下载文档原格式
投入产出数学模型经济应用案例投入产出数学模型的应用领域很广，常用于分析经济系统的部门结构和比例关系、进行经济预测、调整经济计划等各个方面。
由投入产出模型的理论知道，只要经济系统各个部门的生产技术条件没有变化，就可将报告期的投入产出数学模型直接应用于计划期的经济工作。
下面将以实例说明其在经济中的应。
例题设某个地区的经济系统划分为工业、农业、其他产业三个部门。
上一年度三个部门的生产与消耗情况如下表所示：生产与消耗情况表假定该系统三个部门的生产技术条件都没有变化，从而该系统的直接消耗系数矩阵不变，由此建立的产品分配方程组和产值构成方程组也不变。
在此基础上，分别分析该系统的报告期投入产出数学模型在计划期经济计划工作方面的下列应用。
（1）在经济预测中的应用假定根据上例所示经济系统的生产发展情况，预计该系统工业、农业、其他产业三个部门的计划期总产品将在报告期总产品的基础上分别增长9%、7%、6%。
由于在生产过程中系统内部存在着复杂的产品消耗关系，故一般说来，各个部门最终产品的增长幅度与总产品的增长幅度并不一致。
试预测该系统最终产品的增长情况。
（2）在制订计划中的应用投入产出数学模型为合理制订经济系统的生产计划提供了一个科学的方法。
根据社会需要确定社会产品的原则，先通过对计划期需要量的预测，确定系统各个部门的最终产品，再利用投入产出数学模型推算出各个部门的总产品，在此基础上编制经济系统计划期的投入产出表，作为安排各个部门计划期生产活动的依据。
现假定通过预测，引例所示经济系统三个部门的计划期最终产品需要量分别为工业部门：1216y=亿元，农业部门：2716y=亿元，其他产业部门：3120y=亿元。
试确定计划期总产品、部门间流量及计划期各部门净产值。
（3）在调整计划中的应用以上介绍了如何根据对最终产品的需求，制订经济系统的生产计划。
但是在执行计划时，可能由于不可预测的原因，导致系统某些部门的最终产品出现缺口(计划产量小于需要量)，或者某些部门的最终产品出现余量(计划产量大于需求量)，从而破坏了经济系统原计划的平衡性。
§4 投入产出分析在一个国家或区域的经济系统中，各部门（或企业）既有消耗又有生产，或说既有投入又有产出，生产的产品供给系统内部各部门和系统以外的需求，同时也消耗系统内各部门所提供的产品。
消耗的目的是为了生产，生产的结果又必然要创造新价值，以支付工资和获取利润。
对每一部门，物质消耗和新创造的价值等于它生产的总产值，这就是投入和产出之间的平衡关系。
美国经济学家、哈佛大学教授W.Leontief 于20世纪30年代首先提出并成功建立了国民经济的投入产出数学模型，并数次制定主持美国的国民经济投入产出表，这一方法即投入产出法以其重要的应用价值迅速为世界各国经济学界和决策部门所采纳，因此他获得1973年的Nobel 经济学奖。
设有n 个经济部门组成的经济系统，假设1、部门i 仅生产一种产品i ，称为部门i 的产出，不同部门的产品不能相互替代；2、部门i 在生产过程中至少需要消耗另一部门 j 的产品，称为部门 j 对部门i 的投入，并且消耗的各部门产品的投入量与该部门的总产出量成正比。
记i x —部门i 的总产出 ),,2,1(n i =ij x —部门i 分配给部门j 的产品量),,2,1,(n j i =ij a —部门 j 的单位产品对部门i 产品的消耗),,2,1,(n j i =，显然j ij ij x a x =i y —外部对部门i 的需求),,2,1(n i =j z —部门j 新创造的价值),,2,1(n j =利用统计资料，可以编制下面的投入产出表。
投入产出模型按计量单位的不同，分为价值型和实物型，在价值型模型中，各部门的投入、产出均以货币单位表示；在实物型模型中，则按各产品的实物单位（如吨、米等）为单位。
我们在这里仅讨论价值型模型，至于实物型模型，可以证明相应的直接消耗系数矩阵与货币型模型的直接消耗系数矩阵相似，因此模型的结论是一致的。
一、平衡方程组对每一部门，作为系统内部各部门的消耗＋外部需求＝总产品即 ),,2,1(1n i x y x a i i j ij nj ==+∑= （1）(1) 称为分配平衡方程组。
投入产出数学模型练习题解答（1）在经济预测中的应用该系统的计划期总产品和最终产品分别记为()123,,x x x x '= 和()123,,y y y y '= 。
根据表中报告期的总产品数据以及预计的计划期总产品增长幅度，该系统三个部门的计划期总产品应分别为工业部门： ()156019%610.4x =+=亿元农业部门： ()234017%363.8x =+=亿元 其他产业部门：()328016%296.8x =+=亿元将这些数据代入产品分配平衡方程组，可求得 ()y I A x =-即 1230.650.30.25610.4213.420.150.80.15363.8154.960.20.10.9296.8108.66y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由此可对该系统三个部门的计划期最终产品及其相对于报告期最终产品的增长幅度作出预测工业部门：1213.42y =亿元，增长213.4219211.2%192-= 农业部门：2153.96y =亿元，增长153.961466.1%146-= 其他产业部门：2108.66y = ，增长108.661062.5%106-= 根据预测结果，可对该系统的计划期最终产品与实际需要是否相符作出判断，避免出现大的偏差。
（2）在制订计划中的应用将数据代入产品分配方程组，可求得()1x I A y -=-即 1230.7050.2950.24521664010.1650.5350.1351764000.3650.1750.1250.475120320x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此可知，该系统三个部门的计划期总产品分别为工业部门：1640x = 亿元 农业部门：2400x = 亿元其他产业部门：3320x = 亿元用上述三个部门的总产品分别乘该系统的直接消耗系数矩阵中对应列的元素，可得到该系统计划期部门间流量的矩阵6400.354000.33200.256400.154000.23200.156400.24000.13200.1⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭224120809680481284032=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭工业农业其他工业农业其他再将上述三个部门的总产品(总产值)代入产值构成平衡方程组，可求得该系统三个部门的计划期净产值分别为11(1,2,,)nj ij j i z a x j n =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑工业部门：110.30.3640192z x ==⨯=亿元农业部门：220.40.4400160z x ==⨯=亿元 其他产业部门：330.50.5320160z x ==⨯=亿元 根据以上所求得的各项数据即可编制出该系统的计划期投入产出表（3）在调整计划中的应用将该系统计划期的总产品调整量和最终产品调整量分别记作()123,,x x x x '∆=∆∆∆ 和()123,,y y y y '∆=∆∆∆。
