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现在给出由线性空间V 的一组向量构造V 的子空间的方法。 设 α 1 ,α 2 ,L,α s 是数域P上线性空间V 的一组 向量，这个向量组的所有线性组合作成的集合记 为W ，即
W = {k1α1 + k 2α 2 + L + k sα s | ki ∈ P, i = 1, L , s}
W 是V 的非空子集，并且由定理1.4.1知W 是V 的 子空间。称W 是由向量 α 1 ,α 2 ,L,α s 生成 或张成 的 生成(或张成 或张成)的 子空间，记为 L(α 1 , α 2 ,L,α s ) 或 span(α 1 ,α 2 ,L,α s ) 。 子空间
定理1.4.6 设V1 , V2 是数域P上线性空间V的两个 定理
子空间，则它们的和V1 + V2 也是V的子空间。
显然V1 U V2 ⊆ V1 + V2，所以V1 + V2是包含 V1 U V2的子空间。
由子空间的交与和的定义可知，子空间的交 与和适合下列运算规则：
(1) 交换律：V1 I V2 = V2 I V1 , V1 + V2 = V2 + V1
定理1.4.9 设U是数域P上有限维线性空间V 的一个 定理 & 子空间，则存在V 的一个子空间W 使得V = U +W。 定义1.4.4 设 V1 , V2 , L , Vs是数域P上线性空间V 的 定义 s 个子空间，如果和 V1 + V2 + L + Vs 中每个向量 α可唯一地表示成 α
α = α1 + α 2 + L + α s , α i ∈ Vi (i = 1,L, s)
(3) Vi I ∑ V j = {0};
j ≠i
(4) dim(V1 + V2 + L + Vs ) = dim(V1 ) + dim(V2 ) + L + dim(Vs ).
1.5 线性空间的同构 (Isomorphism of Linear Spaces)
定义1.5.1 设V 与V ′都是数域 P 上的线性空间，如 定义 果存在V 到 V ′ 的双映射σ满足
(2) 如果k ∈ P, α ∈ W , 则kα ∈ W .
例1.4.2 设A ∈ P
n
m× n
, 则N ( A) = {x | Ax = 0, x ∈ P }
n
是P 的一个子空间。
定理1.4.2 如果W 是线性空间V 的一个子空间， 定理
则 dim(W ) ≤ dim(V ).
由定理1.4.2和定理1.3.1直接可得以下结论。 定理1.4.3 若W 是有限维线性空间V 的子空间，则 定理 W 的一组基可扩充成V的一组基。
1.4.1 线性子空间 (Linear subspaces)
定义1.4.1 设W 是数域 P上线性空间V 的非空子集， 定义 如果W 对于V 的两种运算也构成数域P上的线性空 间，则称W 为V 的一个线性子空间 线性子空间(linear 线性子空间 subspace)(简称子空间 子空间). 子空间 定理1.4.1 数域P上线性空间V 的非空子集W 是V 定理 的一个线性子空间当且仅当W 对于V的两种运算 封闭，即 (1) 如果α , β ∈ W , 则α + β ∈ W ;
定理1.5.1 设V 与 V ′ 是数域 P 上同构的线性空间， 定理 σ为V 到 V的同构映射，则 ′ (1) σ (0) = 0′,0′是V ′的零元素;
( 2) 对任意α ∈V , σ (−α ) = −σ (α );
(3) 如果α1 , L , α m是V中的一个向量组, k1 , L , k m ∈ P, 则σ (k1α1 + L + k mα m ) = k1σ (α1 ) + L + k mσ (α m );
子空间，则它们的交V1 I V2 也是V的子空间。
注意：V1与V2的并V1 U V2 一般不是 V的子空间。 的子空间。 注意：
定义1.4.2 设V1 , V2 是数域P上线性空间V的两个 定义
子空间，则集合 {α 1 + α 2 | α 1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 } 称为V1与V2的和( sum)，记为V1 + V2。
定理1.4.7 设V1，V2 是数域P上线性空间V的两个 定理
有限维子空间，则V1 I V2 与V1 + V2 都是有限维 的，并且
dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 I V2 )
1.4.3 子空间的直和 (Direct sum of subspaces)
例1.4.3 设A = [a1 , L , a n ] ∈ P
m m× n
, ai ∈ P ,
m
则R ( A) = span(a1 , L , a n )是P 的一个子空间。
1.4.2 子空间的交与和 (Intersection and sum of subspaces)
定理1.4.5 设V1 , V2 是数域P上线性空间V的两个 定理
(1) σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ); ( 2) σ ( kα ) = kσ (α ),
其中α,β是V中任意向量，k 是数域 P中任意数， 则称σ为V 到 V ′的同构映射 同构映射(isomorphic mapping) 同构映射 ，并且称V 与 V ′是同构的 同构的(isomorphic )。 同构的
定义1.4.3 设 V1 ， 2 是数域 P上线性空间V 的两个子 定义 V 空间，如果和 V1 + V2 中每个向量α可唯一地表示成
α = α1 + α 2 , α1 ∈ V1 ,
α 2 ∈ V2
•
则称V1 + V2为直和( direct sum)，记为V1 + V2 .
