几种特殊积分的计算方法
1前言
积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值.要求简单几何形体或者体积，可以套用已知的公式.比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长乘宽乘高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积.物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个（比如力）的累积效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式.他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念.
在古印度数学（英语：Indian mathematics）的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理.数学分析的创立始于17
世纪以牛顿（Newton, I.）和莱布尼茨（Leibniz, G.W.）为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy, A.-L.）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass, K.(T.W.)）为代表的奠基性工作.从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析.其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称.时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之.数学分析亦简称分析（参见“分析学”）.数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容.微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法.围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容.积分学则从总体上研究微小变化（尤其是非均匀变化）积累的总效果，其基本概念是原函数（反导数）和定积分，求积分的过程就是积分法.积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容.牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分
积分
学结合而成一门新的学科——微积分学.又由于他们及一些后继学者（特别是欧拉（Euler，L.））的贡献，使得本来仅为少数数学家所了解，只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分方法，成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法，打开了把它广泛应用于科学技术领域的大门，其影响所及，难以估量.因此，微积分的出现与发展被认为是人类文明史上划时代的事件之一.与积分相比，无穷级数也是微小量的叠加与积累，只不过取离散的形式（积分是连续的形式）.因此，在数学分析中，无穷级数与微积分从来都是密不可分和相辅相成的.在历史上，无穷级数的使用由来已久，但只在成为数学分析的一部分后，才得到真正的发展和广泛应用.数学分析的基本方法是极限的方法，或者说是无穷小分析.洛比达（L'Hospital, G.-F.-A.de）于1696年在巴黎出版的世界上第一本微积分教科书，欧拉于1748年出版的两卷本沟通微积分与初等分析的书，书名中都出现过无穷小分析这个词.在微积分学发展的初期，这种新的方法显示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果.许多与微积分有关的新的数学分支，如变分法、微分方程以至于微分几何和复变函数论，都在18—19世纪初发展起来.然而，初期的分析还是比较粗糙的，被新方法的力量鼓舞的数学家们经常不顾演绎的逻辑根据，使用着直观的猜测和自相矛盾的推理，以致在整个18世纪，对这种方法的合理性普遍存在着怀疑.这些怀疑在很大程度上是从当时经常使用的无穷小的含义与用法上引起的.随意使用与解释无穷小导致了混乱和神秘感.许多人参与了无穷小本质的论争，其中有些人，如拉格朗日（Lagrange, J.-L.），试图排除无穷小与极限，把微积分代数化.论争使函数与极限的概念逐渐明朗化.越来越多的的数学家认识到，必须把数学分析的概念与其在客观世界的原型以及人的直觉区分开来.因而，从19世纪初开始了一个一个把分析算术化（使分析成为一种像算术那样的演绎系统）为特征的新的数学分析的批判改造时期.柯西于1821年出版的《分析教程》是分析严密化的一个标志.在这本书中，柯西建立了接近现代形式的极限，把无穷小定义为趋于零的变量，从而结束了百年的争论.在极限的基础上，柯西定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性（后来知道，波尔查诺（Bolzano, B.）同时也做过类似的工作）.进一步，狄利克雷于（Dirichlet, P.G.L.）1837年提出了函数的严格定义，魏尔特拉斯引进了极限的定义.基本上实现了分析的算术化，使分析从几何直观的局限中得到了“解放”，从而驱散了17—18世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾.继而在此基础上，黎曼（Riemann, (G.F.) B.）于1854
年和达布（Darboux, (J.-) G.）于1875年对有界函数建立了严密的积分理论，19世纪后半叶，戴德金（Dedekind, J.W.R）等人完成了严格的实数理论.至此，数学分析的理论和方法完全建立在牢固的基础之上，基本上形成了一个完整的体系，也为20世纪现代分析的发展铺平了道路.
