，也即2PA+2PB+2PC>AB+BC+AC，也即得证.证明:在△ABP中，PA+PB>AB，在△ACP中，PA+PC>AC，在△BPC中，PB+PC>BC，∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC，即PA+PB+PC>(AB+BC+AC)/2.11.如图，P是正方形ABCD的边DC延长线上的一点，连结PA交BC于点E，求证:AP>AC.【分析】证明线段不等关系，想到三角形三边关系，可AC，AP，PC是在一个三角形中，但又引进了PC，那么就想到把AP折成两条线段和AC围成一个三角形，那么又怎样把AP分成两段呢？从图看∠ECP=90°，想到直角三角形斜边的中线，如图取PE的中点F，连结CF，则PF=CF，这样成功的把AP段分成AF，PF两段，CF等量代换PF，在△ACF中利用三边关系可证.证明:取PE的中点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥DP，∴CF=FP=PE/2，在△AFC中，有AF十FC>AC，∴AF十FP>AC，即AP>AC.12.如图，已知:D是△ABC的外角∠EAC的平分线上的一点.求证:DB+DC>AB+AC.【分析】要证DB+DC>AB+AC，可用三角形三边关系定理，但必须把BD、DC、AB+AC移到一个三角形中，可以从构造AB+AC入手，由于AD平分∠EAC，利用角平分线的对称性，将AC，AB移在一条线上，同时能将CD边进行转换，如图，在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN则可构造出△DAN≌△DCA，则AC=AN，DC=DN，达到了所要的目的在△BDN中，BD+DN(DC)>AN(AB+AC).证明:在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，AD=AD，AN=AC，∴△ADN≌△ADC，∴DN=DC，在△BDN中，BD+DN>BN，∴BD+DC>AB+AC.13.如图，P为△ABC内一点，求证:AB+AC>PB+PC.【分析】直接运用图中的△ABC和△PBC得到的AB+AC>BC，PB+PC>BC，不能解决问题，为使PB和CP同时出现在大于号右侧，则应构造新的三角形，可延长BP交AC于点D，或过点P作一直线.证明:(一)如图，延长BP交AC于点D，在△ABD中，AB+AD>BD，即AB+AD>BP+PD，在△CDP中CD+PD>PC，∴AB+AD+CD+PD>BP+PD+PC，∴AB+AD+CD>BP+PC，即AB+AC>BP+PC.证明:(二)如图，过点P任作一直线交AB于E交AC于F在△AEF中，AE+AF>EP+PF，在△BEP中，BE+EP>PB，在△PFC中，FC+PF>PC，∴(AE+BE)十(AF+FC)十EP+PF>PB+PC+EP+PF，∴AB+AC>PB+PC.六.利用三角形三边关系求最值13.如图∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，在运动过程中，点D 到点O的最大距离是多少？【分析】动点问题，总的方法是，以静制动，取AB的中点H，OH=AB/2不变，由勾股定理得AD2+AH2=DH2，∴DH=√2，也不变，在△DOH中，OH在变，有OH+DH≥DO，则点D、H、O 三点共线时取等号，所以点D到点O的最大距离为OH+DH=√2+1，如图.前八题答案如下:1.C，2.A，3.1<c<5，4.B，5.D，6.B，7.B，8.A.。

等腰三角形中线垂直于底证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述等腰三角形是几何学中的一种特殊三角形，其特点是两边相等或两角相等。

中线是等腰三角形中连接两边中点的线段，垂直关系是指两条直线或线段之间互相垂直的关系。

本文将探讨等腰三角形中线是否垂直于底的问题，即等腰三角形中线与底边是否垂直的证明。

在本文的正文部分，我们将回顾和介绍等腰三角形以及中线的定义和性质。

首先，我们将回顾等腰三角形的定义，即两边相等或两角相等。

接着，我们将介绍等腰三角形的性质，例如等腰三角形的底边是两边之间的较长边，顶角是底角的两倍等。

然后，我们将详细讨论中线的定义和性质。

中线是等腰三角形中连接两边中点的线段，它具有一些特殊性质。

我们将介绍中线等分底边的性质以及中线长度与底边长度的关系等。

接下来，我们将引入垂直关系的定义和性质。

垂直关系是指两条直线或线段之间互相垂直的关系。

我们将介绍垂直关系的基本概念和判断方法。

在文章的结论部分，我们将给出证明等腰三角形中线垂直于底的方法。

通过运用等腰三角形、中线和垂直关系的性质，我们将得出中线与底边垂直的结论。

最后，我们将探讨该结论的重要性和应用。

证明等腰三角形中线垂直于底的结论是几何学的基础之一，它在解决各种几何问题中发挥着重要作用。

我们将举例说明该结论在解题中的应用。

综上所述，本文将通过回顾和介绍等腰三角形、中线和垂直关系的定义和性质，探讨等腰三角形中线垂直于底的证明。

该结论的重要性和应用也将被讨论。

在下一节中，我们将详细介绍等腰三角形的定义和性质。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来讨论等腰三角形中线垂直于底的证明：1. 等腰三角形的定义和性质：首先介绍等腰三角形的定义，即具有两条边相等的三角形。