定理1.4.8 设 V1 ， 2 是数域 P上线性空间V 的两个 定理 V 子空间，则下面的叙述是等价的。
s
i
IV
i =1
和 ∑ Vi 都是V 的子空间。
i =1
则 例1.4.4 设α 1 , L , α s , β 1 , L , β t ∈ V， span(α 1 , L, α s ) + span( β 1 , L, β t ) = span(α 1 , L, α s , β 1 , L, β t )
(4) V中向量组α1 , L,α m线性相关当且仅当它们的 像σ (α1 ),L, σ (α m )是V ′中线性相关的向量组;
(5) 如果V是n维的，ε1 , L , ε n是V的一组基, 则V ′也 是n维的, 并且σ (ε1 ),L , σ (ε n )是V ′的一组基。
定理1.5.2 数域P上的两个有限维线性空间V 与 V ′ 定理 同构的充分必要条件是它们的维数相同。 定理1.5.3 数域P上的n 维线性空间V 与 P n 同构。 定理 定理1.5.4 数域P上线性空间之间的同构是一个 定理 等价关系。
1.4 线 性 子 空 间 (Linear Subspaces)
1.4.1 线性子空间 (Linear subspaces) 1.4.2 子空间的交与和 (Intersection and sum of subspaces) 1.4.3 子空间的直和 (Direct sum of subspaces)
定理1.4.4 设α1,α2 ,L αs 与β1, β2 ,L βt 是线性空间 定理 , ,
间 中两个向量组，则 V (1) span(α 1 ,L, α s ) = span( β 1 ,L, β t )的充分
必要条件是α 1 , L, α s 与β 1 ,L, β t 等价； (2) dim(span(α 1 ,L, α s )) = rank (α 1 ,L, α s ), 并且span(α 1 ,L, α s )的基是向量组α 1 , L,α s 的一个极大线性无关组.
& & & 则称和V1 + V2 + L + Vs为直和，记为 V1 + V2 + L + Vs。
定理1.4.10 设 V1 , V2 , L , Vs 是数域 P 上线性空间V 的 定理 s个子空间，则下面的叙述是等价的。
(1) 和V1 + V2 + L + Vs是直和； (2) 和V1 + V2 + L + Vs 零向量的表示法唯一；
(1) 和V1 + V2是直和；
(2) 和V1 + V2中零向量的表示法唯一 ，即若
α 1 + α 2 = 0 (α 1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 ), 则α 1 = 0且α 2 = 0;
(3) V1 I V2 = {0}; (4) dim(V1 + V2 ) = dim(V1 ) + dim(V2 ).
(2) 结合律： (V1 I V2 ) I V3 = V1 I (V2 I V3 ), (V1 + V2 ) + V3 = V1 + (V2 + V3 ) .
由结合律，可定义多个子空间的交与和：
V1 I V 2 I L I V s =
V1 + V 2 + L + V s =
s
IV
i =1 s
i =1
