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矩阵分析课件 3

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《矩阵分析》课件

《矩阵分析》课件

方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义

同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.4

同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.4
3
由等价命题有 V=V1⊕V2.
定理： 设U 是线性空间V 的子空间，则一定存在V的一个 子空间W, 使 V=U⊕W, 称W为U在V中的直和补. (直和补一般不是唯一的）. 证明： 取U 的一个基 α1,…, αm, 由基的扩充定理，存在
α m +1 ,
, α n 使得 α1 ,
, α m , α m +1 ,
Rx = { ( x ,0,0)T | x ∈ R } R y = { (0, y ,0)T | y ∈ R }
R yz = { (0, y , z )T | y , z ∈ R }
求 Rx⊕ Ry ，Rx⊕ Ryz 。 解： T R x ⊕ R y = { ( x , y ,0 ) | x , y ∈ R }
, α n 构成V的一个基.
取 W = 〈α m +1 ,
,α n 〉
由等价命题有 V=U⊕W. 定义：设V1 ,V2, … ,Vr 是线性空间V 的子空间，如果和 V1＋V2＋…＋Vr中每个向量 α 的分解式
α = α1 + α 2 +
+ α r (α i ∈Vi , i = 1, 2, , r ) 是唯一的， 则称这个和为直和，记作 V1 ⊕ V2 ⊕ ⊕ Vr .
(2) 零向量的分解式是唯一的； (3) V1 ∩ V2 = {O} ; (4) V1的一个基与V2的一个基的并集是V1＋V2的基； (5) dim (V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2
1
证明： 由维数公式
所以: (3) ⇔ (4) ⇔ (5) (1) ⇒ (2) V1 , V2为线性空间，O∈ V1＋V2 ∵ 子设V1 ,V2, … ,Vr 是线性空间V 的子空间，则下述 命题等价： (1) V1＋V2＋…＋Vr 是直和； (2) 零向量O的分解式唯一； (3) 把V1 ,V2, … ,Vr 任意分成两组，

同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.5

同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.5

⎛ n ⎞ T (α + β ) = T ⎜ ∑ ( k i + l i ) α i ⎟ ⎝ i =1 n ⎠ n n = ∑ ( ki + li )β i = ∑ ki β i + ∑ li β i = T (α ) + T ( β ) ,
i =1 i =1 i =1
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ T ( λα ) = T ⎜ λ ∑ kiα i ⎟ = T ⎜ ∑ λ kiα i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n = ∑ λ k i β i = λ T (α ) .
11
⎡ kTT −1 (α ) ⎤ = T −1 ⎡ kT T −1 (α ) ⎤ T ( kα ) = T ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 ⎡T kT −1 (α ) ⎤ = T −1T kT −1 (α ) =T ⎣ ⎦ = kT −1 (α ) .
−1 −1
(
) (
( )(
)
)
注：当T 可逆时,可以定义T 的负整数幂,即 ∀n ∈ Z + , n −n −1 定义 T = T .
§3.5
线性变换（线性映射）
定义： 若在数域F 的线性空间V上，有一种规则T,使得 ' V中任意向量α 对应于V中唯一向量α T (α ) , 规则T 称为V 的变换， ' 称为α的像，α 称为 α ' 的原像. α
T : V ⎯⎯ V →
α
α = T (α )
'
如果变换T 又满足下面条件： ∀α , β ∈V 和 k ∈ F 有
α = T (α ) = Aα ∈ R
'
n
⇒ T是线性变换，由方阵A所确定的线性变换也
通常用A表示.