然后讨论等腰三角形的性质，如两底角相等、两腰的中线相等等。

2. 中线的定义和性质：接着引入中线的概念，即连接等腰三角形两腰的中点的线段。

讨论中线的性质，如中线平行于底、中线长为底的一半等。

美术用线条表达形状在美术创作中，线条是一种重要的表达元素，具有丰富的表现形式和艺术效果。

通过运用不同类型的线条，艺术家可以准确地表达出物体的形状和轮廓，以及描绘出具体的对象和情感。

本文将探讨美术用线条表达形状的技巧和艺术魅力。

一、线条的种类在美术表现中，线条的种类丰富多样。

粗细、长短、曲直都会影响线条的表现力。

常见的线条类型有以下几种：1. 实线：这是最基础的线条类型，它有明显的轮廓和边界，能够清晰地勾勒出物体的形状和结构。

2. 虚线：虚线由间断的点和线组成，可以用来描绘物体的边界和轮廓。

它的特点是不连续、有节奏感，给人以变化和动感的感觉。

3. 斜线：斜线可以通过不同角度和长度来表达物体的倾斜和方向。

它常用于描绘山脉的轮廓、建筑物的倾斜等。

4. 波浪线：波浪线具有曲线的特点，可以表达物体的柔和和流动感。

它适合描绘水面、云彩等具有曲线特征的事物。

5. 曲线：曲线是一种非常灵活的线条形式，可以表达出物体的变化和流动。

它可以创造出丰富的形状和复杂的轮廓。

二、线条表达形状的技巧要运用线条准确地表达出物体的形状，艺术家需要掌握一些基本的技巧和方法。

以下是线条表达形状的一些技巧：1. 线条的粗细：通过线条的粗细可以表现出物体的轮廓和质感。

粗线适合表现物体的主线条和边界，而细线则可以表达出物体的细节和纹理。

2. 线条的方向：不同方向的线条可以表现出物体的不同形状和运动状态。

垂直线条常常用于表达立体感和稳定感，水平线条则适合表达静态和平稳的感觉。

3. 线条的变化：线条的变化可以帮助描绘物体复杂的形状和细节。

通过使用粗细相间、强弱不同、曲直变化的线条，可以准确地表达出物体的轮廓和结构。

4. 线条的连接：在线条表达形状时，艺术家需要注意线条之间的连接和过渡。

通过合理地连接线条，可以使物体的形状更加连贯和自然。

三、线条表达形状的艺术魅力线条作为美术创作的基本元素，具有独特的艺术魅力。

通过精确地运用线条，艺术家可以表达出形状、纹理、动感等丰富的视觉效果，给人以美的享受和思考。

数学中的线性关系与函数在数学中，线性关系和函数是两个非常重要的概念。

线性关系是指两个变量之间存在着直接的比例或相关关系，而函数则更加广泛地描述了数学中各种关系和规律。

本文将会详细介绍线性关系和函数在数学中的应用和性质，并阐述它们在现实生活中的重要价值。

一、线性关系1.1 线性关系的定义与表达方式线性关系是指两个变量之间存在着直接的比例关系，可以用以下的一般形式来表示：y = kx + b。

其中，x和y分别代表两个变量，k为直线的斜率，b为直线的截距。

这个形式也被称为“斜截式”。

1.2 线性关系的性质线性关系具有以下几个重要的性质：（1）直线的斜率k代表着变量之间的比例关系，可以用来描述变量的变化情况。

（2）直线的截距b表示了当x为0时，y的值，即在一个变量为0的情况下另一个变量的值。

（3）在直线上，任意两点的斜率都是相同的，这也是直线性质的重要特点。

（4）线性关系可以用来预测和推测变量之间的关系，有着广泛的应用价值。

二、函数2.1 函数的定义和符号表示函数是一种将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。

函数可以用以下的形式来表示：f(x) = y。

其中，x称为自变量，y称为因变量。

函数可以用各种符号表示，如f、g、h等。

2.2 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）每个自变量对应唯一的因变量，即函数中的每个输入值都有确定的输出值。