2 选题背景
2.1 题目类型及来源
题目类型：研究论文
题目来源：专题研究
2.2研究目的和意义
在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值,但泊松积分在数学分析、概率统计及其物理等方面有广泛的应用，我们必须用其它方法计算其积分值．利用留数定理，我们可以把计算一些积分的问题转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简计算．广义积分是解决实际问题中常见的一个计算工具,但其形式多样,计算复杂.有些广义积分问题单纯应用数学分析理论求解过程繁琐,甚至不能解出，但却可以应用复变函数理论中的留数定理来研究两类特殊形式的广义积分．2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向
几种特殊积分中的高斯积分是一个著名的积分，在工程技术中有很多应用．在数学中高斯做出很多贡献．高斯公式是曲面积分的一个重要公式，而通过高斯公式我们可以提出高斯定理，高斯定理是电磁学中的基本定理:
积分
；即通过任一闭合曲面（高斯面）的电通量等于该闭合曲面包围电荷的代数和除以
穿过高斯面的电通量，只与该电荷系电荷代数和相关，与高斯面的形状无关，也与该电荷系的电荷分布无关．高斯定理不仅适用于静电场，也适用于变化的感生电场，是电磁场基本方程之一．高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中．因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由反平方定律决定的物理量，例如引力或者辐照度．
计算泊松积分的值的七种不同的计算方法以及该反常积分的相关应用，虽然该反常积分的值已被人们所熟知，但其求解方法还是值得我们关注的，其中所用到的方法也是在解决实际问题中比较重要的，另外，该反常积分与复变函数论中的知识进行结合还可用来求一些比较复杂的反常积分，在概率统计以及物理的一些求解中泊松积分也会起到十分重要的作用，通过对泊松积分值的计算方法及其应用的相关介绍，使人们对泊松积分有一个更深刻的了解，同时了解求解泊松积分过程中所涉及到的相关解法，以便以后在解决相关问题时更好的应用．菲涅尔(Fresnel)积分,这是以法国物理学家菲涅尔的名字而命名的．这两个广义积分在物理学中有重要的应用,比如要计算菲涅尔绕射强度问题,噪声水平缩减问题等,就需要用到这两个积分．
3计算积分的一些定理
积分的基本定义：设F为函数的一个原函数，我们把函数f的所有原函数F C（C为任意常数）叫做函数f的不定积分记做.其中∫叫做积分号，f叫被积函数，叫做积分变量，f叫做被积因式.C叫积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立.微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分.积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用.
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）.黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限.从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分.比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平
面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替.对微分形式的积分是微分几何中的基本概念.
对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学.现代的积分概念基于测度论，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分.
3.1 留数定理和围道积分
设在以曲线ｌ围成的区域内除有有限个孤立点外单值解析，在闭区域上连续，则有
（3．1．1）其中，res?表示?（z）在孤立奇点的某（去心）领域内的罗朗展开的负一次
幂的系数，记作
res?（）（3．1．2）称作?（z）在它的孤立奇点处的留数.（3．1．2）被称为留数定理.
3.2傅里叶变换
由高等数学我们知道，一个以2ｌ为周期的函数?，若在区间上满足狄理克莱条件（即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点），则在
上可展开为傅氏级数.
傅氏级数的复数形式为
其中，
积分
因此，?也可以表示为
? (3.2.1)
由此看到，以2ｌ为周期的函数，在自变数增长的过程中，函数值有规律的重复，自变数每增长一个2ｌ，函数就重复变化一次，其中，参数不连续地跳跃地去下列数值：
，
其跃变间隔为
.
对于非周期函数而言，当然不具备以上这些特点，但我们自然想到，若将其看成周期趋于无穷大（2ｌ）的“周期函数”，则当然可模照（3.2.1）写出它的傅氏展开式，只是此时△.这表明参数变为不再跃变，而是连续变化，即，非周期函数，可以表示为
?
亦即
?
