秒杀题型09 圆锥曲线中的中点弦(解析版)

秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题： 秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题：

注：方程：2

2

1mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆；

②当0,>n m 且n m =时，表示圆； ③当n m ,异号时，表示双曲线。

秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：2

2

1mx ny +=交于

两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ，

Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩;22

1122

22 1 (1)

1 (2)

mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,

Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y m

k k k x n

=-=中中。(作为公式记住，在小题中直接用。) 题型一：求值 ：

〖母题1〗已知椭圆

22

1164

x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程. 【解析】:由结论可得：

16421-=⨯-k ，得2

1

-=k ，直线方程为：240x y --=。 1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22

22:1(0)x y G a b a b

+=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆

于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，

,则E 的方程为 ( ) A.

1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.19182

2=+y x 【解析】:由结论可得：

22

2111a

b -=⨯-，得222b a =，3=

c ，选D 。 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )

A.22136x y -=

B.22145x y -=

C.22163x y -=

D.22154

x y -= 【解析】:由结论可得：

()()22

1231501215a

b =----⨯--，得2245b a =，3=

c ，选B 。 3.(高考题)已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ,B 在第一象限,23||=AB . （1）求点B 的坐标;

（2）若直线l 与双曲线1:222

=-y a

x C )0(>a 相交于E 、F 两点,且线段EF 的中点坐标为)1,4(,求a 的值.

【解析】:(1)=+=4

cos

231π

B x 4，14

sin

232=+-=π

B y ，点B 的坐标为()4,1。

(2)点差法：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线1:222

=-y a

x C 交于两点E 、F ，EF 中点为（4，

1），则有E 、F 既在直线上又在曲线上；

Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=-)2(1)1(12

22

2

22

12

21y a x y a x ；

Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：2

1.

EF y k x a =中中，代入点)1,4(，得2a =。 4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆)0(9:222>=+m m y x C ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点B A ,,线段AB 的中点为M .

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点⎪⎭

⎫

⎝⎛m m ,3,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的 斜率,若不能,说明理由.

【解析】:（1）点差法：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线)0(9:222>=+m m y x C 交于两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ；

Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩；⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅=+)

2(9)

1(92

222222121m y x m y x ； Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：9-=⋅l OM k k ；

（2）设l 的斜率为k ，由9.-=k x y M M ①，⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=-3m x k m y M M ②，联立得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-939,)9(33222k km m k m k mk M ，得⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-++-9618,)9(326222k km m k m k mk P ，代入椭圆中得：

0817*******=+-+-k k k k ，()()

098922=+-+k k k ，74±=k ，即存在。

5.(高考题)已知椭圆C

的焦点分别为1(F -

和2F ,长轴长为6,设直线2y x =+交椭圆C 于 ,A B 两点,求线段AB 的中点坐标.

【解析】:法一：同上，作差得出中点的一个关系，又中点在直线上，解方程组得中点坐标为：：91,55⎛⎫

- ⎪⎝⎭

。 法二：直线与椭圆联立，利用根与系数的关系。

6.(高考题)设椭圆C :()22

2210x y a b a b

+=>>过点()0,4,离心率为35．

（1）求C 的方程； （2）求过点()3,0且斜率为

4

5

的直线被C 所截线段的中点坐标. 【解析】:(1)=b 4，5

3

=a c ，得5,3==a c ，所以椭圆C 的方程为：

2212516x y +=; (2)同上，用两种方法可得中点坐标为：36,25⎛⎫

-

⎪⎝

⎭。 7.(2013年全国高考试题新课标卷II)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M:22

221x y a b

+=(0>>b a )右焦点的直

线03=-+y x 交M 于A,B 两点,且P 为AB 的中点,OP 的斜率为12

. （1）求M 的方程；

（2）C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值。