概率课件1

—刘 赪— —刘 赪—
合之间的关系是一致的
2
课堂练习
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 1. 若A 是 B 的子事件，则 A∪B = ( B )， AB = ( A ) 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.
∑ P (A )
i =1 i
∞
3 若A⊂B，则 P(B)≥P(A), 且 P(B－A)= P(B)－P(A)
—— 柯尔莫哥洛夫（苏），1933
1
概率的基本性质-2
4 5 6 对于任何一个事件A，都有0≤P(A)≤1
Ø概率的加法公式可以推广到更多事件的情形：
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
SWJTU
-- 刘
赪 --
SWJTU
-- 刘
赪 --
例 题
-2
例
题
-3
箱中有a个红球及b个白球，采取有放回及不放回抽样
某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所 有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是 否可以推断接待时间是有规定的？
方式抽n个球，问正好有k个红球的概率？ 解：A=“n个球中恰有k个红球” [有放回] 样本点总数为
3、样本空间
S1 ={H,T} H-正面 T-反面 ——有限个 S2 ={0,1,2,3} i=0,1,2,3 为正面出现的次数 S3 ={HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT} S4 ={1,2,3,4,5,6} S5 ={0,1,2…} —— 可列无限个 S6 ={t|t>=0} t为 灯泡寿命 —— 不可列多个 S7 ={(t1,t2)|T1<t1<t2<T2}
Ex 1.
n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻
而坐的概率. Ex 2. n 个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而
P ( A1 U A2 U ... U An )
1 n 1 1 = n − + ...... + (−1) n −1 n 2 n( n − 1) n! =1−
-- 刘
赪 --
SWJTU
-- 刘
赪 --
SWJTU
2
推
P (
i =1 4 1≤ i < j ≤ 4
广
n 个人、 n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子
1≤ i < j < k ≤ 4
∑
P Ai A j +
(
)
∑
P Ai A j Ak − P ( A1 A2 A3 A4 )
m = Cn
故
-- 刘
P ( B) =
n CN ⋅ n! N! = n Nn N ( N − n)!
SWJTU
N m 1 1 − 1 ⋅ N N
n− m
赪 --
-- 刘
赪 --
SWJTU
例 题
-5
设有带号码1,2,3,4的四件物品，任意的放在标有 1,2,3,4的空格中，问恰好没有一件物品与所占空 格号码相一致的概率是多少？至少有一件物品与 它所占的空格号码相一致的概率又为多少？
—刘 赪—
2
第一章
古典概型的定义
设试验具有下述两特点： 1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
第三节 古典概型与几何概型
S={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n, P({e1})=P({e2})=…=P({en})=1/n 则称此试验为古典概型。
1 2 k
法二: 将fn1(A), fn2(A),…,fnk(A) 按从小到大的顺 序排列,选取中间一位数或中间两位数的算术平 均值。
—刘
赪—
概率的公理化定义
设E为随机试验，S为其样本空间，对于E的每一 事件A，赋予一实数P(A),若集函数P(·)满足下列 条件，则称P(A)为事件A的概率：
概率的基本性质-1
一 般 地 , 对 有 限 有 限 个事件 A1 , A2 , ... ..., An , 有 P (U A i ) = ∑ P ( A i ) −
i=1 i =1 n n
P ( A) + P ( A) = 1
P(A∪B) ≤ P( A)+P(B) 且有概率的加法公式 P( A∪B)= P( A)+P( B)-P(AB)