(3.2.2)
(3.2.2)称为函数?的傅里叶积分公式.应该看出，上述的推导不严格的，因为我们交换了极限过程与求和过程的次序.实际上，傅氏积分成立，需要满足下述傅里叶积分定理：设?在（）上有定义且
（1）在任一有限区间上满足狄利克莱条件；
(2)在无限区间负无穷到正无穷上绝对可积
则傅里叶积分公式
?
在的连续点x出成立，而在?d的第一类间断点处，右边的积分应该以
代替.
在傅氏积分公式（3.2.2）中
令 G. (3.2.3)
则? (3.2.4)
可见函数?和G可以通过相互表达.我们称（3.2.3）为函数?的傅里叶变换，记作F (3.2.5)
G有称为?的像函数；而称（3.2.4）为函数G的傅里叶逆变换，记作
（3.2.6）
?有称为G的像原函数.因此，当?满足傅氏积分定理的条件时，傅氏积分公式就成为
? (3.2.7)
这是傅氏变换和傅氏逆变换之间的一个重要关系.
易于看出，傅氏变换的定义式（3.2.5）和（3.2.6），其积分前的系数虽然各书的写法并不完全相同，但只要此二系数的乘积等，（3.2.5）和（3.2.6）式均是可以相互满足的，且两积分号内指数因子和也可以同时改为和.
在量子力学中，通常把?记作,作为坐标表象的波函数，将看做波数k,
积分
而将（3.2.5）和（3.2.6）两式积分号前的系数分别写作.由于
p k，则有G,记作C,于是由（3.2.4）和（3.2.3）有
C
其中C就是同一量子体系在动量表象中的波函数.此二式表明了坐标表象和动量表象之间的波函数的变换关系.
有傅氏变换和傅氏逆变换的定义（3.2.5）及（3.2.6）可知，要求一个函数的傅氏变换，实际上就是求一个含参数的广义积分.计算含参数的广义积分是一件比较困难的工作.但对于某些函数来说，还是比较容易计算的.
3.3拉普拉斯变换
对于任何函数?,我们假定在t0时?0,那么，只要足够的大，函数?
的傅氏变换就有可能存在，即
F
其中?.
记 p，F F
并注意到
i
便得到
F (3.3.1)
? (3.2.2)
这是一对新的互逆的积分变换.我们称（3.2.1）式为函数?的拉普拉斯变换，
记作
L(3.3.3)
并称函数为?的像函数.而称（3.2.2）式为函数F的拉普拉斯逆变换或拉普拉斯反演公式，记作
(3.3.4)
并称函数?为F的像原函数.显然
?(3.3.5)
拉氏变换的存在条件，由下述拉普拉斯变换的存在定理给出.设函数?满足以下条件：
（1）当t0 时，?0
（2）当t0时，?及除去有限个第一类间断点以外，处处连续；
（3）当t时，?的增长速度不超过某一个指数函数，亦即存在常数M及0，使得,0t.(3.3.6)其中，称为?的增长指数.则?的拉氏变换F在半平面Rep上存在、解析，且当(是任意小的正数)时，有
=0在
拉氏变换的性质
设凡是要求拉氏变换的函数，均是满足拉氏变换存在定理的，则有拉氏变换的定义，我们有如下一些重要性质：
（1）线性性质
积分
L
（2）延迟性质
L F,Re
其中 F L
(3)位移性质
设，则L L
(4)相似性质
设a，F则
L
（5）微分性质
(6)积分性质 L
(7)卷积定理
其中，定义
熟练的掌握以上的这些性质，对于我们用拉氏变换解线性常微分方程和积分方程的初值问题极为方便.
