投入产出数学模型44页PPT

投入产出数学模型
.
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。投入产出技术正是研究一个
经济系统各部门间的“投入”与“产出”关 系的
数学模型，该方法最早由美国著名的经济学
家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前
比较成熟的经济分析方法。
.
2
一、投入产出数学模型的概念
最终需求
投入
生 产 部 门
新 创 价 值
1 2 n
工资 纯收入 合计
1 2 n 消费 累计 出口
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n
xn1 xn2
x nn
v1 v2 vn m1 m2 mn z1 z2 zn
总投入
x1 x2 xn
合计
y1 y2 yn
总 产出
x1 x2 xn
ij定理723第j部门对第i部门的完全消耗系数满足方程ijkjikijij定理724设n个部门的直接消耗系数矩阵为a完全消耗系数矩阵为b则有证明由定理723知kjikijij21例例33假设某公司三个生产部门间的报告价值型投入产出表如表74产出投入中间消耗最终需求总产出610600250152536004001840625250030506000表74求各部门间的完全消耗系数矩阵
.
8
二、直接消耗系数
定义7.2.1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作a iji,j 1 ,2 , ,n 。
由定义得
aij
xiji,
xj
j1,2,,n
(7-17)
把投入产出表中的各个中间需求 x ij 换成相应

如，根据表4-1中数据，初始投入系数阵为：
av1 av2 av3 0.1052 0.0444 0.1315 at1 at2 at3 0.2105 0.1000 0.1184 am1 am2 am3 0.2632 0.1111 0.0789
a21
...
(1 a21) ... ... ...
a2n
q2
f2
... ... ...
an1
an2
...
(1
an
n
)
qn
f
n
(I A)q f q (I A)1 f
第8页/共77页
价值模型(1)
n
xij y j i1
q
j
n
aijq j y j
qj
av1 0 ...
0 av2 ...
... ... ...
0 q1 0 q2 ... ...
Vn
0
0 ... avn qn
V Aˆvq Aˆv (I A)1f
第22页/共77页
五、各部门最终需求的变化可能引起的工资 （V）、税收（T）和营业盈余（M）的变化
——税收的变化
第3页/共77页
直接消耗系数
aij
xij qj
(i,
j
1,2,...,
n)
A X • qˆ1
a11 a12 ... a1n x11 x12 ... x1n q11 0 ... 0
a21
a22
...
a2n
x21
x22
...
x2n
0
q21 ...
0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

第6页/共61页
•
直接消耗系数——即单位总产品生产中消耗劳动对象和生产性服务产品的数
量。中间产品与总产品之间的数量联系正是通过它表现出来的。
•
完全消耗系数——即单位最终产品的生产中对其它部门提供的总产品或中间
产品的全部消耗量，这里所谓全部消耗量除直接消耗外，还包括通过以前各生产
阶段中其它中间产品所转移过来的同类的间接消耗在内。最终产品与总产品之间
（2·2）
上式如果写成矩阵形式则为：
AQ Y Q
（2·3）
第24页/共61页
其中
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
Q1
Q
Q2
Qn
y1
Y
y2
yn
因此，（2·2）又可写成
Y (I A)Q
（2·4）
其中，I 是单位矩阵，而(I A) 是一个特殊形式的矩阵，
• 应该指出的是，列昂惕夫的“投入产出分析” 曾受到二十年代苏联的计划平衡思想的影响。因 为列昂惕夫曾参加了苏联二十年代中央统计局编 制国民经济平衡表的工作。
第15页/共61页
•
当然，按照列昂惕夫的说法，“投入产出分析”的理论基础和所使用的数学方
法，主要来自于瓦尔拉斯的“一般均衡模型”（瓦尔拉斯在《纯粹政治经济学要义》
(2)投入系数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) ——表示生产单
位 j 种产品需要 i 种要素的投入量（ aij rij X j ）。
第8页/共61页
(3) 设 n 维向量 ~p 是 n 种产品的价格向量，m 维向量 w~ 是
m 种要素价格向量。即

