人教版高中数学第课时分段函数及映射(PPT)

y
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
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探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
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3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
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14
1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
g

①M=N=R,f:x→y= 1������,x∈M,y∈N;②M=N=R,f:x→y=x2,x∈M,y ∈N;③M=N=R,f:x→y= |������|1+������,x∈M,y∈N;④M=N=R,f:x→y=x3,x∈
M,y∈N.
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
解析:对于①,集合M中的元素0在N中无元素与之对应,所以①不
②画一次函数 y=-x 的图象,取其在区间(0,+∞) 内的图象,其他部分
删去不要;③这两部分图象合起来就是所要画的分段函数的图象(如
图所示).
由此可得,画分段函数
������1(������),������∈������1, y= ������2(������),������∈������2, (D1,D2,…,两两的交集是空集) 的图象的步骤
是映射;对于③,M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应,所
以③不是映射;对于②④,M中的元素在N中都有唯一的元素与之对
应,所以②④是映射.故选D.
答案:D
题型一 题型二 题型三 题型四
反思判断一个对应是不是映射,依据是映射的定义.判断方法为: 先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若不是,则 不是映射;若是,再看对应元素是否唯一,若唯一,则是映射;若不唯一, 则不是映射.
【做一做 1】 已知函数 f(x) =
������,������ ≥ ������ + 1,������
0, <
0,
则f(1)等于(
)
A.0
B.1
C. 2 D. 2
解析:∵x=1>0,∴f(1) = 1 = 1.
答案:B
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2.映射 (1)定义:一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确 定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一 个映射. 归纳总结满足下列条件的对应f:A→B为映射: (1)A,B为非空集合; (2)有对应关系f; (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一确定的元素与之对 应.

()
解析：∵f(x)＝|x－1|＝x1－ －1x， ，xx≥ ＜11， ， 当 x＝1 时，f(1)＝0，可排除 A、C. 又 x＝－1 时，f(－1)＝2，排除 D. 答案：B
3．函数 y＝x－2，2，x＞x＜0，0 的定义域为__________，值域为____________． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(02]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2×(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34. (2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得 a＝1 或 a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1 符合题意；
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
题型二 分段函数的图象 【学透用活】
[典例 2] (1)已知 f(x)的图象如图所示，求 f(x)的解析式． (2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示函数 f(x)； ②画出函数 f(x)的图象； ③写出函数 f(x)的值域．
x＋2，x＜0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 答案：{y|y≤2}
3．作出函数 f(x)＝－ x2－x－x－1，2，x≤－－1＜1，x≤2， x－2，x＞2
的图象．
解：画出一次函数 y＝－x－1 的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次 函数 y＝x2－x－2 的图象，取(－1,2]上的一段；画出一次函数 y＝x－2 的图 象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．

f(1)＝3×1＋5＝8，f
f
－52＝f
－52＋1
＝f －32＝3×－32＋5＝12.
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0， 解得 a≥1 或 a≤－12， 即实数 a 的取值范围是－∞，－12∪[1，＋∞).
则23cc＋ ＋dd＝ ＝46， ， 解得cd＝＝20，， 所以f(x)＝2x，
x＋2，x<－1，
所以 f(x)＝x2，－1≤x≤2， 2x，x>2.
三
分段函数在实际问题中的应用
例3 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日 开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是 “一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰 墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每 生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时，h(x)＝ 180x＋100；当产量大于50万盒时，h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手 办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完. 求 “ 冰 墩 墩 ” 玩 具 手 办 销 售 利 润 y( 万 元 ) 关 于 产 量 x( 万 盒 ) 的 函 数 关 系 式.(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总 价＝固定成本＋生产中投入成本)
延伸探究 1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3， 即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3， 即a＝－23∈(－2,2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3， 即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意. 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为－23 或2.

f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3. ∵f(－52)＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2， ∴f(f(－52))＝f(－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34.
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(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去．当 －2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0.
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(2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合 A，B均为__非_空__数__集___时，从A到B的映射就是函数，所以函数 一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
[归纳总结] 函数新概念，记准三要素；定义域值域，关 系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常 见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限．
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[解析] (1)集合A中的3，在f作用下得0，但0∉B，即3在集 合B中没有相对应的元素，所以f不是从集合A到集合B的映射．
(2)对于集合A中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于 集合A中任意一个负数都唯一对应元素0，所以f是从集合A到集 合B的映射．
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2．映射 (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意_一__个____元素x， 在集合B中都有唯__一_确__定_____的元素y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合_A__到集合_B__的一个映射． [归纳总结] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： (1)A，B为非空集合； (2)有对应法则f； (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对 应．