题
-4
Can+ b
k n− k Ca Cb
设有n个人，每个都等可能的被分到N个房间中的任意 一间中去住(n≤N)，求下列事件的概率： （1）A={某指定的n个房间中各有一个人住}； （2）B={恰好有n个房间，其中各住一人}； （3）C={某指定的一间房中恰有m(m<n)人}。
P ( A) =
k n− k Ca Cb n Ca +b
(a + b)n
（实际推断原理）
k k n− k A中样本点数为 C n a b
P ( A) =
-- 刘
k k n− k Cn a b
( a + b)
n
k = Cn ( a a+ b )
k
( )
n− k b a+b
—— 二 项 分 布
SWJTU
赪 --
SWJTU
-- 刘
赪 --
1
例
[无放回]样本点总数为 A中样本点数为
—刘 赪—
3
第一章
第二节
事件发生的频率-1
1、事件A发生的频率 fn(A)=nA /n 当试验次数n逐渐增大时，若 2、稳定中心： 事件A出现的频率总是围绕在某个实常数
事件发生的频率与概率
事件A发生的频率 概率的公理化定义
刘 赪
2004.10
P(A)附近,则称这种性质为频率的稳定性, 稳定值P(A)称为稳定中心。
UA
i =1
n
i
= A1 U A2 U ...U An = { A 1 , A2 , ... An中至少有一个发生}
UA
i =1
∞
i
= A1 U A2 U ... = { A 1 , A2 , ...中至少有一个发生}
IA
i =1 ∞
n
i
= A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生 } = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同 时 发 生 }
1≤ i < j ≤ n
∑
P ( Ai A j ) +
1≤ i < j < k ≤ n
∑
P ( Ai A j A k )
+ L + ( −1) n −1 P ( A1 A 2L A n )
注：A1,A2,…,An两两互不相容时等号成立，即性质2。
Ex：当 A,B 同时发生时，C必发生，则( )
①P ( C ) = P ( AB ) ②P ( C ) = P ( A U B ) ③P ( C ) ≥ P ( A ) +P ( B ) -1 ④P ( C ) = P ( A ) +P ( B ) -1
—— 超几何分布
-- 刘
赪 --
SWJTU
-- 刘
赪 --
SWJTU
解：n个人住房的方式： N n
(1) A所含基本事件数为 : n !
故 P ( A) = n! Nn
m ⋅ ( N − 1) (3) C 所含基本事件数为：C n
m Cn ⋅ ( N − 1) n n−m
n−m
P (C ) =
n (2) B所含基本事件数为: C N ⋅ n!
-- 刘
赪 --
SWJTU
古典概型的计算
例
题
-1
把10本书任意放在书架上，求其中指定的三
k A包含的基本事件数 P ( A) = = n S中的基本事件 总 数
本书放在一起的概率。
解：A =“指定的三本书放在一起”
A中所包括的样本点共 有 8 ！× 3 ！ 个 P ( A) = 8 ！× 3 ！ 1 = 10 ！ 15
解：记Ai = {第i件物品放在第i号空格内}，i = 1, 2, 3, 4 则有 P ( Ai ) = 1 4 i = 1, 2, 3, 4
P ( Ai A j ) =
1 4× 3
1≤ i < j ≤ 4
P ( Ai Aj Ak ) =
1 4× 3× 2
1 4!
1≤ i < j < k ≤ 4
P ( A1 A2 A3 A4 ) =
第一章
第一节
随 机 试 验
1、随机试验的特点
-1
随机事件、样本空间
随机试验、随机事件 事件间的关系与运算
刘 赪
2004.10
试验能在相同条件下重复进行； 每次试验的可能结果不止一个； 能事先明确试验的所有可能结果； 每次试验前不能确定哪一个结果会出现。
随 机 试 验 -2
2、随机试验举例
随机事件
样本点
A的逆事 件常 记为A , 即有 A I A = φ, A U A = S, A = S − A
—刘 赪—
A S
A
Ex：A,B,C分别表示订阅日报、晚报、体育报
注1 概率论中事件间的关系与集合论中集 1） 只订日报 2） 只订日报和晚报 3） 只订一种报 注2 事件之 间的运算律与集合之间的运算 规律一致 4） 正好订两种报 5） 至少订一种报 6） 不订任何报 7） 三种报不全订