xj
zj 1 aij
i 1 n
( j 1,2,..., n)
18 上一页 下一页 返 回
第四节 投入产出数学模型
1、投入产出模型
2、直接消耗系数 3、投入产出分析
1 上一页 下一页 返 回
一、投入产出模型
设一个经济系统可以分为n个生产部门，各部门 分别用1,2,…,n 表示，部门 i 只生产一种产品 i，
并且没有联合生产，即产品 i 仅由部门 i 生产．
每一生产部门的活动可以分为两个方面：一方面， 作为消耗部门，为了完成其经济活动，需要供给它 所需要的物质，叫做投入；
y z
i 1 i j 1
n
n
j
即整个经济系统的最终产品价值等于该系统新创 造的价值，但
x
j 1
n
kj
xik (k 1,2,..., n)
i 1
n
即
yk zk (k 1,2,..., n).
10 上一页 下一页 返 回
二、直接消耗系数
为了确定经济系统各部门间在生产消耗上的数量 依存关系，我们引入直接消耗系数的概念. 定义4.1 第 j 部门生产单位价值产品直接消耗第 i
j 1
上一页 下一页
7 返 回
称为分配平衡方程组． 表4-1中左上角、左下角部分的每一列也有一个等 式，即每一个消耗部门对各部门的生产消耗加上该 部门新创造的价值等于它的总产品价值，可用方程
组
x1 x11 x21 xn1 z1 , x x x x z , 2 12 22 n2 2 xn x1n x2 n xnn zn
x1 x11 x12 x1n y1 , x x x x y , 2 21 22 2n 2 xn xn1 xn 2 xnn yn

x n1
x12 x22
. . .
... ...
...
x1 n x2 n
x nn
y1 y2
. . . yn
x1 x2
. . .
社会纯收入 m1 , … ,mn 合计
z1 , … , zn
x1 , … , xn
服务业
n
xn 2
xn
总产值
xij ：第i个部门的产品流入 (投入 到第 个部门的数量 (价值量 投入) 价值量) 第 个部门的产品流入 投入 到第j个部门的数量 价值量
因为 A
1
i)
= max
j 1
∑
∞
n
i =1
a ij = max
j k
∑
n
i =1
a ij < 1 i, j
所以 ( I A )
=
∑
k =1
A = ( b ij ) n × n b ij ≥ 0
所以 y ≥ 0 有 又因为
x = ( I A ) 1 y ≥ 0 I O 为可行的
T
V ≥ 0由 V
∑a P
i =1
n
ij i
(V = P AT P )
四 模型的可行和有利问题
定义： 1 定义：
①若在I-O模型中 y ≥ 0 x ≥ 0 则称模型为可行的 ( 价值型 ) 若在 模型中 ②若对 V ≥ 0 P ≥ 0 则称模型为有利的 ( 实物型 )
判别准则： 2 判别准则：
①矩阵范数： 矩阵范数：
1.3459 0.2504 0.3443 ( I A) 1 = 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167
x = ( I A) 1 y y = ( I A) x

工商管理学院信息管理教14研室
2、投入产出表的结构
用货币形式表现的产品投入产出表，与 我国现行统计指标接近，应用最广。因此， 我们重点剖析价值型产品投入产出表(以后简 称为价值型投入产出表)，通过它了解投入产 出表的结构和基本原理。价值型产品投入产 出表简化的表式如表2-1所示。
工商管理学院信息管理教15研室
第Ⅳ象限从性质上讲主要反映国民收入再 分配过程。如非生产领域职工工资、非生产性 企业和事业单位的收入等等，但并不能反映再 分配的全貌。由于这个象限在经济内容上比前 几个象限更加复杂，到目前为止，人们对它的 研究和利用还很少。所以，在编制投入产出表 时省略了这一部分。如果要通过投入产出表反 映国民收入再分配的全过程，则要从方法论的 角度，研究整个投入产出表的项目设置等问题。
哈 佛 大 学 的 华 西 里 · 列 昂 惕 夫 (Wassily W. Leortief, 获1973年诺贝尔经济学奖)是投 入产出分析之父，他在这一领域中的权威著 作 《 美 国 经 济 结 构 ， 1919 ～ 1929》 出 版 于 1941年，在该著作中详细说明了投入产出分 析的具体内容和应用方法。这部著作具有极 大的时代意义，1941年以后，投入产出分析 法被广泛的应用。
这部书总结了当时各国资本主义发展的经验，并在
批判地吸收了当时有关重要经济理论的基础上，就
整个国民经济运动过程作了较系统较明白的描述。
贯穿全书的基本指导思想就是强调经济自由，他的
“自由”思想和“看不见的手”的名言一直被西方
经济学家所推崇。)中说： “各个人都不断地努力
为他自
工商管理学院信息管理教2研室
工商管理学院信息管理教20研室
从以上内容看，第Ⅱ象限可以从主要方 面体现积累与消费的比例和构成，体现国民 收入的实物构成。与第Ⅰ象限不同，第Ⅱ象 限所反映的各因素之间的联系，主要取决于 社会经济因素。所以，在模型分析计算中， 常常把最终产品当作外生变量来处理。

