(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题

中点弦问题专题练习•选择题（共8小题）1已知椭圆盏+专二1，以及椭圆内一点 P （4, 2）,则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ A • _12A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）C • 2x+y+4=0D . 2x+y - 4=0x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率,2 25•若椭圆 盏亡二L 的弦中点（4, 2），则此弦所在直线的斜率是（二•填空题（共9小题）2 ?9•过椭圆专+才二1内一点M （2, 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 __2 210 •已知点（1, 1）是椭圆.某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：—_ _2 211.椭圆4x +9y =144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_一直线方程为 ___________________ •2 •已知A (1, 2)为椭圆 A • x+2y+4=03 • AB 是椭圆2 2a b2 2孚+$二1内一点，则以4 LbB • x+2y - 4=0（a > b > 0）的任意一条与 AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为（ ） A • e -1 B • 1-e 4•椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ A • 3x+2y - 12=0 B • 2x+3y - 12=0C • e 2- 1D • 1 - e 24x+9y - 144=0)D • 9x+4y - 144=02B •.:C •.:;D •：■22 25A • 6. 2 2已知椭圆七+勺二1的一条弦所在直线方程是a bx - y+3=0，弦的中点坐标是（-2, 1）,则椭圆的离心率是（7 •直线y=x+1被椭圆 A • x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（B •(―丄))丄)(-8. M （1, 1）为中点的弦所在的直线方程为（4x - 3y - 3=0B • x - 4y+3=0C • 4x+y - 5=0 x+4y - 5=0以椭圆12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P (3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点, =1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为k AB ?k OM 为定值.),直线l 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时, 弦中点的轨迹方程.26.已知椭圆 卡+¥製二1 .(1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2) 过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程; (3) 过点P ()且被P 点平分的弦所在的直线方程.2 2那么这弦所在直线的方程为13.过椭圆 14•设AB 是椭圆 —.的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点, O 为坐标原点，贝U k AB ?k OM =P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为18. 19. 20. 21 . 直线y=x+2解答题(共被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是13小题)求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0, 5迈)且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为 -的椭圆方程.2 2已知M (4, 2)是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程. 2 2已知一直线与椭圆 4x +9y =36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M(1, 1),求直线AB 的方程.已知椭圆 2⑹厂1,求以点P ( 2，-门为中点的弦AB 所在的直线方程.已知椭圆与双曲线 2x 2 - 2y 2=1共焦点，且过(.：•') 22.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.2 223.直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.P (2, - 1). (1 )求 m 的值；(2)24. AB 是椭圆2 2--''中不平行于对称轴的一条弦,b 2M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，求证:M (1, 1)为中点的弦所在直线方程为17. 25.已知椭圆C :2 229. (2010?永春县一模)过椭圆 *」-内一点M ( 1, 1)的弦AB .16 4(1) 若点M 恰为弦AB 的中点，求直线 AB 的方程； (2) 求过点M 的弦的中点的轨迹方程.30. 已知椭圆C 方程为 -丁 ―直线一-二与椭圆C 交于A 、B 两点， 点 P I--(1) 求弦AB 中点M 的轨迹方程；(2) 设直线PA 、PB 斜率分别为k 1、k 2,求证：k 1+k 2为定值.27.已知椭圆. (1)求过点P ［丄，丄)且被点P 平分的弦所在直线的方程；2 2 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；过点A (2，1)引直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 (2)(3) BC 中点的轨迹方程. 28.已知某椭圆的焦点是 F 1( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为 椭圆上不同的两点 A (x i , y i )、C ( x 2, y )满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程；(n )求弦AC 中点的横坐标. B,且|F 1B|+|F 2B|=10 ,参考答案与试题解析•选择题(共8小题)A • _12考点： 椭圆的简单性质•专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程• 分析： 利用中点坐标公式、斜率计算公式、点差法”即可得出•解答： 解：设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),斜率为k .代入得 寻碍二Q ，解得k = - * 故选A •考点：直线的一般式方程. 专题：计算题•分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案• 解答：解：设直线的方程为 y - 2=k (x - 1),联立直线与椭圆的方程代入可得： (4+k 2) x 2+2k ( 2 - k ) x+k 2- 4k - 12=0因为A 为椭圆的弦的中点，2k (k- 2)所以.•二解得k= - 2,4十所以直线的方程为 2x+y - 4=0 • 故选D •点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题•2014 年 1 月 pa 叩an71104的高中数学组卷-七) (牛+辽)ty j36g2 2二；「两式相减得2 21•已知椭圆「以及椭圆内一点 P (4, 2),则以P 为中点的弦所在直线的斜率为(点评:熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、 点差法堤解题的关键.2•已知A (1, 2)为椭圆2 2^~-1内一点，则以4 16A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为(A • x+2y+4=0B • x+2y - 4=0C • 2x+y+4=0D • 2x+y - 4=0又 X 1+x 2=8, y 1+y 2=4,，二1 (a > b >0)的任意一条与x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率， M 为所以：X 1+X 2=-3. AB 是椭圆AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为( A . e -C . e 2- 1D . 1 - e 2考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的简单性质. 综合题.