圆锥曲线经典中点弦问题

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中点弦问题专题练习

一．选择题（共8小题）

1．已知椭圆，以及椭圆一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2

2．已知A（1，2）为椭圆一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）

A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0

3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB•K OM的值为（）

A．e﹣1 B．1﹣e C．

e2﹣1 D．

1﹣e2

4．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）

A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0

5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）

A．2B．﹣2 C．D．

6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．

7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）

A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）

8．以椭圆一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）

A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0

二．填空题（共9小题）

9．过椭圆一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________ ．

10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________ ．

11．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________ ，直线方程为_________ ．

12．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________ ．

13．过椭圆=1一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________ ．

14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB•k OM= _________ ．

15．以椭圆的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________ ．

16．在椭圆+=1以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________ ．

17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________ ．

三．解答题（共13小题）

18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程．

20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程．

22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（）

（1）求椭圆的标准方程．

（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．

23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．

24．AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：k AB•k OM为定值．

25．已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

26．已知椭圆．

（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程．

27．已知椭圆．

（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．

28．已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且

|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．

29．（2010•永春县一模）过椭圆一点M（1，1）的弦AB．

（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；

（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．

30．已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，（1）求弦AB中点M的轨迹方程；

（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值．

2014年1月panpan781104的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．已知椭圆，以及椭圆一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．

解答：

解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k．

则，，两式相减得，又x1+x2=8，y1+y2=4，，

代入得，解得k=．

故选A．

点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．

2．已知A（1，2）为椭圆一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）

A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0

考点：直线的一般式方程．

专题：计算题．

分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案．解答：解：设直线的方程为y﹣2=k（x﹣1），

联立直线与椭圆的方程代入可得：（4+k2）x2+2k（2﹣k）x+k2﹣4k﹣12=0

因为A为椭圆的弦的中点，

所以，解得k=﹣2，

所以直线的方程为2x+y﹣4=0．

故选D．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题．