4特殊积分的计算
4.1泊松积分
无穷限积分的收敛性是显而易见的，由于初等函数的原函数不再是初
等函数，因此其不能利用牛顿–莱布尼兹公式.为此，我们将用下面3种方法进行计算：
（1）二重积分法
设I,则
D
在极坐标下，区域D可以表示成为，所以：
从而：
（3）含参量反常积分方法
设I，对该积分进行变量替换x，为参数，则：
I
所以：I
即：
交换积分次序得：
因此：
I
（3）特殊函数法
已知伽马函数，s且有余数公式，即当0s1时：
积分
对无穷限积分进行变量替换，令，则：
I
在余数公式中令s 得，从而，因此：
=
4.2 Dirichlet 积分的计算
著名的Dirichlet
积分在光学、电磁学、无线电技术和有阻尼
的机械振动等领域有广泛的应用
.因此该积分收敛非绝对收敛，被积函数的原函数不
能初等函数表示，不能用传统的牛顿-莱布尼兹公式求出该积分值，
所以该积分在《数
学分析》和《复变函数》教材中作为典型来讨论.而一般的方法比较复杂，但通过数学物理方法比较容易解决这个问题. （1）含参变量积分方法
我们知道，含参变量积分：
由于，积分收敛，由Weierstrass M 判别法，含参变量
积分在上一致收敛.由于
在上连
续，根据积分顺序交换定理，1
1
220
1
()cos arctan
px
p F p dy e
xydx dy p y p
+∞
-===+???
又由阿
贝尔(Abel) 判别法知，积分（1）在0p ≥时一致收敛，根据连续性定理[4]，()F p 在0p ≥时连续，故
000
sin 1(0)lim ()lim arctan 2
p p x dx F F p x p π
+++∞
→→====?
（2）围道积分方法
设()iz
e f z z =，12,L L 分别是实数轴上
[,]R r --与[,]r R 线段，,r R C C 分别是以原点为圆心，
以r 与R 为半径的上半圆周，Γ是如图1所示的积分路径．由Cauchy-Goursat 定理知，()0f z dz Γ
=?，即
1
2
()()()()0R
r
L L C C f z dz f z dz f z dz f z dz +++
=????
（2）
经化简1
2
sin ()()2R
L L r
x
f z dz f z dz i dx x +=???
，由小圆弧引理[5]，0lim ()r
r C f z dz i π+→=-?，由Jordan 引理[5]，lim
()0R
R C f z dz →+∞
=?
．在式（2）两边令0,r R +→→+∞，并整理得：
sin 2
x dx x π
+∞
=?
(3) Fourier 变换方法:
设1,1;
()0, 1.t f t t ?≤?=?>??，则它的Fourier 变换为[()]()j t F f t f t e dt ω+∞
--∞
=?sin 2ωω=
()
F ω．
当
1
t <时，有
1
1
()[()]()2j t
f t F F F e d ωωωωπ
+∞
--∞
==
?
2
sin cos t
d ωωωπ
ω
+∞
=
?
，特别取0t =得：
s i n
2
d ωπ
ωω
+∞
=
?
.
图1 围道积分路径
积分
(4)能量积分方法
设()f t 在Fourier 变换下的象函数为()F ω，则有
2
2
1
[()]()2f t dt F d ωωπ+∞
+∞
-∞
-∞
=??
（3）
式（3）称为Parseval 等式[6]
，其中2[()]f t dt +∞
-∞
?称为()f t 的能量积分.
将上文中Fourier 变换方法的()f t 和()F ω应用在式（3）中，可以得到
22
0sin 2
d ω
π
ωω+∞
=
?
．又由分部积分法，
22
sin d ω
ωω+∞
=
?
sin 2sin u
d du u
ω
ωω
+∞
+∞
=?
?
，故 0
sin 2
u du u π
+∞
=?
. (5) Laplace 变换方法:
设()sin f t t =，则它的Laplace 变换为0
[()]()st L f t f t e dt +∞
-=
?
21
1
s =
+()F s ．又
0sin lim 1t t t →=，()arctan 2s
F s ds s π∞
=-?，由Laplace 变换象函数的积分性质[6]，有sin t L t ??=????()arctan 2s
F s ds s π∞=-?，特别取0s =得：0
sin 2
t dt t π
+∞
=?