设出弦AB 所在的直线方程，与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得y 1+y 2的表达式，进而根据点 M 为AB 的中点，表示出 M 的横坐标和纵坐标，求得直线 0M 的斜率,进而代入k AB ?k OM 中求得结果.解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线b 2x 2+a 2 (kx+c )i22斗j l 国b2- a 2b 2=0，即 (b 2+k 2a 2)消去y 得x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0点评:所以，M 点的横坐标为:M r (x1+x2)=所以:b. 2b 2)=一 2a本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.2 24.椭圆4x +9y =144内有一点P (3, 2)过点P 的弦恰好以 A . 3x+2y - 12=0B . 2x+3y - 12=0C . P 为中点，那么这弦所在直线的方程为()4x+9y - 144=0D . 9x+4y - 144=0 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程.利用平方差法：设弦的端点为A (X 1, y 1)，B ( X 2,y 2),代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及又：y 仁kx i +c所以：Kom=A 2k AB ?k OM =k x (-=e 2- 1斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程. 解答： 解：设弦的端点为 A (X 1 , y i ) , B ( X 2, y 2), 则 X 1+x 2=6， y 1+y 2=4，把A 、B 坐标代入椭圆方程得，仆］乂+9比2二⑷，旳％¥『二⑷， 2-y 2 ) =0，即 4 (X 1+X 2) (X i - x 2) +9 ( y l +y 2) (y i - y 2) =0 ,所以这弦所在直线方程为： y - 2= -2( x - 3),即2x+3y - 12=0.3故选B .点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.2 ?字+三厂二1的弦中点(4, 2)，则此弦所在直线的斜率是(36 9考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率. 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设此弦所在直线与椭圆相交于点 A (x i , y i ), B ( x 2 , y 2).利用中点坐标公式和点差法”即可得出.解答： 解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2).2 26.已知椭圆 &七二1的一条弦所在直线方程是 x -y+3=0，弦的中点坐标是(-2, 1),则椭圆的离心率是()a b1B..:C ..:;D.：■22 2 5考点：椭圆的简单性质. 专题：计算题.分析：设出以M 为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a , b的关系式，从而求得椭圆的离心率.解答：解：显然M (- 2, 1 )在椭圆内，设直线与椭圆的交点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2),两式相减得，4+9r=，即 kAB =-=5.若椭圆 A . 2B . - 2C .3D . _丄2点评:代入上式可得 9 4 k hie ；备甘e 解得故选D .本题考查了椭圆的标准方程及其性质、L(厂+巾)*36 1 ' gk AB =中点坐标公式和点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题.则 ，两式相减得，：厂=0.b 2 (xi + K 7 )整理得：k= ---- ------------------------ =1,s 2(yC又弦的中点坐标是(-2, 1),故选B .点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题.本题解 题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法, 研究弦中点问题时经常采用此方法7.直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是( )A .弓哼B .(-訂C 飞弋考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论. 解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，得x 2+2 (x+1 ) 2=42/• 3x +4x - 2=0弦的中点横坐标是x=gx ( -纟)=-*、,£R-T 1代入直线方程中，得 丫=丄3、2 1•弦的中点是(-1,二 故选B .点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.8以椭圆'咅"点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程为(16A . 4x - 3y - 3=0B . x - 4y+3=0C . 4x+y - 5=0D . x+4y - 5=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的关系. 计算题. 设直线方程为 y -仁k ( x - 1),代入椭圆匚+亠二1化简，根据16 4x i +x 2=- g 冷 - /) 4k 2+l=2，求出斜则椭圆的离心率是=1 ,率k 的值，即得所求的直线方程.解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y -仁k ( x - 1),代入椭圆 疋牛£二1化简可得£斗(kx-k+1)匕，16 4 116 4丄2 2 2 2 (4k +1) x+8 ( k - k ) x+4k - 8k - 12.亠亦亠r/白_S (k — k?)•••由题意可得 X 1+X 2=■=2, ••• k=-二，4k 2+l ，4，故 直线方程为 y -仁-2 ( x - 1),即x+4y - 5=0,4故选D .点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率， 是解题的关键.二.填空题(共9小题)2 29.过椭圆 —亠内一点M( 2,0)引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是.'+—打=：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题.分析：设出N , A , B 的坐标，将A , B 的坐标代入椭圆方程，结合弦AB 过点M (2, 0),弦AB 的中点N ,求出AB 的斜率，从而可得方程，化简即可. 解答： 解：设 N (x , y ) , A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),贝①-②，可得:故答案为:N 为AB 的中点，求出 AB 的斜率，再利用动5一4KK1 ■动弦 AB 过点M 当M 、N 不重合时，有ky9y当M 、N 重合时，即M 是A 、B 中点，M (2, 0)适合方程(只一 1)①，(2, 0),弦AB 的中点2=',（m 唱）（「I ） 22二 1 ,则N 的轨迹方程为 (£一1〕女23点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法.考点：直线与圆锥曲线的关系. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设以A (1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (x i , y i ) ,F (X 2, y 2), A (1, 1)为EF 中点，x i +x 2=2, y i +y 2=2, 利用点差法能够求出以 A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程.解答：解：设以A ( 1, 1 )为中点椭圆的弦与椭圆交于E ( X 1, y 1 ),F (x 2, y 2),••• A (1, 1 )为 EF 中点， ••• x 1+x 2=2 , y 1+y 2=2 ,2 2把E (x1 , y 1), F (x 2 , y 2)分别代入椭圆■二1 ,4 2两式相减,可得(X 1+x 2) (x 1 - x 2) +2 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 , • 2 (x 1-x 2) +4 (y 1 - y 2) =0 ,•••以A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 1=-丄(x - 1),乙整理，得 x+2y - 3=0. 故答案为：x+2y - 3=0.点评：本题考查以A (1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.2 2311.