矩阵分析课件

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• 波士顿矩阵的基本应用法则。
• 第一法则：成功的月牙环。在企业所从事的事业领域内 各种产品的分布若显示月牙环形，这是成功企业的象征， 因为盈利大的产品不只一个，而且这些产品的销售收入 都比较大，还有不少明星产品。问题产品和瘦狗产品的 销售量都很少。若产品结构显示的散乱分布，说明其事 业内的产品结构未规划好，企业业绩必然较差。这时就 应区别不同产品，采取不同策略。
矩阵分析在经营管理中的应用
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一、波斯顿矩阵
波斯顿矩阵是美国波斯顿咨询公司（BCG）在1960年 为一家造纸公司咨询时而提出的一种投资组合分析方法。 该矩阵是用两次衡量标准构成的矩阵，它把需求数量的 增长率作为战略经营领域的预期衡量标准，把企业的相 对市场占有率作为竞争地位的衡量标准。任何一个战略 经营领域在未来的增长率被估测、相对的市场 占有率被
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• （3）问号产品 • 它是处于高增长率、低市场
占有率象限内的产品群。前 者说明市场机会大，前景好， 而后者则说明在市场营销上 存在问题。其财务特点是利 润率较低，所需资金不足， 负债比率高。选择性投资战 略；采用智囊团式或项目小 组结构;选拔有规划能力、敢 冒风险、有才干的人负责。 •
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14
• 三、产品—市场演变矩阵
• 美国学者霍福尔(C.W.Hofer)扩展了波士顿咨询集团和通用 电器公司的评价方法，把矩阵扩展为15个区域，并按照 各个经营单位的产品——市场发展阶段和竞争地位，画 出它们在霍福尔矩阵中的位置。
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整顿 成熟 衰退
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• 四、Swot矩阵
• SWOT分析法模型（也称TOWS分析法）即态势分析法， 经常被用于企业战略制定、竞争对手分析等场合。

《MATLAB矩阵分析》PPT课件

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整理ppt
24
2．三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵， 所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元 素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角 线以上的元素全为0的一种矩阵。
整理ppt
25
(1) 上三角矩阵 求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。 triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是 求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取 矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵 B。 (2) 下三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数 是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的 函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。
(6) 帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n 的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角 形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯 卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶 帕斯卡矩阵。
整理ppt
14
• 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ...................................................... 杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其 余的数则是等于它肩上的两个数之和。
整理ppt
35
2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其 函数调用格式与求向量的范数的函数完全 相同。
整理ppt
36
在线性方程组Ax=b两边各左乘A-1，有 A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得 x=A-1b 例3.8 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 命令如下： A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,-2,6]'; x=inv(A)*b

矩阵分析3ppt课件

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3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
应用 计算矩阵多项式
1 0 2
例 A0 1 1 ，求(A) 2A8 3A5 A4 A2 4
0 1 0
特征多式E- A 3 21，于是A3 2A10 (A) (2A5 4A3 5A2 9A)(A3 2A1)
24A2 37A10E
0 0 ( 2 ) ( 1)( 2 )
1 0
0
0 0
0
(
0 1)(
2)
4. 多项式矩阵与史密斯标准形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
性质 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩 史密斯标准形中的d i 即是不变因子
充要条件 两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因 子，相同的不变因子，相同的初等因子
2
n
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件，是A有n个线性无关的特征向量
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似
1
1
0
1 2 1
2
P －1 A P
1
1
2
100
2100 2 2101 2 0
A100
P
1
P －1
2100 1
2101 1
0
1
2100 1 2101 2 1
1. 矩阵的相似对角形
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵 不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较 简单的分块对角阵与它相似？

矩阵分析第三章


例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||

第3讲 矩阵分析

1．矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB 中，求矩阵秩的函数是rank(A)。 2．矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特 征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是 trace(A)。
2.4.5 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的 长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就 不同。 1．向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。 2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格 式与求向量的范数的函数完全相同。
2.6.3.字符串操作
1、字符串比较
(1)比较两个字符串是否完全相同：strcmp (2)比较两个字符串的前n个字符是否相同。strncmp
(3)比较两个字符串是否完全相同，不区分大小写。 Strcmpi
两个字符串还可以逐个字符的比较，MATLAB中用关系 运算符等于(==)实现这一比较。需要注意的是，待比较的 两个字符串必须长度相等，或者其中之一为单个字符。
2.4 矩阵分析
矩阵是线性代数研究的基本元素，实际上相当于MATLAB 中的普通二维数组。矩阵分析主要是研究矩阵的各种特性 及其表征方法。
2.4.1矩阵的行列式
矩阵的行列式是一个数值，它可以用来表示矩阵是否奇异 （矩阵行列式等于0），这主要用在线性方程组特性分析 上。MATLAB中求解矩阵行列式的函数是det. 例如：A=magic(3) det(A)