. （6）广义函数方法：
单位脉冲函数()t δ也叫狄拉克(Dirac)函数，简称δ-函数，它是一个广义函数，是弱收敛函数序列的弱极限[6]，即对于任何一个无穷次可微的函数()f t ，有
sin ()()lim
()(0)t
t f t dt f t dt t ωωδωπ+∞
+∞
→+∞-∞
-∞
=>?? （4）
在式（4）中特别取()1f t =，由δ-函数的筛选性质知，左边()1t dt δ+∞
-∞
=?，右边积分
中作换元变换u t ω=得：0
sin 1sin 2
sin lim lim t u u
dt du du t u u
ωωωπππ+∞+∞+∞
→+∞→+∞-∞-∞
==
???
．故 0
sin 2
u du u π
+∞
=?
.
5.1利用留数定理计算积分
(1）狄利克莱积分
在上面用几种方法来计算狄利克莱积分的时候已经介绍了留数定理计算，现在就不做介绍.
（2）菲涅耳积分的计算
由留数定理有：
在上，令R ，则
而在
上，有
所以
又
参考文献
[1] 姚端正，梁家宝．数学物理方法（第二版）[M]．武汉：武汉大学出版社，1997：1~118
[2] 姚端正．数学物理方法学习指导 [M]．北京：科学出版社，2001：1~167
[3] 李惜文．数学物理方法典型题 [M]．西安：西安交通大学出版社，2001：1~108
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［7］林秀成．广义积分和含参变量的积分习题选解[M]．长春：吉林人民出版社，1983：1~275
［8］温瑞萍．利用递推法求偶次p—级数的和[J]．太原师范学院学报（自然科学版），2003，2（1）：16~17
致谢
本论文是在赵天玉老师的指导下完成的，在完成过程中还得到了许多其他人的帮助和支持，值此论文完成之际，我由衷地感激所有给予我指导、关心、帮助和支持的老师、同学、朋友们．
首先，我要感谢我的指导老师赵天玉老师．从我论文开始的查阅文献、论文的选题、修改到最后的定稿，都得到了赵老师悉心的指导和无微不至的关怀．赵老师严谨的治学态度、敏锐的洞察力、认真负责的工作态度和诲人不倦的师长风范给我留下了深刻的印象，他教导我进行抛物型方程解的估计及其应用，指导我完成了这一篇毕业论文，帮助我在学习中不断提高分析问题和解决问题的能力，这些都将使我受益终生．
感谢信计学院的授课老师和与我一起学习的同学，没有他们的谆谆教诲和热心帮助，我不可能顺利地完成本次毕业论文设计．
最后，我还要感谢在百忙之中参加我的论文答辩的各位老师！
.
研究生课程（论文类）试卷
2 0 1 6 /2 0 1 7 学年第一学期
课程名称：
国民经济统计学
课程代码：
论文题目： 浅谈几种综合国力测算方法
学生姓名：
专业﹑学号：
统计学
学院：
理学院
课程（论文）成绩： 课程（论文）评分依据（必填）：
任课教师签字： 日期： 年 月 日
.
.
浅谈几种综合国力测算方法
摘要：综合国力，是国家实力和权力的综合体现。国家实力是指一国自己做事的 能力，是一个绝对概念。有学者把实力定义为“逾越障碍和影响结果的能力”[1] 。 权力则指一国促使别国做事的能力，是一个相对概念。有学者将权力定义为“促 使其他行为体做其原本不会去做的事情”[2] 。在国际竞争中，国家实力与权力这 两个概念的最根本区别在于：实力不以国家关系为前提，或无须以他国为参照系， 而权力则是以国家关系为前提。
一、中西方对综合国力观点的差异
对于综合国力的定义，中西方学者的观点存在若干差异，西方学者侧重于强 调国家权力的比较，其代表思想是以强权治为中心。20 世纪 80 年代美国中央情 报局前副局长克莱因说：“国家在国际舞台的实力是该国政府影响他国政府主动 或者被动去做某件事的能力，不论是通过说服、威胁甚至是通过武力。”而在今 天变化多端的国际环境下，西方学者认为，国家实力并不只是国家之间相互影响 的能力。而是利用经济、军事、外交或其他软实力相结合的方法来影响他国的能 力。
但中国学者则更偏向于国家实力的比较，认为综合国力更多的是强调国家的 和平与发展，即再保护本国国家利益的基础上，与他国互惠互利、和平共处。学 者黄硕风在其 2001 年出版的《综合国力新论》中说道：“综合国力是国家生存 与发展所拥有的全部实力，包括物质力、精神力及国际影响力”，学者王诵芬在 其 1996 年出版的《世界主要国家综合国力研究》中写道：“综合国力是国家拥 有的各种力量的有机总和，是国家赖以生存和发展的基础，也是强国确立国际地 位、发挥国际影响作用的基础。”
.
