第九节 各种积分间的关系2

第九节 二阶变系数线性微分方程的一些解法常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。

本节介绍处理这类方程的二种方法§9.1 降阶法在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。

考虑二阶线性齐次方程22dx y d ＋p(x) dxdy ＋q(x)y ＝0 (9.1)设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2)其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有dx dy ＝y 1dx du ＋u dxdy 1求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dxdy 1＋u 212dx y d代入(9.1)式得y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(212dx y d ＋p(x)dx dy 1＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3)这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中212dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1≡0故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dxdu ＝0再作变量替换，令dxdy＝z 得y 1dx dz ＋(2dxdy 1＋p(x)y 1)z ＝0分离变量 z1dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx两边积分，得其通解z ＝212y C e－∫p(x)dx其中C 2为任意常数积分得u ＝C 2∫21y 1e －∫p(x)dxdx ＋C 1代回原变量得(9.1)的通解y ＝y 1［C １＋C 2∫21y 1e －∫p(x)dxdx ］此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouville )公式。

综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换y ＝y 1∫zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。

高等数学教学中各种积分之间关系的研究在高等数学教学中，各种积分之间存在着密切的关系。

通常来讲，各种积分之间可以互相转化，即通过不同的转化方法，可以将一种积分表示为另一种积分。

因此，研究各种积分之间的关系，对于高等数学教学具有重要意义。

常见的各种积分包括定积分、不定积分、微积分、向量积分等。

定积分是指在一个定义域内，通过求解下限和上限之间的积分，来确定函数的积分。

不定积分是指对于一个定义域内的函数，求解其积分的过程，而不需要确定下限和上限。

微积分是指研究函数的微小变化，包括导数、二阶导数等。

向量积分是指在空间中，对于一个函数或一个向量场，求解其积分的过程。

研究各种积分之间的关系，可以帮助学生更好地理解这些积分的定义和性质，并运用不同的积分方法来解决问题。

在继续研究各种积分之间的关系时，还可以关注以下几点：1.各种积分的定义域和求解范围：每种积分都有自己的定义域和求解范围，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分在何种情况下可以使用。

2.各种积分的转化方法：各种积分之间可以互相转化，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分之间的转化方法。

3.各种积分的应用场景：各种积分都有自己的应用场景，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分在何种情况下可以使用。

各在继续研究各种积分之间的关系时，还可以关注以下几点：1.各种积分的解题方法：各种积分都有自己的解题方法，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分的解题方法。

2.各种积分的性质：各种积分都有自己的性质，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分的性质。

3.各种积分的实际应用：各种积分都有自己的实际应用，在研究这些积分之间的关系时，要注意这些积分的实际应用。

通过对各种积分之间的关系的研究，学生可以更好地理解这些积分的定义和性质，并运用不同的积分方法来解决问题。

各类积分之间的联系与计算第一型曲线积分计算：化为定积分 （1）参数方程如果空间曲线L 参数方程为：⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t y t x ds 22)]('[)]('[+=，s y x f Ld ),(⎰=⎰βα))(),((t y t x f t t y t x d )]('[)]('[22+。

若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。

（2）直角坐标方程如果曲线L 的方程为()y x ϕ=，()a x b ≤≤，那么有dx x ds )(12ϕ'+=((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。