（2）函数可以用图像来表示，其中横坐标为自变量，纵坐标为因变量，通过图像可以更直观地理解函数的性质和规律。

（3）函数可以进行运算，如加减乘除、复合等，这样可以进一步揭示函数之间的关系和变化规律。

（4）函数可以进行反函数的运算，即通过函数的逆运算将因变量重新映射回自变量，这有助于解决实际问题中的逆向推导和求解。

三、线性关系与函数的关系线性关系是函数的一种特殊形式，可以看作是函数中的一种简单情况。

线性关系是指当自变量递增或递减时，因变量也按照一定比例线性变化的情况。

缓和曲线在道路设计中起到重要作用，其线形选择应根据具体情况进行。

常用的缓和曲线线形包括以下几种：
1. 回旋曲线：回旋曲线是一种常见的缓和曲线，其特点是曲率半径在曲线上呈反比例变化，具有良好的线形过渡效果。

现代高等级公路上普遍采用回旋曲线。

2. 三次抛物线：三次抛物线也是一种常用的缓和曲线线形，其特点是曲率半径在曲线上呈抛物线变化，具有较好的线形连续性。

3. 双纽线：双纽线是一种复杂的缓和曲线线形，其特点是曲线两端呈反向曲线状，中间连接直线段，具有较好的线形变化和视觉美感。

4. 多心复曲线：多心复曲线是由多个同心圆曲线组成的缓和曲线，其特点是具有较好的线形过渡和视觉美感，适用于较复杂的道路线形设计。

在实际应用中，选择合适的缓和曲线线形应考虑以下因素：
1. 道路等级和计算行车速度：不同等级的道路和不同的计算行车速度需要选择不同的缓和曲线线形。

2. 地形和地物：缓和曲线线形应与地形、地物相适应，确保道路线形合理且美观。

3. 转角大小：道路转角过小时，应选择线形变化较小的缓和曲线，以减少对行车的影响。

4. 与其他曲线的关系：缓和曲线与直线、圆曲线之间的连接关系也需要考虑，以确保线形连续、舒适。

直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系是几何学中的重要概念之一，研究它们的相互关系有助于我们深入理解空间几何。

在本文中，我们将探讨直线与平面的几种基本位置关系及其性质。

一、直线与平面的交点直线与平面可以相交于一点，此时它们具有唯一的交点。

假设有直线l和平面P，如果l与P相交于点A，我们可以得出以下结论：1. 点A在直线l上，同时也在平面P上；2. 点A在直线l上，但不在平面P上；3. 点A不在直线l上，但在平面P上。

这些情况中，最常见的是第一种情况，即直线与平面相交于一点，该点同时属于直线和平面。

二、直线与平面的重合直线与平面有可能重合，即它们完全重合于同一几何形状。

在这种情况下，直线与平面的所有点都是重合的，它们具有相同的位置和方向。

三、直线与平面的平行关系直线与平面可能平行，即它们始终保持着固定的距离，永不相交。

对于直线l和平面P，我们可以得出以下结论：1. 若直线l与平面P平行，则其上的任意点都不在平面P上；2. 若直线l与平面P平行，则直线l上的一切点与平面P上的一切点的距离相等。

需要注意的是，直线与平面的平行关系是相对的，当我们谈论直线l与平面P平行时，必须指定相对于哪种参考系来判断。

四、直线与平面的垂直关系直线与平面可能垂直，即直线与平面形成一个直角。

对于直线l和平面P，我们可以得出以下结论：1. 若直线l与平面P垂直，则直线l上的任意向量与平面P上的任意向量之间的内积为零；2. 若直线l与平面P垂直，则直线l与平面P相交于一点，该点同时属于直线和平面。

需要注意的是，直线与平面的垂直关系也是相对的，需要指定相对于哪种向量或平面来判断。

五、直线与平面的夹角除了垂直关系外，直线与平面之间还可以存在其他夹角。

对于直线l和平面P，我们可以定义它们之间的夹角为直线l上的某条与平面P 垂直的直线与平面P的交线的夹角。

直线与平面的夹角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于直线与平面的位置关系和夹角的大小。

直线与曲线的关系直线与曲线是几何学中常见的两种基本图形，它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将探讨直线与曲线的定义、性质及二者之间的关系。