• 其中价格p为行向量， P(Pnk,Pk) ，按
照价格向量的分块方式，对系数矩阵A进行同样 的分块，构成如下分块矩阵
A
A11 A12 A A 投2入1 产出模型22-课件主讲
简要推导
P PA N
( Pnk
,
Pk
)
( Pn k
,
Pk
)
A11 A21
A12 A22
(
N
1,
N
2
)
( Pnk A11 Pk A21, Pnk A12 Pk A22 ) ( N 1 , N 2 )
A12 I A22
I
B21( I A11） B22 A21 0
B 2 1 B 2 2 A 2 1 (I A 1 1 ) 1
投入产出模型-课件主讲
• 利用上述结果可以转化价格影响模型，这样做的 好处是在已知列昂惕夫逆阵的情况下，可以比较 简便地计算
P n k P kA 2 1 (IA 1 1) 1
投入产出模型-课件主讲
1
a21
...
an1,1
an1
a12 1 ... an1,2 an2
... a1n y1
... a2n y2
...
...
...
0
... an1,n yn1
...
1
yn
Ay y
(AI)y0
投入产出模型-课件主讲
• 闭模型实际上未得到应用，其原因如下：.
– 我们一般计算使用的数据是价值型投入产出表，因此， 计算的结果并不是价格变动的绝对量，而只能是一种
相对量
– 如：某种商品价格1%的价格上涨，其他所有商品价格 将因此上涨%多少。
投入产出模型-课件主讲

q11 q12 q1n y1 q1 q 21 q 22 q 2n y 2 q 2 q n1 q n2 q nn y n q n q01 q02 q0n L
n
qij yi qi , (i 1,2,, n)
j 1
n
q0 j L
j 1
• 产品的直接消耗系数 – aij表示生产单位数量的j类产品需要消耗的i类产品的数量
产出 投入
部门 1
部门 2
物 质 消
耗 部门 n
小计
新
劳动报酬
创
造
纯收入
价
值
小计
总产值
中间使用
小计
部1门 部2门 部n门
x 11 x 12 x 1 n
E1
x 21 x 22 x 2 n
E2
x n 1 x n 2 x nn
En
c1 c2 cn
c
v1 v2 vn
v
m1 m2 mn m
N1 N2 Nn N 0
第一节 投入产出模型
一、投入产出表
• 投入产出分析从一般均衡理论中吸收了有关经济活动的相互依存性的观点，并用代数联立方程体系 来描述这种相互依存关系。
• 其特点是：在考察部门间错综复杂的投入产出关系时，能够发现任何局部的最初变化对经济体系各 个部分的影响。编制投入产出表是进行投入产出分析的前提
• 列平衡关系：中间投入+增加值=总投入 行平衡关系：中间使用+最终使用=总产出 总量平衡关系：总投入=总产出 每个部门的总投入=每个部门的总产出 中间投入合计=中间使用合计
二、投入产出模型
投入产出模型分类 静态投入产出模型 主要分析、研究某一个时期的再生产过程，按照不同的计量单位，可以分为实物型和价 值型 动态投入产出模型 分析、研究若干时期的再生产过程，并研究各个时期再生产过程的相互联系

