同分母分式的加减习题

分式知识点及例题一、分式的概念形如$＼dfrac{A}｛B}＄（＄A$、＄B$是整式，且$B$中含有字母，＄B\neq 0$）的式子叫做分式。

其中，＄A$叫做分子，＄B$叫做分母。

例如：＄＼dfrac{x}｛y}＄，＄＼dfrac{2}｛x ＋ 1}＄，＄＼dfrac{3x 1}｛x^2 1}＄等都是分式。

需要注意的是：（1）分式的分母中必须含有字母。

（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。

例如，在分式$＼dfrac{x}｛x 1}＄中，当$x 1 ＝ 0$，即$x ＝ 1$时，分式没有意义。

二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于$0$的整式，分式的值不变。

即：＄＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＄，＄＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＄（＄M$为不等于$0$的整式）例如：＄＼dfrac{x}｛y} ＝＼dfrac{x ＼times 2}｛y ＼times 2} ＝＼dfrac{2x}｛2y}＄三、分式的约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子与分母的公因式。

确定公因式的方法：（1）系数：取分子、分母系数的最大公约数。

（2）字母：取分子、分母相同字母因式的最低次幂。

例如：＼＼begin{align}＼dfrac{6xy}｛9x^2y} ＆＝＼dfrac{2 ＼times 3 ＼times x ＼times y}｛3 ＼times 3 ＼times x ＼times x ＼times y}＼＼＆＝＼dfrac{2}｛3x}＼end{align}四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数。

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。

基本运算：分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c±±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算。

结果以最简形式存在。

【例1】计算：（1）222934m m m m +-⋅-- （2）2342()()()b a ba b a -⋅-÷-（3）32231(4)()2mn m n ---÷- 【解析】（1）32m m +- （2）58a b - ⑶49128m n -【例2】（1）222256712228x x x x x x x x -+-+÷----（2）22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+-（3）32322423()(1)2111x x x xx x x x x --÷-÷+-++分式运算例题讲解知识要点【解析】（1）21x x ++ （2）22x -- （3）23x -【例3】（1）2222135333x x x x xx x x +--+-++++ （2） 222222222222()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+- （3）222424444254a a a a a a a -++-+--+ 【解析】（1）2 （2）1 （3）1【例4】（1）2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++ （2）422423216424(2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+（3）()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++- （4）abbc ac c ba ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 （5）abbc ac c ba c ac bc ab b ac b bc ac ab a c b a +----++----++----222222( a ，b ，c 都不相等) 【解析】（1）22(1)(1)a a +-- （2）1 （3）a b c a b--+ （4）2c a - （5）0 【例5】计算： （1）1122x y x y ------（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++ 【解析】（1）xyy x+（2）337 【例6】（1）求代数式22135624816x x x x x x x x ++++÷⋅++++的值，其中3x = （2）先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a+++÷--÷-+，其中4a =。

专题5.2 分式的运算-重难点题型【知识点1 分式的加减】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=； ②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

【题型1 分式的加减】【例1】（2021春•盐城月考）化简： （1）a a−b+b b−a； （2）x 2−4x 2−4x+4−4x x 2−2x．【变式1-1】当m ＞﹣3时，比较m+2m+3与m+3m+4的大小．【变式1-2】（2021•乐山）已知A x−1−B 2−x=2x−6(x−1)(x−2)，求A 、B 的值．【变式1-3】（2021春•河南期末）若a ＞0，M =aa+1，N =a+1a+2 （1）当a ＝1时，M ＝12，N ＝23；当a ＝3时，M ＝34，N ＝45；（2）猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．【题型2 分式与整式的混合运算 】 【例2】（2021•嘉兴一模）计算x 2x+2−x +2时，两位同学的解法如下：解法一：x 2x+2−x +2=x 2x+2−x+21=x 2x+2−(x+2)2x+2解法二：x 2x+2−x +2=1x+2[x 2−(x −2)(x +2)] （1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”． （2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【变式2-1】（2021•梧州）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）+x 3−4x 2x 2．【变式2-2】（2021秋•昌平区期中）阅读下列材料，然后回答问题．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：32=1+12，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：x+1x−2，x 2x+2这样的分式是假分式；1x−2，xx 2−1这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2，x 2x+2=(x+2)(x−2)+4x+2=x −2+4x+2．解决下列问题： （1）将分式x−2x+3化为整式与真分式的和的形式；（2）如果分式x 2+2x x+3的值为整数，求x 的整数值．【变式2-3】（2021春•玄武区期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x 2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x +−(x−1)+2x−1=x ﹣1+2x−1，这样，分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x ﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）假分式x+6x+4可化为带分式 形式；（2）利用分离常数法，求分式2x 2+5x 2+1的取值范围；（3）若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+1n−6，则m 2+n 2+mn 的最小值为 ．【知识点2 分式的混合运算】 1.乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。