一、直线的定义与性质直线是在平面上无限延伸的一种图形，它是由无数个点连成的轨迹。

直线的性质有以下几个重要特点：1. 无限延伸性：直线没有起点和终点，可以一直延伸下去。

2. 唯一性：任意两个点之间只有一条直线经过。

3. 平分性：直线可以将平面分成两个相等的半平面。

4. 直角性：直线之间可以相互垂直，形成直角。

二、曲线的定义与性质曲线是平面上由一系列连续点构成的轨迹，它的形状和走向可以各不相同。

曲线的性质有以下几个重要特点：1. 有限长度：曲线是由有限个点组成，是有限长的。

2. 非唯一性：任意两个点之间可以有多条曲线经过。

3. 弯曲性：曲线的形状可以是弯曲、蜿蜒或封闭的。

4. 切线性：曲线上的每一点都可以有一个切线与之对应。

三、直线与曲线在几何图形中是相互联系、相互制约的，它们之间存在多种关系：1. 切线关系：直线可以与曲线相切。

在曲线上的每个点，都可以找到一条与之相切的直线。

切线可以刻画曲线在该点的变化率和方向。

2. 相交关系：直线可以与曲线相交。

一条直线与曲线相交的点叫做交点，交点的坐标可以通过求解方程组得到。

3. 平行关系：两条直线可以与一条曲线平行。

平行直线的斜率相等，在同一平面上永不相交。

4. 包围关系：直线可以包围曲线。

以一条直线为边界的封闭曲线叫做曲线的包围线，如圆。

5. 变换关系：直线可以通过移动、旋转等变换得到曲线，反之曲线也可以变换成直线。

四、直线与曲线的应用直线与曲线的关系在实际应用中有着广泛的应用：1. 物理学中，直线与曲线的运动轨迹描述了物体的运动状态与变化规律；2. 数学中，直线与曲线是函数的基本图像，用于分析和解决方程；3. 工程学中，直线与曲线是建筑、道路、管道等设计和施工的基础；4. 经济学中，曲线用于描述需求曲线、供应曲线等与价格、数量之间的关系。

