投入产出数学模型

如果各部门的最终需求Y y1
y2 yn

已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一 解 X x1 x2 xn 。
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10 A 0.20 0.20 0.10 0.10 0.10 0.20 直接消耗系数 aij i, j 1,2,, n 具有下面重
要性质：
性质7.2.1 0 aij 1 i, j 1,2,, n 性质7.2.2

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例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入
产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。
表7.2
产出 投入 中 1 间 2 投 3 入 净产值 总投入 中间消耗 1 2 3 100 25 30 80 50 30 40 25 60
最终需求
总产出
400 250 300
400 250 300
10
xij 解 由直接消耗系数的定义 aij x ，得直接 j
投入～从事一项经济活动的消耗； 产出～从事经济活动的结果； 投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运 用线性代数工具建立数学模型，从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系，并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同，该模型可 分为价值型和实物型。
3
表7.1：投入产出表
流量 投入 产出
令 X x1
(7-18)
x2 xn , Y y1

y2 yn ，
(7-19)
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(7-18)式可表示为 AX Y X ，或
E A X Y
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
类似地把 xij aij x j 代入平衡方程(7-14)得到
a11 x1 a21 x2 an1 xn z1 x1 a x a x a x z x 12 1 22 2 n2 n 2 2 a1n x1 a2 n x2 ann xn zn xn
写成矩阵形式为
(7-20)
X DX Z 或 E D X Z
其中
n D diag ai1 i 1 Z z1
(7-21)
ai 2
i 1
n
a in , i 1
n
13
z2 zn
定理7.2.1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
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二、直接消耗系数
定义7.2.1 第j部门生产单位价值所消耗第i部
门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗
系数，记作aij i, j 1,2,, n 。
xij 由定义得 aij i, j 1,2,, n xj
(7-17)
把投入产出表中的各个中间需求 xij 换成相应 的 aij 后得到的数表称为直接消耗系数表，并 称n阶矩阵 A aij 为直接消耗系数矩阵。
பைடு நூலகம்
(7-11)
x
j 1
n
ij yi xi i 1,2,, n
(7-12)
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需求平衡方程组：
xi xij yi i 1,2,, n
j 1
n
(7-13)
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1 x x x z x 12 22 n2 2 2 x1n x2 n xnn zn xn
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投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入 (7-9) (7-10)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1 x x x y x 21 22 2n 2 2 xn1 xn 2 xnn yn xn
a
i 1
n
ij
1 j 1,2,, n
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由直接消耗系数的定义 xij aij x j，代入(7-17)，得
a11 x1 a12 x2 a1n xn y1 x1 a x a x a x y x 21 1 22 2 2n n 2 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn yn xn
(7-14)
xij z j x j j 1,2,, n
i 1
n
(7-15)
7
由(7-11)和(7-14)，可得
y z
i 1 i j 1
n
n
j
(7-16)
这表明就整个国民经济来讲，用于非生 产的消费、积累、储备和出口等方面产品的 总价值与整个国民经济净产值的总和相等。
投入产出数学模型
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。投入产出技术正是研究一个
经济系统各部门间的“投入”与“产出”关 系的 数学模型，该方法最早由美国著名的经济学
家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前
比较成熟的经济分析方法。
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一、投入产出数学模型的概念
消耗部门
1 2 n
x11 x21 xn1 x12 x1n x22 x2 n xn 2 xnn
最终需求 消费 累计 出口 合计
y1 y2 yn
总 产出
x1 x2 xn
生 产 部 门
1 2 n
新 工 资 v1 v2 vn 创 纯收入 m1 m2 mn 价 z1 z2 zn 合 计 值
总投入
x1
x2 xn
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投入产出表描述了各经济部门在某个时期
的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；
列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表 示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用 量，x1 j (j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用 量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、 政府使用、出口和社会储备等）为 y j (j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这 个时期的总产出水平。