各种积分之间的联系或转化示意图

16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数

常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。

定积分的换元法和分部积 分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法

记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。

dA =
1
+
fx2
(x,
​
y)
+
fy2
(x,
​
y)dσ为曲面S的面积元素，以它为被积表达式 ​
在闭区域D上的积分，得A = ∬D ​
1
+
fx2
(x,
​
y)
+
fy2
(x,
​
y)dσ ​
曲面的面积
1
1
若薄片面密度为常量，则A= A​ ∬D ​ xdσ,y= A​ ∬D ​ ydσ
x= My ​ = ∬D ​ xμ(x, y)dσ ,y= Mx​ = ∬D ​ yμ(x, y)dσ ,其中
6.(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上 至少存在一点（ξ，η），使得∬D​ f (x, y) dσ = f (η, ξ)σ
柱面坐标计算三重积分
三重积分的计算
0 ≤ ρ < +∞,0 ≤ θ ≤ 2π,−∞ < z < +∞,ρ=常数，即以z轴为轴的圆柱面；θ= 常数，即过z轴的半圆面；z=常数，即与xOy面平行的平面。dv=ρdρdθdz为柱面坐标
​
f
(x,
y)dx
b
∫a ​
dx
∫ φ2 ​(x)
φ1 ​(x) ​
f (x,
y)dy=
d
∫c ​
dy∫ ψ2​(y)
ψ1 ​(y) ​
f (x,
y)dx
极坐标计算二重积分
ρdρdρ
为极坐标中的面积元素，φ1
(θ
​
ห้องสมุดไป่ตู้
)
≤
φ2

D
13
(2) 简化二重积分的计算
例 2 计算 e y2dxdy ,其中D 是
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
14
解 令 P 0, Q xe y2 ,
y
则 Q P e y2 , x y
B
A
1
D
应用格林公式,有
o
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
计算 (1,1) xy2dx y ( x)dy. (0,0)
34
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
积分与路无关 P Q ， y x
35
由 y( x) 2 xy ( x) x2 c
对 D 内任意闭曲线 L
有 在
D
内有
Q
P
x y
L Pd x Qd y 0
在 D 内有 d u P d x Q d y
41
根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
y sin x .
2
32
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x x x
P Q ， y x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
33
例7 设曲线积分 xy2dx y ( x)dy L

基本积分公式
Dr.Feng
一、基本积分公式
1.1、积分法 1.2、基本积分公式
二、直接积分法
2.1、方法定义 2.2、具体分项法
三、小结
13个基本积分公式
基本积分公式
1.1、积分法
x1 x xdx x1 C . ( 1)
1
1
启示: 能否根据求导公式得出积分公式？
结论: 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式.
此课件下载后可自行编辑修改 关注我 每天分享干货
基本积分公式
C
51
x 5
2
1
2
C
2 7
7
x2
C.
判断积分结果是否正确,只要对结果求导,看导数是否 等于被积函数,相等时,结果是正确的,否则是错误的。
验证：（2
7
x2
C）
5
x2
x2
x
7
说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系
基本积分公式
xdx
dx x
3x3dx d( )
dx
x2
du u
dx 2 x2
(4) a xdx a x / ln a C
2x dx x2dx e2xdx
基本积分公式
2.2、具体分项法 将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分. ⑴ 利用乘除法分项
例1. 求 (2 x ) xdx 解：原积分= (2x x3 / 2 )dx
2xdx x3/ 2dx
基本积分公式
1
x
4
x
2
dx
x4 1
1 x2
1dx
(
x
2
1)dx
1