第二型曲线积分计算：化为定积分（1）参数方程若平面定向曲线L 的参数方程：b a t t y y t x x →⎩⎨⎧==:)()(，则⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+badt t y t y t x Q t x t y t x P )]('))(),(()('))(),(([若空间定向曲线Γ的参数方程b a t t z z t y y t x x →⎪⎩⎪⎨⎧===:)()()(，则⎰Γ++dzz y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=⎰++b adt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P )]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([（2）直角坐标方程若曲线L 的方程为()y x ϕ=，b a x →: 则[]dx x y x y x Q x y x P dy y x Q dx y x P bal⎰⎰'+=+)()(,())(,(),(),(二重积分的计算：化为二次积分（1）直角坐标系若),(y x f 在x 型区域}),()(|),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=上连续 则σd y x f D⎰⎰),(=11()()(,)by x ay x dx f x y dy ⎰⎰.若),(y x f 在y 型区域}),()(|),{(21d y c y x x y x y x D ≤≤≤≤=上连续，则σd y x f D⎰⎰),(=⎰⎰)()(21),(y x y x dcdx y x f dy .（2）极坐标变换极坐标变换：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x , πθ20,0,≤≤+∞<≤r⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),(情形1 原点D O ∉1）∆为θ型区域，即}),()(|),{(21βθαθθθ≤≤≤≤=∆r r r r ，此时.)sin ,cos (),()()(21dr r r r f d dxdy y x f r r D⎰⎰⎰⎰=θθβαθθθ2）∆为r 型区域，即}),()(|),{(2121r r r r r r ≤≤≤≤=∆θθθθ，此时.)sin ,cos (),()()(2121θθθθθd r r f rdr dxdy y x f r r r r D⎰⎰⎰⎰=情形2 原点O 是积分区域D 的内点，D 的边界极坐标方程为)(θr r =，则变换后的区域}20),(0|),{(πθθθ≤≤≤≤=∆r r r ，此时.)sin ,cos (),()(020dr r r r f d dxdy y x f r D⎰⎰⎰⎰=θπθθθ情形3 原点O 在积分区域的边界曲线)(θr r =上，}),(0|),{(βθαθθ≤≤≤≤=∆r r r ，此时有.)sin ,cos (),()(0dr r r r f d dxdy y x f r D⎰⎰⎰⎰=θβαθθθ广义极坐标变换:⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x πθ20,0,≤≤+∞<≤r⎰⎰⎰⎰=DDabrdrd br ar f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),(三重积分的计算：化为三次积分 （1）直角坐标系投影法（以投影到xy 平面为例）我们先在z 轴上做积分，暂时将y x ,看成是常数．把函数()z y x f ,,看作是z 的函数，将它在区间()()],,,[21y x z y x z 上积分得到“线”的质量()()()⎰y x z y x z dz z y x f ,,21,,．显然这个结果是y x ,的函数，再把这个结果在平面区域xy D 上做二重积分“体”的质量()()()d x d y dz z y x f y x z y x z D xy⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰,,21,,，即 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=),(),(V21),,(V ),,(y x z y x z D dz z y x f dxdy d z y x f xy若}),()(),,(),(|),,{(2121b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=，⎰⎰⎰⎰⎰⎰=),(),()()(V2121),,(d V ),,(y x z y x z x y x y badz z y x f y dx d z y x f ；若}),()(),,(),(|),,{(2121d y c y x x y x y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=，⎰⎰⎰⎰⎰⎰=),(),()()(V2121),,(d V ),,(y x z y x z y x y x dcdz z y x f x dy d z y x f ；截面法（以截面平行于xy 平面为例）确定V 位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截V ，得截面z D ，不难得到： “面”的质量(),,zD f x y z dxdy ⎰⎰，“体”的质量 dzdv z y x f Vc c ⎰⎰⎰⎰=21),,(⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(（2）柱面坐标变换,,20,0,,sin ,cos :+∞<<-∞≤≤+∞<≤===z r z z r y r x T πθθθdz rdrd dV θ=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=.),sin ,cos (⎰⎰⎰'V dz rdrd z r r f θθθ{}212121/),()(),,(),(),,(θθθθθθθθ≤≤≤≤≤=r r r z z r z z r V⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=rdz z r r f dr d r z r z r r ),sin ,cos (),(),()()(212121⎰⎰⎰θθθθθθθθθ（3）球坐标变换,0,20,0,rcos ,sin sin ,cos sin :πϕπθϕθϕθϕ≤≤≤≤+∞<≤===r z r y r x T θϕϕd drd r dV sin 2=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2⎰⎰⎰'=V d drd rr r r f θϕϕϕθϕθϕ{}212121/),()(),,(),(),,(θθθθϕθϕθϕθϕθϕ≤≤≤≤≤=r r r r V⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=dr r r r f d d r r ϕϕθϕθϕϕθθϕθϕθϕθϕθθsin )rcos ,sin sin ,cos sin (2),(),()()(212121⎰⎰⎰广义球坐标变换,0,20,0,rcos ,sin sin ,cos sin :πϕπθϕθϕθϕ≤≤≤≤+∞<≤===r c z br y ar x T⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2⎰⎰⎰'=V d drd abcr cr br ar f θϕϕϕθϕθϕ第一型曲面积分：化为二重积分（1）直角坐标方程若光滑曲面S ：()y x z z ,=，()D y x ∈,， ),,(z y x f 为定义在S 上的连续函数，则()⎰⎰SdS z y x f ,,=()⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221),(,,（2）参数方程第二型曲面积分：化为二重积分 （1）直角坐标方程设函数),,(z y x R 在有向光滑曲面∑：),(y x z z =，xy D y x ∈),(上连续，则有⎰⎰⎰⎰±=∧∑xyD dxdy y x z y x R dy dx z y x R )),(,,(),,(（上侧取正，下侧取负）若曲面为∑：),(z y x x =，则有⎰⎰⎰⎰±=∧∑yzD dydz z y z y x P dz dy z y x P ),),,((),,( （前侧取正，后侧取负）若曲面为∑：),(z x y y =，则有⎰⎰⎰⎰±=∧∑xzD dxdz z z x y x Q dz dx z y x Q )),,(,(),,(（右侧取正，左侧取负）注：如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号（2）参数方程格林公式： 若函数),(),,(y x Q y x P 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有,)(⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx d yPx Q σL 为区域D 的边界曲线，并取正方向.设区域D 的边界L 由一条光滑曲线或几条光滑曲线组成，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边；与上述方向相反的方向称为负方向，记为L -.为便于记忆，格林公式可写成下述形式=∂∂∂∂⎰⎰σd QP x Dy ⎰+LQdy Pdx .格林公式沟通了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系.高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面2所围成，P （x,y,z ）,Q(x,y,z),R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式：⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P )(这里∑是由Ω的整个边界曲面的外侧构成。

