投入产出表的数学模型.

投入产出表相关知识介绍（一）投入产出表的由来投入产出表是运用投入产出技术，将国民经济各部门生产中投入的各种费用的来源与产出的各种产品和服务的使用去向，组成纵横交错的棋盘式平衡表，全面而系统地反映国民经济各部门在生产过程中互相依存、互相制约的经济技术联系。

投入产出表的投入是指各部门在生产货物和服务时的各种投入，包括中间投入的最初投入。

产出是指各部门的产出及其使用去向，包括中间使用和最终使用。

投入产出表于二十世纪三十年代产生于美国，它是由美国经济学家、哈费大学教授瓦西里·列昂惕夫（W.Leontief）在前人关于经济活动相互依存性的研究基础上首先提出并研究和编制的。

列昂惕夫从1931年开始研究投入产出技术，编制投入产出表，目的是研究当时美国的经济结构。

为此，他利用美国国情普查资料编制了1919年和1929年美国投入产出表，并分析美国的经济结构和经济均衡问题。

1936年他在美国《经济学和统计学评论》（1936年8月）上发表了投入产出法的第一篇论文“美国经济制度中投入产出数量关系”，标志着投入产出分析的诞生。

1941年他出版了《美国经济结构1919—1929》一书，他在该书中详细阐述了投入产出技术的主要内容。

1951年该书在增加了1939年投入产出表和一些论文后再版。

1953年，列昂惕夫与他人合作，出版了《美国经济结构研究》一书。

通过这些论著，列昂惕夫提出了投入产出表的概念及其编制方法，阐述了投入产出技术的基础原理，创立了投入产出技术这一科学理论。

正是在投入产出技术方面的卓越贡献，列昂惕夫于1973年获得了第五届诺贝尔经济学奖。

投入产了方法在西方产生也不是偶然的，是有一定历史背景的，主要是为了适应当时资本主义经济发展的需要。

1929年爆发的震撼资本主义世界的经济危机是资本主义国家历史上最严重、持续时间最长的一次经济危机，传统的西方经济理论已无法解释这个问题，这一冲击在资本主义社会产生了极大的反响。

2.4.2.1 投入产出分析的基本数学模型表2-4-2-1 投入产出表从横列看，ij d 代表的是第i 产业生产过程中对第j 产业产品的需求；从纵列看，ij d 代表的是第j 产业生产过程中i 产业产品的投入量。

定义中间投入率∑ijijx d/定义中间需求率i ijx d/j∑定义直接投入系数i ij ij x d a /=定义进口系数)(∑++=jI i C i ij i if f d m m根据投入产出表的恒等关系，∑=-+++jii i I i C i ijx m e f f d应用矩阵的形式表示，XM E F F D I C =-+++其中，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n d d d d D .....................1111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C n C C f f F ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=I n I If f F ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n e e E ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n m m M ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x X (1)同时根据ij ij m a ,的定义，)](**[I C F A I C F F M AX M E F F AX X ++-+++=其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A ............. (1111)，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==n FA m m m M M ..0.0000.000..00..021经过运算后，[][]G*B E )F )(F M -(I *)A M -(I -I X ICF-1A=++=其中[]-1A)AM -(I -I B =,E])F )(F M -[(I G I C F ++=起元素为ij b ，定义平均关联度∑∑i j ijb 1n 1定义感应系数∑∑∑j)1/(i jij ij b n b 定义影响力系数∑∑∑ii jij ij b n b )1/(对X 的结果进一步分解,[][][]BEBF BF E*)A M -(I -I F *)M -(I *)A M -(I -I F *)M -(I *)A M -(I -I X DI DC -1AIF-1ACF-1A++=++=算式表明了产出X 与各个部分的关系。

一、投入产出模型的基本原理投入产出分析，又称“部门平衡”分析，或称“产业联系”分析，最早由美国经济学家瓦·列昂捷夫(W. Leontief)提出。

主要通过编制投入产出表及建立相应的数学模型，反映经济系统各个部门(产业) 之间的相互关系。

自20世纪60年代以来，这种方法就被地理学家广泛地应用于区域产业构成分析、区域相互作用分析，以及资源利用与环境保护研究等各个方面。

在现代经济地理学中，投入产出分析方法是必不可少的方法之一。

（一）实物型投入产出模型实物型投入产出表，是以各种产品为对象，以不同的实物计量单位编制出来的。

表7.1.1是一个简化的实物型的投入产出表。

表7.1.1 投入产出表按每一行可以建立一个方程，这样就有以上方程式可以写成L q q q q y q q q q y q q q q y q q q n n n nn n n n n 002012122222211111211=+++=++++=++++=++++ )2 1( 1n i q y q n j i i ij ，，， ==+∑=L q n j j =∑=10如果令则a ij 表示生产单位数量的j 类产品需要消耗的i 类产品的数量，它被称为产品的直接消耗系数。

同理，劳动的直接消耗系数为则有若令上述方程的矩阵形式为 Y Q A I=-)(具体形式为)2 1 ,( n j i q q a j ij ij ，，，＝ =)2 1( 00n j q q a jjj，，， ==Lq a n j j j =∑=10) 2 1( 1n i q y q a i i n j j ij ，，， ==+∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211[][]Tn T n y y y Y q q q Q ，，，，， 2121 ,,==Q Y AQ =+ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A I 111)(212222111211通过求解得到各类产品的总产量实物型投入产出模型，建立了各类产品的生产和分配使用之间的平衡关系。

2.4.2.1 投入产出分析的基本数学模型表2-4-2-1 投入产出表第1产业 第2产业 第3产业 消费 投资 出口 进口 总产出 第1产业d11 d12 d13 FC1 FI1 E1 M1 X1 第2产业d21 d22 d23 FC2 FI2 E2 M2 X2 第3产业d31 d32 d33 FC3 FI3 E3 M3 X3 增加值V1 V2 V3 总产出X1 X2 X3从横列看，ij d 代表的是第i 产业生产过程中对第j 产业产品的需求；从纵列看，ij d 代表的是第j 产业生产过程中i 产业产品的投入量。

定义中间投入率∑i j ij x d/定义中间需求率i ij x d /j ∑定义直接投入系数i ij ij x d a /=定义进口系数)(∑++=j I i C i ij i i f f d m m根据投入产出表的恒等关系，∑=-+++j i i i I i C i ij x m e f f d应用矩阵的形式表示，XM E F F D I C =-+++其中， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n d d d d D ........ (1)111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C n C C f f F ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=I n I I f f F ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n e e E ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n m m M ...1，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x X ...1 同时根据ij ij m a ,的定义，)](**[I C F A I C F F M AX M E F F AX X ++-+++=其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A .....................1111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==n F A m m m M M ..000.00000.000..00..021经过运算后，[][]G *B E )F )(F M -(I *)A M -(I -I X I C F -1A =++=其中 []-1A )AM -(I -I B =,E])F )(F M -[(I G I C F ++= 起元素为ij b， 定义平均关联度∑∑i j ij b 1n 1 定义感应系数∑∑∑j )1/(i jij ij b n b 定义影响力系数∑∑∑ii j ij ij b n b )1/(对X 的结果进一步分解,[][][]BEBF BF E *)A M -(I -I F *)M -(I *)A M -(I -I F *)M -(I *)A M -(I -I X DI DC -1A I F -1A C F -1A ++=++= 算式表明了产出X 与各个部分的关系。