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小结 (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域．(2)要标出关键 点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键 点是实心还是虚心．(3)要掌握常见函数图象的特征．(4)函数图象 既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．
学生}，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生． 解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有
唯一的实数与之对应，所以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集
合 B 的一个映射．
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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更 高(2)效按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任
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研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效 探究点三 映射的概念及应用 问题 1 回忆初中学习过的一些对应，你能举出几个？
答 对于任何一个实数 a，数轴上都有唯一的点 P 和它对应； 对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对(x，y) 和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应． 问题 2 函数关系实质上是两个集合之间的一种对应关系，这两个集 合有什么特点？ 答 两个集合是非空数集．
练一练·当堂检测、目标达成(dáchéng) 落实处
3．已知函数 y＝|x－1|＋|x＋2|. (1)作出函数的图象；(2)写出函数的定义域和值域． 解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的 分段点 x＝1，第二个绝对值的分段点 x＝－2，这样数轴被分为 三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)
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2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是 由几个函数构成的吗？
提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几 个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样 而已．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一 个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范 围．
3．分段函数分几段，其图象就有相应的几个吗？ 提示：分段函数是一个函数，只有一个图象，作图时 只能将各段函数图象画在同一坐标系中，而不能将它们分 别画在不同的坐标系中．
的图象如图，观察图象得函数的值域为[1，＋∞)．
(2)将原函数的解析式中的绝对值符号去掉，化为分段 函数
－2x＋1 x≤－1， y＝3 －1<x≤2，
2x－1 x>2.
它的图象如图．
观察图象，显然函数值y≥3，所以函数的值域为[3， ＋∞ ).
映射问题
【例3】 下列对应关系中，哪些是从集合A到集合
通法提炼 1分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的 范围，代入相应的解析式求得.2多层“f”的问题，要按照 “由里到外”的顺序，层层处理.3已知分段函数的函数值 求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变 量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判 断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
映射
设A、B是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有 唯一确定 的元素y与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．
4．如何判断一个对应是不是映射？ 提示：只要检验对于A中的任意一个元素，按对应关系 f，是否在B中有唯一确定的元素与之对应即可．若是，则 这个对应是映射，否则，不是映射．

x,0 x 1, x, 1 x 0.
二、映射
非空
唯一确定 从集合A到集合B
思考：映射与函数有什么区别与联系?
提示：区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其他集
合，函数中集合A，B必须是数集.
联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广 .
【知识点拨】
1.对分段函数的认识
1 , x∈A,y∈B. x x
上述三个对应关系中，是映射的是______，是函数的是______.
【解析】1.选D.由函数的定义可知，对于A，0∈R,且|0|=0∉B,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故A不是A到B的函数；对于B，0∈Z,且02=0∉N*,故B不是A到B的函数
对于C，当x＜0时，如-2∈Z,但
无意义，故 C不是A到B的 2
类型 一
分段函数求值问题
【典型例题】
x 2 1 ，x 1, 1.(2012·江西高考)设函数 f x 2 则f(f(3))=( ) ，x＞1, x A.1 B.3 C. 2 D. 13 5 3 9 x, x 0, 2.(2013·温州高一检测)设函数 f x 若f(a)=4,则 2 x , x＞0,
b b 可能对应集合N中的2或0，当 对 a a
b a
b =1,则b=2,此时M中有两个相同元素，不合适，故 a b b b=2应舍去，当 对应0时，则 =0,则b=0，此时M={0,1}，符 a a
合题意，综上可知a=2,b=0,即a+b=2.
映射与函数的关系 【典型例题】 1.下列对应为A到B的函数的是( )
探究提示：
1.已知函数图象,一般用待定系数法求其函数解析式.
2.本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段

分段函数及映射课件新人教 A版必修
1.通过具体实例，了解简 1.分段函数求值．(重
单的分段函数，并能简单 点)
应用.
2.对映射概念的理解
2.了解映射的概念.
．(难点)
•1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.
•解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
•(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
多的情况．只能是“多对一”或“一对一”形 式．
•【错解】 (1)、(2)、(3)、(4)
•(2)如图所示．
•在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， •在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， •在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分 ． •图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． •(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值 为6.
•[题后感悟] (1)分段函数求值，一定要注意 所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析 式求得． •(2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由 里到外”的顺序，层层处理．
•①令每个绝对值符号内的式子等于0，求出 对应的x值，设为x1，x2； •②把求出的x值标在x轴上，如图． •③根据x值把实轴所分的部分进行讨论，分 x≤x1，x1＜x≤x2，x≥x2.
•(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首 先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函 数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不 一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应 点的实虚之分．
•4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个 图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关 系的有( )

0, < 0,
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||

2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个