椭圆4x +9y =144内有一点P (3 , 2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_,直线方程为 2x+3y -12=0.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：平方差法：设弦端点为 A (X 1 , y 1) , B (x 2 , y 2),代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可 得斜率；根据点斜式可得直线方程.解答： 解：设弦端点为 A ( X 1 , y 1) , B ( x 2 , y 2),贝X 1+x 2=6, y 1+y 2=4,4巧 2+gyJ 二L 嗣①，分2 2-^9y 22=144②，①—②得，疋］'-只 2’ ) +9(旳‘-咒‘)=0 ,即 4 (x 1+x 2) (x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 ,「1、二4〔巧 + Mg ) 4X6 __ 2Z1 "_ 9(旳+匕)-9心.3)所以,即10.已知点(1，1)是椭圆「某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为:x+2y — 3=0所以弦所在直线方程为：y - 2= -2 (x - 3),即2x+3y - 12=0.3故答案为：-二；2x+3y - 12=0 .3点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P( 3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y 二12=0考点： 直线与圆锥曲线的关系.专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设以P( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E( X 1,y 1), F (x 2, y 2) , p ( 3, 2)为EF 中点，x 1+x 2=6, y 1+y 2=4,利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.解答： 解：设以P ( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (X 1, y 1) ,F (x 2 , y 2),••• P (3 , 2)为 EF 中点，X 1 +x 2=6, y 1+y 2=4,2 2把 E (X 1, y 1), F (x 2, y 2)分别代入椭圆 4x +9y =144 ,2+9yi Z =L44良2，4x 2J +9y 2 =1444 (x 1+x 2) ( x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0, ••• 24 (x 1 - x 2) +36 (y 1- y 2) =0,•••以P (3, 2 )为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 2=-弓(x -3),整理，得 2x+3y - 12=0 . 故答案为：2x+3y - 12=0 .点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理 运用.2 213.过椭圆勺亍1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为考点： 椭圆的应用；轨迹方程. 专题： 计算题.分析：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1), (x 2. y 2),诸弦中点坐标为(x ,y ).弦所在直线斜率为k ,把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.解答：解：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1)(x 2. y 2),诸弦中点坐标为(X ,y ).弦所在直线斜率为k2 2 竺+31 g 4丄两式相减得； —(X 1+x 2) (x 1 - X 2) + 云(y 1+y 2) ( y 1 - y 2) =02 :,2 24x +9y - 4x=0=0,即仝一一本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.2 2—r I — 亠内的点 M (i , i )为中点的弦所在直线方程为 _x+4y — 5=0lb 4考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 设点M ( i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ),B (x 2, y 2).利用 点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出.解答： 解：设点M (i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A ( x i , y i ),B (x 2, y 2).2 2(纠 + yJ G i 一叩1(2+y 2)( x 2 -164相减得22x/9+2y A 2/4 (x — i ) =0 7 一 '2 24x +9y — 4x=0整理得诸弦中点的轨迹方程： 故答案为4x 2+9y 2 — 4x=0点评： 本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题•考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.二1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ?k OM = -丄_ 2~考点： 专题： 分析：椭圆的应用. 计算题. 设 M (a ,b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2),易知 k OM=—，再由点差法可知k AB =a」，由此可求出 k AB ?k OM =2b解答:—JJ解：设 M (a , b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2), •/ M 为 AB 的中点，• x i +x 2=2a , y i +y 2=2b .把A 、B 代入椭圆①—②得(X 1+X 2)( X 1 - X 2)x 12+2y 12=2 ①x 32+2y 23=2 ② +2 (y i +y 2) (y i — y 2) =0,••• 2a (x i — x 2) +4b (y i — y i )=0, S ■?.答案:_b1 2• k AB ?k OM =-—:点评:15.以椭圆,代入上式得又•/14.设AB 是椭圆-- ------ =二，由此能求出以点 P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程.2解答:整理，得 故答案为： 本题主要考查椭圆标准方程， 简单几何性质，直线与椭圆的位置关系. 考查运算求解能力，推理论证能力.解 题时要认真审题，注意点差法的合理运用.2，2—^=0故所求的直线方程为 ，解得 k AB =-「-—：,化为 x+4y - 5=0 •故答案为x+4y - 5=0 •点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和 点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为 x - 2y+4=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题. 设以点P (- 2, 1)为中点的弦所在的直线与椭圆(X2, y 2),由点 P (- 2,1)是线段AB 的中点，知，把 A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)代入椭圆2 2x +4y =16，由点差法得到k= 解：设以点P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线与椭圆+ - 16 4=1 交于 A (X 1, y 1), B (x 2, y 2),•••点P (- 2, 1)是线段AB 的中点,山5二22 2把 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2)代入椭圆 x +4y =16,巧2十4卩/二16 ① 七铃4卩2‘=1&②①—② 得(x 1+x 2) (x 1 - x 2) +4 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) • - 4 (x 1 - x 2) +8 (y 1 - y 2) =0,=0,k=•••以点P (-2, 1)为中点的弦所在的直线方程为 点评:x - 2y+4=0 • x - 2y+4=0 •16 •在椭圆 =1 交于 A (X I ，y 1)，B17•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是（-皀，2）.—3 3 —考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系. 专题：计算题.分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标. 