投入产出模型的发展趋势与展望
智能化与自动化
跨学科融合
定制化与个性化
随着大数据和人工智能技术的 发展，未来投入产出模型将更 加智能化和自动化。通过数据 挖掘和分析，能够更准确地评 估经济系统的结构和效率，为 政策制定提供科学依据。
未来投入产出模型将进一步融 合其他学科的理论和方法，如 地理信息系统、复杂网络等， 以更全面地揭示经济系统的内 在规律和动态变化。
特点
投入产出模型能够全面反映经济系统 的结构和运行规律，揭示各部门之间 的经济联系，为政策制定者提供决策 依据。
投入产出模型的基本假设
假设一
生产过程中消耗的中间产品与 最终产品之间存在固定的比例
关系。
假设二
生产技术系数在一定时期内保 持稳定。
假设三
生产过程中不存在外部经济和 内部经济的影响。
假设四
投入产出模型的起源
投入产出模型的起源可以追溯到 20世纪30年代，当时美国经济学 家瓦西里·列昂惕夫提出了投入产 出分析方法，用于研究经济系统 中各部门之间的投入与产出关系 。
投入产出模型的发展
随着时间的推移，投入产出模型 的应用范围不断扩大，逐渐成为 宏观经济分析和政策制定的有力 工具。在实践中，投入产出模型 不断得到完善和改进，以适应不 同国家和行业的需要。
动态投入产出模型考虑了时间因素对 经济系统的影响，能够更好地模拟经 济系统的动态变化和趋势。该模型在 政策制定和预测方面具有广阔的应用 前景。
03
全球投入产出模型
随着全球经济一体化的加速，全球投 入产出模型逐渐成为研究前沿之一。 该模型能够全面地反映全球范围内各 国家、各行业之间的经济联系和相互 影响。
02
投入产出模型的建立

n
bij aij bikakj k1
用矩阵表示上式写成
( i,j =1,2,…,n )
B=A+BA
通过数学变换得到：
22.10.2019
B= (I – A )-1-I
式中 I为单位矩阵
11
Institute of Geographical Sciences & Natural Resources Research
6
Institute of Geographical Sciences & Natural Resources Research
Environmental Economics
简化的价值型投入产出表
分配去向
中间使用
最终产品 总产出
投资来源
部门1 部门2 …
部门n 小计
部门1
… x11 x12
x1n
E1
Environmental Economics
投入产出的基本原理
投入产出表
投入产出分析的数学模型
价值型投入产出模型
该方程可以写成：
n
xijyi xi(i1,2,..n.), （16.10）
j1
记个部门的直接消耗系数为
22.10.2019
aij
xij xj
(i,
j1,2,...n,)
Environmental Economics
投入产出的基本原理
投入产出表
投入产出分析的数学模型
实物型投入产出模型 则aij表示每生产单位j类产品需要消耗的i类产品的数量，它被 称为产品的直接消耗系数。同理，劳动的直接消耗系数为
aoj
q0j qj
(j1,2,..

– 经济学家已从事线性经济学40余年而不自知，直到晚 近，一块被经济学家所废弃的顽石，忽成为支柱。新 的分析方法都靠利用经济问题的线性特性才得以开展。 此中最流行的方法就该推线性规划、投入产出分析和 对策论了。
– “在读完我们对三项技术的简要说明之后，会很奇怪 它们之间会有任何关系，而且从历史上看，直到三种 个别问题和它们的解答被熟知后，它们间的关系还是 很久没有被看出来”
– Nikaido，H (1968), Convex structures and Economic Theory, New York: Academic Press
– Wood, J.C. and McLure, M.(ed) (2001) Wassily Leontief: critical assessments of leading economists, Routledge, London,
– Journal: ESR
• 方法与据
– 联合国：Handbook of input-output table compilation and analysis, 1999
– OECD:
• ==〉STAN • Home / STAN Input-Output
– As an analytical tool, input-output data are conveniently integrated into macroeconomic models. It also serves a number of other analytical purposes or uses.
– Miller, R.E. and Blair, P.D. (1985) Input-output analysis : foundations and extensions, N.J. : Prentice-Hall , c ,

