分段函数与映射

第2课时分段函数及映射学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念.知识点一分段函数思考设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y ＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对算不算函数？答案算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应.梳理(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.知识点二映射思考设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”.梳理映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.函数一定是映射，映射不一定是函数.类型一建立分段函数模型例1如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象.解 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ， 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示：反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20].由题意得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：类型二 研究分段函数的性质 命题角度1 给x 求y例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值.解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f (－5)＝－5＋1＝－4. ∵－3∈(－2,2)，∴f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23， ∵－52∈(－∞，－2]，∴f (－52)＝－52＋1＝－32∈(－2,2)，∴f (f (－52))＝f (－32)＝(－32)2＋2(－32)＝－34.引申探究例2中f (x )解析式不变，若x ≥－5，求f (x )的取值范围. 解 当－5≤x ≤－2时，f (x )＝x ＋1∈[－4，－1]； 当－2<x <2时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1∈[－1,8)； 当x ≥2时，f (x )＝2x －1∈[3，＋∞)；∴x ≥－5时，f (x )∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞). 反思与感悟 分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数f (x )的图象.解 (1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1. (2)f (x )的图象如下：命题角度2 给y 求x例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，x 2＋2，x >2.(1)若f (x 0)＝8，求x 0的值； (2)解不等式f (x )>8.解 (1)当x 0≤2时，由2x 0＝8，得x 0＝4，不符合题意；当x 0>2时，由x 20＋2＝8，得x 0＝6或x 0＝－6(舍去)，故x 0＝ 6.(2)f (x )>8等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，2x >8，①或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x 2＋2>8，②解①，x ∈∅，解②得x >6， 综合①②，f (x )>8的解集为{x |x >6}.反思与感悟 已知函数值求变量x 取值的步骤： (1)先对x 的取值范围分类讨论； (2)然后代入到不同的解析式中； (3)通过解方程求出x 的解；(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；(5)若解不等式，应把所求x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x 的值并起来.跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示.(2)由于f (±12)＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞).(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0,1]. 类型三 映射的概念例4 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(1)集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B 的一个映射.(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射.反思与感悟映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B 到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.跟踪训练4设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A 到B的映射的是()A.f：x→y＝x2B.f：x→y＝3x－2C.f：x→y＝－x＋4D.f：x→y＝4－x2答案 D解析对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.1.如图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A.3B.4C.5D.6 答案 A2.f (x )的图象如图所示，其中0≤x ≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f (x )的解析式是( )A.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2，0≤x ≤12，1<x <23，x >2B.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2，0≤x <12，1≤x <23，x ≥2C.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2，0≤x ≤12，1<x ≤23，x >2D.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤12，1<x <23，x ≥2答案 D3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，1，x ＝0，－1，x <0，则f (f (0))等于( )A.1B.0C.2D.－1 答案 C4.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A.－2或2B.2或－52C.－2D.2或－2或－52答案 C5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A.1B.0C.－1D.π答案 B1.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况. 2.函数与映射的关系映射f ：A →B ，其中A 、B 是两个非空的集合；而函数y ＝f (x )，x ∈A ，A 为非空的数集，其值域也是数集.于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.课时作业一、选择题1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )A.－4或－2B.－4或2C.－2或4D.－2或2答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.2.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝0，nf (n －1)，n ∈N *，则f (5)的值是( ) A.4 B.48 C.240 D.1 440 答案 C解析 因为f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝0，nf (n －1)，n ∈N *，所以f (5)＝5f (4)＝5×4f (3)＝5×4×3f (2)＝5×4×3×2f (1)＝5×4×3×2×1×f (0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C. 3.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A.RB.[0，＋∞)C.[0,3]D.{x |0≤x ≤2或x ＝3}答案 D解析 值域为[0,2]∪{3,2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[－1，1]，x ，xD ∈/[－1，1]，若f (f (x ))＝2，则x 的取值范围是( )A.∅B.[－1,1]C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.{2}∪[－1,1]答案 D解析 若x ∈[－1,1]，则f (x )＝2，f (f (x ))＝f (2)＝2，符合题意；若x >1，则f (x )＝x ，f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，此时只有x ＝2符合题意；若x <－1，则f (x )＝x ，f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，但因为x <－1，此时没有x 符合题意.综上，选D.5.若集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }，则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A.5 B.6 C.8 D.9答案 C解析 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →d ，c →e ，a →e ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →d ，c →e ，共8个.6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米答案 A解析 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米). 二、填空题7.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的定义域是________.答案 [0，＋∞)解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞).8.函数f (x )的图象如图，则函数f (x )的解析式为__________________.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2解析 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，代入(1,2)，得k ＝2， ∴f (x )＝2x .当1<x <2时，f (x )＝2， 当x ≥2时，f (x )＝3， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.9.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________. 答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1.10.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________. 答案 (－∞，1]解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1. 画出图象为由图易得函数f (x )的值域为(－∞，1].三、解答题11.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解.解 ∵x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ，f (0)＝c ，f (－1)＝(－1)2－b ＋c .∵f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0， 当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1>0，所以舍去.当x >0时，由f (x )＝x 得x ＝2，∴方程f (x )＝x 的解为－2,2.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫－32，f ⎝⎛⎭⎫12，f (4.5)，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12； (2)若f (a )＝6，求a 的值.解 (1)∵－32∈(－∞，－1)， ∴f ⎝⎛⎭⎫－32＝－2×⎝⎛⎭⎫－32＝3. ∵12∈[－1,1]，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2. 又2∈(1，＋∞)，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12＝f (2)＝2×2＝4. ∵4.5∈(1，＋∞)，∴f (4.5)＝2×4.5＝9.(2)经观察可知a ∉[－1,1]，否则f (a )＝2.若a ∈(－∞，－1)，令－2a ＝6，得a ＝－3，符合题意；若a ∈(1，＋∞)，令2a ＝6，得a ＝3，符合题意.∴a 的值为－3或3.13.已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|.(1)求f (x )的值域；(2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围.解 若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0，f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4；若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0，f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2；若x >3，则x －3>0，x ＋1>0，f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4].(2)f (x )>0，即⎩⎨⎧ x ≤－1，4>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤3，－2x ＋2>0② 或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，－4>0，③ 解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.∴f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1).(3)f (x )的图象如下：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点.四、探究与拓展14.著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 取有理数时，0，x 取无理数时， 则D [D (x )]等于( ) A.0B.1C.⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 取无理数时0，x 取有理数时 D.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 取有理数时0，x 取无理数时 答案 B解析 ∵D (x )∈{0,1}，∴D (x )为有理数，∴D [D (x )]＝1.15.如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式.解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.。

分段函数与映射知识点一 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎨⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．知识点二 映射设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．,映射由三要素组成，集合A ，B 以及A 到B 的对应关系，集合A ，B 可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合． [小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( ) (2)分段函数由几个函数构成．( )2|x|≤1，2|x|>1，1 2B.413f f n＋5，n∵f⎝⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练1已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0，πx ＝0，0x <0，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0， ∴f (f (－1))＝f (0)＝π， ∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1.根据不同的取值代入不同的解析式．类型二 分段函数的图象及应用例 2 (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________；x|－x(－2<x≤2)．2①用分段函数的形式表示该函数；。