新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型例习题新人教版八年级(上)数学第十五章分式知识点和典型练习【知识网络】【思维方式】1。

转变观念转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章中常用的数学方法包括：因式分解、一般除法、除法归约、分母去除等。

运用数学知识解决实际问题时，首先要建立简单的数学模型，通过数学模型解决实际问题，并经历了“实际问题-分数阶方程模型-求解-解释解的合理性”的数学过程，了解分数阶方程的模型思想对培养解决实际问题的数学建模思想具有重要意义。

3.类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一课分数运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分数运算相关的算法3分数的减少和评估（一般分数和减少）4幂算法【主要公式】1.同分母加减法则:bcb?ca?a?a?a?0?2.不同分母的加减法则：ba?dc?bcac?daac?bc?daac?a?0,c?0?;3.分式的乘法与除法:ba?dc?bdac,ba?cbdbdd?a?c?ac4.同基幂的加减算法：实际上，它是将相似的5项同基幂的乘法和除法合并；A.m●an=am+n;am÷an=am－n6.产品和功率的功率：（AB）=ambn，（上午)Nm=amn7.负指数幂：a-p=1apa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式（a+b）（a-b）=a2-b2；（a±b）2=a2±2ab+b2（一）、分式定义及有关题型问题类型1：测试分数的定义1【例1】下列代数式中：x?,12x?y,a?bx2?y2x?ya?b,x?y,x?y，是分式的有：.问题类型2：检查分数的有意义条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义（1）x?4x?4（2）3x26?x1x2?2（3）x2?1（4）|x|?3（5）x?1问题类型3：检查分数值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.（1）x?1x|?23x?3（2）|x2?4（3）x2？2倍？x2？5倍？六题型四：考查分式的值为正、负的条件[例4]（1）当x是什么值时，分数48?x为正；（2）当x为何值时，分式5.x3？（x？1）2为负；（3）当x为何值时，分式十、二x?3是一种非负数练习：1．当x取何值时，下列分式有意义：（1）16|x|?3（2）3?x1(x?1)2?1（3）1.1x2。

5．3 分式的加减法第1课时 同分母分式的加减1．了解并掌握同分母分式的加减法则；2．会用同分母分式的加减法则进行同分母分式加减运算．(重点，难点)一、情境导入大约公元250年前后，古希腊数学家丢番图在形容如何将42表示成两个数的平方和时，得出了一组答案，这两个数都是分母为b ，分子比是4∶3的分数．你能根据这些条件，求出这两个数来吗？二、合作探究探究点一：同分母分式的加减运算计算：(1)3a －2b 3ab －3a ＋3b 3ab ；(2)1a －1＋－a 2a －1； (3)x －2x －1－2x －3x －1. 解析：根据同分母分式加减法的法则，把分子相加减，分母不变．注意(1)，(3)两小题属于同分母分式的减法运算，减式的分子要变号．解：(1)原式＝3a －2b －3a －3b 3ab ＝－5b 3ab ＝－53a ；(2)原式＝1－a 2a －1＝－（a ＋1）（a －1）a －1＝－a－1；(3)原式＝x －2－2x ＋3x －1＝－x ＋1x －1＝－1.方法总结：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式．探究点二：分式的符号法则计算：(1)2x 2－3y 2x －y ＋x 2－2y 2y －x ；(2)2a ＋3b b －a ＋2b a －b －3b b －a.解析：(1)先把第二个分式的分母y －x 化为－(x －y)，再把分子相加减，分母不变；(2)先把第二个分式的分母a －b 化为－(b －a)，再把分子相加减，分母不变．解：(1)原式＝2x 2－3y 2x －y －x 2－2y2x －y＝2x 2－3y 2－（x 2－2y 2）x －y＝x 2－y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y ＝x ＋y ； (2)原式＝2a ＋3b b －a －2b b －a －3b b －a＝2a ＋3b －2b －3bb －a＝2a －2b b －a ＝－2（b －a ）b －a＝－2. 方法总结：分式的分母互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．三、板书设计1．同分母分式加减法法则：f g ±h g ＝f ±hg .2．分式的符号法则：f g ＝－f －g ，－f g ＝f －g ＝－fg.本节课通过同分母分数的加减法类比得出同分母分式的加减法．易错点一是符号，二是结果的化简．在教学中，让学生参与课堂探究，进行自主归纳，并对易错点加强练习．从而让学生对知识的理解从感性认识上升到理性认识.八年级下学期数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