12
• 1976年以后，Jones提出分配系数（产出系 数Output Coeff.）HXˆ1W后
• 以 iT(I A)1 表示后向联系
• 以 (I H)1i 表示前向联系
• (I H)1i 为一列向量，第k个元素反
映第k部门增加单位增加值对国民经济所有 前向部门的影响之和。
13
价格影响分析
14
• 它表达的是：k个部门产品价格的变动对n-k个 部门产品价格的影响。
• 其中价格p为行向量， P(Pnk,Pk) ，按
照价格向量的分块方式，对系数矩阵A进行同样 的分块，构成如下分块矩阵
A
A11 A21
A12
A22
17
简要推导
P PA N
( Pn k
,
Pk
)
( Pn k
,
Pk
)
A11 A21
投入产出模型的分析应用
1
投入产出模型的分析应用
• 产业关联分析 • 价格影响分析 • 局部闭模型 • 投入产出乘数分析
2
产业关联分析
3
概念
• 前向联系（前向关联、前向效应）与后 向联系（后向关联、后向效应）
• 前向关联与后向关联的概念（Forward Linkages, Backward Linkages）
4
• 在投入产出分析中经常应用前向效应和后 向效应的概念
– 例如在分析水利基建投资对国民经济的作用 （如对GDP和就业的拉动作用）时应用到这些 概念。
– 所谓水利基建的后向部门是指为水利基建提供 原材料、辅助材料、能源和各种劳务的部门。
– 所谓水利基建的前向部门是指水利基建完成后 的得益部门，即其使用部门。
P n k P kA 2 1(IA 1 1) 1

通过投入产出表中的数据，计算各行各列的直接消耗系数，即各部门的直接消 耗量与该部门总产出的比值。
完全消耗系数的计算
完全消耗系数的定义
完全消耗系数是指某一部门或行业在生产单位最终产品时，对其他部门或行业所 消耗的直接和间接投入品的价值量。
完全消耗系数的计算方法
通过投入产出表中的数据，计算各行各列的完全消耗系数，即各部门的完全消耗 量与该部门总产出的比值。
详细描述
投入产出法通过分析各产业部门的资源消耗 量和污染物排放量，建立资源环境投入产出 表，评估资源利用效率和环境影响程度。这 有助于发现资源消耗和环境污染的重点领域 和问题所在，提出针对性的节约资源和保护 环境的措施和建议。同时，可以为制定可持 续发展战略提供科学依据。
04
CATALOGUE
投入产出法的优缺点
投入产出表的编制步骤与方法
01
02
03
04
05
数据收集与整理 建立表格结构
计算直接消耗系 数
计算完全消耗系 数
分析各部门或行 业之间的…
收集各部门或行业的总产 出和总投入数据，并进行 整理和分类。
根据收集的数据和分类结 果，建立投入产出表的表 格结构。
根据投入产出表中的数据 ，计算各行各列的直接消 耗系数。
投入产出表是投入产出法的基础，其数据的质量和准确性直接影响到投入产出分析 的结果。因此，完善投入产出表的数据收集与编制方法至关重要。
未来需要加强数据收集的标准化和规范化，提高数据的准确性和可靠性。同时，应 加强数据的质量控制和校验，确保数据的真实性和完整性。
此外，应加强编制方法的科学研究和技术创新，提高投入产出表的编制效率和准确 性。
投入产出表的内容
投入产出表中的每个元素表示某一部 门或行业对另一部门或行业的直接消 耗或使用量，反映了部门或行业之间 的经济联系和相互依赖关系。

称为完全消耗系数
,0.05,0.3;0.2,0.3,0];
B (bij ) 为完全消耗系数矩阵
>> b=inv(eye(3)-a)eye(3);% (I-A)-1-I
B A A2 A3 Ak
A ( A A 2 A3 A k ) A b= 0.3459 0.2504 0.3443
在MATLAB命令窗口，输入：
>>a=[0.15,0.1,0.2;0.3,0.05,0.3;0.2,0.3,0]; >> y=[50,150,100]’;%外部需求 >> b=eye(3)-a;% I-A >> x=b\d %或inv(b)*d亦可
x= 139.2801 267.6056 208.1377
产出
部门1 x11 x12 x13
y1
x1
部门2 x21 x22 x23
y2
x2
部门3 x31 x32 x33
y3
x3
x11 x21
x12 x22
x13 x23
y1 y2
x1 x2
x31
x32
x33
y3
x3
令
aij
xij xj
(i,
j
1, 2, 3)
（1）
（2）
称aij为直接消耗系数，经济意义是第j个部门生产
大学数学基础实验
--投入产出模型
--大学数学实践教学系列课件--
设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成， 已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初 始投入等见表（数字表示产值，单位：亿元）
投入
产出 农业 制造业 服务业 初始投 入 总投入
农业