专题01 三角形中三边关系、高线、中线、角平分线压轴题十三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一三角形的稳定性】 (1)【考点二三角形的分类】 (3)【考点三构成三角形的条件】 (5)【考点四确定第三边的取值范围】 (6)【考点五三角形内角和定理的证明】 (8)【考点六与平行线有关的三角形内角和问题】 (11)【考点七与角平分线有关的三角形内角和问题】 (13)【考点八画三角形的高】 (15)【考点九与三角形的高有关的计算问题】 (17)【考点十根据三角形中线求长度】 (19)【考点十一根据三角形的中线求面积】 (21)【考点十二三角形角平分线的定义】 (24)【考点十三利用网格求三角形面积】 (26)【过关检测】 (29)【典型例题】【考点一三角形的稳定性】例题：（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间，线段最短C．三角形的内角和为180°D．垂线段最短【答案】A【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：由图可知，手机和支架组成了一个三角形，而三角形具有稳定性，所以手机能稳稳放在支架上，故选A．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形的稳定性解答即可．、、选项中都没有三角形，【详解】解：选项B中摇椅的支架上有三角形，其余A C D由三角形的稳定性可知，选项B利用三角形的稳定性，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．2．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，是一座钢架桥，它的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是_______．【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．【详解】解：钢架桥的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是三角形具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性【点睛】此题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．【考点二三角形的分类】例题：（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）下列分类正确的是（）A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形【答案】D【分析】根据三角形的分类即可求解．【详解】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形故选：D．【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．把三条边互不相等的三角形称为不等边三角形；把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）A ．甲、乙两种分法均正确B ．甲、乙两种分法均错误C ．甲的分法错误，乙的分法正确D ．甲的分法正确，乙的分法错误【答案】D 【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形(三条边都不相等)，等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形)；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可.【详解】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：故选：D ．【点睛】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角形.2．（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．（2）以线段AC 为公共边的三角形是___________．（3）线段CD 所在的三角形是_______，BD 边所对的角是________．【答案】 6 ABD △，ACD V ，ADE V ABC V ，ACD V ，ACE △ ACD V BADÐ【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形；（2）观察图形可找到以线段AC 为公共边的三角形；（3）观察图形可知线段CD 所在的三角形以及BD 边所对的角；【详解】（1）由图可知，图中三角形有ABC V 、ADB V 、AEB △、ACD V 、ACE △、ADE V ，\图中有6个三角形，由图可知，直角三角形有ABD △，ACD V ，ADE V ；故答案为：6，ABD △，ACD V ，ADE V ；（2）由图可知，以线段AC 为公共边的三角形是ABC V ，ACD V ，ACE △；故答案为：ABC V ，ACD V ，ACE △；（3）由图可知，线段CD 所在的三角形是ACD V ，BD 边所对的角是BAD Ð；故答案为：ACD V ，BAD Ð．【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键．【考点三 构成三角形的条件】例题：（2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）A ．2cm ，4cm ，7cmB ．3cm ，6cm ，9cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．4cm ，4cm ，9cm【答案】C【分析】根据三角形三边关系求解．【详解】由三角形三边关系：A . 2cm ，4cm ，7cm ，247+<，不能组成，本选项不合题意，B . 3cm ，6cm ，9cm ，369+=，不能组成，本选项不合题意，C . 3cm ，4cm ，5cm ，345+>，可以组成，本选项符合题意，D . 4cm ，4cm ，9cm ，449+<，不能组成，本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查三角形三边关系定理，熟悉相关定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东揭阳·七年级期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．4，6，10B．2，5，8C．3，4，5D．5，7，13【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断即可．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得+=，不能组成三角形；A中，4610+<，不能组成三角形；B中，258C中，3475+=>，能够组成三角形；D中，571213+=<，不能组成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，解题的关键是：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．2．（2021秋·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）下列三条线段中，不能组成三角形的是（）A．3、4、5B．3、4、7C．7、8、13D．8、9、16【答案】B【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边进行分析即可．+>，能构成三角形，故此选项不符合题意；【详解】解：A．345+=，不能构成三角形，故此选项符合题意；B．347+>，能构成三角形，故此选项不符合题意；C．7813+>，能构成三角形，故此选项不符合题意．D．