概率PPT课件

性质：设 Xn Pa, Yn Pb , g(x, y)在点(a, b)连续,
则 g(X n,Y n) P g(a,b)
.
3
定理1 （切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量序
列 X1,X2,…,Xn, ...相互独立，且具有相同的数学期望
和方差： E(Xk)=，D(Xk)=2 (k=1,2,...) , 则对任意
且具有数学期望和方差： E(Xk)=k，D(Xk)=2k0 (k=1,2,...) ,
记
n
B
2 n
2 k
,若存在
>0,使得
k 1
1 Bn 2
n
E{Xkk
k1
2}0, (n )
则随机变量
n
n
n
n
Xk E( Xk)
Xk k
Zn k1
k1 n
D( Xk)
k1
k1
Bn
k1
的分布函数Fn(x) 对任意x，有
定理1 设随机变量X1,X2,…,Xn,… 相互独立，服从同一 分布, 且 E(Xk)=，D(Xk)=20 (k=1,2, ...) , 则
Yn
n
i1 Xi
n
n
的分布函数Fn(x)满足:对任意实数x，有
~ ~ nl i mFn(X xY ) nnl in 1 mP
n i n ini 111 X X nn X iii nn近 x近 似 N x 似 N ( 21(0 ,e, 1 n )2 t22d)t(证(明x)略. )
的
>
0，有lni mPn1in1
Xi
1
即
X
1n n i1
Xi
P
提示：利用切比雪夫不等式证.
此定理表明: 相互独立具有相同期望和方差的随机变
量X1, X2, …, Xn的算术平均值依概率收敛于其数学期
望值 .
.
4
证 EX ()En 1i n1Xin 1i n1E(iX )μ
DX )(D n 1i n1Xin 12i n1Di()X σ n 2
99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产？
解 记X为200台车床中工作着的车床台数，则X~b(200, 0.6)．
按题意，要求最小的 k ，使P{X k} 0.999
k
即
C2i 000.6i(10.6)200i 0.999 , 由定理3
由中心极限定理
100
P{X1020}0P{ Xi i1
1020}0
100
P
i1
Xi
n
n
10200n
n
P X 11000010012001000 00PX11000002
1 (2)10 .97 7 0 .0 22 5275
.
10
定理2 (李雅普诺夫定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,
.
7
§5.2 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由 大量的相互独立的随机因素的综合影响所 形成的,而其中每一个别因素在总的影响中 起到的作用都是微小的.这种随机变量往往 近似的服从正态分布.这种现象就是中心极 限定理的客观背景.
本节只介绍三个常用的中心极限定理.
.
8
➢独立同分布的中心极限定理
lim P nnpx x
n n(1 pp)
1et2 2d t (x).
2
证 由§4.2例知, n可以看成n个相互独立的服从同一(0-1)分
布的随机变量X1,...,Xn之和，即 近 nX 似 1X 2X n
np n
N(0,1) E i) ( p ,D X ( X i) p ( 1 p ),i 1 , 2 , ,n
.
6
定理3（辛钦定理）设随机变量序列X1,X2,…,Xn,...
相互独立且同分布，数学期望：E(Xk)=，则对任 意正数，有
[注]
nl im Pn1
n i1
Xi
1
(证明略)
➢ 贝努力大数定律就是频率稳定性的理论依据． 因而在实际应用中，当试验次数很大时，往往 用事件发生的频率来代替事件的概率．
➢ 贝努力大数定律是辛钦定理的特殊情况.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
.
1
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， 若对任意正数，有
lim
n
P{|Yn
a
|
}
1
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为: Yn P a
(证明略)
l i m Fn(x)n l i m P
n
i1Xi Bn
n
i1 i
x
x
1
t2
e 2dt(x).
2
此定理表明，当n充分大时，Zn的分布近似于标准正态分布.
.
11
定理3 (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量n(n=1,2,…)服从
参数为n，p(0< p < 1)的二项分布，则对任意 x，恒有
-
p
0
此证因定:而理因E表为(X明nk)A =：p~，bnnD(An(,X p k)P )= ,p有(P 1-(pn A )A ,) (,(knX =1 1 ,2X ,.2 .). ), 由 定X 理n1,
即 这：个nl i事 定m P件 理以An1发k严n1生格X的k的-频p数率学依形概式1率即表收达n敛l了 im 于频P事率n件n的A的-稳p概定率性p. 1.
np(1p) ~ 由定理1知，
lim P nnpx x
n n(p 1p)
1
t2
e2d
t
2
此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，所以当n
充分大时，我们可以用标准正态分布近似二项分布.
.
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例2 某车间有200台车床独立工作，设每台车床的开工率为0.6，
开工时耗电1千瓦，问供电所至少要供多少电才能以不小于
由切比雪夫不等式
DX () P{XE(X)ε}1
ε2
即
P{
1n ni1
Xi-
ε}1n2
lim PX {|-|}1
n
.
5
定理2 （贝努力大数定律）设nA是n 次独立重复 试验中A发生的次数. p 是事件A在每次试验中发 生的概率, 则对任意 > 0,有
nl im PnnA
-
p
1
nl im PnnA
定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.
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例1 一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是
一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g ，求一盒螺丝钉 的重量超过10.2kg的概率.
解：设Xi 为第i个螺丝钉的重量, i=1,2,…,100, 且相互独立,
100
于是, 一盒螺丝钉的重量为 X X i i 1 且 E (X i) 1,0 0D (X i) 1,n 0 100