T
−1
15
∴ BA=E, 即T是满秩的线性变换.
⇐ T (α , α , S (α 1 , α 2 ,
1 2
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
,α n ) A
−1
∴ TS = ST = I. 例： 设T 是n维线性空间V 的线性变换， T 在V的一个基
§3.6 线性变换的矩阵
取V 的基 α1 , α 2 , 表示，有
, α n , V中任意向量β可由基线性
β = (α 1 , α 2 ,
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎛ n ⎞ n T 的坐标 ⎢ 2 ⎥ 唯一确定， ( β ) = T ⎜ ∑ kiα i ⎟ = ∑ kiT (α i ), ⎢ ⎥ ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦ T由它在基上的作用 T(αi) 唯一确定，自然地得到
1
⎡ k1 ⎤ ⎢k ⎥ ⎢ 2⎥, ,α n ) 即β由它在基 α 1 , α 2 , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ kn ⎥ ⎣ ⎦
,α n 下
线性变换与矩阵的联系.
定义：设 α 1 , α 2 ,
, α n是数域F上n 维线性空间V的一个基，
, T (α n ) 可由基 α 1 , α 2 ,
T (α 1 ) , T (α 2 ) ,
由线性变换的定义易知，T 是V 的线性变换. ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) A ⎢1 ⎥ i i = 1, 2, ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ T (α i ) = (α1 , α 2 , , α n ) Aei ⎣ ⎦ T ( α 1 , α 2 , , α n ) = ( T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , , T (α n ) )