8916故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．【考点四确定第三边的取值范围】例题：（2023春·黑龙江绥化·七年级校联考期中）若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_______．【答案】7或9或11【分析】设第三边为a ，根据三角形的三边关系可得：9494a -<<+，然后再根据第三边是偶数，确定a 的值即可．【详解】解：设第三边为a ，根据三角形的三边关系可得：9494a -<<+．即：513a <<，∵周长是偶数，∴第三边的长为奇数，即：7a =或9a =或11a =．∴第三边长为7或9或11．故答案为：7或9或11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式训练】【考点五三角形内角和定理的证明】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为180°展开证明讨论，以下四个学生的作法V的内角和为180°的是（）中，不能证明ABC∥B．延长BC到点D，过点C作A．过点A作AD BCCE AB∥C ． 过点A 作AD BC ^于点D D ．过BC 上一点D 作DE AC ∥，DF ABP 【答案】C【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．【详解】解：A 、由AD BC ∥，则CAD C Ð=Ð，180BAD B Ð+Ð=°．由180DAC BAC B Ð+Ð+Ð=°，得180BAC C B Ð+Ð+Ð=°，故符合题意．B 、由CE AB ∥，则A ACE Ð=Ð，B DCE Ð=Ð．由180ACE ECD ACB Ð+Ð+Ð=°，得180A B ACB Ð+Ð+Ð=°，故符合题意．C 、由AD BC ^于D ，则90ADC ADB Ð=Ð=°，无法证得三角形内角和是180°，故不符合题意．D 、由DE AC ∥，得FDE BED Ð=Ð，A BED Ð=Ð，则FDE A Ð=Ð．由DF AB P ，得FDC B Ð=Ð，C BDE Ð=Ð，由180BDE EDF FDC Ð+Ð+Ð=°，得180C A B Ð+Ð+Ð=°，故符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（ ）A ．延长BC 至D 过C 作CE AB ∥B ．过A 作DE BC ∥C ．过D 作DE BC ∥D ．过P 作FG AB ∥，DE BC ∥，HI ACP【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（ ）定理：三角形的内角和为180°．已知：ABC V ．求证：180A B ACB Ð+Ð+Ð=°．证明：延长BC 到点D ，过点C 作@CE ∥，A \Ð=◎（两直线平行，内错角相等），B Ð=___▲______（_____※______）．180ACB ACE ECD Ð+Ð+Ð=°Q （平角定义），【考点六 与平行线有关的三角形内角和问题】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，过点C 作EF AB ∥．若55ECA Ð=°，则B Ð的度数为（ ）A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°【答案】C 【分析】利用平行线的性质可求得出A Ð的度数，然后在ABC V 中利用三角形内角和定理即可求出B Ð的度数．【详解】解：∵EF AB ∥，55ECA Ð=°，∴55A ECA Ð=Ð=°，∵在ABC V 中，55A Ð=°，90ACB Ð=°，∴180180559035B A ACB Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是180°是解题的关键．【变式训练】1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知60E Ð=°，45C Ð=°，EF BC ∥，则BND Ð为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．105°【答案】D 【分析】由直角三角形的性质得出30F Ð=°，45B Ð=°，由平行线的性质得出30FDB F ÐÐ==°，再由三角形内角和定理即可求出∠CGD 的度数．【详解】解：∵60E Ð=°，90FDE Ð=°，∴30F Ð=°，同理可得：45B Ð=°，∵EF BC ∥，∴30FDB F ÐÐ==°，∴180BND B FDB Ð=°-Ð-Ð1804530105=°-°-°=°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，DEF V 的顶点D ，E 在ABC V 的边BC 上，EF AC ∥，DF AB P ，若55A Ð=°，则F Ð的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【答案】C【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得B FDE Ð=Ð，C FED ÐÐ=，再根据三角形内角和定理得A F Ð=Ð，即可得到答案．【详解】解：∵,EF AC DF AB ∥∥，∴B FDE Ð=Ð，C FED ÐÐ=，∵180A B C Ð=°-Ð-Ð，180F FDE FED Ð=°-Ð-Ð，∴A F Ð=Ð，∵55A Ð=°，∴55F Ð=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．【考点七 与角平分线有关的三角形内角和问题】【答案】110°/110度【分析】由三角形的内角和定理可求得70CBD BCD Ð+Ð=°，从而可求【详解】40A Ð=°Q ，180ABC ACB \Ð+Ð=°-()180110D CBD BCD \Ð=°-Ð+Ð=°．故答案为：110°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在ABC V 中，AN 是BAC Ð的平分线，=60B а，80ANC Ð=°．求C Ð的度数．【答案】80°【分析】根据三角形内角和为180°，分别列出ACN △和ABC V 的内角和等式，再根据已知条件，即可求解．【详解】ANC B BAN Ð=Ð+ÐQ ，=60B а，80ANC Ð=°．806020BAN ANC B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，AN Q 是BAC Ð角平分线，222040BAC BAN \Ð=Ð=´°=°，在ABC V 中，180180604080C B BAC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在ABC V 中，BD 是ABC Ð的角平分线，作DE BC ∥交AB 于点E ，50C Ð=°，100Ð=°BDC ，求BED Ð的度数．【答案】120°【分析】利用三角形内角和求出CBD Ð，根据角平分线的定义得到ABD Ð，根据平行线的性质求出BDE Ð，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵50C Ð=°，100Ð=°BDC ，30CBD \Ð=°，BD Q 平分ABC Ð，30ABD CBD \Ð=Ð=°，又DE BC Q ∥，CBD BDE \Ð=Ð，30BDE ABD \Ð=Ð=°，180120BED ABD BDE \Ð=°-Ð-Ð=°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点八 画三角形的高】例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出AC 边上的高的是（ ）A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．