解答： 解：将直线y=x+2代入椭圆x 2+2y 2=4，消元可得3X 2+8X +4=0/• x= - 2 或 x=-—3 -2 --•••中点横坐标是 ---------- =-一，代入直线方程可得中点纵坐标为-+2=,2 3 33•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是 （-彳，—）33故答案为：:二二3 3点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标.三.解答题（共13小题）18.求以坐标轴为对称轴，一焦点为 5逅）且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为g 的椭圆方程.本题给出焦点在 y 轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着 重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题.2 219. 已知M （4, 2）是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程.考点： 专题： 分析：椭圆的标准方程.计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题. 由题意，设椭圆方程为2 2厘一+」二1，与直线y=3x - 2消去y 得关于x 的 a 2 b £元二次方程.利用根与系数的关解答:系结合中点坐标公式， 得X 1+x 2=12泌a 21-9b 2=1,再由椭圆的c=H :,得a 2- b 2=50,两式联解得a 2=75, b 2=25 ,从而得到所求椭圆的方程.解：T 椭圆一个焦点为•椭圆是焦点在y 轴的椭圆，设方程为将椭圆方程与直线 y=3x - 2消去y ,得 设直线y=3x - 2与椭圆交点为 A （X 1,2 2, I (a >b > 0)a b(a 2+9b 2) x 2- 12b 2x+4b 2- a 2b 2=0 y 1), B (x 2, y 2)• X 1+X 2=12以a 2'r ：•打)2=50…②一 2 — . 2=1…①又■/ a 2 - b 2=( •①②联解，得a 2=75 , b 2=25因此，所求椭圆的方程为:2 275+25 = 1点评:1.16 Q考点： 直线与圆相交的性质. 专题： 计算题. 分析：设直线l 的方程为y -2=k (x - 4)，代入椭圆的方程化简，由X 1+X 2=E" 一止*=8解得k 值，即得直线1l+4k 2的方程.解答： 解：由题意得，斜率存在，设为k ,则直线l 的方程为y - 2=k (x - 4),即kx - y+2 - 4k=0, 代入椭圆的方程化简得：(1+4k 2) x 2+ (16k - 32k 2) x+64k 2 - 64k - 20=0,32k 2-L6kR 曰1--x1+x2==8，解得：k=l+4k 22则直线l 的方程为x+2y - 8=0 .点评： 本题考查了直线与圆相交的性质，一兀二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到(1+4k 2) x 2+ (16k-32k 2) x+64k 2- 64k - 20=0，是解题的关键.20. 已知一直线与椭圆 4x 2+9y 2=36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M (1, 1),求直线AB 的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：综合题.分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB 的中点坐标为 M (1 , 1),求出斜率，即可求得直线AB 的方程.解答：解：设通过点 M (1,1)的直线方程为y=k (x - 1) +1，代入椭圆方程，整理得(9k 2+4) x 2+18k (1 - k ) x+9 (1 - k ) 2 - 36=0 设A 、B 的横坐标分别为X 1、x 2，则I'，22 (9以+4) 解之得k=q故AB 方程为：二二:■:| -,即所求的方程为 4x+9y - 13=0.点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解.，求以点P (2,- 1)为中点的弦AB 所在的直线方程.考点： 直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题.分析： 先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出X 1+X 2，进而求得弦所在的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程.解答：解：设弦AB 所在的直线方程为 y - (- 1) =k (x - 2),即y=kx - 2k - 1.、 2,消去 y 得 x +4 ( kx - 2k - 1)整理得(1+4k 2) x 2- 8k (2k+1) x+4 (2k+1) 2 - 16=0 (1)21.已知椭圆 22- 16=0 ,443因为P (2,- 1为弦AB 中点,代入方程(1)，验证△> 0，合题意.所以弦AB 所在直线的方程为吒K-么即x-2y-4=0.点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系.在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程, 利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的.22. 已知椭圆与双曲线 2x 2- 2y 2=l 共焦点，且过( 「・')(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.椭圆的标准方程；轨迹方程. 计算题.(1) 求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点( .：，0)代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程. (2)设斜率为2的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),把y=2x+b 代入椭圆的方程， y= - — x ，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b 值，即4得轨迹方程中自变量 x 的范围.I-- --------------- 2••• W —F — I"艮卩汇=2, •••椭圆方程为-^"4- y'=1 . / / 一 1 乙的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),则1x .4令厶=0, 64b 2- 36 (2b 2- 2) =0,即b=出，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为 y=2x 出所以平行弦得中点轨迹方程为：y= -- x (-倉本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中 自变量x 的范围，是解题的易错点.8b2bd •2 29x +8xb+2b - 2=0 , • x i +x 2= 2)，所以有g+辺业倔+1)l+4k 2所以屮贰即强⑵+；) 1£ 1+41〃汕解得哙考点： 专题： 分析：利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为 解答:解：(1 )依题意得，将双曲线方程标准化为•/椭圆与双曲线共焦点，•设椭圆方程为/ 2y=2x+b 且=1 得， 即x= -两式消掉9 9即当 x= ±时斜率为2的直线与椭圆相切. (2)依题意，设斜率为 2点评:所以：x i +x 2=-2 223. 直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为P (2, - 1). (1 )求m 的值；(2) 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式. 计算题；压轴题. (1)先把直线方程与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 x i +x 2的表达式，进而根据其中点的坐标求 得m . (2)把(1)中求得椭圆方程与直线方程联立消去 y ,进而根据韦达定理求得X 1x 2的值，进而求得出|AB| 的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案.2mx 1+x 2= =4，贝y m=4• I X 1X 2=0坐标原点0到直线x - 2y - 4=0的距离为•三角形ABC 的面积为-^|AB| X d=4本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推 理的能力.k AB ?k OM 为定值.考点： 专题： 分析：解答:解：(1):-x - 2y - 4=0工^16消去 y ,整理得(卫+1) x 2- 2mx+4m - 16=04(2)由(1)知.K - 2y~ 4=0x，消去点评:24. AB 是椭圆2 2■ - ''中不平行于对称轴的一条弦,,I/M 是AB 的中点，0是椭圆的中心,求证:考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的应用. 