下载文档原格式
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
三角函数积分常用公式三角函数是数学中常见的函数之一，它们在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
在积分中，有一些常见的三角函数积分公式，它们是解决一些特定类型的积分问题时非常有用的工具。
本文将介绍一些常见的三角函数积分公式，并附带相关的推导和例题。
一、正弦和余弦的基本积分公式1. sin(x)的积分∫sin(x)dx=-cos(x)+C这个积分公式可以通过对其倒数的积分来得到：再对∫-cos(x)dx 积分一次得到∫sin(x)dx ，即得到该结果。
这个积分公式可以用于计算sin(x)函数的定积分值。
例题：计算∫sin(x)dx在区间[0, π] 的定积分。
解：由基本积分公式，∫sin(x)dx=-cos(x)+C，我们可以得到：∫sin(x)dx=-cos(x)+C将上下限代入，得到：∫[0, π]sin(x)dx=-(cos(π)-cos(0))=-(-1-1)=2所以∫sin(x)dx在区间[0, π] 的定积分为22. cos(x)的积分∫cos(x)dx=sin(x)+C这个积分公式的推导过程与第一个公式类似。
通过对sin(x)的积分得到∫cos(x)dx。
这个公式也常用于计算cos(x)函数的定积分值。
例题：计算∫cos(x)dx在区间[0, π/2] 的定积分。
解：由基本积分公式，∫cos(x)dx=sin(x)+C，我们可以得到：∫cos(x)dx=sin(x)+C将上下限代入，得到：∫[0, π/2]cos(x)dx=sin(π/2)-sin(0)=1-0=1所以∫cos(x)dx在区间[0, π/2] 的定积分为1二、正弦和余弦的倍角积分公式在三角形中，如果存在一角的正弦和余弦的值已知，我们可以通过倍角的公式得到其他任意角的正弦和余弦值，从而可以进行积分。
1. ∫sin^2(x)dx∫sin^2(x)dx=∫(1-cos^2(x))dx=x-∫cos^2(x)dx对于∫cos^2(x)dx，可以使用正弦和余弦的基本积分公式进行转化：∫cos^2(x)dx=∫(1-sin^2(x))dx=x-∫sin^2(x)dx将其代入上面的公式中，得到：∫sin^2(x)dx=x-∫(1-sin^2(x))dx=x-x+∫sin^2(x)dx将∫sin^2(x)dx移到等号的左边，得到：∫sin^2(x)dx=1/2*x+C所以∫sin^2(x)dx=1/2*x+C，其中C为积分常数。
曲面积分基本概念曲面积分是向量分析中重要的工具之一，用于计算曲面上的某些物理量或者电磁场分布情况。
在本文中，我们将介绍曲面积分的基本概念和计算方法。
一、曲面积分的概念曲面积分是对曲面上一个数量函数的积分运算。
它可以看作是沿着曲面法线方向进行的积分操作，用于描述某个物理量在曲面上的分布情况。
对于平面上的积分，我们可以通过对所有点的加权求和来计算。
而在曲面上，由于其形状的复杂性，我们需要将曲面分解为许多小块，并对每个小块进行积分运算，然后将这些小块的积分结果进行累加，以得到最终的曲面积分值。
二、曲面积分的类型曲面积分分为两种类型：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分第一类曲面积分是对标量函数在曲面上的积分运算。
它描述的是曲面上的某种物理量的总量。
常见的第一类曲面积分符号表示为：∬_Sf(x, y, z)ds其中f(x, y, z)为定义在曲面S上的函数，ds表示曲面上的微元面积。
2. 第二类曲面积分第二类曲面积分是对向量函数在曲面上的积分运算。
它描述的是曲面上的某个向量场的总量。
常见的第二类曲面积分符号表示为：∬_S F·dA其中F为定义在曲面S上的向量函数，dA表示曲面上的微元面积的法向量。
三、曲面积分的计算方法曲面积分的计算方法主要有两种：参数化计算法和面积法。
1. 参数化计算法参数化计算法是将曲面用参数方程表示，然后将曲面上的积分转化为对参数的积分。
通过这种方法，我们可以将曲面积分转化为普通的二重积分，从而简化计算过程。
2. 面积法面积法是将曲面分解为许多小面元，然后对每个小面元进行面积的计算，并将这些面积值进行累加。
这种方法适用于曲面较为简单，可以根据几何关系直接计算出面积的情况。
四、曲面积分的应用曲面积分在物理学和工程学的许多领域都有广泛的应用。
比如，在电磁学中，曲面积分可以用于计算电荷分布情况、电场强度和磁场强度等物理量在曲面上的总量；在流体力学中，曲面积分可以用于计算流体的质量、动量和能量等。
菲涅耳类型积分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：菲涅耳(Fresnel)类型积分是一种常用的数学计算方法，用于处理各种复杂的积分问题。
这种类型的积分方法是由法国著名的数学家和物理学家奥古斯丁·菲涅耳(1788-1827)所提出的，因此得名菲涅耳积分。
菲涅耳类型积分在科学技术领域中有着广泛的应用，特别是在光学、声学、电磁学等领域。
在光学中，菲涅耳积分常被用来描述光的衍射和干涉现象；在声学中，菲涅耳积分可以用来计算声波传播时的衍射和散射等现象；在电磁学中，菲涅耳积分可以描述电磁波在不同介质中传播时的散射效应。
菲涅耳类型积分的特点是可以将复杂的积分问题转化为简单的形式，从而简化复杂的计算过程。
它的基本思想是将积分问题重新表达成标准形式，并通过换元等方法进行简化，从而得到解析表达式。
这种方法的优势在于可以利用一些标准的积分公式和技巧，来解决一些通用的积分问题。
菲涅耳类型积分可以分为一维和多维两种情况。
在一维情况下，积分变量只有一个自变量，常用的菲涅耳积分类型有Fresnel Sine Integral和Fresnel Cosine Integral，它们分别是sin(x^2)和cos(x^2)的积分形式。
在多维情况下，积分变量有多个自变量，通常需要使用多维积分技术来处理。
在实际应用中，菲涅耳类型积分常常需要借助数值方法进行计算，因为很多情况下并不存在解析解。
常见的数值计算方法有复化梯形法、辛普森法、龙贝格法等。
这些数值方法可以有效地计算出菲涅耳积分的近似值，并在一些特定问题上取得很好的效果。
菲涅耳类型积分是一种重要的数学工具，在科学技术领域中发挥着重要作用。