【详解】解：ABC V 中AC 边上的高即为过点B 作AC 的垂线段，该垂线段即为AC 边上的高，四个选项中只有选项D 符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段BD 是ABC V 的高的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答．【详解】解：A ．线段BD 是BDA △的高，选项不符合题意；B ．线段BD 是ABD △的高，选项不符合题意；C ．线段BD 是ABD △的高，选项不符合题意；D ．线段BD 是ABC V 的高，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，AD BC ^，EC BC ^，CF AB ^，点D ，C ，F 是垂足，下列说法错误的是（ ）A ．ABD △中，AD 是BD 边上的高B ．ABD △中，EC 是BD 边上的高C ．CEB V 中，EC 是BC 边上的高D ．CEB V 中，FC 是BE 边上的高【答案】B 【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．【详解】解：A 、ABD △中，AD 是BD 边上的高，故此选项正确，不符合题意；B 、ABD △中，EC 不是BD 边上的高，故此选项错误，符合题意；C 、CEB V 中，EC 是BC 边上的高故此选项正确，不符合题意；D 、CEB V 中，FC 是BE 边上的高，故此选项正确，不符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶点，②垂直于这个顶点的对边．【考点九与三角形的高有关的计算问题】A．3【答案】D【分析】根据面积相等即可求出点【详解】解：∵在直角三角形【变式训练】【答案】154 AD=．【分析】根据三角形的面积公式即可求得．(1)求ABC V 的面积；(2)求AC 的长；(3)ABD △和ACD V 的面积有何关系？【答案】(1)30【考点十 根据三角形中线求长度】例题：（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，AD 是ABC V 的中线，8AB =，6AC =．若ACD V 的周长为16，则ABD △周长为__________．【答案】18【分析】根据三角形的中线的概念得到BD CD =，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：AD Q 是ABC V 的中线，BD CD \=，ACD QV 的周长为16，16AC CD AD \++=，6AC =Q ，10CD AD BD AD \+=+=，8AB =Q ，18AB BD AD \++=．故答案为：18．【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式训练】1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，ABC V 的周长为18，8BC =，AD 是边BC 上的中线，ABD △的周长比ACD V 的周长大2，则AC 的长为______．【答案】4V的周长为18，【分析】依据ABCV的周长为18【详解】解：∵ABC(1)当AE为边BC上的中线时，若Ð的角平分线时，若(2)当AE为BAC【答案】(1)4(2)15°【考点十一根据三角形的中线求面积】A．4B．5【答案】B【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明【详解】解：如图所示，连接F Q 为CE 中点，1S S 2BFC BEC \=V V .同理可得，1S S 2CDE ADC =V V 1S S S S 2CDE BDE BCE \+==V V V 【变式训练】1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，AD BE 、是ABC V 的中线，则下列结论中，正确的个数有（ ）（1）AOE COE S S =V V ；（2）AOB EODC S S =V 四边形；（3）2BOC COE S S =V V ；（4）4ABC BOC S S =V V ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】如图，首先证明AOE COE S S =V V （设为λ），BOD COD S S =△△（设为μ）；进而证明2AOB COB S S m ==V V ，2AOC BOC S S m ==V V ，得到2AOC BOC S S m ==V V ，进而得到l m =，此为解决问题的关键性结论，运用该结论即可解决问题【详解】解：∵AD BE 、是ABC V 的中线，∴AE CE BD CD ==，；∴AOE COE S S =V V （设为λ），BOD COD S S =△△（设为μ），ABE CBE S S =V V ，∴2AOB COB S S m ==V V ；同理可证：2AOC BOC S S m ==V V ，即22l m =，l m =；∴选项（1）、（2）、（3）均成立，选项（4）不成立，故选：C ．【点睛】该题主要考查了三角形中线的定义、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用等底同高的两个三角形的面积相等这一规律，来分析、判断、推理或解答．2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，BD 是ABC V 的中线，点E 、F 分别为BD CE 、的中点，若AEF △的面积为22cm ，则ABC V 的面积是________2cm ．【答案】8【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵点F 是CE 的中点，AEF △的面积为22cm ，∴224cm ACE AEF S S ==△△．∵点E 是BD 的中点，∴ADE ABE S S =V V ，CDE CBE S S =△△．∴24cm ACE ADE CDE ABE CBE S S S S S =+=+=△△△△△．∴28cm ABC ADE CDE ABE CBE S S S S S =+++=△△△△△，故答案是8．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理是等底同高的三角形面积相等．【考点十二 三角形角平分线的定义】例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图，AB CD ∥，CE 平分ACD Ð，若120A Ð=°，则AEC Ð的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°【答案】A 【分析】根据AB CD ∥，120A Ð=°，可得60ACD Ð=°，再由角平分线的定义可得30ECD Ð=°，再利用平行线的性质可得AEC ECD Ð=Ð，即可得到结果．【详解】解：如图，∵AB CD ∥，120A Ð=°，∴18012060ACD Ð=°-°=°，∵CE 平分ACD Ð，∴30ECD Ð=°，∴==30AEC ECD Ðа，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质可角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，CE 是ABC V 的角平分线，EF BC ∥，交AC 于点F ，已知【答案】32°【分析】根据平行线的性质得到1322BCE ACB ==°∠∠即可得到答案．【答案】见解析【分析】由BE 平分∠论．【详解】证明：∵BE 平分∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴BC //DE ．【点睛】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键．【考点十三 利用网格求三角形面积】 【答案】3.5【分析】利用割补法由正方形的面积减去三个三角形的面积即可．【详解】解：如图，ABC DBC DEFB S S S =-V V 正方形113313122=´-´´-´´9 1.513=---3.5=．