定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
实验二数值方法计算积分 学号：姓名：指导教师：实验目的 1、了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法； 2、初步了解matlab中的部分函数，熟悉循环语句的使用； 3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积 方法计算积分的原理。 一、用不同数值方法计算积分 10x ln xdx=-94. (1)取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分，给出误差中关 于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小 的h，使得精度不能再被改善？ (2)用龙贝格求积计算完成问题（1）。 二、实现实验 1、流程图： 下图是龙贝格算法框图：
2、 算法： (1) 复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h 2∑-=1 1 )](n k xk f ； (2) 复合辛普森公式：Sn=6h [f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1 )2/1(n k x f ]； 以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh, x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。 (3) 龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式 1、Sn= 34T2n-31 Tn 2、 Cn=1516S2n-151 Sn 3、 Rn=6364C2n-631 Cn 从而实现算法。 3、 程序设计 （1）、复合梯形法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0. 001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f)); （2）、复合辛普森法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0 .001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2)); （3）龙贝格法： function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4; end; M=1; tol=10; k=0; T=zeros(1,1); h=b-a; T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),
学科分类号110.3420 州 GUIZHOU NORMAL COLLEGE 本科毕业论文 题目—几种常用数值积分方法的比较_____________ 姓名潘晓祥学号1006020540200 院（系）数学与计算机科学学院 __________________ 专业数学与应用数学年级_____________2010级 指导教师雍进军职称______________________讲师 二O—四年五月
贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 年月曰
贵州师范学院本科毕业论文（设计）任务书
研究方法: 本论文主要通过对相关文献和书籍的参考，合自己的见解，复化求积公式，Newton —Cotes求积公式,Romberg求积公式，高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验，从代数精度，求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较完成期限和采取的主要措施： 本论文计划用6个月的时间完成，阶段的任务如下： (1) 7月份查阅相关书籍和文献； (2) 8月份完成开题报告并交老师批阅； (3) 9月份完成论文初稿并交老师批阅； (4) 10月份完成论文二搞并交老师批阅； (5) 11月份完成论文三搞； (6) 12月份定稿. 主要措施：考相关书籍和文献，合自己的见解，老师的指导下和同学的帮助下完成 主要参考文献及资料名称： [1] 关治?陆金甫?数学分析基础(第二版) [M].北京：等教育出版社.2010.7 [2] 胡祖炽.林源渠.数值分析[M]北京：等教育出版社.1986.3 [3] 薛毅.数学分析与实验[M] 北京：业大学出版社2005.3 [4] 徐士良.数值分析与算法[M].北京：械工业出版社2007.1 [5] 王开荣.杨大地.应用数值分析[M]北京:等教育出版社2010.7 [6] 杨一都.数值计算方法[M].北京:等教育出版社.2008.4 [7] 韩明.王家宝.李林.数学实验(MATLAB版[M].上海：济大学出版社2012.1 [8] 圣宝建.关于数值积分若干问题的研究[J].南京信息工程大学.2009.05.01. : 42 [9] 刘绪军.几种求积公式计算精确度的比较[J].南京职业技术学院.2009. [10] 史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M].北京理工大学出版社.2010.4. 指导教师意见: 签名： 年月日
定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，
重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月
二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.