证明题.设出直线方程，与椭圆方程联立消去y ，根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得表达式，进而根据点M 为AB 的中点，表示出M 的横坐标和纵坐标，求得直线OM 的斜率，进而代入 中求得结果为定值，原式得证.证明：设直线为：y=kx+c2 2 x 丄F n 飞百1 la b2- a 2b 2=0，即(b 2+k 2a 2) x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0联立椭圆和直线2 2 2b x +a (kx+c )消去y 得 y i +y 2 的k AB ?k OM ••• |AB■： I I ■=2'=0 .2盖(疋 —乂)(y 2 - y i ) (X - 1) = (X 2- X 1) (y - 2).再由点差法知 ---------------- T 一—1U2 29x +16y - 9x - 32y=0 .解答： 解：设弦中点为 M (x , y ),父点为A(X 1, y 1), B (x 2, y 2).当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线.16所以，M 点的横坐标为：M x =— ( X 1+X 2)=-又：y i = kx i +cy 2=kx 2+c点评：本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.),直线I 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.b 2 b.. ?\ = a 2kk AB ?k OM =k >所以 y i +y 2=k (X 1+X 2)+2c=(y"y2)=所以:25.已知椭圆C :，由此可得:(y 2-y 1) (X - 1) = (X 2-X 1) (y -2),①又 X 1+X 2=2X , y 1+y 2=2y ,由①② 可得：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0,③考点：轨迹方程.专题：综合题.分析：设弦中点为M ( x, y),父点为A (X1, y1) , B ( x2, y2).当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线.故=0 .2 当点M 与点P 重合时，点M 坐标为(1, 2)适合方程③， •••弦中点的轨迹方程为：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0 .点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用.26•已知椭圆专心.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程;⑶过点且被P 点平分的弦所在的直线方程•(门设弦的两端点分别为M(X 1, y i ), N (X 2, y 2),中点为R (x , y )，则K /十J 二2，K,十『二2，9- 代入式①，得所求的轨迹方程为 x+4y=0 (椭圆内部分).(2)可设直线方程为 y -仁k (x - 2) (k 用，否则与椭圆相切)， 设两交点分别为(X 3, y 3), (x 4, y 4),考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题. 专题： 综合题. 解答:2的平行弦的中点轨迹方程.(2)设直线方程为y -( x - 2),设两交点分别为(X 3, y 3), (X 4, y 4),则一 /】交于 E (X 5 , y 5) , F (X 6 , y 6),由 P■w知 X 5+X 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F ( X 6 , y 6)代入与:| -丄.二)且被P 点平分的弦所在的直线方程.解：(1 )设弦的两端点分别为 M (X 1 , y 1 ) , N (X 2 , y 2)的中点为R(X, y ),a®一)是EF 的中点,-,由此能求出过分析:者由此能求出斜率为两式相减得=0,由此能求出I 被截(3)设过点P (寺寺的直线与两式相减并整理可得2将显然X 3孜4 （两点不重合），（%+%）5 - ％；1 二口£ I |* 3令中点坐标为（x ，y ），•过点P （£, g ）且被P 点平分的弦所在的直线方程： y 一 £二—£ （蓋_ +）,即 2x+4y - 3=0 .点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题•解题时要认真审题，注意点差法的合理运用.27. 已知椭圆-y+y 2=l .（1）求过点Pg ）且被点P 平分的弦所在直线的方程；（2） 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3） 过点A （2, 1 ）弓|直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 BC 中点的轨迹方程.考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题.则2，两式相减得=0, 故 x+2y?k=x+2y 」_=0,即所求轨迹方程为 x 2+2y 2- 2x - 2y=0 （夹在椭圆内的部分）（3）设过点p （g 2 ••• P （&•丄）是EF 的中点,2- 二）的直线与—— .：■].交于 E （X 5，y 5），F （X 6, y 6），• •• x 5+x 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F (x 6, y 6)代入与72x5 +2y 5 =2 o 2'z6 +肘呂=2(x 5+x 6) (x 5- x 6) +2 (y 5+y 6) (y 5 - y 6) =0 ,(X5 - x 6) +2 (y 5 - y 6) =0,则 x+2y?4又（x , y ）在直线上，所以显然综合题. (1) 设出两个交点坐标，禾U 用两点在椭圆上，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式 方程即可.(2) 同(1)类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再让斜 率等于2，化简，即可得斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程.点的轨迹方程.解：(1 )设过点P (丄・丄)且被点P 平分的弦与椭圆交与 A (x i , y 1), B (x 2, y 2)点,2 2,y 2_yl-x2 _ x 12亿+卩］)(2)设斜率为2的平行弦的中点坐标为(x , y ),1)引的直线斜率不存在时，方程为 x=2，与椭圆无交点2 2x - 2x+2y - 2y=0 .则根据中点弦的斜率公式，有-亠2(3)当过点A (2, 1)弓I 的直线斜率存在时，设方程为 y -仁k (x - 2),得(2+k 2) /+2 (1 -代入椭圆方程，消22k ) kx+4k - 4k=0Zk (2k- 1)-2H1,y 1+y 2=■.y ,设弦BC 中点坐标为(x ,专题： 分析：(3)设出直线BC 方程，用参数k 表示K ] 4]辺y 】+珂2 ，2，再利用中点坐标公式，消去k ，即可得弦BC 中解答:2-4 Cy 2)J ②即，弦AB 的斜率为「1•方程为y -二=「( x -V - 1. s ：__2 (y-1)J x-2-①，整理得 x 2- 2x+2y 2- 2y=0又•/ k= 当过点A (2,•••所求弦BC 中点的轨迹方程为点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题.28.已知某椭圆的焦点是 □( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F 1B|+|F 2B|=1O ,椭圆上不同的两点 A (X 1, y i )、c ( x 2, y 2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程； (n )求弦AC 中点的横坐标.考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：(1)根据椭圆定义结合已知条件，得 |F i B|+|F 2B|=10=2a 可得a=5.由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方 程；(2)由点B (4, y B )在椭圆上，禾U 用椭圆方程算出 y B —.再根据圆锥曲线统一定义，算出|F 2A|、|F 2C|15|关于它们的横坐标 X I 、X 2的式子，由|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列建立关系式算出X 1+X 2=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC 中点的横坐标. 解答： 解：(1)由椭圆定义及条件，可得 2a=|F i B|+|F 2B|=10，得 a=5.又••• c=4, • b=|,-=3.因此可得该椭圆方程为2 2fe +V =1。

圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。

例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。

例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。

例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。

例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。

三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。

2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。

3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。

4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。

练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。

（1）中点弦问题：（上题麻烦了。

是圆不用中点法）（2）轨迹以及弦长最大问题。

（3）利用通径最断解题（4）利用第二定义求离心率?我在楼上说的方法不很好，有焦点弦和准线了，当然要想第二定义过P做PD垂直准线于D,那么可得,PF/PD=e,PD/PM=1/2所以PF/e=1/2PM,又PF/PM=sin60/sin45=根3/根2,所以最终可得离心率为根6 ?????????和楼上算的怎么不一样?（5）抛物线的一证明，过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,通过点A 和抛物线的顶点的直线与抛物线的准线交于点D,求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴.我没搞懂为什么必须用平几？为什么学解析几何，就是想把我们从烦琐的平几中解放出来，前人开创这个来干吗的呀？建系我就不说了，看图加解答。

令22y px=，1122(,),(,)A x y B x y ，:()2p A B y k x =-连立两方程消x 可得212y y p =-，其实这是一个结论又令0(,)2p D y -，则01101122y y y p y p x x =⇒=--，又2112y x p=，则有2021p y y y -==。

完（6）抛物线（7）很好的一题，圆锥曲线都实用这题的问题不在思路上，而是在计算上。

看我的。

这题做了你们可以自己再去做下05江西文21题。

练练。

第一问我不想说了就是重新高考的思路，算出椭圆方程为22340x y +-=（为哈要弄成这样？因为一般式对于一会直线联立不容易出错，我的习惯）开动了。

分析下意思，就是直线CP 与直线CQ 要关于C 点对称才行。

所以这题思路，令出两直线方程，都过C 点，斜率相反数，解出两点坐标，算出斜率为定。

解：若斜率不存在，CP ，CQ 重合，故两直线都有斜率，令:(1)11C P y k x kx k =-+=-+。

:(1)11C Q y k x kx k =--+=-++由222221(13)6(1)3610340y kx k k x k k x k k x y =-+⎧⇒+--+--=⎨+-=⎩，从这里就要解出P x 来。