矩阵分析课件-2024鲜版

19
特征多项式求解技巧
特征多项式定义
设A为n阶矩阵，则行列式|λE-A|称为A的 特征多项式。
VS
求解技巧
通过求解特征多项式|λE-A|=0的根，可以 得到矩阵A的特征值。对于具体的求解过程， 可以采用行列式性质、降阶法、因式分解 等方法进行化简和计算。
2024/3/28
20
对角化条件及判别方法
03
$(AB)' = A'B + AB'$，其中$A(t)$和$B(t)$是可乘 的矩阵函数。
26
常见矩阵函数求导公式
若$A(t) = [a_{ij}(t)]$是对角矩阵函数，则$A'(t) = [a_{ij}'(t)]$。
若$A(t) = sin(Bt)$或$cos(Bt)$，其中$B$是常数矩 阵，则可以通过将$sin(x)$和$cos(x)$的幂级数展开
欧拉法具有一阶精度且计算简单但误差较大。
02
龙格-库塔法
一种高精度求解一阶常微分方程的数值方法，通过多步迭代提高精度。
四阶龙格-库塔法具有较高的精度和稳定性，在实际应用中广泛使用。
2024/3/28
03
有限差分法
一种求解偏微分方程的数值方法，通过将连续问题离散化并构造差分格
式进行求解。有限差分法适用于规则区域且易于编程实现但精度受限于
对角化条件
一个n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
判别方法
判断一个矩阵是否可以对角化，可以通过求解其特征值和特征向量，然后判断是否有n个线性无关的特征向量。 如果存在n个线性无关的特征向量，则矩阵可以对角化；否则，矩阵不能对角化。
2024/3/28
21