目录 第一章数值积分计算的重述 (1) 1.1引言 (1) 1.2问题重述 (2) 第二章复化梯形公式 (3) 2.1 复化梯形公式的算法描述 (3) 2.2 复化梯形公式在C语言中的实现 (3) 2.3 测试结果 (4) 第三章复化simpson公式 (6) 3.1 复化simpson公式的算法描述 (6) 3.2 复化simpson公式在C语言中的实现 (6) 3.3 测试结果 (7) 第四章复化cotes公式 (8) 4.1 复化cotes公式的算法描述 (8) 4.2 复化cotes公式在C语言中的实现 (9) 4.3 测试结果 (10) 第五章Romberg积分法 (11) 5.1 Romberg积分法的算法描述 (11) 5.2 Romberg积分法在C中的实现 (12) 5.3 测试结果 (13) 第六章结果对比分析和体会 (144) 参考文献 (16) 附录 (16)
数值积分?-10 2 dx e x （一） 第一章 数值积分计算的重述 1.1引言 数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。 在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 ()() () b a f x d x F b F a =-? 其中()F x 是被积函数()f x 的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题: 对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。由定积分知识,定积分只与被积函数和积分区间有关,而在对被积函数做插值逼近时,多项式的次数越高,对被积函数的光滑程度要求也越高,且会出现Runge 现象。如7n >时,Newton-Cotes 公式就是不稳定的。因而,人们把目标转向积分区间,类似分段插值,把积分区间分割成若干小区间,在每个小区间上使用次数较低的Newton-Cotes 公式,然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似,这就是复化的基本思想。本文主要
第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10
定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
山东财经大学学士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 山东财经大学关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 指导教师签名：论文作者签名： 年月日年月日 浅谈复积分的计算方法
摘要 复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来. 本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨. 关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理 Discussion on the computational methods of complex integration
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__
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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx
第七章 数值积分 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹 公式：)()()(a F b F dx x f b a -=?来求得定积分。然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。 一个简单被积函数，例如，其不定积分可能很 复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x >> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x) ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2 所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。数值积分的基本思想是构造一个简单函数P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求?b a n dx x P )(得?b a dx x f )(的近似值。 7.1 插值型求积公式 设?=b a dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使 ?=≈b a n dx x P I I )(* 。 构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f a b a x a f b a b x x P --+--= ，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a +-=?? ? ???--+--==??称为梯形公式。
几种特殊积分的计算方法 1前言 积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值.要求简单几何形体或者体积，可以套用已知的公式.比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长乘宽乘高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积.物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个（比如力）的累积效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式.他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念. 在古印度数学（英语：Indian mathematics）的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理.数学分析的创立始于17 世纪以牛顿（Newton, I.）和莱布尼茨（Leibniz, G.W.）为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy, A.-L.）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass, K.(T.W.)）为代表的奠基性工作.从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析.其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称.时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之.数学分析亦简称分析（参见“分析学”）.数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容.微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法.围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容.积分学则从总体上研究微小变化（尤其是非均匀变化）积累的总效果，其基本概念是原函数（反导数）和定积分，求积分的过程就是积分法.积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容.牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分
6 数值积分 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且原函数为)(x F ，则可用牛 顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a -=?计算定积分。然而很多函数 无法用牛顿―莱布尼兹公式求定积分。 一个简单被积函数，例如错误!未找到引用源。dx cx bx a ?++2，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x >> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x) ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2 所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。数值积分的基本思想是构造一个简单函数)(x P n 来近似代替被积分函数)(x f ，然后通过求?b a n dx x P )(得?b a dx x f )(的近似值。 6.1 插值型求积公式 设?=b a dx x f I )(* ，插值型求积公式就是构造插值多项式)(x P n ，使 ?=≈b a n dx x P I I )(*。 构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f a b a x a f b a b x x P --+--= ，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a +-=?? ? ???--+--==??称为梯形公式。
定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?