各类积分间的关系0、重积分的计算关键在于将积分区域分解X-型域或Y-型域；投影法（先一后二！）或截面法有时要先选择恰当的坐标系1、对弧长的曲线积分（第一类）算法：⎰⎰'+'=βαψϕψϕt t t t t f s y x f L d )()()](,)([d ),(22 （βα<） 关键在于给出曲线的方程（参数方程、普通方程或极坐标方程）； 曲线弧长元素：t t t ds d )()(22ψϕ'+'=2、对坐标的曲线积分（第二类）算法：{dt t t t Q t t t P y y x Q x y x P L })( )](),([)()](),([d ),(d ),(⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕ 关键在于给出曲线的方程，并确定起止点对应的参数。

定积分是第二类曲线积分的特例！3、两类曲线积分之间的联系：()(){}ds y x Q y x P y y x Q x y x P LL ⎰⎰+=+βαcos ,cos ,d ),(d ),(βαcos ,cos 为L 的切向量之方向余弦{}s R Q P Rdz Qdy Pdx d cos cos cos γβα++=++⎰⎰ΓΓ 4、对面积的曲面积分算法： ()()dxdy y x z y x z y x z y x f S z y x f y xD y x ,,1)),(,,(d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑ 其中：()==∑dS y x z z ；方程为,()()dxdy y x z y x z y x,,122++ （dS 曲面面积元素）5、对坐标的曲面积分算法：()dxdy y x z y x R dxdy z y x R y x D )),( ,,(,,⎰⎰⎰⎰±=∑（面上的投影在为XOY D xy ∑）其中：()()；方程为xy D y x y x z z ∈=∑,,, 上（侧）正、下（侧）负6、两类曲面积分之间的联系：()dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβαcos cos cos 7、格林公式：⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d 一般由右向左使用，的正向边界为区域D L ；注意例3及第二类曲线积分的路径无关。