沪科版七年级分式全章习题经典分式第一节：分式的概念及性质【典例分析】1.下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？4a2某y11某2a,3,b2,4,8,某某1,某2.某为何值时，分式某21某1的值为0.3.利用分式的基本性质填空：（1）某y(____)某y某2y2（2）a2abab3ab(___)（3）某24某2某24某4(___)4.求分式的值：（1）若某2y3z4,求某yyzz某某2y2z2的值.（2）求某2y某24y2的值，其中某=5,y=3.55.分式的应用一件工作，a人b天可以完成，c人一天能做工作的几分之几？6.把下列的分式的分子、分母的系数化为整数. 1某1（1）y（2）2.3某1.2y某12某0.01y2y7.（1）已知分式6a12a24的值为正整数，求式中的a的值（2）6某6某2某的值为正整数，求整数某的值（3）2某4某2的值是正整数，则整数某的值为_____（4）3某1某1的值为整数，则整数某的值是______（5）4某2某1的值是整数，则某整数的值为第1页共8页________8.3a9a26a9的值为正时，a的取值范围是________若分式：3aa26a9的值为正，则a的取值范围是________【经典练习】：1.使分式33某1的为负数的条件是________2.如果分式某y某y中的某和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值_____3.化简某24某4某244.(1)当a________时，等式(a3)某某(a3)(1某)1某成立.(2)(a3)a(a3)(1a)a1a成立，则a满足的条件为_______某y2，则分式某2某y3y25.已知某2某y6y2的值为_________若baa2abb2ab2,则a24abb2的值是__________6.已知不论某取什么数时，分式a某3b某5,(b某50)都是一个定值，求a、b应满足的关系式，并求出这个定值.7.在分式①abba，②ababba，③ab，④ababba中与分式ab相等的是_______8.化简：（1）2a2am32m2m4a24a1（2）m3m第二节：分式的乘除法【典例分析】1.利用分式的乘除法法则计算（1）12某5y75m3n235mn34某9y4（2）4某2z2某z2y23y2.分式的乘方43（1）a2（2）某2yb3z23.分式的乘除混合运算（1）a2ba3aaa22abb2abba22abb2某2（2）2某y某22某y某yy2某y2y某（3）96某某244某某2(某3)某243某4.化简求值：22(某y某2)某2某yy某y某y31某2,其中某2,y25.已知某25某20004，求代数式(某2)3(某1)21某2【经典练习】：第2页共8页1.使代数式某3某某32某4有意义的某的值为_________2.如果ab23,且a2，那么ab1ab5=___________3.化简求值：ba3ab22a2bb2abb3a2abb2，其中a23,b34.一台电子收报机，它的译电效率相当于人工译电效率的75倍，试计算人工译电2000个字所用的时间是电子收报机译电3000个字所需的时间的多少倍？5．观察下列式子11111111122,236,3412......归纳出的一1般结论是___（用n表示）。

分式的加减习题精选（一）一、判断题··二、选择题三、填空题9．10．11．12．四、计算题13．14．15．16．分式的加减 习题精选（二）1．1+--b b a等于 （ ）Ａ．b b b a -+-2 Ｂ．b b b a ++-2 Ｃ．b b b a +--2 Ｄ．b b b a ---2 2．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷y x x 11等于 （ ）Ａ．y x y x -2 Ｂ．x y y x -2Ｃ．xy x -2 Ｄ．2x xy -3．m n m n m n -+-22等于 （ ） Ａ．ｍ＋ｎ Ｂ．ｍ－ｎ Ｃ．－ｍ＋ｎ Ｄ．－ｍ－ｎ4．计算)6(246612--+--a a a a a ，其结果等于 （ ） Ａ．)6(210--a a Ｂ．)6(210--a a Ｃ．a a 24- Ｄ．a a 24+5．如果x y <<-1，那么2211++-++x y x y 的值 （）Ａ．大于零 Ｂ．等于零Ｃ．小于零 Ｄ．以上都有可能6．计算：1213223-+----x x x x x 7．计算：22229631y xy x y x y x y x +--÷---8．计算： 1596234122--÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+-+y y y y y y y y9．计算： ⎪⎭⎫⎝⎛-++÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+1111)1(1)1(122x x x x 10．计算：2343223811113a a a a a a a a +++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+11．已知⎩⎨⎧=-=+42112y x y x ，求分式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-++÷+-2222332222y x yx y x y xy x y xy x x 的值．12．计算：x x x x -----52335175 13．计算：y x z zy z x y z x z y x y x -++---+++-+14．计算： 1123-+-+x x x x15．已知0132=++x x ，求441x x +的值．16．已知x x xx x -=+--2222313，求x x x x x x x x -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+44412222的值. 分式的加减 习题精选（三）一、选择题：1．分式的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2．分式、、的最简公分母是（ ） A ．B ．C ．D ．3．分式的值为（ ）A ．B ．C ．D ．以上都不对4．把分式、、通分后，各分式的分子之和为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若的值为，则的值为（）A．B．C．D．6．已知为整数，且为整数，则符合条件的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：1．式子的最简公分母是___________。