几种常用的数字积分方法（微分方程的数字解） 2－5数字积分法 1 欧拉法（折线法） 设一阶微分方程)y ,t (f y dx dy == 00y )t (y = 由图可知，过（t 0, y 0）点的斜率为 )y ,t (f y 000= 如果1t 离0t 很近，即t ? 很小，曲线y(t)可用切线来近似，其切线方程 )t t )(y ,t (f y y 0000-+= 其微分方程在t=t 1 时，可近似表示为 )t t )(y ,t (f y y )t (y 0100011-+== 重复上述近似过程，当2t t =时， )t t )(y ,t (f y y )t (y 1211122-+== 则有一般近似公式 ))(,()(111n n n n n n n t t y t f y y t y -+==+++ 如果令n n 1n h t t =-+，称为计算步矩，则 n n n n 1n 1n h )y ,t (f y y )t (y ?+==++ (1) 这就是欧拉法数字积分的递推计算公式。 由公式可看出，只要我们给出方程的初值（t 0, y 0）以及相应的步距，逐步进行递推就可获得微分方程的近似数字解。 欧拉法的计算是十分简单的，其计算误差正比于2h ，由此，要获得高精度解，必须减小步距，但这使得计算次数增加，又由于计算机的字长有限，h 减小得过小，将引 图2-5-1 图2-5-2
入舍入误差，所以此方法的精度提高有限，实际应用中较少采用。 2 梯形法（预报――校正法） 欧拉法精度低，却给我们一些启发，对微分方程 ),(y t f y = 可改写成 ττ+=?d )y ,(f y )t (y t 0t 0 当 1t t = 时，则 ?+=1 t t 01dt ))t (y ,t (f y )t (y 从此式可以看出，要求得 )t (y 1 的值，等式右边中含有未知函数，所以不能得到)t (y 1的值，但如果我们用已知的函数值)t (y 0来代替)t (y ，用不变取代变化的函数，即 ??≈1 1 t t 00t t dt ))t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f 实际上右边是一个矩形面积 )t t ())t (y ,t (f dt ))t (y ,t (f 0100t t 10 -?=? 则)y ,t (f h y y 00001?+= 递推公式为)y ,t (f h y y n n n n 1n ?+=+ 用此矩形的面积的算法，其计算误差是显然的（欧拉法），为了提高精度，我们可以用梯形面积来取代矩形的面积，即 01021t t h )f f (dt ))t (y ,t (f 1 ?+= ? 则0 10101h )f f (y y ?++= 递推形式为)f f (h 2 1y y 1n n n n 1n +++?+= 或)]y ,t (f )y ,t (f [h 2 1y y 1n 1n n n n n 1n ++++?+= 应用上式求积分，产生了新的问题，即在计算1n y +时，要用1n y +，而1n y +不知，则)y ,t (f 1n 1n ++是未知的，要获得1n y +，通常可用迭代方法，即在n t 与1n t +之间迭代多次，使其计算的1n y +逐步收敛于)t (y 1，即
合肥学院论文 求积分的若干方法 姓名：陈涛 学号：1506011005 学院：合肥学院 专业：机械设计制造及其自动化 老师：左功武 完成时间：2015年12月29日 求积分的几种常规方法 陈涛 摘要:数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求不定积分，才可以简捷，准确。 关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法 引言 数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则
和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。 1 积分的概念 设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。 记作∫f(x)dx。其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 1.1 不定积分 积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。 用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c 不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y=F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）= f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则，其中C为任意常数。 1.2 定积分 相对于不定积分，还有定积分。所谓定积分，其形式为∫[a:b]f(x)dx 。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 微积分的最初发展中,定积分即黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。而实变函数中,可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况,如勒贝格积分. 用公式表示是：∫[a,b]f(x)dx=lim(n->∞)∑(0-n)a+f(ti)*(b-a)/n 定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将[a，b]分成n等分：a=x0
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