L
A ydx
L
1 A xdy ydx 2 L
2015年4月30日星期四
13
目录
上页
下页
返回
例 3 设 L 为任一不经过原点的闭曲线，方向为逆时针 方向， 其围成的区域记为 D ,试在下列两种情况下计算曲 xdy ydx 线积分 I L 2 ： 2 x y （1）原点不在区域 D 内（图 9 12） ； （2）原点在区域 D 内（图 9 13）.
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
（1）D可以是单连通区域也可以是复连通区域。 （2）边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域
D总在他的左边.（外逆内顺）
2015年4月30日星期四 4
目录 上页 下页 返回
y
证明:(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于坐 标轴的直线和 L至多交 于两点.
1 2 3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
BA＋AC＋CE＋EB
CD＋DE＋EC
EF＋FB＋BE
F
D3
BA＋AC＋CD＋DE＋EF＋FB
B
L3
D
D2 L2
L Pdx Qdy
（ L1 、 L2 、 L3 对 D 来说为正方向） L1
线不是闭曲线，故该曲线积分不能直接用格林公式来计算．
为了用格林公式，需作辅助曲线， 即有向线段OA和BO，
则 AB 与 BO 及 OA 一起构成一有向闭曲线，其方向是逆 时针方向．
2015年4月30日星期四 11
目录 上页 下页 返回
设它所围成的闭区域为 D ，由格林公式得 x y 1 1 π 2 2 dxdy dxdy AB BOOA 2 dy 2 dx 4 D D x y x y 而 OA 2 dy 2 dx 0 , BO 2 dy 2 dx 0 ,

分部换元法的定义
分部换元法是一种将定积分转化为几个易于计算的定积分的和或差的方法。
分部换元法的思路
通过将原被积函数分解为若干个易于计算的部分函数，并分别对每个部分函数进行换元，从而将原定 积分的计算转化为简单定积分的计算。
分部换元法的应用范围与限制
应用范围
分部换元法适用于被积函数可以分解为若干个易于计算的部分函数的定积分，以及定积 分的和或差。
换元法的目的是简化积分表达式，使其更易于计算。
常用的换元技巧
根式代换
用根式代换原有的变量， 将积分表达式转化为易于 计算的幂函数积分。
三角代换
用三角函数代换原有的变 量，将积分表达式转化为 三角函数的积分。
倒代换
用倒数代换原有的变量， 将积分表达式转化为易于 计算的幂函数积分。
定积分的换元公式及其应用
分部换元法的进一步研究与应用
理论深化
分部换元法的基础理论还需要进一步深化和完善，例如分部积分 公式的推导和应用等方面需要更加严谨和精细的研究。
应用拓展
分部换元法的应用领域也需要进一步拓展，例如在解决某些特殊类 型的积分和微分方程时可以发挥重要作用。
数值计算
分部换元法的数值计算也需要进一步研究和改进，以提高计算效率 和精度。
对于某些特定的定积分问题，可以通过两种方法的结合使 用，以达到更好的效果。
如何选择合适的解题方法
根据题目特点选择
对于涉及多项式、有理函数的定积分问题，分部换元法 可能更为合适。
对于熟练掌握换元法和分部换元法的同学来说，可以根 据题目的难易程度和个人喜好来选择合适的方法。
对于涉及三角函数的定积分问题，换元法可能更为合适 。
效率。
02
通过使用不同的换元方法，可以将不同类型的定积分

f
(t
)
d
t
1 F
jw
[ f (t)].
(1.19)
证 因为 d
t
f (t) d t f (t),
d t -
F [ f (t)] jwF
t -
f
(t)
d
t
精选
9
例2 求微分积分方程 t a x (t) b x (t) c x (t)d t h (t) -
的解, 其中-<t<+, a,b,c均为常数. 根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
积分变换
第3讲
精选
1
傅氏变换的性 质
精选
2
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述 方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏 变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证 明这些性质时, 不再重述这些条件.
精选
3
线性性质 设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常数, 则
例 如 t etd t t e u d u e u t e t - e - et
-
-
-
且 有 d
t f (t) d t d
t
f (u) d u f (t)
d t -
d t - 精选
8
4. 积分性质
如 果 当 t 时, g (t) t f (t) d t 0 -
则
F
t -
一般地, 有
dn
dwn
F(w) (- j)nF
[tn f (t)]
精选
7
本书中的积分的记号有不严格的写法, 即
t f (t ) d t的 意 思 其 实 是 t f (u ) d u ,