通过菲涅耳类型积分的处理，我们可以更好地理解一些复杂的物理现象，解决一些难题，促进科学技术的发展。
希望未来在这方面的研究能够继续深入，为人类社会的进步做出更大的贡献。
第二篇示例：菲涅耳类型积分是一种在数学领域中常见的积分形式，它由法国物理学家菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）提出并命名。
§2 基本积分方法一、换元积分法⎩⎨⎧第二类换元积分法第一类换元积分法换元积分法◆ 1．第一类换元积分法：设f (u )，)(x ϕ为连续函数，)(x ϕ可导，且C u F du u f +=⎰)()(，则C x F C u F du u f dx x x f +=+=========⎰⎰)]([)()()(')]([ϕϕϕ常见得凑微分形式：① ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f② ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f nadx b ax f n n n ③⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx x x f④ ⎰⎰=)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx xx f⑤⎰⎰=)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f⑥⎰⎰-=)(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ⑦⎰⎰=)(tan )(tan sec )(tan 2x d x f xdx x f⑧ ⎰⎰=-)(arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2x d x f dx xx f 例2、1计算dx x x x⎰+)1(arctan 22解:令t x =arctan ，tdt dx 2sec =，则2cot )1(csc sec tan sec )1(arctan 2222222t t td dt t t dt tt t t dx x x x --=-==+⎰⎰⎰⎰=2cot cot 2t dt t t t -+-⎰=C t t t t +-+-2|sin |ln cot 2=C x x x x x +-++-22)(arctan 211||ln arctan 。
例2、2计算下列积分：（1）)1ln(x x e e +⎰； （2）⎰+-dx xxcos 1cos 1解：（1）⎰⎰++=+)1()1ln()1ln(x x x x e d e e eC e e e dx ee e e e xx x xx xxx+-++=+⋅+-+⋅+=⎰)1ln()1(1)1()1()1ln( )(x u ϕ=（2）dx xxx dx x x x dx x x ⎰⎰⎰--=-+-=+-222sin cos 2sin 2)cos 1)(cos 1()cos 1(cos 1cos 1 C x x x xx d dx xdx ++--=--=⎰⎰⎰sin 2cot 2sin sin 2csc 222 ◆ 2．第二类换元积分法：)(t ϕ单调、可导且0)(≠'t ϕ，又)()]([t t f ϕϕ'有原函数)(t G 。
定积分公式和不定积分公式定积分公式和不定积分公式数学中，积分是一个非常重要的概念。
根据积分的算法分类，可以分为定积分和不定积分两种类型。
在这两种类型之间，有着一系列的公式存在，下面将会对定积分公式和不定积分公式进行详细讨论。
一、定积分公式定积分公式是求解定积分时需要用到的一种数学公式。
在定积分的基础上，使用定积分公式可以极大的方便计算的过程，加快处理的速度。
常见的定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$$$\int \tan x dx=\ln |\sec x|+C$$$$\int \cot x dx=\ln |\sin x|+C$$（2）换元积分公式逆元未知法：$$\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C$$公式法：$$\int f(x)dx=\int \frac{f(ax+b)}{a}dx$$二、不定积分公式不定积分公式是一个求解不定积分的方法。
使用不定积分公式可以把不定积分转化为已知函数与常数的和。
常见的不定积分公式有：（1）基本积分公式指数函数积分：$$\int e^xdx=e^x+C$$幂函数积分：$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$三角函数积分：$$\int \sin x dx=-\cos x+C$$$$\int \cos x dx=\sin x+C$$（2）分部积分公式$$\int udv=uv-\int vdu,$$其中 $u$ 和 $v$ 分别为积分中的两个函数。
通过这样的分部积分，可以将一个较难求的积分，将其转化为两个较容易求的积分。
（3）三角代换公式$$\int R(\sin x,\cos x)dx$$此处，$R(\sin x,\cos x)$ 是一个使用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 组成的有理函数。