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为79´的网格，每一小格均为正方形，已知ABC V ．(1)画出ABCV中BC边上的中线AD；(2)画出ABCV中AB边上的高CE．(3)直接写出ABCV的面积为_________【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)6．（2）如图，CE即为所求；（3）14362ABCS=´´=△；故答案为：6．(1)画出ABCV中边BC上的高(2)画出ABCV中边AB上的中线(3)直接写出ACE△的面积为______（2）如图，线段CE即为所求；（3）12442ACES=´´= V．故答案为：4．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三【过关检测】一、选择题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3，4，5B．8，7，15C．3，4，8D．5，5，11【答案】A【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A、3475+=>，能组成三角形；B、8715+=，不能组成三角形；+=<，不能组成三角形；C、3478+=<，不能组成三角形．D、551011故选：A．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，属于基础知识．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．2．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）从数学角度看下列四副图片有一个与众不同，该图片是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可．【详解】伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A 、B 、D 都是利用了三角形的稳定性.故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，解题的关键是分析能否在同一平面内组成三角形．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图所示，ABC V 中AB 边上的高是（ ）A ．BDB ．AEC ．BED ．CF【答案】D 【分析】根据三角形高的概念求解即可．【详解】解：由图可得， ∵CF AB ^，∴ABC V 中AB 边上的高是CF ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键．4．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，在三角形ABC 中，CD 为ACB Ð的平分线，115ABC Ð=°，25A Ð=°，则BCD Ð的度数为（ ）A ．25°B ．35°C ．30°D ．20°【答案】D 【分析】求出ACB Ð的度数，再根据角平分线定义求解即可．【详解】解：在三角形ABC 中，115ABC Ð=°，25A Ð=°，则18040ACB A ABC =°--=°∠∠∠，∵CD 为ACB Ð的平分线，A ．4B ．5【答案】C 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，可得S S =，利用等量代换逐步推出二、填空题6．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）三角形的两条边长分别是4cm 和9cm ，则第三条边长x 的范围是______．【答案】513x <<【分析】根据三角形三边的关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，即可求得范围．【详解】解：由三角形三边关系得：9494x -<<+，即513x <<；故答案为：513x <<．【点睛】本题考查了构成三角形的三边应满足的条件，理解此条件是关键．7．（2023春·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图是螳螂的示意图，已知AB DE ∥，120ABC Ð=°，72CDE Ð=°，则BCD Ð的度数为___________．【答案】12°/12度【分析】延长ED 交BC 于D ，交AC 于点F ，根据平行线的性质得120CGF ABC Ð=Ð=°，利用邻补角的定义求出108CDG Ð=°，然后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：延长ED 交BC 于D ，交AC 于点F ，∵120AB DE ABC Ð=°∥，，∴120CGF ABC Ð=Ð=°，∵72CDE Ð=°，∴180********,CDG CDE Ð=°-Ð=°-°=°又,CGF GCD CDG Ð=Ð+Ð∴12010812,GCD CGF CDG Ð=Ð-Ð=°-°=°∴12BCD Ð=°．故答案为：12°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．8．（2023秋·七年级单元测试）如图，点D 是ABC V 的边BC 上任意一点，点E 、F 分别是线段AD 、CE 的中点，且ABC V 的面积为60，则BEF △的面积=_______．【答案】15【分析】根据三角形的中线平分面积，得到12BEF BCE S S =V V ，即可求出BEF △的面积．【详解】解：Q 点E 是线段AD 的中点，【答案】 EC /CE AE /EA 【分析】根据三角形高的定义进行求解即可．【详解】解：∵AB CE ^，∴AB 是ACE △的CE 上的高；∵20DAC Ð=°，∴180C DAC ADC Ð=°-Ð-Ð=∵30B Ð=°，∴18080BAC B C Ð=°-Ð-Ð=°∵20DAC Ð=°，∴ACE DAC ADC Ð=Ð+Ð∵30B Ð=°，三、解答题(1)画出AC边上的中线BD；(2)画出AB边上的高线CE；Ð的平分线AF．(3)画出BAC【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点和三角形中线的定义画图即可；（2）根据网格的特点和三角形高的定义画图即可；（3）根据角平分线的作法作图即可．【详解】（1）解：如图，线段BD即为所求；（2）解：如图，线段CE即为所求；（3）解：如图，射线AF即为所求．【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，三角形中线的定义，三角形高的定义，熟练掌握相关知识点画图(1)若90BAC Ð=°，8AB =，AC =(2)若40B Ð=°，20CAE Ð=°，AD 【答案】(1)245(2)15°∴DAE Ð的度数为15°．【点睛】本题考查了中线，角平分线，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14．（2023春·安徽合肥·七年级统考阶段练习）如图，AB DC ∥，55B Ð=°，240Ð=°，385Ð=°(1)求∠D 的度数；(2)求1Ð的度数；(3)能否得到DA CB ∥，请说明理由．【答案】(1)55°(2)85°(3)能，理由见解析【分析】（1）D Ð在ADC △中，另两个角度数已知，就可用三角形内角和定理求解．（2）B Ð，2Ð已知，利用两直线平行同旁内角互补求解．（3）等量代换后，再利用内错角相等，两直线平行判定．【详解】（1）解：23180D Ð+Ð+Ð=°Q ，18023D \Ð=°-Ð-Ð1804085=°-°-°55=°；（2）AB DC Q ∥，21180B \Ð+Ð+Ð=°；11802B \Ð=°-Ð-Ð1805540=°-°-°85=°；（3）能．385Ð=°Q ，185Ð=°，(1)AC =___________AE （填数字）(2)求ABC S V 及BC 的长；(3)若13AB =，求BCE V 和【答案】(1)2(2)84ABC S =V ，14BC =。