第3讲 矩阵分析

( 使得对一切k 都有 aijk ) M (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n).
定义 设A为方阵, 且k 时, A( k ) 0, 则称A为收敛矩阵.
西南林业大学
矩阵论
矩阵分析
matrix theory
定理 Ak 0的充要条件是 ( A) 1. 定理 Ak 0的充要条件是只要有一种 矩阵范数 , 使得 A 1. 1/ 2 1/ 3 例: A 是否为收敛矩阵？ 1/ 4 1/ 5 解： A
2
1 -1 1 -1 1 -1 B BB B 0 00 0 0 0
2
A A2 A3 ; B B 2 B 3
西南林业大学
矩阵论
矩阵分析
matrix theory
1 2 1 3 e I A A A 2! 3!
西南林业大学
矩阵论
矩阵分析
matrix theory
矩阵函数 - - -以n阶矩阵为自变量和函数值的一种函数. 定义 设一元函数f ( z )能够展开为z的幂级数 f ( z ) ck z k
k 0
z r
其中r 0表示该幂级数的收敛半径. 当n阶矩阵A的谱半径 ( A) r时, 把收敛的矩阵幂级数 ck Ak 和称为矩阵函数, 记为f ( A), 即
1 1 1 1 1 N 1 1 2 2 3 N 1 N 1 N 1
N 1 1 2 0
S
(N )
A( k )
k 1
N
1 N 1 9 4 N N 1
3 4k 的收敛性. 1 k ( k 1)
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• The identity map id(v ) = v and the zero map 0(v ) = 0 are linear transformations. It is easy to see that a linear transformation ϕ : V → W is uniquely determined by the values of f on a basis in V . Indeed we have the following definition. Definition 2. Let V and W be vector spaces over F and B be a basis of V . Any arbitrary function f : B → W can be extended by linearity to a unique transformation ϕ : V → W , that is ϕ(λ1 x1 + · · · + λk xk ) = λ1 f (x1 ) + · · · + λk f (xk ) for any x1 , . . . , xk ∈ B and λ1 , . . . , λk ∈ F. There is a one-to-one correspondence between a function from B to W and a linear map from V to W . 2
算法
1.3
Arithmetics on linear maps
Definition 4. Let f, g : V → W be linear transformations and λ ∈ F . The sum of f and g is the linear transformation f + g : V → W defined by (f + g )(x) = f (x) + g (x). The scalar multiplication of f and λ is the linear transformation λf : V → W defined by (λf )(x) = λf (x). Definition 5. Let f : V → W and g : U → V be linear transformations. The composition of f and g is the linear transformation f ◦ g : U → W defined by (f ◦ g )(x) = f (g (x)). Definition 6. Let f : V → W be an isomorphism. The inverse of f is the linear transformation f −1 : W → V defined by f −1 (x) = y whenever f (y ) = x. Examples: • Let A, B ∈ Mm,n (F ). Consider f, g : F n → F m defined by f (x) = Ax and g (x) = Bx. Then (f + g )(x) = (A + B )x and (λf )(x) = λAx. • Let A ∈ Mm,n (F ) and B ∈ Mn,p (F ). Consider f : F n → F m defined by f (x) = Ax and g : F p → F n defined by g (x) = Bx. Then (f ◦ g )(x) = ABx. • Let A be an invertible n × n matrix. Consider f : F n → F n defined by f (x) = Ax. Then (f −1 )(x) = A−1 x. 4
2
2.1
Matrix of transformation
Definition
Definition 7. Let ϕ : V → W be a linear transformation, B = (x1 , . . . , xn ) be an ordered basis of V and C = (y1 , . . . , ym ) be an ordered basis of W . The matrix of the linear transformation of ϕ relative to B and C is MCB (ϕ) = ([ϕ(x1 )]C [ϕ(x2 )]C · · · [ϕ(xn )]C ). Examples: x x+y = . y x−y Two possible ordered bases for R2 are B = (e1 , e2 ) and C = (e1 +e2 , e1 −e2 ). We have Consider f MBB (f ) = 1 1 , MCB (f ) = 1 −1 1 0 , MBC (f ) = 0 1 2 0 , MCC (f ) = 0 2 1 1 . 1 −1
1.2
Image and kernel
Definition 3. Let ϕ : V → W be a linear transformation. The kernel of ϕ, denoted by ker(ϕ) is the set ϕ−1 (0) = {x ∈ V : ϕ(x) = 0}. The image of ϕ, denoted by im(ϕ) is the set ϕ(V ) = {ϕ(x) : x ∈ V }. Theorem 1. The kernel and the image of a linear transformation ϕ : V → W are subspaces of W . Examples: • Let A ∈ Mm,n (F ). Consider f : F n → F m defined by f (x) = Ax. The kernel of f is the null space of A and the image of f is the column space 线性方程组的所有解的集合是A的零空间 of A. • Consider f : Pk → Pk defined by f (p(x)) = xp (x). It kernel is the set of constant polynomials and its image is the set of polynomials with zero constant term. Theorem 2. Let ϕ : V → W be a linear transformation. 1. ϕ is injective if and only if ker(ϕ) = 0.
单射的
函数f被称为是单射时，对每一值域内的y，存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y。
2. ϕ is surjective if and only if im(ϕ) = W .
满射的 满射，意思就在满射里，X经过F到Y中时，Y正好都在X中有原像，Y中没有富余或者多出来的像。
Theorem 3. (Dimension theorem) Let ϕ : V → W be a linear transformation, then dim ker(ϕ) + dim im(ϕ) = dim V. Proof. Take a basis B of ker(ϕ) and extend it to a basis B ∪ C of V , then ϕ(C ) is a basis of im(ϕ). Theorem 4. Suppose dim V = dim W . Let ϕ : V → W be a linear transformation. The following statement are equivalent: 1. ϕ is an isomorphism, that is, a bijective linear transformation.
n. 同形
双射的
既是单射又是满射的映射称为特殊双射，亦称“一一双射”
2. ϕ is injective. 3. ϕ is surjective. 3
Examples: Let A ∈ Mm,n (F ). Consider f : F n → F m defined by f (x) = Ax. • f is injective if and only if N ull(A) = 0. • f is surjective if and only if C (A) = F n . • dim N ull(A) + dim C (A) = n. • In the case the m = n, f is bijective if and only if A is invertible if and only if Ax = 0 has only trivial solution if and only if Ax = b is solvable for all b ∈ F n .
1
1
1.1
Linear transformation
Introduction
Definition 1. A linear transformation (or a linear map) is a function ϕ from a F-linear space V to a F-linear space W satisfying • ϕ(v1 + v2 ) = ϕ(v1 ) + ϕ(v2 ) for any v1 , v2 ∈ F and • ϕ(λv ) = λϕ(v ) for any λ ∈ F, v ∈ V . Examples: • Let A ∈ Mm,n (F). The map f (x) = Ax is a linear transformation from Fn to Fm . • Let A ∈ Mm,n (C). The map f (X ) = XA is a linear transformation from Mp,m (C) to Mp,n (C). • The map A → At is a linear transformation. • The map f : Mm,n (C) → Mn,m (C) such that f (A) = A∗ is a real linear transformation, but not a complex transformation. • Differentiation