专题15圆锥曲线的中点弦问题一、结论1.在椭圆C :22221(0)x y a b a b中:(特别提醒此题结论适用x 型椭圆)(1)如图①所示,若直线(0)y kx k 与椭圆C 交于A ,B 两点,过A ,B 两点作椭圆的切线l ,l ,有l l ,设其斜率为0k ,则202bk k a.(2)如图②所示,若直线(0)y kx k 与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为椭圆上异于A ,B 的点,若直线PA ,PB 的斜率存在,且分别为1k ,2k ,则2122b k k a.(3)如图③所示,若直线(0,0)y kx b k m 与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为弦AB 的中点,设直线PO 的斜率为0k ,则202b k k a.2.在双曲线C :22221(0,0)x y a b a b中,类比上述结论有:(特别提醒此题结论适用x 型双曲线)(1)202b k k a .(2)2122b k k a .(3)202b k k a.3.在抛物线C ：22(0)y px p 中类比1（3）的结论有00(0)pk y y.特别提醒：圆锥曲线的中点弦问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以通过联立+韦达定理求解.二、典型例题1．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为22124x y ，斜率为k的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（）A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若直线方程为22y x ，则ABC ．若直线方程为1y x ，则点M 坐标为1433，D ．若点M 坐标为 1,1，则直线方程为230x y ；【答案】D 【详解】不妨设,A B 坐标为 1122,,,x y x y ，则2211124x y ,2222124x y ，两式作差可得：121212122y y y y x x x x ，设 00,M x y ，则002y k x .对A ：02AB OM y k k k x，故直线,AB OM 不垂直，则A 错误；对B ：若直线方程为22y x ，联立椭圆方程2224x y ，可得：2680x x ，解得1240,3x x ，故1222,3y y ，则AB，故B 错误；对C ：若直线方程为y =x +1，故可得12y x ，即002y x ，又001y x ，解得0012,33x y ，即12,33M，故C 错误；此题对C 另解，直接利用二级结论，由于本题椭圆方程为22124x y ，是y 型椭圆，所以：202422a k k b ，故可得0012y x ，即002y x ，又001y x ，解得0012,33x y ，即12,33M，故C 错误；对D ：若点M 坐标为 1,1,则121k ，则2AB k ，又AB 过点 1,1，则直线AB 的方程为 121y x ，即230x y ，故D 正确.故选：D .【反思】本题考察椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，再使用二级结论时，注意先判断椭圆是x 型还是y 型，再利用结论求解.2．（2021·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知椭圆 2222:10x y E a b a b的右焦点F 与抛物线212y x 的焦点重合，过点F 的直线交E 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为 1,1 ，则E 的方程为（）A ．2214536x yB ．2213627x yC ．2212718x yD ．221189x y【答案】D 【详解】解：设 11,A x y 、 22,B x y ，若AB x 轴，则A 、B 关于x 轴对称，不合乎题意，将A 、B 的坐标代入椭圆方程得22112222222211x y a b x y a b ，两式相减得22221212220x x y y a b ，可得12121222120x x y y y y a x x b，因为线段AB 的中点坐标为 1,1 ，所以，122x x ，122y y ，因为抛物线212y x 的焦点为 3,0，所以 3,0F ，又直线AB 过点 3,0F ，因此1212101132AB y y k x x，所以，2221202a b，整理得222a b，又3c 218a ，29b ，因此，椭圆E 的方程为221189x y ，故选：D.另解：设 11,A x y 、 22,B x y ，若AB x 轴，则A 、B 关于x 轴对称，不合乎题意，因为抛物线212y x 的焦点为 3,0，所以 3,0F ，所以3c ，设线段AB 的中点坐标为 1,1M ，利用二级结论2222220(1)131OM ABOM FM b b b k k k k a a a 2212b a ，又因为229a b ，解得218a ，29b ，因此，椭圆E 的方程为221189x y，故选：D.【反思】在圆锥曲线中，涉及到中点弦问题，小题中，常用点差法，也可以直接使用二级结论，但是在解答题中，不建议直接使用二级结论，即使使用点差法，也需检验答案是否符合题意，否则，最后还是需要联立直线与圆锥曲线，再求解.3．（2021·湖北·高二阶段练习）已知斜率为1的直线与双曲线 2222:10,0x y C a b a b相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2CD ．3【答案】A 【详解】设 11,A x y 、 22,B x y 、 00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ，两式相减得2222121222x x y y a b ，所以2121221212y y x x b x x a y y ．因为1202x x x ，1202y y y ，所以21202120y y b x x x a y ．因为12121ABy y k x x ，002 OP y k x ，所以2212b a ，故222b a ，故ce a．故选：A.另解：直接利用双曲线中的二级结论，2222222202221223b b k k b a c a a e e a a.【反思】注意使用二级结论的公式，一定要先判断，第一判断曲线是椭圆，还是双曲线，还是抛物线，第二判断圆锥曲线是x 型，还是y 型，第三，根据判断选择合适的二级结论，代入计算.4．（四川省蓉城名校联盟2021-2022学年高二上学期期末联考理科数学试题）已知抛物线 220x py p ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）A ．3y B ．32yC ．3x D ．32x【答案】B【详解】解：根据题意，设 1122,,,A x y B x y ，所以2112x py ①，2222x py ②，所以，① ②得： 1212122x x x x p y y ，即1212122AB y y x x k x x p，因为直线AB 的斜率为1，线段AB 的中点的横坐标为3，所以121212312AB y y x x k x x p p，即3p ，所以抛物线26x y ，准线方程为32y .故选：B【反思】在抛物线C ：22(0)y px p 中类比1（3）的结论有00(0)pk y y，注意到本题的抛物线方程是 220x py p ，此时中点弦二级结论有0x k p，直接代入313p p，小题都可以用二级结论直接求解，但是注意先判断适用条件.5．（2021·江西·南昌市新建区第一中学高二期末（理））已知斜率为(0)k k 的直线l 与抛物线2:4C y x 交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM 的面积等于3，则k （）A ．14B ．13C ．12D．3【答案】B 【详解】由抛物线2:4C y x 知：焦点 1,0F 设 112200,,,,,,A x yB x y M x y 因为M 是线段AB 的中点，所以01201222x x x y y y将2114y x 和2224y x 两式相减可得： 2212124y y x x ，即121202y y k x x y∵000k y ∴00113,62OFM S y y ,022163k y.故选：B另解：因为抛物线方程2:4C y x ，设AB 的中点00(,)M x y ，由中点弦二级结论，可知：00(0)p k y y代入：02k y ，另焦点 1,0F ，因为面积3OFM S ，可知00113,62OFM S y y ，再代入0213k k y.【反思】中点弦，最典型的方法就是点差法，在判断条件满足二级结论时，可直接使用二级结论.6．（2022·湖北·武汉市第十五中学高二期末）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点)2在椭圆上．(1)经过点M （1，12）作一直线1l 交椭圆于AB 两点，若点M 为线段AB 的中点，求直线1l 的斜率；【答案】(1)12；.(1)解：由题设椭圆的方程为222+1,4x y b因为椭圆经过点(1,2，所以213+1,1,44b b 所以椭圆的方程为22+14x y .设1122(,),(,)A x y B x y ，所以22112222+44+44x y x y ，所以12121212()()4()()=0x x x x y y y y ，由题得12x x ，所以12121212()4()=0y y x x y y x x ，所以1212241=0y y x x，所以1241=0,=2AB AB k k ，所以直线1l 的斜率为12 ,经检验1l 的斜率等于12复合题意.【反思】在圆锥曲线中，涉及中点弦常用点差法，注意使用点差法，最后需检验，特别是多个答案时，更应该检验，最后保留下符合题意的答案。

第2讲圆锥曲线论之中点问题及应用一、知识点1.中点弦所在直线方程2.有心圆锥垂径定理3.有心圆锥曲线第三定义4.对称问题二、典型例题【题型1 中点弦所在的直线的方程】例1.（1）已知直线l与圆x2+y2=9交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程（2）已知直线l与椭圆x 24+y23=1交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程（3）已知直线l与双曲线x2−y22=1交于A,B两点，且AB的中点为P(2,1),求直线l的方程（4）已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点，且AB的中点为P(1,1),求直线l的方程【题型2有心圆锥曲线垂径定理】例2、（1）已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,√2)在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

（2）已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0), 直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

（3）已知A,B,C是椭圆W:x 24+y2=1上的三个点，O是坐标原点，当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。

（4）已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且过点(√72,34),点P在第一象限，A为左顶点，B为下顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D，若CD∥AB,求点P的坐标。

(5)双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，直线y=kx+m交双曲线C于A,B两点，交双曲线C的渐近线于C,D，求证：|AC|=|BD|(6)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x 24+y23=1交于A,B两点，且AB的中点为M(1,m)(m>0)，证明：k<−12（7）已知双曲线x2−y22=1,过点P(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1,Q2两点，且点P是弦Q1Q2的中点？直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

圆锥曲线专题04 中点弦问题一、用点差法求斜率及常用公式在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常用点差法求斜率，关于点差法求斜率的方法，证明过程如下：直线y km b =+与椭圆2222:1x y C a b+=交于A,B 两点，00(x ,y )M 是弦AB 的中点，求直线AB 的斜率。