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ． （2） 其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a x A - ， （2）k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ）， （4）kq px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B pu A dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au ApB du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222 C pq p x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222． 其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(． 第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k kk k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)(122222)(+-++=k k kkI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+． 于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ． （3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u aa u du I +=+=⎰arctan 1221． 最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2． 例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1． 解⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u uC u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1． 解 因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）即 A x C A B x C A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C A B C A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122 ⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112C x x x +----=1ln 11ln ． 例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22． 解 因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22． 例4 求⎰+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ． 令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是Cx x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数围分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232． 解dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122 ．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114． 解⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ． 由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ． 例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解 设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx xx ⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ． 解 dx x x x dx xx x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx xx dx x x ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x ⎰+2cos 311． 解x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是 du a nuu a b u R dx b ax x R n n n 1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ． （5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211． 解 令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分 这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰． （6） （6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11． 解 令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 duu u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222 C x x xx x++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解 ⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令ux x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=， 于是du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1C x x C u +-+-=+-=3112323．。
一、基本求导公式1.x x1ln x1x2.(sin x)cosx(cosx)sin x3.(tan x)sec2 x(cot x)csc2 x4.(secx)tan x secx(csc x)cot x cscx5.( a x ) a x ln a ， (e x )e x6.arctanx1arcsinx11x21x2arccot x1arccosx1 1x21x2二、基本积分公式1.x dx 1 x1 C (1) ，1dx ln | x | +C1x2.a x d x a x C，e x d x e x Cln a3.sin xdx cosx C ，cosxdx sin x C4.sec2 xdx tan x C csc2 xdx cot x C5.tan xdx ln | cosx |C cot xdx ln | sin x |C6.secxdx ln | secx tan x |C cscxdx ln |cscx cot x | C7.12 dx arctanx C1dx arcsinx C 1x1x2a21x2 dx1arctanxC1dx arcsinxCa a a2x2a8.1dx ln x x2a2Cx2a21dx ln x x2a2C x2a212 dx 1 x a9. a 2x ln x C2a a 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式sin 2 x1 cos2 xcos 2 x 1 cos2 x222. 正余切与正余割正割 secx1 sec 2x 1 tan 2 xcos x余割 cscx1 csc2 x 1 cot 2 xsin x四、常用凑微分类型1.1 f (x)d x 1df (x)ln f (x)C ;f ( x)f (x)2.f ( ax b)dx 1 f (ax b)d(ax b) ( a0) ;a3.f ( x ) x1dx 1 f (x )dx ( 0) ;4.x x1 xx;x x d(exx;ln a5.f (ln x)1dxf (ln x)d ln x ;x6.f (sin x) cos xdx f (sin x) dsin x ;f (cosx) sin xdx f (cosx)dcos x ;7.f (tan x) sec 2xdx f (tan x)d tan x;f (cot x) csc 2 xdxf (cot x)dcot x ;8.f (secx) secx tan xdxf (secx)dsec x ;f (csc x) cscx cot xdxf (cscx) dcsc x ;9.f (arcsin x)1dxf (arcsin x) d arcsin x ;1x 2f (arctanx) 1 2 dx f (arctanx) darctanx . 1+x五、第二类换元法常用的代换方法(1)a 2 x 2 ，可作代换 x a sint ；(2)a2x2，可作代换 x a tant(3)x2a2，可作代换 x asect ；；(4)分母中次数比较高时，常用倒代换代换x 1 ；t(5)(6)nnax b ，可作代换 tax b，可作代换 tcx dnnax b ；ax b .cx d六、分部积分基本公式udv uv vdu基本方法：f (x)dx分解f ( x) u( x) v (x )分部积分u( x) v (x)dx凑微分u(x)dv(x) u( x)v(x)v(x) du(x)使用分部积分法的关键是将 f ( x) dx 恰当地凑成 u( x) dv(x) 的形式，其遵循的一般原则是：（ 1） v( x) 容易求得；（ 2）v(x)du(x) 要容易积分；一般地，按“ 反对幂指三”的顺序，前者取为u(x) ，后者取为 v ( x) .反三角函数对数函数幂函数指数函数三角函数常见类型u( x) 与 dv( x) 的选取1x n sin xdx ， x n cos xdx， x n e x dx选 x n为 u(x) ，注： x n可推广到多项式将 sin xdx ， cos xdx ， e x dx 凑成 dv( x)x ln xdx ， x arcsin xdx ，选 ln x ，反三角函数为u(x) ，2x arctanxdx，将 x dx 凑成 dv(x)3e x sin xdx ， e x cosxdx 用两次分部积分（两次u(x) 均选为 e x），移项解方程1.cos2 xdx1cos2x 2x dx1cos 2xd(2 x)（1cosu du）2221Csin 2 x22.(2 x5)3 dx1(2 x 5)32x5dx21(2 x5)3d(2 x5)（1u3du ）221(2 x5)4C83.x 2x22x22（eu d u）2xe dx e x dx e dxu e C 2e x C类似地，1x34dx1114 1 2x4dx2 x82x1114d(1+2x4 )1ln(12x4 )C 82x84.tan xdx sin x dx1(cosx) dxcosx cos x1 d cosx ln | cos x |Ccosx5.sin 3 xdx sin 2 x sin xdx1cos2 x d cos x 1cos3 x cos x C.1tan436.tan3 x sec2xdx tan3x d tan x x C47.sin 2 x cos5xdx sin 2x cos4 x cos xdxsin2 x 1sin2x 2dsin xsin 2x2sin 4 x sin 6x d sin x1sin 3 x 2sin 5x1sin 7x C.3578.x21dx11 2dx利用1du arctan u Ca2a1x a 1 u2a1xC .arctana a19.1cos x dxx 1(x sin x) dxxd(x sin x)ln x sin x +Cx sin x sin x sin x。
积分的常见类型及解法
被积函数fx的类型
解法
222222
faxfaxfxa、、
三角代换（令sintansecxatatat、、）
2
faxbxc
或21axbxc
当240bac时，将二次三项式配成平方
差或分解因式。
当240bac时，将二次三项式配成平方
和。
2
k
MxNfaxbxc
这里240bac
拼凑为2222kMMbaxbNaaaxbxc
n
axbfcxd
令naxbtcxd代替x
,nmfxx
令ktx，这里k为,nm的最小公倍数
Px
fxQx
为有理分式
化fx为多项式+真分式，利用待定系数
法，继续化为多项式+若干部分分式之和。
fx为三角函数有理式
sin,cosRxx
令tan2xt，利用万能公式或其他代换法。
fx
为xe的有理函数xRe
令xte代替x