【解析】设1122A(x ,y ),B(x ,y )，点A,B 在椭圆上，所以221122x y 1a b +=…………………………………….①222222x y 1a b+=…………………………………….②①-②得：2222121222x x y y 0a b --+= 2121221212(x x )(x x )(y y )(y y )a b -+=--+220220y ..x AB AB OM b b k k k a a=-⇒=-这是一个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，因为方法过程简单但是繁琐，在小题里面可以直接利用结论来求出相关的斜率，常用结论如下：1、斜率为k 的直线l 交椭圆22221x y a b +=于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 的中点为00(x ,y )M ，则22.OMb k k a =-，焦点在y 轴上时有22.OM a k k b=-2、斜率为k 的直线l 交双曲线22221x y a b -=于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 中点为00(x ,y )M ，则22.OMb k k a =，焦点在y 轴上时有22.OM a k k b= 3、斜率为k 的直线l 交抛物线22y px =于1122A(x ,y ),B(x ,y )两点且AB 中点为00(x ,y )M ，则0.OM p k k x =例1：已知双曲线2213x y -=的右焦点是抛物线22(p 0)y px =>的焦点，直线y km b =+与抛物线相交于A,B 两个不同的点，点(2,2)M 是AB 的中点，则AOB ∆的面积是（ ）A B C D例2：如图，椭圆22214x y a +=的焦点为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于点M,N ，交y 轴于点H ，若1F ，H 是线段的三等分点，则2F MN ∆的周长为_______.【解析】2F MN ∆的周长等于4a ，直线MN 斜率必定存在，设其为k ，则:y k(x c)MN =+可得H(0,ck)，1F H 中点坐标为(,)22c ckP -所以2K 2op ckk c ==--根据中点弦结论可知22K .K MN op b a=-则,(0,)b bc k H a a =，因为H 是1F N 的中点，可得2N(c,)bc a将N 点代入椭圆方程中整理可得225a c =，结合b=2解得25a = 故2F MN ∆的周长为二、利用导数法求解中点弦问题探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中又有两个量，能不能减少未知量的个数，利用中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：例：过点(2,1)A 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点12,P P ，若点A 恰好是弦12P P 的中点，求直线l 的方程。

圆锥曲线一．弦长问题弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++- 或12211AB y y k =+- 例：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．练习：(2015·湖南)已知抛物线C 1 ：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点．C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．二．中点弦问题公式法：若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 例：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 练习：已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．点差法（中点弦问题） 设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba 43-例：设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．三．范围问题解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．例：(2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．练习：已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．四．最值问题处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是()A．2 B. 2 C．4 D．2 2命题点2数形结合利用几何性质求最值例3(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_____________．命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4(2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．练习：(1)已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．(2)(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.①求椭圆C的离心率；②设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．。

1.在椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中:(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k·k=-b2a2.(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-b2a2.(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k·k=-b2a2.2.在双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k0·k=b2a2. (2)k1·k2=b2a2. (3)k·k=b2a2.参考答案中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=5．设椭圆的方程为2222x y a b+=1，直线AB 不经过原点，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点．若直线AB 的斜率为1，则直线OM 的斜率不可能是（ ） A ．43-B ．916-C ．14-D ．﹣16．已知直线l 与圆222x y r +=交于A 、B 两点，P 线段AB 的中点，则1AB OP k k ⋅=-.试用类比思想，对椭圆写出结论：______.8．已知AB 为抛物线24x y =的一条长度为8的弦，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为___________.9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点()2,1M -为弦PQ 的中点，且//PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则2e =______．交于A、点代入椭圆22221x y a b +=中，22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上下两式相减得22221212220x x y y a b --+=，即1212121222()()()()y y y y x x x x b a-+-+=-，所以22201212222121201···AB OP x y y x x b b b k x x a y y a y a k -+==-=-=--+ 即22AB OPb k k a=-8．已知AB 为抛物线24x y =的一条长度为8的弦，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为___________. 【答案】±1【详解】由题意得抛物线的准线方程为l ：1y =-，过A 作1AA l ⊥于1A ，过B 作1BB l ⊥于1B ，设弦AB 的中点为M ，过M 作1MM l ⊥于1M ，则1112MM AA BB =+，设抛物线的焦点为F ，则AF BF AB +≥，即118AA BB AF BF +=+≥(当且仅当A ，B ，F 三点共线时等号成立)，所以11128AA BB MM +=≥，解得14MM ≥，即弦AB 的中点到x 轴的最短距离为：413-=，所以点M 的纵坐标为()0,3x ，()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1F ，2114x y =，2224x y =，∴所以直线AB 的斜率0121212031420x y y x x k x x x -+-====--，∴02x =±，此时1k =±，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为±1，9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，点()2,1M -为弦PQ 的中点，且//PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则2e =______．【答案】212+ 【详解】解法一 由题意知(),0F c ，()0,B b ，则PQBF b k k c==-．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，，两式相减，得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=-+．因为PQ 的中点为()2,1M -，所以124x x +=-，122y y +=，又1212PQy y b k x x c -==--，所以2242b b c a--=，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得2212e +=． 解法二 由题意知(),0F c ，()0,B b ，则BF bk c=-．设直线PQ 的方程为()12y k x -=+，即21y kx k =++，代入双曲线方程，得()()()222222222221210b a k x a k k x a k a b --+-+-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，结合()2,1M -为PQ 的中点，得()2122222214a k k x x b a k++==--．又BF bk k c ==-，所以222222144b b b a b a c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+=-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，整理得22a bc =，所以()42222244a b c c c a ==-，得424410e e --=，得2212e +=．。